专题19 概率（真题研析+真题精炼+模拟探源，全国通用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 以古典概型、条件概率为核心，通过真题研析与模拟精练，系统提炼概率运算方法，构建“概念-模型-应用”知识逻辑链，强化逻辑推理与数据建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |古典概型|典例1+4真题+3模拟单选+1填空+解答题|频率估计概率、二项分布公式、分类分步计数|以排列组合为基础，结合统计图表构建概率模型| |条件概率|典例2+2真题+2模拟单选+2填空|公式法、对立事件简化计算|依托事件独立性，通过概念辨析深化逻辑推理|

专题19 概率 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 以古典概型为基础，考查互斥事件、对立事件概率运算；常结合排列组合求解基本事件总数。高频考查频率分布、茎叶图背景下统计与概率综合题，独立事件、独立重复试验是重点，也会涉及分布列、期望计算。应用题贴近生活情境，设置实际背景分析问题。 2．素养考向 逻辑推理：梳理事件关系，合理分类分步，区分互斥、独立概念，避免重复或遗漏计数。 工具应用：依托数据提取信息，建立概率模型求解，实现实际问题数学化；弱化复杂运算，重点考查数据分析、数学建模素养，常与计数原理、统计图表交汇命题，突出实用性与情境化特征。 古典概型 2026·北京卷T17（古典概型，统计问题） 2024·全国甲（文）卷T4（古典概型） 2024·全国甲卷T16（古典概型） 条件概率 2026·天津卷T13（条件概率） 2024·天津卷T13（条件概率） 相互独立事件与概率的综合应用 一卷概率多设置解答题，综合性较强，常结合分布列、期望设问；二卷多以选择填空基础题为主，设问简单，侧重基础概型计算。 命题导向：贴近现实生活创设情境，避免繁杂运算，重视审题建模，区分不同事件逻辑关系，杜绝套路化解题。 考查重心：以古典概型、独立事件为核心，常与计数原理、统计图表交汇，考查数据分析、数学建模素养，强调分类严谨性与计算准确性。 考向一 古典概型 典例1．（2026·北京卷T17）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下： 成绩分组 人数 40 60 60 32 8 以频率估计概率，完成下列问题： (1)求数学成绩低于120分的概率； (2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率； (3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系． 【解】（1）由已知样本中数学成绩低于分的频率为， 所以数学成绩低于分的概率为， （2）从学校随机抽取一人，该学生成绩不低于分的概率为，小于分的概率为， 所以从学校随机抽取人，人不低于且人小于的概率为， （3）每组数据取左端的值记为，， 每组数据取中间的值记为，，每组数据取右端的值记为，， 由已知，，，，， 所以， 由已知，，，，， 所以， ，，，，， 所以， ，所以. 微点拨：用频数算频率得对应概率；先求出两类成绩各自概率，套用二项分布概率公式计算；分别算出平均数、中位数、众数，再比较三者大小。 考向二 条件概率 典例2．（2026·天津卷T13）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________． 【答案】 【解析】由题意，箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。 设事件表示没取到黄球，事件表示三次都没取到黄球， 有放回抽取，每次取到非黄球的概率为， 三次都没取到黄球的概率：. 设事件表示至少取到一次红球，事件表示三次都取到白球，， ∵三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率：， ，∴， ∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是. 微点拨：先算出单次不取黄球概率，乘三次得第一空；条件概率用公式，用对立事件算 “无黄球且无红球” 快速求解。 考向一 古典概型 1.（2024·全国甲（文）卷T4）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种，故所求概率； 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，所求概率为，故选C 2.（2023·全国乙卷T9）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表： 乙甲 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36个不同结果，它们等可能， 其中甲乙抽到相同结果有，共6个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率. 故选：A 3．（2023·全国甲卷T4）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为，故选D. 4.（2024·全国甲卷T16）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______． 【答案】 【解析】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种， 设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则， 故，故， 故， 若，则，则为：，故有2种， 若，则，则为：， ，故有10种， 当，则，则为： ， ， 故有16种， 当，则，同理有16种， 当，则，同理有10种， 当，则，同理有2种， 共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为， 故所求概率为. 考向二 条件概率 5.（2024·天津卷T13）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． 【答案】 【解析】解法一：列举法 给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有： ,共10种情况， 其中甲选到有6种可能性：， 则甲参加“整地做畦”的概率为：； 乙选活动有6种可能性：， 其中再选择有3种可能性：， 故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为. 解法二：设甲、乙选到为事件，乙选到为事件， 则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为 6．（2023·天津卷T13）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 【答案】 / 【解析】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个，所以，． 一、单选题 1．（2026·河北雄安·三模）已知袋中有2个白球、1个红球，3个球除颜色外其余均相同，有放回地随机摸球3次，恰有1次摸到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】每次摸到红球的概率都为， 则摸球3次，恰有1次摸到红球的概率是. 2．（2026·广东佛山·一模）甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意知恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章， 则第3，4局必有甲胜，乙负，且前2局中，甲胜一局乙胜一局， 所以所求概率为. 3．（2026·广东深圳·模拟预测）有7枚非遗文创印章，分别刻有数字1，2，3，4，5，6，7，现从这7枚印章中随机抽取3枚，则抽出的3枚印章上的数字之和与其余4枚印章上的数字之和相等的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从7枚非遗文创印章中随机抽出3枚的基本事件总数为．因为所有数字之和为28，所以要使3枚印章上的数字之和与其余4枚印章上的数字之和相等，则3枚印章上的数字之和应为14．则满足条件的组合有，，，，共4种情况.所以“抽出的3枚印章上的数字之和与其余4枚印章上的数字之和相等”的概率为． 4．（2026·山东威海·二模）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率为0.75，连续两天为优良的概率为0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为不优良的概率是（    ） A．0.85 B．0.8 C．0.2 D．0.15 【答案】C 【解析】设“某一天的空气质量为优良”为事件A，“随后一天的空气质量为优良”为事件B， 依题意，，则， 即某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率， 所以某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为不优良的概率是. 5．（2026·陕西西安·模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的40%、m%、，第2台车床加工零件的次品率为5%，第1，3台车床加工零件的次品率均为6%，将这3台车床加工出来的零件混放在一起，若任取一个零件，它是次品的概率为5.8%，则（   ） A．20 B．22 C．18 D．16 【答案】A 【解析】由全概率公式得，解得. 6．（2026·辽宁大连·模拟预测）某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能（AI）技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他的抽奖码是3的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可知，每次点击有3种选择，连续点击5次，共有种组合， 当5个数字之和为3时，其组成方式为三个1和两个0；或者一个2，一个1，三个0， 若为三个1和两个0，则共有种组合， 若为一个2，一个1，三个0，则共有种组合， 即数字之和为3时共有种组合， 因此抽奖码是3的概率为. 7．（2026·重庆江北·模拟预测）有甲、乙两个袋子，甲袋装有3个红球和2个白球，乙袋装有2个红球和3个白球．现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，则从乙袋中取出红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设事件为“从甲袋中取出的球为红球”，事件为“从甲袋中取出的球为白球”，事件为“从乙袋中取出的球为红球”. 显然与为互斥事件，且为样本空间的完备事件组. ，； 若发生，乙袋变为3个红球、3个白球，共6个球，故； 若发生，乙袋变为2个红球、4个白球，共6个球，故； 由全概率公式得：. 8．（2026·安徽合肥·二模）一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【解析】选项A：事件是第一次取出编号1，事件是两次编号之和为5， 二者存在公共样本点（第一次取1，第二次取4，同时满足E和G），即，因此事件E与事件G不互斥，A错误． 选项B：（第二次取1的样本点共6个）， （两次和为5的样本点为 ，共4个）， （同时满足第二次取1、两次和为5的样本点仅，共1个）， 验证得，因此事件与事件不相互独立，B错误． 选项C：， （两次和为奇数等价于两次取出的数一奇一偶，总样本数为）， （第一次取1为奇数，第二次需要取偶数才能让和为奇数，第二次可取，共3个样本点）， 验证得， 满足独立事件定义，因此事件与事件相互独立，C正确． 选项D：根据概率的加法公式， 其中（两次都取1的样本点仅1个）， 代入计算：，因此D错误． 二、多选题 9．（2026·广东广州·模拟预测）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（    ） A．A与B独立 B．B与C对立 C． D． 【答案】ACD 【解析】选项A，，，且, 因为，所以与独立. 选项B，因为， ，所以与不对立. 选项C，. 选项D，. 10．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知事件，满足，，则（     ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若与相互独立，则 D．若，则与相互独立 【答案】BC 【解析】对于A，若，可得，所以A错误； 对于B，若与互斥，由互斥事件的概率加法公式， 可得，所以B正确； 对于C，若与相互独立，可得与也相互独立， 且， 则，所以C正确； 对于D，若，可得， 所以， 因为，所以， 所以与不相互独立，所以D错误. 11．（2026·山西忻州·模拟预测）从所有长度为4的0，1序列中随机取一个，每个序列被取到的概率相同．定义该序列的“变化次数”T：若相邻两项不同，则记为一次变化．例如，序列0010的变化次数为2．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．为偶数 【答案】ABD 【解析】长度为4的0，1序列共有个． 时，序列有共2个； 时，序列有共6个； 时，序列有共6个； 时，序列有共2个. 所以，A正确； ，B正确； ，故C错误； 为偶数，D正确． 12．（2026·江苏南京·模拟预测）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为，第二次取出球的数字为．设，其中表示不超过的最大整数，则（    ） A． B． C．事件“”与“”互斥 D．事件“”与“”相互独立 【答案】AC 【解析】总样本点数为种， 满足的情况数为种，由对称性可知， 又，，解得，故A正确， 由可知， 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，，满足条件的情况数有种， ，故B错误. 由可知，若，则，，所以矛盾，故C正确， 记事件为“”， 事件为“”，则， 满足的情况数为种，， 又，，，故D错误. 13．（2026·重庆渝中·模拟预测）一个正四面体的四个面上分别标以数字1，2，3，4，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：“”，事件：“”，事件：“”，事件：“”，则（    ） A．与互斥 B． C． D．与相互独立 【答案】BD 【解析】由题意可知：，， ，， 对于选项A：因为，所以与不互斥，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：因为， 设样本空间为，则，，， 可得，，， 因为，所以与相互独立，故D正确. 三、填空题 14．（2026·河南开封·模拟预测）某科技公司为提升员工的编程技能，举办了一场“算法挑战赛”，若甲、乙、丙三名员工进入决赛，他们获一等奖的概率分别为，，，且获奖相互独立，则至少两人获一等奖的概率为________． 【答案】 【解析】设事件甲、乙、丙获奖分别为A，B，C，至少两位员工获奖有如下情况： 甲、乙获奖丙未获奖，甲、丙获奖乙未获奖，乙、丙获奖甲未获奖，甲、乙、丙三人均获奖， 15．（2026·山东德州·三模）设，，，函数，从有序实数对中随机抽取一个，则函数恰有三个零点的概率为__________． 【答案】 【解析】函数的定义域为R，求导得， 由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 由，得，因此函数恰有三个零点，当且仅当，即， 由，，得有序实数对共有对， 当时，；当时，；当时，， 因此满足函数恰有三个零点的有序实数对共有对， 所以函数恰有三个零点的概率为. 16．（2026·天津滨海新区·三模）某塘沽中学团委组织团的知识竞赛，作为入团积极分子能否被批准入团的考核环节．题库中共有10道题，其中2道“团章知识”题，3道“团史知识”题，5道“时事团情”题．苏同学对“团章知识”题正确率为100，对“团史知识”题答对的概率为90，对“时事团情”题答对的概率为80，且答对不同题目的结果相互独立.规定不放回地抽取两道题，只有两次均答对才能被录取为团员．苏同学两次均抽到“时事团情”题的概率为__________，若苏同学第一次抽到了“团史知识”题，则他被录取为团员的概率为__________． 【答案】 / 【解析】由题意苏同学两次均抽到“时事团情”题的概率为， 设苏同学第一次抽到“团史知识”题为事件，苏同学被录取为团员为事件， 则， ， 所以， 即苏同学第一次抽到了“团史知识”题，则他被录取为团员的概率为. 17．（2026·江苏南京·三模）数学王老师在一个四选一的单选题中，提问一个数学基础非常差的甲同学，当甲同学随机选了一个选项后，王老师在剩余的三个选项中剔除了一个错误选项，甲同学放弃原来的选择，并从另外两个未被剔除的选项中随机选择一个，则甲同学选对的概率为________. 【答案】/ 【解析】设事件为“甲第一次选对正确选项”，事件为“甲换选项后选对”， 甲随机从4个选项中选1个，故， 此时剩余3个选项均为错误选项，王老师剔除1个错误选项后， 剩余未选选项全错，因此条件概率； 甲第一次选错的概率， 此时剩余3个选项包含1个正确选项、2个错误选项， 王老师剔除1个错误选项后，剩余2个未选选项为1对1错， 甲换选项时从这2个中随机选取，因此条件概率； 根据全概率公式可得： . 四、解答题 19．（2026·福建泉州·模拟预测）某商场举行五一节优惠活动，顾客每消费满100元可抽奖一次.抽奖规则如下：箱中共有4个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，顾客每次随机摸出3个球，若摸出的红球不少于2个则中奖，否则不中奖.各次抽奖互不影响. (1)求抽奖一次中奖的概率； (2)商场规定每中奖一次，返现10元.设某顾客在活动期间消费元，按规定返现元.若事件“”的概率最大，求的最小值. 【解】（1）设 “抽奖一次中奖”为事件，则. （2）设抽奖次数为，则（表示的整数部分）. 事件“”表示中奖次数为次，设表示中奖次数， 则. 因为事件“”的概率最大， 所以， 所以. 又，所以. 由，解得，即的最小值为. 20．（2026·安徽·模拟预测）某工厂为促进技工们不断提升技能水平，每年组织一次技能达标测试．假设技工小李每年都参加，他第1年达标的概率为1%，以后每年参加时达标的概率比上一年增加1个百分点（即第2年达标的概率为2%，第3年达标的概率为3%，依此类推），且每年达标与否不受往年影响． (1)求小李第2年首次达标的概率； (2)设小李第n年首次达标的概率为，则当n为多少时，最大？ 【解】（1）在第2年首次达标，意味着第1年未达标，第2年达标． 第1年达标的概率为，未达标的概率为， 第2年达标的概率为． 故所求概率为． （2）当时，． 当时，， ， 令，即，化简得，因为，所以， 即时，，当时，，所以当时，最大． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 概率 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 以古典概型为基础，考查互斥事件、对立事件概率运算；常结合排列组合求解基本事件总数。高频考查频率分布、茎叶图背景下统计与概率综合题，独立事件、独立重复试验是重点，也会涉及分布列、期望计算。应用题贴近生活情境，设置实际背景分析问题。 2．素养考向 逻辑推理：梳理事件关系，合理分类分步，区分互斥、独立概念，避免重复或遗漏计数。 工具应用：依托数据提取信息，建立概率模型求解，实现实际问题数学化；弱化复杂运算，重点考查数据分析、数学建模素养，常与计数原理、统计图表交汇命题，突出实用性与情境化特征。 古典概型 2026·北京卷T17（古典概型，统计问题） 2024·全国甲（文）卷T4（古典概型） 2024·全国甲卷T16（古典概型） 条件概率 2026·天津卷T13（条件概率） 2024·天津卷T13（条件概率） 相互独立事件与概率的综合应用 一卷概率多设置解答题，综合性较强，常结合分布列、期望设问；二卷多以选择填空基础题为主，设问简单，侧重基础概型计算。 命题导向：贴近现实生活创设情境，避免繁杂运算，重视审题建模，区分不同事件逻辑关系，杜绝套路化解题。 考查重心：以古典概型、独立事件为核心，常与计数原理、统计图表交汇，考查数据分析、数学建模素养，强调分类严谨性与计算准确性。 考向一 古典概型 典例1．（2026·北京卷T17）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下： 成绩分组 人数 40 60 60 32 8 以频率估计概率，完成下列问题： (1)求数学成绩低于120分的概率； (2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率； (3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系． 微点拨：用频数算频率得对应概率；先求出两类成绩各自概率，套用二项分布概率公式计算；分别算出平均数、中位数、众数，再比较三者大小。 考向二 条件概率 典例2．（2026·天津卷T13）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________． 微点拨：先算出单次不取黄球概率，乘三次得第一空；条件概率用公式，用对立事件算 “无黄球且无红球” 快速求解。 考向一 古典概型 1.（2024·全国甲（文）卷T4）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·全国乙卷T9）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国甲卷T4）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 4.（2024·全国甲卷T16）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______． 考向二 条件概率 5.（2024·天津卷T13）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． 6．（2023·天津卷T13）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 一、单选题 1．（2026·河北雄安·三模）已知袋中有2个白球、1个红球，3个球除颜色外其余均相同，有放回地随机摸球3次，恰有1次摸到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东佛山·一模）甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东深圳·模拟预测）有7枚非遗文创印章，分别刻有数字1，2，3，4，5，6，7，现从这7枚印章中随机抽取3枚，则抽出的3枚印章上的数字之和与其余4枚印章上的数字之和相等的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东威海·二模）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率为0.75，连续两天为优良的概率为0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为不优良的概率是（    ） A．0.85 B．0.8 C．0.2 D．0.15 5．（2026·陕西西安·模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的40%、m%、，第2台车床加工零件的次品率为5%，第1，3台车床加工零件的次品率均为6%，将这3台车床加工出来的零件混放在一起，若任取一个零件，它是次品的概率为5.8%，则（   ） A．20 B．22 C．18 D．16 6．（2026·辽宁大连·模拟预测）某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能（AI）技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他的抽奖码是3的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆江北·模拟预测）有甲、乙两个袋子，甲袋装有3个红球和2个白球，乙袋装有2个红球和3个白球．现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，则从乙袋中取出红球的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽合肥·二模）一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 二、多选题 9．（2026·广东广州·模拟预测）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（    ） A．A与B独立 B．B与C对立 C． D． 10．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知事件，满足，，则（     ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若与相互独立，则 D．若，则与相互独立 11．（2026·山西忻州·模拟预测）从所有长度为4的0，1序列中随机取一个，每个序列被取到的概率相同．定义该序列的“变化次数”T：若相邻两项不同，则记为一次变化．例如，序列0010的变化次数为2．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．为偶数 12．（2026·江苏南京·模拟预测）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为，第二次取出球的数字为．设，其中表示不超过的最大整数，则（    ） A． B． C．事件“”与“”互斥 D．事件“”与“”相互独立 13．（2026·重庆渝中·模拟预测）一个正四面体的四个面上分别标以数字1，2，3，4，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：“”，事件：“”，事件：“”，事件：“”，则（    ） A．与互斥 B． C． D．与相互独立 三、填空题 14．（2026·河南开封·模拟预测）某科技公司为提升员工的编程技能，举办了一场“算法挑战赛”，若甲、乙、丙三名员工进入决赛，他们获一等奖的概率分别为，，，且获奖相互独立，则至少两人获一等奖的概率为________． 15．（2026·山东德州·三模）设，，，函数，从有序实数对中随机抽取一个，则函数恰有三个零点的概率为__________． 16．（2026·天津滨海新区·三模）某塘沽中学团委组织团的知识竞赛，作为入团积极分子能否被批准入团的考核环节．题库中共有10道题，其中2道“团章知识”题，3道“团史知识”题，5道“时事团情”题．苏同学对“团章知识”题正确率为100，对“团史知识”题答对的概率为90，对“时事团情”题答对的概率为80，且答对不同题目的结果相互独立.规定不放回地抽取两道题，只有两次均答对才能被录取为团员．苏同学两次均抽到“时事团情”题的概率为__________，若苏同学第一次抽到了“团史知识”题，则他被录取为团员的概率为__________． 17．（2026·江苏南京·三模）数学王老师在一个四选一的单选题中，提问一个数学基础非常差的甲同学，当甲同学随机选了一个选项后，王老师在剩余的三个选项中剔除了一个错误选项，甲同学放弃原来的选择，并从另外两个未被剔除的选项中随机选择一个，则甲同学选对的概率为________. 四、解答题 19．（2026·福建泉州·模拟预测）某商场举行五一节优惠活动，顾客每消费满100元可抽奖一次.抽奖规则如下：箱中共有4个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，顾客每次随机摸出3个球，若摸出的红球不少于2个则中奖，否则不中奖.各次抽奖互不影响. (1)求抽奖一次中奖的概率； (2)商场规定每中奖一次，返现10元.设某顾客在活动期间消费元，按规定返现元.若事件“”的概率最大，求的最小值. 20．（2026·安徽·模拟预测）某工厂为促进技工们不断提升技能水平，每年组织一次技能达标测试．假设技工小李每年都参加，他第1年达标的概率为1%，以后每年参加时达标的概率比上一年增加1个百分点（即第2年达标的概率为2%，第3年达标的概率为3%，依此类推），且每年达标与否不受往年影响． (1)求小李第2年首次达标的概率； (2)设小李第n年首次达标的概率为，则当n为多少时，最大？ 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $