第14讲 整式（讲义，新教材人教版全国通用）数学小升初衔接

第14讲 整式 · 预习目标 · 新课轻松学 · 新知速通 · 题型探究 · 题型1、单项式、多项式、整式的判定 · 题型2、单项式的系数、次数 · 题型3、多项式的项、项数及次数 · 题型4、写出满足某些特征的单项式/多项式 · 题型5、多项式系数、指数中字母求值 · 题型6、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 · 题型7、单项式/多项式规律题 · 基础通关 · 拓展提优 1、掌握单项式、多项式、整式的概念及其相互关系。 2、准确识别单项式的系数、次数，多项式的项、次数及常数项。 3、能按要求对多项式进行升幂或降幂排列。 4、能根据整式的定义解决参数求值问题。 【生活情境引入】 在数学的大家族里，代数式也有很多分类。我们可以把它们想象成不同的“积木”。 有的积木是单独的，比如 、 、 ，它们由数字和字母的积组成，我们叫它“单项式”，就像一块块独立的乐高砖。 有的积木是由好几块拼起来的，比如 、 ，它们是几个单项式的和，我们叫它“多项式”，就像拼好的小汽车模型。 而“整式”就是这些独立积木和拼装模型的总称。只要分母中不含字母，它们都是整式家族的一员。 【思考互动】 【思考1】 单项式的系数包含前面的符号吗？ 提示：当然包含！系数是指单项式中的数字因数。例如 的系数是 ，而不是 。如果是 ，它的系数是 ；如果是 ，它的系数是 。千万不要漏掉那个隐形的“1”或者负号哦。 【思考2】 多项式的次数是怎么确定的？是所有项次数相加吗？ 提示：这是一个超级易错点！多项式的次数不是所有项次数的和，而是“次数最高的那一项”的次数。比如在多项式 中，第一项 的次数是3（2+1），第二项 的次数是2，第三项 的次数是0。因为3最大，所以这个多项式的次数就是3，它是三次三项式。 【课外阅读：多项式的“项”与“乐队”】 我们可以把多项式想象成一个乐队。每一项就是乐队里的一个乐手。 这个乐队有三个乐手： 是主唱（最高次项）， 是吉他手， 是鼓手（常数项）。 特别注意，每个乐手都带着自己的“乐器包”（符号）。 这个乐手是背着负号出场的，所以在数项数或者移动位置时，一定要连同符号一起带走，不能把它弄丢了，否则乐队演奏（计算）就会走调！ 1. 单项式 定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 系数：单项式中的数字因数。 注意： 是数字，不是字母；系数包含前面的符号；当系数为1或-1时，“1”通常省略不写。 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和。 注意：非零常数的次数为0；计算次数时只看字母指数，不看数字指数。 2. 多项式 定义：几个单项式的和叫做多项式。 项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。 注意：项包含前面的符号；不含字母的项叫做常数项。 次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。 易错：多项式的次数不是所有项次数之和。 3. 整式 定义：单项式和多项式统称为整式。 判定标准：分母中不含字母。如果分母中含有字母，则是分式，不是整式。 系数陷阱： 的系数是 ，次数是 2。 多项式命名：几次项式（如 是二次三项式）。 4. 多项式的排列 升幂排列：按某一个字母的指数从小到大的顺序排列。 降幂排列：按某一个字母的指数从大到小的顺序排列。 注意：移动各项时，必须连同前面的符号一起移动。 题型1、单项式、多项式、整式的判定 【解题技巧】 1. 看分母：分母有字母 非整式。 2. 看运算：只有加减乘乘方 整式；有开方且根号下有字母 无理式。 3. 看结构：无加减 单项式；有加减 多项式。 【例题 1】（2026·上海奉贤·三模）下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24七年级上·上海·阶段检测）在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【例题3】（25-26六年级上·山东烟台·期末）在代数式，，，，，中，整式有（  ）． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型2、单项式的系数、次数 【解题技巧】 1. 找数字：包括 和负号。 2. 数指数：把所有字母头顶上的数字加起来。 3. 特例： 的系数是1，次数是1； 的系数是-5，次数是0。先数负因数的个数，奇负偶正；检查是否有因数 0，有 0 则积为 0。 【例题4】（2026·广东湛江·模拟预测）单项式的次数是（     ） A．2 B．5 C．3 D．4 【例题5】（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）下列说法正确的是（） A．单项式的次数是3 B．单项式的系数是3 C．单项式的次数是2 D．单项式系数为 题型3、多项式的项、项数及次数 【解题技巧】 1. 拆分：以加减号为界，把多项式拆成几个单项式。 2. 定名：最高次项决定“几次”，项的个数决定“几项”。 3. 找常数：没有字母的那一项就是常数项。 【例题6】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列关于多项式的说法中，错误的是（     ） A．有三项 B．常数项为 C．次数是7 D．二次项的系数是 【例题7】（2026·上海浦东新·二模）在多项式中，一次项是（    ） A．3 B． C． D． 题型4、写出满足某些特征的单项式/多项式 【解题技巧】 1. 逆向思维：根据次数确定字母指数组合，根据系数确定数字因数。 2. 构造：例如“系数为-2，次数为3的单项式”，可以是 等（答案不唯一）。 【例题8】（25-26七年级上·广东广州·期末）一个单项式满足下列两个条件：①含有两个字母；②次数为4．写出符合上述要求的一个单项式______． 【例题9】（25-26七年级上·北京·期末）写出一个关于x的三次二项式，使得它的三次项系数为2，则这个三次二项式为____________ ． （25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型5、多项式系数、指数中字母求值 【解题技巧】 1. 抓关键词：“二次三项式”意味着最高次项次数为2，且共有3项。 2. 列方程/不等式：根据次数定义列指数方程；根据项数定义（某项系数不能为0）列不等式。 3. 检验：求出的参数值必须保证最高次项系数不为0。 【例题10】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）若关于x的多项式为二次三项式，则常数项是（   ） A． B．9 C． D．6 【例题11】（25-26七年级上·江西吉安·期末）多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 题型6、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【解题技巧】 1. 认准字母：题目要求按谁排，就只看谁的指数，其他字母视为常数。 2. 搬家带号：移动每一项时，前面的正负号必须跟着走。 3. 首项符号：通常习惯首项为正，若首项为负，可提取负号（视题目要求而定）。 【例题12】（25-26七年级上·山西临汾·期末）将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型7、单项式/多项式规律题 【解题技巧】 1. 分离变量：将系数、字母部分分开找规律。 2. 符号规律：通常是 或 控制正负交替。 3. 指数规律：观察指数随序号 的变化公式。 【例题13】（2026六年级下·重庆·专题练习）按一定规律排列的代数式：、、、、、、……第n个代数式是________． 1．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 3．（25-26六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式；是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 5．（21-22七年级下·四川南充·开学考试）下列说法错误的是（    ） A．由数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式． B．几个单项式的和叫做多项式． C．单项式与多项式统称整式． D．一个数字不是一个单项式，它的次数是0． 6．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 8．（23-24七年级上·上海·期中）下列各代数式中，是五次单项式的是（ ） A． B． C． D． 9．（21-22七年级上·吉林长春·期中）单项式的系数与次数分别为（   ） A．，3 B．，2 C．，3 D．3， 10．（22-23七年级下·内蒙古乌海·开学考试）下列关于单项式和多项式的结论正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 11．（23-24七年级上·上海·期中）下列各多项式中，是四次三项式的是（ ） A． B． C． D． 12．（2026·浙江·模拟预测）对于多项式，这个多项式的次数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 14．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）多项式的次数及最高次项的系数（   ） A．2，2 B．2， C．3， D．3，2 15．（25-26七年级下·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 16．（25-26七年级上·四川内江·期末）若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 17． a2b的系数是 _________，次数是 _________． 18．（2026·山东聊城·二模）我们知道，半径为的球的表面积公式是，那么的系数是____． 19．（25-26七年级上·上海·阶段检测）整式是________次________项式． 20．（25-26七年级上·北京·期末）写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）． 21．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）①含有字母；②次数是3；请写出一个同时满足上述两个条件的单项式__________． 22．（25-26六年级上·上海松江·期末）一个一次式满足：①只含有一个字母；②常数项为正数；③当字母的值取1时，这个一次式的值等于．写出满足要求的一次式________．（写出一个即可） 23．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·开学考试）写出一个只含有，两个字母的三次二项式_____． 24．（25-26七年级上·陕西西安·期末）若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 25．（25-26七年级上·山东德州·期末）若多项式是关于x的二次三项式，则k的值是______． 26．（23-24七年级上·上海·阶段检测）将多项式按字母降幂排列得_____________． 27．（2026·陕西咸阳·三模）按规律排列的单项式：x，，，，，…，则第8个单项式是______． 28．（2026·江苏盐城·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第2026个代数式是______． 29．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 30．（25-26六年级上·山东烟台·期末）若关于的多项式不含二次项和一次项，求的值． 31．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同． (1)求m，n的值． (2)将这个多项式按x的降幂排列． 31．（25-26七年级上·四川乐山·期末）关于多项式，下列说法错误的是（   ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．它的次数最高项是 D．按x的降幂排列为 32．（25-26七年级上·河北唐山·期末）张老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述： 小明：这个代数式是一个六次三项式； 小红：这个代数式的最高次项系数为； 小华：这个代数式的常数项是7． 如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（    ） A． B． C． D． 33．（2026·云南临沧·二模）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 34．（2026·四川达州·中考真题）中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的二次项系数为________． 35．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如表．按此规律，当输入10时，输出结果为________． 输入 … 输出 … 36．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 37．(25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）对于多项式（其中、均是大于的整数）． (1)若为最小的正整数，求此多项式的次数； (2)若，且该多项式是关于的八次四项式， ①求的值；②把原多项式按的降幂重新排列． 试卷第2页，共18页 12 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 整式 · 预习目标 · 新课轻松学 · 新知速通 · 题型探究 · 题型1、单项式、多项式、整式的判定 · 题型2、单项式的系数、次数 · 题型3、多项式的项、项数及次数 · 题型4、写出满足某些特征的单项式/多项式 · 题型5、多项式系数、指数中字母求值 · 题型6、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 · 题型7、单项式/多项式规律题 · 基础通关 · 拓展提优 1、掌握单项式、多项式、整式的概念及其相互关系。 2、准确识别单项式的系数、次数，多项式的项、次数及常数项。 3、能按要求对多项式进行升幂或降幂排列。 4、能根据整式的定义解决参数求值问题。 【生活情境引入】 在数学的大家族里，代数式也有很多分类。我们可以把它们想象成不同的“积木”。 有的积木是单独的，比如 、 、 ，它们由数字和字母的积组成，我们叫它“单项式”，就像一块块独立的乐高砖。 有的积木是由好几块拼起来的，比如 、 ，它们是几个单项式的和，我们叫它“多项式”，就像拼好的小汽车模型。 而“整式”就是这些独立积木和拼装模型的总称。只要分母中不含字母，它们都是整式家族的一员。 【思考互动】 【思考1】 单项式的系数包含前面的符号吗？ 提示：当然包含！系数是指单项式中的数字因数。例如 的系数是 ，而不是 。如果是 ，它的系数是 ；如果是 ，它的系数是 。千万不要漏掉那个隐形的“1”或者负号哦。 【思考2】 多项式的次数是怎么确定的？是所有项次数相加吗？ 提示：这是一个超级易错点！多项式的次数不是所有项次数的和，而是“次数最高的那一项”的次数。比如在多项式 中，第一项 的次数是3（2+1），第二项 的次数是2，第三项 的次数是0。因为3最大，所以这个多项式的次数就是3，它是三次三项式。 【课外阅读：多项式的“项”与“乐队”】 我们可以把多项式想象成一个乐队。每一项就是乐队里的一个乐手。 这个乐队有三个乐手： 是主唱（最高次项）， 是吉他手， 是鼓手（常数项）。 特别注意，每个乐手都带着自己的“乐器包”（符号）。 这个乐手是背着负号出场的，所以在数项数或者移动位置时，一定要连同符号一起带走，不能把它弄丢了，否则乐队演奏（计算）就会走调！ 1. 单项式 定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 系数：单项式中的数字因数。 注意： 是数字，不是字母；系数包含前面的符号；当系数为1或-1时，“1”通常省略不写。 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和。 注意：非零常数的次数为0；计算次数时只看字母指数，不看数字指数。 2. 多项式 定义：几个单项式的和叫做多项式。 项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。 注意：项包含前面的符号；不含字母的项叫做常数项。 次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。 易错：多项式的次数不是所有项次数之和。 3. 整式 定义：单项式和多项式统称为整式。 判定标准：分母中不含字母。如果分母中含有字母，则是分式，不是整式。 系数陷阱： 的系数是 ，次数是 2。 多项式命名：几次项式（如 是二次三项式）。 4. 多项式的排列 升幂排列：按某一个字母的指数从小到大的顺序排列。 降幂排列：按某一个字母的指数从大到小的顺序排列。 注意：移动各项时，必须连同前面的符号一起移动。 题型1、单项式、多项式、整式的判定 【解题技巧】 1. 看分母：分母有字母 非整式。 2. 看运算：只有加减乘乘方 整式；有开方且根号下有字母 无理式。 3. 看结构：无加减 单项式；有加减 多项式。 【例题 1】（2026·上海奉贤·三模）下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式的定义判断各选项即可，单项式是数或字母的乘积，单独的数或字母也是单项式，多个单项式的和为多项式． 【详解】解：A.是符合单项式定义，属于单项式； B.是数与字母的积，属于单项式； C.是与的积，属于单项式； D.是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式． 【例题2】（23-24七年级上·上海·阶段检测）在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【分析】根据定义逐个判断各代数式的类型，再对比选项得到正确结论． 【详解】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． 【例题3】（25-26六年级上·山东烟台·期末）在代数式，，，，，中，整式有（  ）． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查整式的辨认，掌握好整式的定义是关键． 根据整式的定义（整式包含单项式与多项式，且分母中不含字母），逐个判断所给代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：∵整式是分母不含字母的单项式和多项式， ∴对各代数式逐一判断：①可化为，是多项式，属于整式；②是单项式，属于整式；③中是常数，该式是多项式，属于整式；④分母含字母，是分式，不属于整式；⑤是单独的常数，属于单项式，是整式；⑥分母含字母，是分式，不属于整式； 综上，整式共有4个． 故选：B． 题型2、单项式的系数、次数 【解题技巧】 1. 找数字：包括 和负号。 2. 数指数：把所有字母头顶上的数字加起来。 3. 特例： 的系数是1，次数是1； 的系数是-5，次数是0。先数负因数的个数，奇负偶正；检查是否有因数 0，有 0 则积为 0。 【例题4】（2026·广东湛江·模拟预测）单项式的次数是（     ） A．2 B．5 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据单项式次数的定义，计算单项式中所有字母的指数和即可得到答案． 【详解】解：根据定义，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和， ∵单项式中，字母的指数为，字母的指数为， ∴该单项式的次数为． 【例题5】（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）下列说法正确的是（） A．单项式的次数是3 B．单项式的系数是3 C．单项式的次数是2 D．单项式系数为 【答案】D 【详解】解：是常数，不含字母，则次数为0，故A错误； 单项式的数字因数是，即系数是，故B错误； 单项式中所有字母的指数和为，次数是3，故C错误； 单项式的数字因数为，即系数为，故D正确． 题型3、多项式的项、项数及次数 【解题技巧】 1. 拆分：以加减号为界，把多项式拆成几个单项式。 2. 定名：最高次项决定“几次”，项的个数决定“几项”。 3. 找常数：没有字母的那一项就是常数项。 【例题6】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列关于多项式的说法中，错误的是（     ） A．有三项 B．常数项为 C．次数是7 D．二次项的系数是 【答案】C 【分析】本题考查多项式的基本概念，首先明确多项式相关定义：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项，多项式中次数最高项的次数就是多项式的次数，单项式中的数字因数是单项式的系数．根据多项式的项数，次数，常数项，系数的定义逐一判断即可，找出错误说法，即可求解． 【详解】解：∵ 多项式 由个单项式组成， ∴ 多项式共有三项，A选项说法正确； ∵ 不含字母的项是， ∴ 常数项为，B选项说法正确； ∵ 最高次项为 ，次数为， ∴ 多项式的次数为，不是，C选项说法错误； ∵ 二次项是，数字因数为， ∴ 二次项的系数是，D选项说法正确． 综上，错误的是C． 【例题7】（2026·上海浦东新·二模）在多项式中，一次项是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：多项式的一次项是. 题型4、写出满足某些特征的单项式/多项式 【解题技巧】 1. 逆向思维：根据次数确定字母指数组合，根据系数确定数字因数。 2. 构造：例如“系数为-2，次数为3的单项式”，可以是 等（答案不唯一）。 【例题8】（25-26七年级上·广东广州·期末）一个单项式满足下列两个条件：①含有两个字母；②次数为4．写出符合上述要求的一个单项式______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根据单项式的次数定义，单项式的次数是其所有字母的指数之和，因此需要两个字母且指数和为4，据此可得答案 【详解】解：由题意得，符合要求的单项式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【例题9】（25-26七年级上·北京·期末）写出一个关于x的三次二项式，使得它的三次项系数为2，则这个三次二项式为____________ ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意得满足条件的多项式可以为．（答案不唯一） （25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型5、多项式系数、指数中字母求值 【解题技巧】 1. 抓关键词：“二次三项式”意味着最高次项次数为2，且共有3项。 2. 列方程/不等式：根据次数定义列指数方程；根据项数定义（某项系数不能为0）列不等式。 3. 检验：求出的参数值必须保证最高次项系数不为0。 【例题10】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）若关于x的多项式为二次三项式，则常数项是（   ） A． B．9 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数和项数的概念及代数式求值，多项式为二次三项式，则最高次项为二次，且项数为三．由四次项系数为零得，由二次项存在，再求常数项． 【详解】解：∵多项式为二次三项式， ∴四次项系数，即， 且为二次项，即， 此时多项式为， 常数项为． 故选： C． 【例题11】（25-26七年级上·江西吉安·期末）多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的次数和项数．因为多项式为五次三项式，故需满足最高次项次数为5且所有三项系数均非零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵多项式是关于的五次三项式， ∴，且， ∴，且， ∴， 故选：D． 题型6、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【解题技巧】 1. 认准字母：题目要求按谁排，就只看谁的指数，其他字母视为常数。 2. 搬家带号：移动每一项时，前面的正负号必须跟着走。 3. 首项符号：通常习惯首项为正，若首项为负，可提取负号（视题目要求而定）。 【例题12】（25-26七年级上·山西临汾·期末）将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列． 按x的升幂排列，即按照x的指数从小到大排列多项式各项，即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． 题型7、单项式/多项式规律题 【解题技巧】 1. 分离变量：将系数、字母部分分开找规律。 2. 符号规律：通常是 或 控制正负交替。 3. 指数规律：观察指数随序号 的变化公式。 【例题13】（2026六年级下·重庆·专题练习）按一定规律排列的代数式：、、、、、、……第n个代数式是________． 【答案】 【分析】分别从符号、系数绝对值、字母a的指数三个维度分析已知代数式的变化规律，归纳得到第n个代数式的一般形式． 【详解】解：根据已知给出的代数式，分三部分归纳规律： ①符号规律：第1个为负，第2个为正，第3个为负，第4个为正…… 奇数项为负，偶数项为正，因此第n个代数式符号可表示为； ②系数绝对值规律：第1个系数绝对值为，第2个为，第3个为，……， 可得第n个代数式系数的绝对值为； ③字母a的指数规律：第1个指数为，第2个指数为，第3个指数为…… 可得第n个代数式中a的指数为； 将三部分合并，可得第n个代数式为． 1．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：是单独的数，属于单项式；是两个单项式的差，不属于单项式；是字母的积，属于单项式；是数与字母的积，属于单项式， ∴单项式的个数是个． 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【答案】B 【分析】本题根据单项式、整式的定义，以及单项式系数、次数的计算方法，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵单独的一个数是单项式，∴是单项式，A选项错误； ∵的数字因数为，所有字母的指数和为，∴它的系数是，次数是，B选项正确； ∵是单项式，单项式属于整式，∴是整式，C选项错误； ∵的数字因数是，∴它的系数是，不是，D选项错误． 3．（25-26六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单项式的定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和为多项式，分母含有字母的代数式不是单项式． 【详解】解：A、是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； B、的分母含有字母，不是数与字母的积，不是单项式，不符合要求； C、，是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； D、是与的积，符合单项式的定义，符合要求． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式；是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式与多项式的相关概念，只需根据相关定义逐一判断每个说法即可． 【详解】解：多项式是三次三项式，原说法错误； 单项式的系数是，说法正确； 5是单项式，说法正确； 是多项式，说法正确． 综上，正确的是②③④，故选C． 5．（21-22七年级下·四川南充·开学考试）下列说法错误的是（    ） A．由数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式． B．几个单项式的和叫做多项式． C．单项式与多项式统称整式． D．一个数字不是一个单项式，它的次数是0． 【答案】D 【分析】根据单项式、多项式、整式的定义辨析各选项的正误． 【详解】A．由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，因为单独一个数或一个字母可以看作数与字母乘积的特殊形式（如，），故该选项不符合题意； B．几个单项式的和叫做多项式，该说法符合定义，不符合题意； C．单项式与多项式统称整式，该说法符合定义，不符合题意； D．单独的一个数字是单项式，它的次数是0，故本选项说说法错误，符合题意． 6．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，而整式是单项式和多项式的统称，据此可得答案． 【详解】解：代数式，，，，中，整式有，，，，共4个， 故选：D． 7．（25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握整式的定义（分母中不含字母）是解题的关键．本题需根据整式的定义（整式为单项式和多项式的统称，分母中不含字母），逐一判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母， 对各代数式判断如下： 是多项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 分母含字母，不是整式； 中分母含字母，不是整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 是单项式，属于整式； 综上，整式共有5个． 故选：C． 8．（23-24七年级上·上海·期中）下列各代数式中，是五次单项式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】单项式是数与字母的积组成的代数式，单项式的次数为所有字母的指数和，根据定义计算各选项即可判断． 【详解】解：A、的次数为 ，是六次单项式，不符合要求； B、 的次数为 ，是三次单项式，不符合要求； C、的次数为 ，是五次单项式，符合要求； D、不是单项式，不符合要求． 9．（21-22七年级上·吉林长春·期中）单项式的系数与次数分别为（   ） A．，3 B．，2 C．，3 D．3， 【答案】C 【分析】根据定义，单项式的系数是单项式中字母前的数字因数，次数是单项式中所有字母的指数之和，据此求解即可. 【详解】解：∵ 单项式可以改写为， ∴ 该单项式的数字因数为，即系数为； 又∵ 的指数为，的指数为，所有字母的指数和为， ∴ 该单项式的次数为； 综上，该单项式的系数与次数分别为，. 10．（22-23七年级下·内蒙古乌海·开学考试）下列关于单项式和多项式的结论正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 【答案】D 【分析】根据单项式的系数、次数定义，以及多项式的项数、次数定义逐一判断选项． 【详解】解：A、单项式的系数是，故本选项错误，不符合题意； B、单项式的次数是，故本选项错误，不符合题意； C、单项式的系数为，故本选项错误，不符合题意； D、多项式是二次三项式，故本选项正确，符合题意； 11．（23-24七年级上·上海·期中）下列各多项式中，是四次三项式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，项数是多项式中单项式的个数，据此判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、多项式有三项，且次数最高的项的次数为2，，是二次三项式，不符合题意； B、多项式有四项，且次数最高的项的次数为3，，是三次四项式，不符合题意； C、多项式有两项，且次数最高的项的次数为4，是四次二项式，不符合题意； D、多项式有三项，且次数最高的项的次数为4，是四次三项式，符合题意； 12．（2026·浙江·模拟预测）对于多项式，这个多项式的次数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：多项式中，最高次项为，次数为， 故这个多项式的次数是3. 13．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 【答案】C 【详解】解：选项A，中最高次项的次数为2，共有2个单项式，因此它是二次二项式，A错误； 选项B，单项式中，是常数，因此系数为，次数为，B错误； 选项C，单独的一个数是单项式，因此0是单项式，C正确； 选项D，的一次项为，因此一次项的系数为，D错误． 14．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）多项式的次数及最高次项的系数（   ） A．2，2 B．2， C．3， D．3，2 【答案】B 【分析】本多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，常数项的次数为0，最高次项的系数是最高次项中的数字因数． 【详解】解：多项式的各项分别为，，， ∵是常数项，次数为0，的次数为1，的次数为2， ∴该多项式的次数为2，最高次项为，最高次项的系数为． 15．（25-26七年级下·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项B：各项的指数依次为，符合降幂排列的要求，正确； 选项C：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项D：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误． 16．（25-26七年级上·四川内江·期末）若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查多项式的次数概念，需满足各项次数为非负整数且最高次为3，根据题意确定n的值，再计算代数式的值即可 【详解】解：∵ 多项式是关于x的三次多项式， ∴ 各项次数为非负整数，且最高次数为3. ∴时，解得，此时多项式为不符合题意； 时，解得，此时多项式为符合题意； ∴， 故选D． 17． a2b的系数是 _________，次数是 _________． 【答案】 3 【分析】根据单项式系数与次数的定义，确定单项式的数字因数得到系数，计算所有字母的指数和得到次数． 【详解】解：单项式，其数字因数为，因此系数为； 字母的指数为，字母的指数为，所有字母指数和为 ，因此次数为． 18．（2026·山东聊城·二模）我们知道，半径为的球的表面积公式是，那么的系数是____． 【答案】 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，据此即可解答． 【详解】解：由是常数，在单项式中，字母为，数字因数为，即的系数是． 19．（25-26七年级上·上海·阶段检测）整式是________次________项式． 【答案】 三 三 【分析】根据多项式中单项式的个数为项数，最高次项的次数为多项式的次数分析求解即可． 【详解】解：整式包含三个单项式，分别为，，，其中的次数为，的次数为，的次数为，可得最高次项的次数为，项数为，因此该整式是三次三项式． 20．（25-26七年级上·北京·期末）写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的系数和次数的概念，系数是单项式中的数字因数且为负数，次数是所有字母的指数之和为4，进行解答即可． 【详解】解：根据题意，系数为负数，次数为4，且含有字母和，因此可构造单项式如，其中系数为，次数为；其他符合条件的有（系数为，次数为）或（系数为，次数为）等． 故答案为：．（答案不唯一） 21．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）①含有字母；②次数是3；请写出一个同时满足上述两个条件的单项式__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的定义及次数的概念，解题的关键是理解单项式次数是所有字母指数的和，并据此构造符合条件的单项式． 根据单项式次数的定义，确定字母、的指数和为，再写出含有字母、的单项式即可． 【详解】解：根据单项式次数的定义，所有字母的指数和为， 可令的指数为，的指数为， 则满足条件的单项式可以为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 22．（25-26六年级上·上海松江·期末）一个一次式满足：①只含有一个字母；②常数项为正数；③当字母的值取1时，这个一次式的值等于．写出满足要求的一次式________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次式的概念．熟悉一次式的概念，根据一次式的值，推导并写出符合要求的一次式，是解题的关键。 设一次式为，其中和为常数，为字母。根据条件常数项，且当时，值为，代入得．由此关系选择合适常数即可． 【详解】解：设一次式形式为，常数项， 当时，，即， ∵， ∴， ∴取，则，得一次式为， 验证：常数项，当时，，满足条件． 故答案为：（答案不唯一）． 23．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·开学考试）写出一个只含有，两个字母的三次二项式_____． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式是多项式的项，有几项即为几项式，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此构造符合条件的多项式即可． 【详解】解：根据要求，只含有，两个字母，最高次数为，且共有两项，可得符合条件的三次二项式为（答案不唯一）． 24．（25-26七年级上·陕西西安·期末）若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 【答案】1 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，根据多项式的次数的定义可得，根据多项式的项数的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的多项式有三项且次数是3， ∴， ∴， 故答案为：1． 25．（25-26七年级上·山东德州·期末）若多项式是关于x的二次三项式，则k的值是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查多项式的定义，绝对值的应用．根据二次三项式的定义，多项式最高次项为二次，且必须有三项．因此，，且一次项系数据此计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴最高次项的次数为2，即， ∴或． 又∵多项式有三项， ∴一次项的系数． 当时，，多项式为，符合条件； 当时，，一次项消去，多项式为，是二次二项式，不符合条件． ∴． 故答案为：2． 26．（23-24七年级上·上海·阶段检测）将多项式按字母降幂排列得_____________． 【答案】 【详解】解：将多项式按字母降幂排列得． 27．（2026·陕西咸阳·三模）按规律排列的单项式：x，，，，，…，则第8个单项式是______． 【答案】 【分析】观察给出的单项式，分别归纳符号、系数的绝对值、的次数与项数之间的规律，再根据规律推导得到第8个单项式即可． 【详解】解：观察，，，，，…，可得规律如下： 第个单项式中，当为奇数时符号为正，当为偶数时符号为负，系数的绝对值为，的次数为， 因为为偶数，所以第8个单项式的符号为负，系数绝对值为，的次数为，因此第8个单项式是． 28．（2026·江苏盐城·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第2026个代数式是______． 【答案】 【分析】本题考查单项式的规律探索，分别找出代数式的符号、系数绝对值、的次数对应的规律，再将代入规律计算即可． 【详解】解：∵第1个代数式为 第2个代数式为 第3个代数式为 第4个代数式为 …… ∴第个代数式为 将代入得 29．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 【答案】 【分析】多项式中次数最高项的次数为多项式的次数，二次项的数字因数为二次项的系数，求出的值，再代值计算即可． 【详解】解：因为多项式的次数是5， 所以．                             因为n是该多项式二次项的系数， 所以，                                 所以． 30．（25-26六年级上·山东烟台·期末）若关于的多项式不含二次项和一次项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式的项与系数的概念，关键是理解“多项式中不含某一项，则该项的系数为0”．先根据不含二次项和一次项的条件，建立关于、的方程，求解得到、的值，再将其代入代数式计算出最终结果． 【详解】解：∵关于的多项式不含二次项和一次项， ∴二次项的系数，一次项的系数． 解得，． ∴． 故答案为：． 31．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同． (1)求m，n的值． (2)将这个多项式按x的降幂排列． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查多项式的项与次数，单项式的次数，求解代数式的值，熟练掌握基础概念是解题的关键． （1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得，再求解即可； （2）按x的指数从大到小排列即可． 【详解】（1）解：关于x、y的多项式是五次四项式，且m，n为有理数， ∴，解得， 又∵单项式的次数与该多项式的次数相同，都是5， ∴，而，解得， 答：，． （2）解：当，时， 关于x，y的多项式按x的降幂排列是． 31．（25-26七年级上·四川乐山·期末）关于多项式，下列说法错误的是（   ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．它的次数最高项是 D．按x的降幂排列为 【答案】B 【分析】本题考查多项式的相关定义，包括多项式的次数、项数、常数项及降幂排列． 根据多项式的次数、项数、常数项的定义及降幂排列方法逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵多项式各项的次数分别为3、5、4、0，且共有四项， ∴该多项式是五次四项式， ∴选项A说法正确，不符合题意； ∵常数项是不含字母的项，此多项式的常数项为， ∴选项B说法错误，符合题意； ∵次数最高的项是次数为5的， ∴选项C说法正确，不符合题意； ∵按x的降幂排列是根据x的次数从高到低排列，各项x的次数依次为3、2、1、0， ∴排列结果为， ∴选项D说法正确，不符合题意； 故选：B． 32．（25-26七年级上·河北唐山·期末）张老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述： 小明：这个代数式是一个六次三项式； 小红：这个代数式的最高次项系数为； 小华：这个代数式的常数项是7． 如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的定义，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项．根据描述，代数式需满足：是六次三项式、最高次项系数为、常数项为，逐一验证选项即可； 【详解】解：A. ，是四次三项式、最高次项系数为、常数项为，故该选项不正确，不符合题意； B. ，是六次三项式、最高次项系数为、常数项为，故该选项正确，符合题意； C. ，是六次三项式、最高次项系数为、常数项为，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，是四次三项式、最高次项系数为、常数项为，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 33．（2026·云南临沧·二模）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵这5个多项式第1项的系数分别为，，，，， ∴第n个多项式第1项的系数为， ∵这5个多项式第1项的次数分别为1，2，3，4，5， ∴第n个多项式第1项的次数为n， ∵这5个多项式的常数项分别为1，2，3，4，5， ∴第n个多项式的常数项为n， ∴第n个多项式是． 34．（2026·四川达州·中考真题）中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的二次项系数为________． 【答案】3780 【分析】根据图1示例可知，天元式从上到下依次为高次幂到低次幂，标有“元”的为一次项，故图2中最上方一行表示二次项系数，结合算筹记数规则（个位纵、十位横、百位纵、千位横）解读数值即可． 【详解】解：根据题意，天元式中高次幂在上，低次幂在下， 图1中第一行表示二次项系数，第二行（标有“元”）表示一次项系数，第三行表示常数项， 图2中第一行表示二次项系数，观察图2第一行算筹，从左到右依次为千位、百位、十位、个位， 千位为横式，表示，百位为纵式，表示，十位为横式（参考图1中千位的表示），表示，个位为，表示，该多项式的二次项系数为． 35．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如表．按此规律，当输入10时，输出结果为________． 输入 … 输出 … 【答案】 【分析】本题为单项式规律探究题. 结合斐波那契数列的特征，分别找出输出中系数、的次数、的次数的变化规律，即可求解. 【详解】解：根据表格中给出的输入输出数据，可得各部分的规律均满足： 从第3项开始，每一项等于前两项的和. ① 系数规律：输入时， ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为. ② 的次数规律： ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为. ③ 的次数规律： ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为. 综上，当输入时，输出结果为. 36．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查单项式的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在规律． （1）根据题意得到所给单项式的系数，字母的指数的规律，即可求解； （2）由（1）中规律解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：所给单项式的系数依次为，即， ∴第个单项式的系数为， ∵单项式中字母的指数依次为， ∴第个单项式中字母的指数为， ∴第个单项式为， 当时，， ∴第9个单项式为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得：第9个单项式为， ∴第10个单项式为， 当时： 第9个单项式： ， 第10个单项式： ， ∴第9个单项式与第10个单项式和的值为． 37．(25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）对于多项式（其中、均是大于的整数）． (1)若为最小的正整数，求此多项式的次数； (2)若，且该多项式是关于的八次四项式， ①求的值；②把原多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1)多项式的次数为6 (2)①；② 【分析】本题主要考查了多项式的次数、项数的定义及多项式的降幂排列，熟练掌握多项式次数的确定方法（最高次项的次数为多项式的次数）是解题的关键． （1）先确定最小的正整数的值，代入多项式后，根据多项式次数的定义（最高次项的次数）计算次数． （2）①代入，根据八次四项式的定义（最高次项次数为8）列方程求；②根据的次数从高到低重新排列多项式各项． 【详解】（1）解：由题意知，此时原多项式变为， 所以此时多项式的次数为6； （2）解：①时，原多项式变为， 因为该多项式是关于的八次四项式， 所以， 解得； ②由题意得，原多项式为， 则按的降幂重新排列为：． 试卷第2页，共18页 12 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $