专题16 双曲线与抛物线（真题研析+真题精炼+模拟探源，全国通用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 本专项系统整合双曲线与抛物线核心考点，通过真题研析与模拟训练，构建"定义-性质-综合应用"逻辑体系，突出几何条件代数转化方法，培养逻辑推理与运算求解素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |双曲线方程和性质|9题/1典例|定义应用、渐近线公式、离心率计算、焦点三角形分析|从标准方程到几何性质，建立a,b,c关系推导| |抛物线方程和性质|4题/1典例|定义转化距离、焦点弦性质、准线应用|从定义出发，结合坐标系分析抛物线几何特征| |双曲线与抛物线的综合|5题/1典例|直线与曲线联立、韦达定理应用、分类讨论参数范围|融合两类曲线性质，运用代数方法解决几何问题|

专题16 双曲线与抛物线 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 双曲线：核心为定义、标准方程与渐近线，离心率求值、范围是常考点，常结合焦点三角形、点到渐近线距离命题。 抛物线：侧重定义转化距离、焦点弦、准线几何特征，常设点设线求解弦长、最值问题。 综合题型：直线与双曲线、抛物线联立，借助判别式、韦达定理处理交点、弦长、定点定值、面积问题。 2．素养考向 逻辑推理：利用圆锥曲线定义实现线段转化，运用分类讨论把几何条件等价转为代数方程分析参数范围。 工具应用：依靠数形结合简化几何分析，将曲线问题代数化运算，考查运算求解能力；常与不等式、函数综合命题. 双曲线方程和性质 2026·全国二卷T4（渐近线） 2026·北京卷T3（渐近线） 2026·天津卷T9（离心率） 2025·全国一卷T3（离心率） 2025·北京卷T3（离心率） 2025·天津卷T9（离心率） 2024·全国甲卷T5（离心率） 2024·天津卷T8（标准方程） 2026·全国一卷T12（离心率） 2024·新课标Ⅰ卷T12（离心率） 抛物线方程和性质 2026·全国一卷T5（抛物线方程） 2025·全国二卷T6（焦点弦） 2025·北京卷T11（抛物线性质） 2024·北京卷T11（焦点坐标） 2024·天津卷T12（圆与抛物线） 双曲线与抛物线的综合 2026·全国二卷T11（直线与抛物线） 2026·天津卷T15（抛物线综合） 2025·全国一卷T10（直线与双曲线） 2025·全国二卷T11（圆与双曲线） 2024·新课标Ⅱ卷T10（圆与抛物线） 一卷多以小题压轴或解答小问形式出现，综合性更强；二卷多为中档单选、填空，难度平缓，侧重基础性质考查。 命题导向：紧扣教材，弱化繁杂套路运算，重视定义理解，强化几何条件代数转化，注重运算细致度。 考查重心：双曲线重点考查渐近线、离心率及焦点三角形；抛物线聚焦定义转化、焦点弦。两类曲线均常与直线联立，借助韦达定理求解弦长、最值，综合考查逻辑推理与运算求解素养。 考向一 双曲线方程和性质 典例1．设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】把点和，代入双曲线方程可得 ， 所以双曲线方程为，故该双曲线渐近线方程为. 微点拨：先设双曲线标准方程，将两点坐标代入列方程组求出，再用渐近线公式求解；也可设一般式快速求比例，避开解具体数值，简化运算。 考向二 抛物线方程和性质 典例2．（2026·全国一卷T5）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 【答案】D 【解析】∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. ∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. 根据两点间距离公式，与之间的距离为： . 微点拨：把已知点坐标分别代入两条抛物线方程，求出对应参数，写出各自焦点坐标，再用两点间距离公式计算焦点间距，注意两类抛物线焦点位置不同。 考向三 双曲线与抛物线的综合 典例3．（2026·全国二卷T11）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上，下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】A选项，，则，故准线，A选项正确； B选项，设直线为，则， 联立得到，， 直线和抛物线无交点，则， 结合，解得，B选项正确； C选项，由联立方程， 若与相交于唯一点，只可能是相切， 则，解得， 此时，解得，进而得，则， 若过焦点（如图），由于，，而， 根据倾斜角的定义，，， 而，此时的正切值为， 即，这与为等边三角形矛盾，C选项错误； D选项，当，此时直线方程为， 设，则到的距离为， 即等边三角形的高的最小值为，此时面积，D选项正确. C选项方法二：求得，则，， 则， 则，抛物线E的焦点不在直线上，故C错误. D选项方法二：到的最小距离可转化为抛物线和平行的切线，求得两平行线的距离即可， 由于，设直线为， 联立，得到， 由，此时直线为， 由平行线的距离公式可推出直线间距离为，其余同上. 微点拨：先明确抛物线基本性质判断准线；联立直线与抛物线，用判别式判定交点情况；分析相切条件验证焦点位置；设点表达等边三角形边长，构造函数求面积最小值。 考向一 双曲线的方程和性质 1.（2026·天津卷T9）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】解法一：如图，过点作垂直于轴，垂足为， 因为，所以，所以， 又，所以， 根据双曲线对称性，不妨设点在第二象限，则， 将点坐标代入双曲线方程得：， 整理得， 将代入上式，整理得， 两边同时除以，整理得，解得. 解法二：如图，设右焦点为，连接，由题意可知：，， 在三角形中，， 在三角形中，， 即， 整理可得，可得，所以. 2.（2026·北京卷T3）已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【解析】因为双曲线为，则渐近线为， 又因为渐近线为，且，所以. 3.（2025·全国一卷T3）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，，于是，则，即.故选：D 4．（2025·北京卷T3）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，，所以， 即，所以，故选：B． 5．（2025·天津卷T9）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则，由双曲线的定义及已知条件可知， 则，由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2，故选A 6．（2024·全国甲卷T5）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【解析】由题意，设、、， 则，，， 则，则.故选：C. 7.（2024·天津卷T8）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为.故选：A 8．（2026·全国一卷T12）双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】将双曲线化为标准方程，得，则， 因此，则离心率为. 9．（2024·新课标Ⅰ卷T12）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 【解析】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 考向二 抛物线的方程和性质 10.（2025·全国二卷T6）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以.故选：C 11．（2025·北京卷T11）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 【答案】 【解析】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故， 12．（2024·北京卷T11）抛物线的焦点坐标为________． 【答案】 【解析】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 13．（2024·天津卷T12）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即，故原点到直线的距离为， 考向三 双曲线与抛物线的综合 14.（2025·全国一卷T10）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 15．（2025·全国二卷T11）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【解析】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 16．（2024·新课标Ⅱ卷T10）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【解析】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 17．（2026·天津卷T15）在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有______． ①若与抛物线焦点重合，则； ②； ③； ④； ⑤ 【答案】②④ 【解析】由题意、、、为抛物线上四个点可知，两两不等. 设抛物线上任意两点，其中. 当时，直线的斜率， 则直线方程为， 令，则直线与轴的交点横坐标 特别地，当时，， 此时直线垂直于轴，也成立， 因此，直线与轴的交点横坐标（）. ①由题意直线交轴于点，若与抛物线焦点重合，则其横坐标为， 故由式可得，即，故①错误； ②由题意直线与直线交轴于点， 则由式可得点横坐标， 可得，故②正确； ③由题意直线交轴于点，直线交轴于点， 则由式可得 ， 则， 故，故③错误； ④由式可得， 当点或为原点时，则点也重合于原点，此时； 当点与均不为原点时，即，且， 则结合②结论可知，， 则有，故④正确； ⑤由，可知，则， ， 如图，当时，不成立，故⑤错误； 一、单选题 1．（2026·广东广州一模）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线， 所以设双曲线方程为，将代入，可得，则， 所求双曲线的标准方程是． 2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，则. 3．（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3，即 ，解得. 4．（2026·云南·三模）已知是抛物线上的动点，点满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【解析】设抛物线的焦点为，设 由抛物线定义知，，因，则, 由图知，， 解得，即当过点时，的最小值为. 5．（2026·湖北·三模）卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处．已知该卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号处理中心与抛物线顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以抛物线顶点为原点，对称轴为轴， 设抛物线方程为，焦点，焦点到顶点距离为． 天线口径（直径），深度，故抛物线过点（或）， 将代入：，焦点到顶点距离为． 6．（2026·山东日照·模拟预测）已知双曲线：（，），圆：与的两条渐近线交于，，，四点，若四边形的面积为，则的离心率为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】双曲线 ，) 的渐近线方程为， 联立圆与渐近线方程，， 由双曲线的基本关系， ，则， 对应的坐标为， 因此，四个交点的坐标为：，，，， 由于双曲线和圆都关于轴、轴对称，四边形是矩形，其长为，宽为， 矩形面积公式， 因此，，化简得，，则， 将代入上式，， 则， ，， 双曲线的离心率，所以. 二、多选题 7．（2026·云南昆明·二模）已知、分别是双曲线的左、右焦点，点是上任意一点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．的离心率为 B．点到的两条渐近线的距离之积为 C．若，则 D． 【答案】ACD 【解析】由双曲线化为标准方程形式：可得：， 对于A选项：的离心率，故A正确； 对于B选项：的两条渐近线方程为：， 设，则点到两条渐近线的距离分别为， 所以，故B错误； 对于C选项： 因为且点为的中点，所以，故C正确； 对于D选项：因为为的中点，可得，两边平方结合余弦定理得出 ， 又因为， 所以，故D正确； 8．（2026·山东烟台·二模）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点为和的一个公共点，则（   ） A． B．的离心率为2 C． D．点到的两条渐近线的距离之和为 【答案】BCD 【解析】因为双曲线 为标准形式 ， 其中 ，，则，所以，则 双曲线的右焦点坐标为. 选项A，由 的焦点为 ，由题意，，解得，故A错误； 选项B，由上分析，的离心率为，故B 正确； 选项C，联立，解得 或（不合题意舍去）， 即，则 ，故C 正确； 选项D，由上分析，易得双曲线 的渐近线方程为 ， 由对称性，可取点Q 为 ，该点到两条渐近线的距离分别为，， 所以，故D 正确. 9．（2026·山东·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点，为的渐近线上一点，且，则（   ） A．的方程为 B．的离心率为2 C．点到直线 的距离为3 D．的面积为 【答案】ABD 【解析】已知焦点，得双曲线半焦距，即 ， 又由双曲线渐近线为，得 ​，即， 代入，得， 因此双曲线的方程为，故A正确； 离心率，故B正确； 到直线的距离： ，故C错误； 由，可知在以为直径的圆上， 联立渐近线：代入得， 可得交点纵坐标， 即的面积为： ，故D正确. 10．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知过抛物线C：的焦点F的直线与C交于A，B两点，则下列说法正确的是（   ） A．线段的长度的最小值为8 B．若，则 C．若点，则直线，的斜率之和为零 D．上一个动点到直线的距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】由题知，设直线的方程为， 点，，联立方程， 消去后整理为，则，. 由，得的最小值为8，A正确； 由，知，则，， 故，，即，， 所以，B错误； ，C正确； 设直线与C相切，联立方程 消去后整理得， 由，得， 故C上一个动点P到直线的距离的最小值为，D正确． 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）设抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，两点，且，，则（    ） A．的焦点坐标为 B．的准线方程为 C． D．的面积为1 【答案】ABD 【解析】因为抛物线的方程为，所以， 则的焦点坐标为，准线方程为，选项A，B均正确； 设，则， 把代入，可得， 由抛物线的对称性，不妨设，则，选项C错误； 因为，则的面积，选项D正确． 12．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知点，直线，动点P（点P的横坐标不小于）到点F的距离比到直线l的距离大2，点P的轨迹为C，则（    ） A．点在C上 B．C关于x轴对称 C．过作C的两条弦AM，AN，若，则直线MN过定点 D．若点E在C上，点G在圆上，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】设点，由点P到点F的距离比到直线l的距离大2， 则得，整理得轨迹的方程为， 对于A，当时，，因此点在C上，A正确； 对于B，显然点满足方程，而点与关于轴对称， 因此轨迹C关于x轴对称，B正确； 对于C，设直线方程为，由，得, 则直线的方程为， 由，得或，则得点， 同理可得点， 当直线不垂直于轴时，直线的方程为，整理得， 当直线时，由，解得,则直线，故直线恒过定点，C正确； 对于D，圆的圆心，半径，设，则， 于是，当且仅当时取等号， 因此的最小值为，D错误.    三、填空题 13．（2026·安徽·模拟预测）已知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，若，则直线的倾斜角为______________． 【答案】或. 【解析】   抛物线的准线为，设直线的倾斜角为， 过M向抛物线的准线作垂线交准线于，由抛物线的几何性质得，所以的纵坐标为，又因为M是抛物线上的一点，所以，所以， 所以，或. 14．（2026·天津北辰·二模）在中，O为坐标原点，点A为抛物线的准线与坐标轴的交点，点B在x轴上，其横坐标为直线在x轴上的截距，则内切圆的标准方程为_____. 【答案】 【解析】抛物线的准线方程为，则， 直线在轴上的截距为，故， 设内切圆的标准方程为， 则，解得， 该圆与轴、轴相切，故， 由内切圆圆心在内部，故圆心坐标为， 即内切圆的标准方程为. 15．（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线与圆 相交于 ， 两点，则 ____. 【答案】 【解析】已知双曲线，则双曲线的两条渐近线方程分别为和， 双曲线的一条渐近线与圆相交于，两点， 由圆关于轴对称，而双曲线的两条渐近线均关于轴对称， 因此，无论选择哪一条渐近线，其与圆相交所得弦长都相等. 由圆可知，圆心坐标为，半径， 将其中一条渐近线化为一般式：， 则圆心到渐近线的距离， 则弦长. 16．（2026·山东泰安·三模）已知双曲线的离心率为2，为C的两个焦点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则_______． 【答案】 【解析】因为，一条渐近线方程为，如图，作出符合题意的图形， 则，， 又，所以， 即，， 在中，， 在中， ，所以. 17．（2026·甘肃·模拟预测）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，内切圆的面积是内切圆的面积的4倍，则的离心率的取值范围是__________． 【答案】 【解析】设双曲线的焦距为，则. 分别记和的内切圆为，其半径分别为，则，所以. 设与切于点， 则 又，所以. 即点坐标为， 同理，与切于点，即三点共线，且. 所以， 所以. 又 所以， 所以，所以，. 所以， 即直线的斜率为. 所以，即，即，所以， 所以的离心率的取值范围是. 四、解答题 18．（2026·陕西西安·模拟预测）已知点为抛物线的焦点，点在上，且. (1)求的方程； (2)过上的动点作的切线，与直线交于点，过作的垂线，垂足为.当时，求点的坐标. 【解】（1）因为点在上，且，由抛物线定义可得， 解得，所以抛物线的方程为． （2）由抛物线，可得，设点，可得， 所以切线方程为，整理得， 令，代入切线方程，可得，即， 由可得，所以的方程为， 由可得，所以的方程为． 联立和的方程有，解得， 则，因为，可得， 由抛物线的定义，可得，所以，得，， 所以点或． 19．（2026·广东广州·三模）已知为坐标原点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，其中椭圆的长轴长是短轴长的两倍. (1)求椭圆和抛物线的标准方程； (2)设直线交抛物线于两点，若的中点在椭圆上，求的坐标. 【解】（1）由点在抛物线上，得，因此抛物线的方程为； 由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，得，又点在椭圆上， 则，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设点，由消去，得， 显然，，则线段的中点， 又点在椭圆上，则满足，整理得， 则，解得或，所以的坐标为或.    20．（2026·河南南阳·三模）已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点． (1)求双曲线C的方程； (2)求证：直线、的斜率之积为定值； (3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由． 【解】（1）设双曲线的半焦距为c． 由题意知．故， 所以，双曲线C的方程为． （2）由题意知．设直线， 与双曲线方程联立得． ， 设、，则， 故直线、的斜率之积为 ． （3）由题意知，得． 设，则． 即． 又，即，解得． 所以， 因此在x轴上存在定点，使得恒成立． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 双曲线与抛物线 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 双曲线：核心为定义、标准方程与渐近线，离心率求值、范围是常考点，常结合焦点三角形、点到渐近线距离命题。 抛物线：侧重定义转化距离、焦点弦、准线几何特征，常设点设线求解弦长、最值问题。 综合题型：直线与双曲线、抛物线联立，借助判别式、韦达定理处理交点、弦长、定点定值、面积问题。 2．素养考向 逻辑推理：利用圆锥曲线定义实现线段转化，运用分类讨论把几何条件等价转为代数方程分析参数范围。 工具应用：依靠数形结合简化几何分析，将曲线问题代数化运算，考查运算求解能力；常与不等式、函数综合命题. 双曲线方程和性质 2026·全国二卷T4（渐近线） 2026·北京卷T3（渐近线） 2026·天津卷T9（离心率） 2025·全国一卷T3（离心率） 2025·北京卷T3（离心率） 2025·天津卷T9（离心率） 2024·全国甲卷T5（离心率） 2024·天津卷T8（标准方程） 2026·全国一卷T12（离心率） 2024·新课标Ⅰ卷T12（离心率） 抛物线方程和性质 2026·全国一卷T5（抛物线方程） 2025·全国二卷T6（焦点弦） 2025·北京卷T11（抛物线性质） 2024·北京卷T11（焦点坐标） 2024·天津卷T12（圆与抛物线） 双曲线与抛物线的综合 2026·全国二卷T11（直线与抛物线） 2026·天津卷T15（抛物线综合） 2025·全国一卷T10（直线与双曲线） 2025·全国二卷T11（圆与双曲线） 2024·新课标Ⅱ卷T10（圆与抛物线） 一卷多以小题压轴或解答小问形式出现，综合性更强；二卷多为中档单选、填空，难度平缓，侧重基础性质考查。 命题导向：紧扣教材，弱化繁杂套路运算，重视定义理解，强化几何条件代数转化，注重运算细致度。 考查重心：双曲线重点考查渐近线、离心率及焦点三角形；抛物线聚焦定义转化、焦点弦。两类曲线均常与直线联立，借助韦达定理求解弦长、最值，综合考查逻辑推理与运算求解素养。 考向一 双曲线方程和性质 典例1．设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 微点拨：先设双曲线标准方程，将两点坐标代入列方程组求出，再用渐近线公式求解；也可设一般式快速求比例，避开解具体数值，简化运算。 考向二 抛物线方程和性质 典例2．（2026·全国一卷T5）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 微点拨：把已知点坐标分别代入两条抛物线方程，求出对应参数，写出各自焦点坐标，再用两点间距离公式计算焦点间距，注意两类抛物线焦点位置不同。 考向三 双曲线与抛物线的综合 典例3．（2026·全国二卷T11）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上，下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 微点拨：先明确抛物线基本性质判断准线；联立直线与抛物线，用判别式判定交点情况；分析相切条件验证焦点位置；设点表达等边三角形边长，构造函数求面积最小值。 考向一 双曲线的方程和性质 1.（2026·天津卷T9）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 2.（2026·北京卷T3）已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 3.（2025·全国一卷T3）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 4．（2025·北京卷T3）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·天津卷T9）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 6．（2024·全国甲卷T5）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 7.（2024·天津卷T8）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·全国一卷T12）双曲线的离心率为__________． 9．（2024·新课标Ⅰ卷T12）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 考向二 抛物线的方程和性质 10.（2025·全国二卷T6）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（2025·北京卷T11）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 12．（2024·北京卷T11）抛物线的焦点坐标为________． 13．（2024·天津卷T12）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 考向三 双曲线与抛物线的综合 14.（2025·全国一卷T10）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025·全国二卷T11）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 16．（2024·新课标Ⅱ卷T10）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 17．（2026·天津卷T15）在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有______． ①若与抛物线焦点重合，则； ②； ③； ④； ⑤ 一、单选题 1．（2026·广东广州一模）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（  ） A． B． C． D． 3．（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（2026·云南·三模）已知是抛物线上的动点，点满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 5．（2026·湖北·三模）卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处．已知该卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号处理中心与抛物线顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 6．（2026·山东日照·模拟预测）已知双曲线：（，），圆：与的两条渐近线交于，，，四点，若四边形的面积为，则的离心率为（     ） A． B． C．2 D． 二、多选题 7．（2026·云南昆明·二模）已知、分别是双曲线的左、右焦点，点是上任意一点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．的离心率为 B．点到的两条渐近线的距离之积为 C．若，则 D． 8．（2026·山东烟台·二模）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点为和的一个公共点，则（   ） A． B．的离心率为2 C． D．点到的两条渐近线的距离之和为 9．（2026·山东·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点，为的渐近线上一点，且，则（   ） A．的方程为 B．的离心率为2 C．点到直线 的距离为3 D．的面积为 10．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知过抛物线C：的焦点F的直线与C交于A，B两点，则下列说法正确的是（   ） A．线段的长度的最小值为8 B．若，则 C．若点，则直线，的斜率之和为零 D．上一个动点到直线的距离的最小值为 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）设抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，两点，且，，则（    ） A．的焦点坐标为 B．的准线方程为 C． D．的面积为1 12．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知点，直线，动点P（点P的横坐标不小于）到点F的距离比到直线l的距离大2，点P的轨迹为C，则（    ） A．点在C上 B．C关于x轴对称 C．过作C的两条弦AM，AN，若，则直线MN过定点 D．若点E在C上，点G在圆上，则的最小值为 三、填空题 13．（2026·安徽·模拟预测）已知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，若，则直线的倾斜角为______________． 14．（2026·天津北辰·二模）在中，O为坐标原点，点A为抛物线的准线与坐标轴的交点，点B在x轴上，其横坐标为直线在x轴上的截距，则内切圆的标准方程为_____. 15．（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线与圆 相交于 ， 两点，则 ____. 16．（2026·山东泰安·三模）已知双曲线的离心率为2，为C的两个焦点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则_______． 17．（2026·甘肃·模拟预测）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，内切圆的面积是内切圆的面积的4倍，则的离心率的取值范围是__________． 四、解答题 18．（2026·陕西西安·模拟预测）已知点为抛物线的焦点，点在上，且. (1)求的方程； (2)过上的动点作的切线，与直线交于点，过作的垂线，垂足为.当时，求点的坐标. 19．（2026·广东广州·三模）已知为坐标原点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，其中椭圆的长轴长是短轴长的两倍. (1)求椭圆和抛物线的标准方程； (2)设直线交抛物线于两点，若的中点在椭圆上，求的坐标. 20．（2026·河南南阳·三模）已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点． (1)求双曲线C的方程； (2)求证：直线、的斜率之积为定值； (3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $