第12讲 列代数式表示数量关系（讲义，新教材人教版全国通用）数学小升初衔接

第12讲列代数式表示数量关系 · 预习目标 · 新课轻松学 · 新知速通 · 题型探究 · 题型1、代数式的规范书写与判断 · 题型2、列代数式表示数量关系 · 题型3、代数式表示的实际意义 · 题型4、用代数式表示数、图形的规律 · 题型5、正（反）比例关系 · 基础通关 · 拓展提优 1、理解用字母表示数的意义，体会从特殊到一般的数学思想。 2、掌握代数式的概念及规范书写要求，能识别代数式。 3、能分析简单实际问题中的数量关系，并用代数式正确表示。 4、能解释简单代数式的实际背景或几何意义，培养符号感。 【生活情境引入】 同学们，你们去过超市吗？如果苹果每斤a元，香蕉每斤b元，妈妈买了3斤苹果和2斤香蕉，她需要付多少钱呢？我们可以列出算式：。在数学中，为了书写简便，我们通常把数字写在字母前面并省略乘号，写成3a+2b。这就是“代数式”！它就像是一个神奇的魔法盒子，能把生活中的数量关系用最简洁的符号表达出来。无论是计算路程、面积，还是统计零花钱，代数式都是我们解决问题的得力助手。 【思考互动】 同学们，你们去过超市吗？如果苹果每斤a元，香蕉每斤b元，妈妈买了3斤苹果和2斤香蕉，她需要付多少钱呢？我们可以列出算式：。在数学中，为了书写简便，我们通常把数字写在字母前面并省略乘号，写成3a+2b。这就是“代数式”！它就像是一个神奇的魔法盒子，能把生活中的数量关系用最简洁的符号表达出来。无论是计算路程、面积，还是统计零花钱，代数式都是我们解决问题的得力助手。 【课外阅读：代数之父韦达】 你知道吗？在很久以前，人们解数学题全靠文字描述，非常麻烦。直到16世纪，法国数学家弗朗索瓦·韦达（FrançoisViète）开始系统地使用字母来表示已知数和未知数。这一创举标志着代数学的巨大飞跃，他因此被誉为“代数之父”。正是因为有了他的贡献，我们今天才能用S=vt这样简洁的公式来表示路程、速度和时间的关系，而不是写上一大段文字。 1.用字母表示数 在数学中，我们常用字母来表示数。字母可以表示任意数，也可以表示特定的数（如公式中的常量）。 意义：用字母表示数，能把数量关系简明地表达出来，也能使一般规律更加清晰。例如，加法交换律可以表示为a+b=b+a。 注意：在同一问题中，不同的量要用不同的字母表示；同一个字母在不同问题中可以表示不同的数。 2.代数式的概念与书写方法 书写规范（重点）： 乘号省略：数字与字母、字母与字母相乘时，乘号通常写作“·”或省略不写。例如：写作或。 数字在前：数字与字母相乘时，数字必须写在字母前面。例如：应写作。 带分数化假分数：带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数。例如：应写作。 除法写成分数：代数式中出现除法运算时，一般按分数形式书写。例如：写作。 单位处理：如果代数式是和或差的形式，且后面有单位，必须将整个代数式括起来。例如：米。 代数式判定：看是否含关系符号（=,>,<），看分母是否含字母（分母含字母是分式，但在初中起始阶段常统称为代数式，需根据教材定义区分，通常整式分母不含字母）。 书写口诀：乘号省略数在前，带分变假除变分，和差形式加括号，单位在后莫忘记。 3.列代数式与正（反）比例关系 正比例关系：若两个变量与的比值是一个常数（），即或，则称与成正比例。 反比例关系：若两个变量与的乘积是一个常数（），即或，则称与成反比例。 4.代数式表示的实际意义 同一个代数式在不同的情境下可以表示不同的含义。例如： 情境一：苹果每千克元，香蕉每千克元，买2千克苹果和3千克香蕉共需元。 情境二：长方形长为，宽为，两个这样的长方形面积加上三个边长为的正方形面积…。 题型1、代数式的规范书写与判断 【解题技巧】 1.检查乘号：是否有未省略的“×”，或数字是否在字母后。 2.检查除号：是否写成了分数线形式。 3.检查带分数：是否已化为假分数。 4.检查单位：多项式后是否有单位且加了括号。 【例题1】（25-26七年级上·全国·期末）在，，，，，，中，代数式有（） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【例题2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列各式中，书写格式正确的是（） A． B． C． D．ab×5 题型2、列代数式表示数量关系 【解题技巧】先定符号，再算绝对值，步骤一：正数的任何次幂都是正数。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（简称“奇负偶正”）。0的任何正整数次幂都是0。 【例题3】（25-26七年级上·广东江门·期中）代数式的意义是：___________． 【例题4】（25-26七年级上·福建福州·期末）代数式的意义是（） A．，两数的差 B．，两数的平方差 C．与的差的平方 D．与的平方的差 题型3、代数式表示的实际意义 【解题技巧】 1. 赋予背景：结合生活常识（价格、路程、工程、几何图形面积周长等）。 2.对应项解释：将代数式中的每一项对应到具体的实物或数量上。 3.语言通顺：表述要完整，最后加上单位（如果有）。 【例题5】（25-26七年级上·福建泉州·期末）元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 【例题6】（25-26七年级上·四川南充·期末）请仔细分析下列赋予实际意义的例子，其中错误的是（） A．若一个长方形的长为0.8米，宽为米，则平方米表示长方形的面积 B．若一台电视机原价元，现按原价的八折出售，则元表示这台电视机的现在的售价 C．若一辆货车每分钟行驶0.8千米，行驶了分钟，则千米表示这辆货车所行驶的路程 D．若某河流涨潮前水位为米，涨潮时水位增加0.8米，则米表示涨潮后的水位 题型4、用代数式表示数、图形的规律 【解题技巧】 1.标序号：将图形或数字序列标上序号。 2.找联系：观察数值或图形数量与序号之间的运算关系（通常是线性关系或平方关系等）。 3.验证：将代入公式检验是否符合。 【例题7】（1）（25-26九年级下·河南周口·期中）按规律排列的一组数：，按此规律第n个数为________． （2）（25-26七年级上·福建福州·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（）． A． B． C． D． （3）（26-27七年级·江苏·小升初衔接）1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图． (1)观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加__________人． (2)如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐__________人． (3)按这样拼下去，m张餐桌可坐__________人．（用含有字母的式子表示）． （4）（2026·重庆·三模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，第③个图有个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（） A． B． C． D． 题型5、正（反）比例关系 【例题8】（1）（2025七年级上·河北沧州·专题练习）下表中，当和成正比例关系时，▲是__________；当和成反比例关系时，▲是__________． ▲ （2）（25-26七年级上·湖北孝感·期末）观察下面两个表格并回答问题． 表购买同一种故事书 数量/本 总价/元 表用同样的钱购买不同的故事书 单价/元 数量/本 (1)哪个表中的两种量成正比例？为什么？ (2)哪个表中的两种量成反比例？为什么？ 1．（25-26七年级上·福建漳州·期中）下列各式中，符合代数式书写规范的是（） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·安徽淮北·期中）下列说法正确的是(　　) A．是代数式，不是代数式 B．表示，，的积的代数式为 C．代数式的意义是与的差除的商 D．与的差是 3．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中代数式有（） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有() A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．（2026·河北保定·二模）代数式的意义可以是（） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 6．（25-26七年级上·四川凉山·期末）下列代数式的意义叙述错误的是（） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 7．（25-26七年级上·福建厦门·期末）国庆假期期间，某景点第一天预约的游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人．则代数式“”表示的意义是（） A．第一天比第二天多预约的人数 B．第二天比第一天多预约的人数 C．两天一共预约的人数 D．第二天预约的人数 8．（25-26七年级上·福建厦门·期末）某平台外卖员的计薪规则为：收入=底薪＋每单提成×（当月总送单量基本单量）．完成基本单量才享有底薪，超过的部分按提成计薪，若未完成则按比例扣底薪．某外卖员月送单量超过基本单量后，总收入可表示为（其中为该月总送单量）．若该外卖平台的基本单量是300，则下列说法正确的是（） A．该平台外卖员的底薪为1800元 B．外卖员当月送单量为400时，收入为2380元 C．超过基本单量后，每单提成为6元 D．外卖员当月送单量为200时，收入为1680元 9．（25-26七年级上·河北衡水·期末）代数式的意义可以是（） A．2026与的和 B．2026与的积 C．2026与的差 D．2026与的商 10．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）代数式的意义为（） A．与的差的平方 B．与的平方差 C．与的平方的差 D．的平方与的差 11．（25-26七年级上·江苏南通·期末）下列各项中，能用表示的是（） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．长方形的周长： D．整个图形的面积： 12．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）某商场举办“元旦迎新”促销活动，将原价为x元的大衣以元的价格出售，则下列说法中，能正确表达该大衣促销方法的是（） A．原价减元后再打六折 B．原价打六折后再减元 C．原价减元后再打四折 D．原价打四折后再减元 13．（25-26七年级上·河南信阳·期末）下列语句用代数式表示正确的是（　　） A．比的倍大的数： B．的相反数与的一半的差： C．与的差的平方： D．的平方除以的商： 14．（2026·云南昆明·模拟预测）有一列按规律排列的代数式：，，，，，，相邻两个代数式的差都是同一个整式，则第个代数式是（） A． B． C． D． 15．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，我们把称为的“差倒数”，如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是．若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，…，依此类推，则的值是() A． B． C．4 D． 16．（2023七年级下·云南保山·竞赛）如图，物体从点出发，按照（第步）（第步）的顺序循环运动，则第步到达点（） A．D B．E C．F D． 17．（21-22七年级上·河南焦作·期中）如图，下列图形是一组按照某种规律摆放而成的图案，则第8个图中圆点的个数是（） A． B． C． D． 18．（2026·四川广安·中考真题）链状烷烃是一类由碳，氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子和4个氢原子，化学式为；第2种如图②有2个碳原子和6个氢原子，化学式为；第3种如图③有3个碳原子和8个氢原子，化学式为…按照这一规律，第2026种化合物的化学式为（） A． B． C． D． 19．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的意义是a与4的差除以b的商；④a，b两数平方的差与两数的积的4倍的和用代数式表示是，其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（25-26七年级上·重庆开州·阶段检测）下面每个选项中的两种量成反比例的是（） A．路程一定，速度和时间 B．圆柱的高一定，体积和底面积 C．长方形周长一定，长和宽 D．商品单价一定，数量和总价 21．（25-26七年级上·福建福州·期中）下面说法正确的是（） A．正方形的面积与边长成反比例关系 B．从平潭到福州的路程一定，行驶的时间与平均速度成反比例关系 C．完成一项工作，已完成的工作量与未完成的工作量成反比例关系 D．钢笔的单价一定时，购买的总价与钢笔数量成反比例关系 22．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）糖果厂生产一批水果糖．把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数如下表： 每袋装的颗数 10 12 15 18 … 总袋数 648 540 432 360 … 若用m表示每袋装的颗数，用n表示总袋数，则下列说法不正确的是（） A．这批水果糖共有6480颗 B．若每袋装的颗数为20颗，则需要装324袋 C．总袋数随着每袋装的颗数的增大而增大 D．m与n的乘积一定，它们成反比例关系 23．（25-26七年级上·福建厦门·期末）下面各选项中，成反比例关系的是（） A．修一段公路，工作效率和所用的工作时间成反比例关系 B．比例尺一定，图上距离与实际距离成反比例关系 C．长方形的周长一定时，相邻两边的长成反比例关系 D．运动员的跳远成绩和身高成反比例关系 24．（25-26七年级上·广东汕头·阶段检测）下列选项中，两种量成反比例关系的是() ①总钱数一定，花费的钱和剩余的钱； ②长方形的面积一定，长方形的长和宽； ③烧煤的总量一定，每天的烧煤量与所烧天数． A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 25．（25-26七年级上·山东临沂·期末）下列问题中两个变量之间的关系不是反比例的是（） A．某人参加赛跑时，时间t与跑步平均速度v之间的关系 B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长y与x之间的关系 C．圆的面积S与它的半径r之间的关系 D．三角形的面积一定时，它的一边长y与这条边上的高x之间的关系 26．（2026·河南平顶山·三模）单项式可以解释为：正方形的边长为，则正方形的周长为，请你再给单项式赋一个实际意义：_____. 27．（2026·河南·模拟预测）计算3的正整数次幂，，，，，，，，…观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是_______． 28．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，每一幅图中有若干张大小相同的小卡片，第1幅图中有1张卡片，第2幅图中有3张卡片，第3幅图中有6张卡片，第4幅图中有10张卡片，那第99幅图中有________张卡片． 29．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图想一想，可以把这个算式转化成__________的算式计算，计算结果是__________． 30．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）在数学活动课上，王老师与同学们做了这样一个实验，如图，在左侧托盘（固定）中放置一个重物，在右侧托盘（可左右移动）．中放置一个质量为的空容器，在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与支点C的距离（），记录容器与水的总质量的数据如下： 托盘与点的距离 容器与水的总质量 当托盘与支点的距离时，容器与水的总质量的值为_______ 31．（25-26七年级下·全国·课后作业）找规律 (1)观察：，，，，…… 你发现其中的规律了吗？如何用代数式表示这一规律？ (2)利用（1）中的规律计算． (3)你还能找到哪些类似的规律？试举两例． 32．（25-26七年级上·河北唐山·期末）某机床要加工一批零件，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工的件数 63 42 35 30 … 加工时间（） 10 15 21 … (1)这批零件共________件； (2)表中________； (3)用表示每小时加工零件的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系．与成什么比例关系？ 33．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）某报刊报道了“涵养好家风·共筑家国梦”家风家教主题宣讲活动在榆林高新区举办的情况．小张录完这篇报道稿所需的时间与每小时录入的字数情况如下表： 每小时录入的字数/万字 … … 录完这篇报道稿所需的时间/小时 … … (1)小张录完这篇报道稿所需的时间是怎样随着每小时录入的字数的变化而变化的？ (2)用表示录完这篇报道稿所需的时间，表示每小时录入的字数，用式子表示与的关系．与成什么比例关系？ (3)若小张录完这篇报道稿用了小时，求小张每小时录入的字数． 34．（25-26七年级上·广东汕尾·阶段检测）把一瓶果汁平均分成若干杯，分得的杯数和每杯的果汁量如下表所示： 分得的杯数 6 5 4 3 每杯的果汁量/ 100 120 200 (1)请把上表补充完整． (2)分得的杯数和每杯的果汁量有什么关系？为什么？ (3)如果把这些果汁平均分成10杯，那么每杯的果汁量是多少毫升？ 分得的杯数 6 5 4 3 每杯的果汁量/ 100 120 150 200 35．（25-26七年级上·山东德州·期末）代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系．下列赋予实际意义的例子中不正确的是（） A．用元购买件单价为元的商品，剩余元 B．周长是的长方形，一边长为，另一边长为 C．数学项目式学习活动中，某班有人参加，老师把女生分为组，每组人，则表示男生人数 D．一辆汽车以每小时公里的速度行驶了小时，那么它行驶的总距离为公里，如果总路程为公里，那么剩余路程为公里 36．（2026·云南昭通·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 37．（25-26七年级上·天津西青·期中）下列关于“代数式”的意义有如下叙述： ①的4倍与的和的2倍是； ②小明以的速度走了，再以的速度走了，小明一共走了； ③小华买了苹果和橘子，已知苹果的单价为元，橘子的单价为元，小华一共花费元． 其中正确的个数是（） A．3 B．2 C．1 D．0 38．（25-26七年级下·广东佛山·期末）小红设计了如下的运算程序：任意写下一个三位数（三位数字互不相同），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差．重复这个过程，则按照此程序运算2026次后得到的数是______． 39．（25-26八年级下·江苏连云港·期末）图1中以为顶点的矩形对角线有条，对角线长的平方为；图2中以为顶点的矩形的对角线有条，对角线长的平方和为，以此类推，第个图中以为顶点的矩形对角线长的平方和为______．（注：用含的代数式表示，其中） 40．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 41．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）图1是由绳索编织成的网状带实物图，我们把这种网状图形中的交叉点称为“结点”（结点数记为），内部每个封闭小区域称为“网眼”（网眼数记为），围成网眼的线段称为“边”（边数记为）．例如，图2中该图形结点数，网眼数，边数． (1)观察图形，根据规律填表： 图3 图4 … 六边形个数（） 2 … 结点数（） … 网眼数（） 6 9 … 边数（） … 表中，，； (2)小明通过观察，猜想，验证，发现这种网状图形满足等式：，请说明他的结论是正确的，并再写一条不同于小明发现的，关于、、三个量的等式； (3)小丽想用绳索编织一条如图5所示的两端封口且长度不超过的带子，其中带子中的六边形均是边长为的正六边形，编织时需在每个结点处打一个绳结，则小丽最多需要打个绳结． 42．（2026·安徽合肥·二模）【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题． (1)探究一：点阵等式规律 观察下面的点阵（图）和相应的等式： ①； ②； ③； ④；… ①填空：（）2； ②猜想：（）2（是正整数）． (2)探究二：平面密铺规律 如图，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有块正方形、块正三角形；第二层有块正方形、块正三角形；以此类推． ①第层中分别含有________块正方形和________块正三角形； ②第层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含的代数式表示）． (3)【应用拓展】 某市打算在一个新建广场中央，采用如图的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和块正方形地砖，若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计算过程． 试卷第2页，共18页 12/26 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲列代数式表示数量关系 · 预习目标 · 新课轻松学 · 新知速通 · 题型探究 · 题型1、代数式的规范书写与判断 · 题型2、列代数式表示数量关系 · 题型3、代数式表示的实际意义 · 题型4、用代数式表示数、图形的规律 · 题型5、正（反）比例关系 · 基础通关 · 拓展提优 1、理解用字母表示数的意义，体会从特殊到一般的数学思想。 2、掌握代数式的概念及规范书写要求，能识别代数式。 3、能分析简单实际问题中的数量关系，并用代数式正确表示。 4、能解释简单代数式的实际背景或几何意义，培养符号感。 【生活情境引入】 同学们，你们去过超市吗？如果苹果每斤a元，香蕉每斤b元，妈妈买了3斤苹果和2斤香蕉，她需要付多少钱呢？我们可以列出算式：。在数学中，为了书写简便，我们通常把数字写在字母前面并省略乘号，写成3a+2b。这就是“代数式”！它就像是一个神奇的魔法盒子，能把生活中的数量关系用最简洁的符号表达出来。无论是计算路程、面积，还是统计零花钱，代数式都是我们解决问题的得力助手。 【思考互动】 同学们，你们去过超市吗？如果苹果每斤a元，香蕉每斤b元，妈妈买了3斤苹果和2斤香蕉，她需要付多少钱呢？我们可以列出算式：。在数学中，为了书写简便，我们通常把数字写在字母前面并省略乘号，写成3a+2b。这就是“代数式”！它就像是一个神奇的魔法盒子，能把生活中的数量关系用最简洁的符号表达出来。无论是计算路程、面积，还是统计零花钱，代数式都是我们解决问题的得力助手。 【课外阅读：代数之父韦达】 你知道吗？在很久以前，人们解数学题全靠文字描述，非常麻烦。直到16世纪，法国数学家弗朗索瓦·韦达（FrançoisViète）开始系统地使用字母来表示已知数和未知数。这一创举标志着代数学的巨大飞跃，他因此被誉为“代数之父”。正是因为有了他的贡献，我们今天才能用S=vt这样简洁的公式来表示路程、速度和时间的关系，而不是写上一大段文字。 1.用字母表示数 在数学中，我们常用字母来表示数。字母可以表示任意数，也可以表示特定的数（如公式中的常量）。 意义：用字母表示数，能把数量关系简明地表达出来，也能使一般规律更加清晰。例如，加法交换律可以表示为a+b=b+a。 注意：在同一问题中，不同的量要用不同的字母表示；同一个字母在不同问题中可以表示不同的数。 2.代数式的概念与书写方法 书写规范（重点）： 乘号省略：数字与字母、字母与字母相乘时，乘号通常写作“·”或省略不写。例如：写作或。 数字在前：数字与字母相乘时，数字必须写在字母前面。例如：应写作。 带分数化假分数：带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数。例如：应写作。 除法写成分数：代数式中出现除法运算时，一般按分数形式书写。例如：写作。 单位处理：如果代数式是和或差的形式，且后面有单位，必须将整个代数式括起来。例如：米。 代数式判定：看是否含关系符号（=,>,<），看分母是否含字母（分母含字母是分式，但在初中起始阶段常统称为代数式，需根据教材定义区分，通常整式分母不含字母）。 书写口诀：乘号省略数在前，带分变假除变分，和差形式加括号，单位在后莫忘记。 3.列代数式与正（反）比例关系 正比例关系：若两个变量与的比值是一个常数（），即或，则称与成正比例。 反比例关系：若两个变量与的乘积是一个常数（），即或，则称与成反比例。 4.代数式表示的实际意义 同一个代数式在不同的情境下可以表示不同的含义。例如： 情境一：苹果每千克元，香蕉每千克元，买2千克苹果和3千克香蕉共需元。 情境二：长方形长为，宽为，两个这样的长方形面积加上三个边长为的正方形面积…。 题型1、代数式的规范书写与判断 【解题技巧】 1.检查乘号：是否有未省略的“×”，或数字是否在字母后。 2.检查除号：是否写成了分数线形式。 3.检查带分数：是否已化为假分数。 4.检查单位：多项式后是否有单位且加了括号。 【例题1】（25-26七年级上·全国·期末）在，，，，，，中，代数式有（） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式的定义，熟练掌握“代数式是由数字、字母和运算符号组成，不含等号或不等号”是解题的关键． 先明确代数式的定义，再逐个判断所给式子是否符合代数式的特征，统计符合条件的数量，从而选出正确答案． 【详解】解：∵π是常数，属于代数式， ∵是方程，不是代数式， ∵是分式，属于代数式， ∵是不等式，不是代数式， ∵是单项式，属于代数式， ∵是多项式，属于代数式， ∵是不等式，不是代数式， ∴代数式有π、、、，共4个， 故选：D． 【例题2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列各式中，书写格式正确的是（） A． B． C． D．ab×5 【答案】B 【分析】本题考查代数式的书写规范，代数式书写需遵循以下规则：数字与数字相乘，不能将乘号简写为；带分数与字母相乘，需先化为假分数；数字与字母相乘时，数字写在字母前，字母与字母相乘可省略乘号．掌握代数式的基本书写规则即可判断出正误，得到答案． 【详解】解：A选项是数字与数字相乘，乘号简写错误，不符合书写要求． B选项是字母与字母相乘，省略乘号，书写格式正确，符合要求． C选项带分数未化为假分数，书写错误，不符合要求． D选项数字未写在字母前，书写错误，不符合要求． 题型2、列代数式表示数量关系 【解题技巧】先定符号，再算绝对值，步骤一：正数的任何次幂都是正数。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（简称“奇负偶正”）。0的任何正整数次幂都是0。 【例题3】（25-26七年级上·广东江门·期中）代数式的意义是：___________． 【答案】答案不唯一，a与2的和的2倍 【分析】根据代数式的运算优先级，先算括号内的加法，再算括号外的乘法，结合运算顺序表述其意义 【详解】解：该代数式的意义是a与2的和的2倍． 【例题4】（25-26七年级上·福建福州·期末）代数式的意义是（） A．，两数的差 B．，两数的平方差 C．与的差的平方 D．与的平方的差 【答案】C 【分析】本题考查代数式的意义，正确掌握运算顺序是解题的关键． 按照代数式的运算顺序进行语言叙述即可求解． 【详解】解：代数式的运算顺序是先计算与的差，再对差进行平方， 其意义为与的差的平方． 故选：C． 题型3、代数式表示的实际意义 【解题技巧】 1. 赋予背景：结合生活常识（价格、路程、工程、几何图形面积周长等）。 2.对应项解释：将代数式中的每一项对应到具体的实物或数量上。 3.语言通顺：表述要完整，最后加上单位（如果有）。 【例题5】（25-26七年级上·福建泉州·期末）元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 【答案】B 【详解】解：A、：原价先减50元，再打六折，价格为，与题意不符； B、原价先打六折，再减50元，价格为，与题目给出的现价一致； C、原价先减50元，再打四折，价格为，与题意不符； D、原价先打四折，再减50元，价格为，与题意不符． 【例题6】（25-26七年级上·四川南充·期末）请仔细分析下列赋予实际意义的例子，其中错误的是（） A．若一个长方形的长为0.8米，宽为米，则平方米表示长方形的面积 B．若一台电视机原价元，现按原价的八折出售，则元表示这台电视机的现在的售价 C．若一辆货车每分钟行驶0.8千米，行驶了分钟，则千米表示这辆货车所行驶的路程 D．若某河流涨潮前水位为米，涨潮时水位增加0.8米，则米表示涨潮后的水位 【答案】D 【分析】本题考查代数式的实际意义，理解各情境中的数量关系是关键． 分别根据长方形的面积=长×宽、售价=原价×折扣、路程=速度×时间、涨潮后的水位=涨潮前水位+增加水位判断是否合理表示所述量． 【详解】A、∵长方形的面积=长×宽， ∴长为0.8米，宽为a米时，面积为平方米， 正确． B、∵售价=原价×折扣， ∴原价a元，打八折（即0.8）出售，售价为元， 正确． C、∵路程=速度×时间， ∴速度0.8千米/分钟，时间a分钟，路程为千米， 正确． D、∵涨潮后的水位=涨潮前水位+增加水位， ∴涨潮前水位a米，增加0.8米，涨潮后水位为米，而不是米， 错误． 故选：D． 题型4、用代数式表示数、图形的规律 【解题技巧】 1.标序号：将图形或数字序列标上序号。 2.找联系：观察数值或图形数量与序号之间的运算关系（通常是线性关系或平方关系等）。 3.验证：将代入公式检验是否符合。 【例题7】（1）（25-26九年级下·河南周口·期中）按规律排列的一组数：，按此规律第n个数为________． 【答案】 【分析】将数列各数的分子，分母分开，根据已知项找出分子分母与对应序号的变化规律，归纳得到第个数的表达式． 【详解】解：观察已知排列的数： 第个数：； 第个数：； 第个数：； 第个数：； ； 按此规律，可得第个数的分子为，分母为． ∴第个数为． （2）（25-26七年级上·福建福州·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察可知，右上角的数左下角的数，左下角的数左上角的数，根据右上角的数求的值，再判断出右下角的数左下角的数与右上角的数的积左上角的数，得到，即可求解． 【详解】如图， ∵左下角的数依次为，右上角的数依次为， ∴右上角的数左下角的数，即，解得：， ∵左上角的数依次为，左下角的数依次为， ∴左下角的数左上角的数，即，解得：， ∵根据()可得：， 根据()可得：， 根据()可得：， ∴推出第()个式子为：， ∴． （3）（26-27七年级·江苏·小升初衔接）1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图． (1)观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加__________人． (2)如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐__________人． (3)按这样拼下去，m张餐桌可坐__________人．（用含有字母的式子表示）． 【答案】(1)2 (2)22 (3) 【详解】（1）解：观察发现：每增加1张桌子，可坐人数就增加2人． （2）解：10张桌子拼在一起，相当于增加了（张）桌子． （人） 因此如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐22人． （3）解：人 因此按这样拼下去，m张餐桌可坐人． （4）（2026·重庆·三模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，第③个图有个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察前三个图形中圆点的个数，发现后一个图形比前一个图形多个圆点，归纳出第个图形圆点个数的通项公式，代入求解即可． 【详解】解：∵第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，，第③个图有个圆点，，每增加一个图形，圆点个数增加个． ∴第个图中圆点的个数为． 当时，圆点个数为． 题型5、正（反）比例关系 【例题8】（1）（2025七年级上·河北沧州·专题练习）下表中，当和成正比例关系时，▲是__________；当和成反比例关系时，▲是__________． ▲ 【答案】 【分析】本题考查了正比例关系、反比例关系的定义，关键是根据定义进行判断；当和成正比例关系时，比值一定；当和成反比例关系时，乘积一定． 【详解】解：当和成正比例关系时， 设比例常数为，则， ∵， ∴， 当时，， 解得； 当和成反比例关系时， 设比例常数为，则， 由， 得， 当时，，解得． 故答案为：；． （2）（25-26七年级上·湖北孝感·期末）观察下面两个表格并回答问题． 表购买同一种故事书 数量/本 总价/元 表用同样的钱购买不同的故事书 单价/元 数量/本 (1)哪个表中的两种量成正比例？为什么？ (2)哪个表中的两种量成反比例？为什么？ 【答案】(1)表1中的总价和数量成正比例，见解析 (2)表2中的单价和数量成反比例，见解析 【分析】本题考查了正比例和反比例关系，掌握比值为定值的两个量成正比例，乘积为定值的两个量成反比例是解题的关键． （1）根据比值为定值的两个量成正比例，即可求解． （2）根据乘积为定值的两个量成反比例，即可求解． 【详解】（1）解：在表1中， ， ， ， ， 因为总价和数量的比值一定，所以表1中的总价和数量成正比例． （2）在表2中， ， ， ， ， 因为单价和数量的乘积一定，所以表2中的单价和数量成反比例． 1．（25-26七年级上·福建漳州·期中）下列各式中，符合代数式书写规范的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的书写规范，根据代数式书写的基本规则对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵带分数作系数时需要化为假分数，A选项使用带分数， 因此A不符合书写规范． ∵除法运算需要写成分数形式，B选项保留除号， 因此B不符合书写规范． ∵数字与字母相乘时，乘号需要省略且数字要写在字母前方，C选项保留乘号， 因此C不符合书写规范． ∵符合代数式书写规范，因此D正确． ∴答案选D． 2．（25-26九年级下·安徽淮北·期中）下列说法正确的是(　　) A．是代数式，不是代数式 B．表示，，的积的代数式为 C．代数式的意义是与的差除的商 D．与的差是 【答案】D 【详解】解：∵单独的一个数或单独的一个字母都是代数式，∴是代数式，A错误． ∵带分数与字母相乘时，应将带分数化为假分数，∴的书写不符合规范，应写为，B错误． ∵表示与的差除以的商，“与的差除”对应的代数式为，∴C错误． ∵与的差可表示为，∴D正确． 3．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中代数式有（） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的判断，掌握用运算符号连接数或字母的式子叫代数式，单独的数或字母也是代数式．依据代数式的定义：由运算符号连接数或字母的式子，或单独的数、字母，含有等号、不等号的式子不是代数式，据此判断即可． 【详解】解：∵代数式是指用运算符号连接数或字母的式子，或单独的数、字母，含有等号、不等号的式子不是代数式 ∴①（单独的数）是代数式， ②（数与字母的乘积）是代数式， ④（数与字母的除法）是代数式， ⑦（字母的乘方）是代数式， ③（含等号，是方程）不是代数式， ⑤（含等号，是公式）不是代数式， ⑥（含不等号，是不等式）不是代数式， 综上，代数式有①②④⑦，共个． 故选：C． 4．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有() A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【详解】解：①带分数作字母系数时，必须化为假分数，因此不符合要求； ②代数式中除法运算需要写成分数形式，不能直接使用除号，因此不符合要求； ③加减形式的代数式带单位时，需要给整体代数式加括号，因此人不符合要求； ④数字与数字相乘不能使用点乘，必须用乘号连接，因此不符合要求； ⑤符合代数式的书写要求． ∴符合书写要求的式子共1个，故选C． 5．（2026·河北保定·二模）代数式的意义可以是（） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 【答案】C 【分析】只需根据各选项描述写出对应代数式，与对比即可得到答案. 【详解】解：A选项：与的和对应代数式为，故A选项错误； B选项：与的差对应代数式为，故B选项错误； C选项：个相加对应代数式为，故C选项正确； D选项：个相乘对应代数式为，故D选项错误. 6．（25-26七年级上·四川凉山·期末）下列代数式的意义叙述错误的是（） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 【答案】D 【分析】根据运算顺序准确理解代数式所表达的数量关系，需逐一分析各选项的叙述是否匹配代数式的运算逻辑． 【详解】解：选项A：的意义是的2倍与3的和，叙述正确； 选项B：的意义是的平方与1的差，叙述正确； 选项C：的意义是与的积的5倍，叙述正确； 选项D：表示与的平方的和，而“与的和的平方”对应的代数式是，两者运算顺序不同，该叙述错误． 7．（25-26七年级上·福建厦门·期末）国庆假期期间，某景点第一天预约的游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人．则代数式“”表示的意义是（） A．第一天比第二天多预约的人数 B．第二天比第一天多预约的人数 C．两天一共预约的人数 D．第二天预约的人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式的实际意义，核心是列代数式并分析数量关系．解题的关键是根据题意准确列出第二天的游客人数代数式，再通过计算比较两天人数的差值． 先根据题意表示出第二天预约的游客人数，再计算各选项对应的代数式，与“”对比得出答案． 【详解】解：第一天预约游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人 第二天预约游客人数为 第二天比第一天多预约的人数=第二天人数-第一天人数 代数式“”表示第二天比第一天多预约的人数 故选：B． 8．（25-26七年级上·福建厦门·期末）某平台外卖员的计薪规则为：收入=底薪＋每单提成×（当月总送单量基本单量）．完成基本单量才享有底薪，超过的部分按提成计薪，若未完成则按比例扣底薪．某外卖员月送单量超过基本单量后，总收入可表示为（其中为该月总送单量）．若该外卖平台的基本单量是300，则下列说法正确的是（） A．该平台外卖员的底薪为1800元 B．外卖员当月送单量为400时，收入为2380元 C．超过基本单量后，每单提成为6元 D．外卖员当月送单量为200时，收入为1680元 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的意义和求值，解题的关键是通过对比计薪规则和给定公式，求出底薪和每单提成，再用代数式求值的方法逐一验证选项． 【详解】解：根据题意，基本单量为300单，当送单量时，总收入：， 收入构成是：收入=底薪+每单提成， A．当时，刚好完成基本单量，此时收入为元，不是1800元，故本选项不符合题意； B．送单量为400时，收入为，不是2380元，故不符合题意； C．从公式中的系数可以直接看出，超过基本单量后，每单提成就是6元，故说法正确，符合题意； D．送单量为200时，没有达到300单的基本量，需要按比例扣底薪，实际收入为元，不是1680，故本选项不符合题意； 故选：C． 9．（25-26七年级上·河北衡水·期末）代数式的意义可以是（） A．2026与的和 B．2026与的积 C．2026与的差 D．2026与的商 【答案】B 【分析】本题考查代数式的意义，明确数字与字母相乘时省略乘号的表示方法对应的运算，即可求解． 【详解】解：代数式的意义可以是2026与的积， 故选：B． 10．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）代数式的意义为（） A．与的差的平方 B．与的平方差 C．与的平方的差 D．的平方与的差 【答案】C 【分析】本题考查代数式表示的意义，表示y的平方，表示x减去y的平方，据此可得答案． 【详解】解：表示y的平方，表示x减去y的平方，即x与y的平方的差． 故选：C． 11．（25-26七年级上·江苏南通·期末）下列各项中，能用表示的是（） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．长方形的周长： D．整个图形的面积： 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的意义，熟练掌握线段长度的和，长方形周长，面积计算是解题的关键．根据线段的和，长方形的周长，长方形的面积的计算公式解答即可． 【详解】解：A、整条线段的长度：，表示为，不符合题意； B、整条线段的长度：，表示为，不符合题意； C、这个长方形的周长：，表示为，不符合题意； D、这个图形的面积：，表示为，符合题意． 故选：D． 12．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）某商场举办“元旦迎新”促销活动，将原价为x元的大衣以元的价格出售，则下列说法中，能正确表达该大衣促销方法的是（） A．原价减元后再打六折 B．原价打六折后再减元 C．原价减元后再打四折 D．原价打四折后再减元 【答案】B 【分析】本题考查代数式的含义．熟练掌握定义是关键．根据代数式的运算顺序，分析其对应的促销方法即可． 【详解】解：∵，即六折， ∴表示原价打六折后的价格， ∴表示原价打六折后再减去元． 故选：B． 13．（25-26七年级上·河南信阳·期末）下列语句用代数式表示正确的是（　　） A．比的倍大的数： B．的相反数与的一半的差： C．与的差的平方： D．的平方除以的商： 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的书写规范，关键是熟练应用知识点判断；逐一分析每个选项的代数式是否准确描述语句即可． 【详解】解∵选项A：比的倍大的数：，正确； 选项B：的相反数与b的一半的差应为：，错误； 选项C：与的差的平方应为，错误； 选项D：的平方除以的商应为，错误； ∴故答案为：A． 14．（2026·云南昆明·模拟预测）有一列按规律排列的代数式：，，，，，，相邻两个代数式的差都是同一个整式，则第个代数式是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察已知代数式的排列规律，根据规律写出第个代数式． 【详解】解：观察已知代数式可得： 第个代数式：， 第个代数式：， 第个代数式：， 第个代数式为． 15．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，我们把称为的“差倒数”，如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是．若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，…，依此类推，则的值是() A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据差倒数的定义计算前几项，找出数列的循环规律，再通过除法运算得到余数，根据规律得出的值． 【详解】解：∵ ∴ ∴该数列以三个数为一个周期循环 ∵，刚好整除 ∴ 故选：C． 16．（2023七年级下·云南保山·竞赛）如图，物体从点出发，按照（第步）（第步）的顺序循环运动，则第步到达点（） A．D B．E C．F D． 【答案】D 【分析】根据题意找出物体运动的循环规律，确定一个循环包含的步数，再用总步数除以循环步数，根据余数确定最终位置即可． 【详解】解：由运动情况可知，物体从点出发，按照（第步）（第步）的顺序8步一个循环， ， 第步到达点． 17．（21-22七年级上·河南焦作·期中）如图，下列图形是一组按照某种规律摆放而成的图案，则第8个图中圆点的个数是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形可知，第1个图形共有圆点的个数为；第2个图形共有圆点的个数为；第3个图形共有圆点的个数为；…；则第n个图形共有实心圆的个数为，进而得出答案． 【详解】解：第1个图形共有圆点的个数为； 第2个图形共有圆点的个数为； 第3个图形共有圆点的个数为； ……； 则第n个图形共有实心圆的个数为， 故图⑧中圆点的个数是：． 18．（2026·四川广安·中考真题）链状烷烃是一类由碳，氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子和4个氢原子，化学式为；第2种如图②有2个碳原子和6个氢原子，化学式为；第3种如图③有3个碳原子和8个氢原子，化学式为…按照这一规律，第2026种化合物的化学式为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意易得第n种有n个碳原子和个氢原子，化学式为，然后问题可求解． 【详解】解：∵第1种如图①有1个碳原子和个氢原子，化学式为； 第2种如图②有2个碳原子和个氢原子，化学式为； 第3种如图③有3个碳原子和个氢原子，化学式为； ……； ∴第n种有n个碳原子和个氢原子，化学式为， ∴第2026种化合物的化学式为． 19．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的意义是a与4的差除以b的商；④a，b两数平方的差与两数的积的4倍的和用代数式表示是，其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的定义、书写规范及含义的理解，逐一判断各说法的正确性． 【详解】∵代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，单独的数字或字母也是代数式， ∴说法①中“a是代数式”正确，但“1不是代数式”错误，故①错误； ∵带分数在代数式中应化为假分数，应写为， ∴表示a，b，的积的代数式应为，而非，故②错误； ∵代数式的运算顺序是先求差再求商， ∴其含义是a与4的差除以b的商，故③正确； ∵“两数平方的差”指，“两数的积的4倍”指， ∴它们的和应为，而， 两者不等，故④错误． 故选：A． 20．（25-26七年级上·重庆开州·阶段检测）下面每个选项中的两种量成反比例的是（） A．路程一定，速度和时间 B．圆柱的高一定，体积和底面积 C．长方形周长一定，长和宽 D．商品单价一定，数量和总价 【答案】A 【分析】本题考查了反比例关系的判断，根据两种量是否成反比例，需看它们的乘积是否一定，若乘积一定，则成反比例，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵路程速度时间，路程一定， ∴速度与时间的乘积为定值， ∴速度和时间成反比例，原选项符合题意； 、∵体积底面积高，高一定， ∴体积与底面积的比值为定值， ∴体积和底面积成正比例，原选项不符合题意； 、∵周长（长宽），周长一定， ∴长与宽的和为定值，但乘积不一定， ∴长和宽不成反比例，原选项不符合题意； 、∵总价单价数量，单价一定， ∴总价与数量的比值为定值， ∴总价和数量成正比例，原选项不符合题意； 故选：． 21．（25-26七年级上·福建福州·期中）下面说法正确的是（） A．正方形的面积与边长成反比例关系 B．从平潭到福州的路程一定，行驶的时间与平均速度成反比例关系 C．完成一项工作，已完成的工作量与未完成的工作量成反比例关系 D．钢笔的单价一定时，购买的总价与钢笔数量成反比例关系 【答案】B 【分析】本题考查正、反比例量的辨识，判断两个相关联的量成什么比例，关键看这两个量是比值一定（成正比例）还是乘积一定（成反比例），据此逐项分析即可． 【详解】解：∵正方形的面积=边长×边长，面积÷边长=边长（不是定值） ∴正方形的面积与边长不成比例，A选项错误 ∵路程=行驶时间×平均速度，从平潭到福州的路程一定，即行驶时间与平均速度的乘积为定值 ∴行驶的时间与平均速度成反比例关系，B选项正确 ∵已完成工作量+未完成工作量=总工作量（和为定值），不是乘积或比值一定 ∴已完成的工作量与未完成的工作量不成比例，C选项错误 ∵总价÷钢笔数量=单价（一定），即比值为定值 ∴购买的总价与钢笔数量成正比例关系，D选项错误 故选：B． 22．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）糖果厂生产一批水果糖．把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数如下表： 每袋装的颗数 10 12 15 18 … 总袋数 648 540 432 360 … 若用m表示每袋装的颗数，用n表示总袋数，则下列说法不正确的是（） A．这批水果糖共有6480颗 B．若每袋装的颗数为20颗，则需要装324袋 C．总袋数随着每袋装的颗数的增大而增大 D．m与n的乘积一定，它们成反比例关系 【答案】C 【分析】本题考查反比例关系的判断及应用，先通过表格数据求出水果糖总颗数，再结合反比例的定义逐一分析选项即可． 【详解】解：∵， ∴这批水果糖总颗数为6480颗，且m与n的乘积为定值，二者成反比例关系， A：由上述计算可知总颗数为6480颗，说法正确； B：（袋），说法正确； C：观察表格数据，每袋装的颗数增大时，总袋数减小，说法错误； D：∵=总颗数（定值），根据反比例关系定义，m与n成反比例关系，说法正确 ∴不正确的是选项C． 23．（25-26七年级上·福建厦门·期末）下面各选项中，成反比例关系的是（） A．修一段公路，工作效率和所用的工作时间成反比例关系 B．比例尺一定，图上距离与实际距离成反比例关系 C．长方形的周长一定时，相邻两边的长成反比例关系 D．运动员的跳远成绩和身高成反比例关系 【答案】A 【分析】本题考查反比例关系的辨析，需根据反比例关系的定义（两种相关联的量，相对应数的乘积为定值）逐项分析判断． 【详解】解：A选项：修公路的工作总量（公路长度）固定，即工作效率×工作时间=工作总量（定值），符合反比例关系定义，故A选项正确； B选项：比例尺图上距离实际距离，比例尺一定时，图上距离与实际距离的比值为定值，成正比例关系，故B选项错误； C选项：长方形周长(长+宽)，周长一定时，长与宽的和为定值，并非乘积一定，不成反比例关系，故C选项错误； D选项：运动员的跳远成绩和身高无固定的乘积关系，不成比例，故D选项错误． 故选：A． 24．（25-26七年级上·广东汕头·阶段检测）下列选项中，两种量成反比例关系的是() ①总钱数一定，花费的钱和剩余的钱； ②长方形的面积一定，长方形的长和宽； ③烧煤的总量一定，每天的烧煤量与所烧天数． A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例关系．判断两种量是否成反比例关系，关键是看它们的乘积是否为一个常数． 【详解】解：对于①：设总钱数为常数，花费的钱为，剩余的钱为，则，与的和为常数，而非乘积为常数，与不成反比例． 对于②：设长方形面积为常数，长为，宽为，则，与的乘积为常数，与成反比例． 对于③：设烧煤总量为常数，每天的烧煤量为，所烧天数为，则，与的乘积为常数，与成反比例． ∴只有②和③成反比例关系， 故选：B． 25．（25-26七年级上·山东临沂·期末）下列问题中两个变量之间的关系不是反比例的是（） A．某人参加赛跑时，时间t与跑步平均速度v之间的关系 B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长y与x之间的关系 C．圆的面积S与它的半径r之间的关系 D．三角形的面积一定时，它的一边长y与这条边上的高x之间的关系 【答案】C 【分析】根据两个变量乘积为定值时，二者成反比例关系，据此逐一判定各选项即可． 【详解】解：选项A，路程为，可得，时间和平均速度乘积为定值，是反比例关系，不符合题意； 选项B，长方形面积一定，长方形面积满足，即，与乘积为定值，是反比例关系，不符合题意； 选项C，圆的面积公式为，与的乘积不是定值，因此与不是反比例关系，符合题意； 选项D，三角形面积一定，三角形面积满足，整理得，与乘积为定值，是反比例关系，不符合题意． 26．（2026·河南平顶山·三模）单项式可以解释为：正方形的边长为，则正方形的周长为，请你再给单项式赋一个实际意义：_____. 【答案】一本笔记本元，买了4本，共需元（答案不唯一） 【分析】根据单项式的意义解析即可． 【详解】略 27．（2026·河南·模拟预测）计算3的正整数次幂，，，，，，，，…观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是_______． 【答案】9 【分析】根据已知数据得到的个位数字以四个一组循环，通过计算指数除以周期的余数，即可得到的个位数字． 【详解】解：由题意，可知的个位数字以四个一组循环， ， 的个位数字是循环组中的第2个数字，即为． 28．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，每一幅图中有若干张大小相同的小卡片，第1幅图中有1张卡片，第2幅图中有3张卡片，第3幅图中有6张卡片，第4幅图中有10张卡片，那第99幅图中有________张卡片． 【答案】4950 【分析】根据题意得出图形的一般规律为第n幅图中有张卡片，然后问题可求解． 【详解】解：∵第1幅图中有1张卡片， 第2幅图中有张卡片， 第3幅图中有张卡片， 第4幅图中有张卡片， ……； ∴第n幅图中有张卡片， ∴第99幅图中有张卡片． 29．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图想一想，可以把这个算式转化成__________的算式计算，计算结果是__________． 【答案】 【分析】通过观察前几组算式，发现从1开始的连续个奇数相加，其和等于的平方，即，据此先计算出中有多少个奇数，再根据奇数个数的平方来求和． 【详解】解：观察第一幅图：只有1个奇数，和为1，可以写成； 观察第二幅图：有2个连续奇数相加（），和为4，可以写成； 观察第三幅图：有3个连续奇数相加（），和为9，可以写成； 观察第四幅图：有4个连续奇数相加（），和为，可以写成； 总结规律：从1开始的连续个奇数相加，其和等于的平方，即． ∵，共有个数，奇数和偶数的个数各一半，即（个）， ∴中共有个奇数， ∴可以转化成， ∵； ∴． 30．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）在数学活动课上，王老师与同学们做了这样一个实验，如图，在左侧托盘（固定）中放置一个重物，在右侧托盘（可左右移动）．中放置一个质量为的空容器，在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与支点C的距离（），记录容器与水的总质量的数据如下： 托盘与点的距离 容器与水的总质量 当托盘与支点的距离时，容器与水的总质量的值为_______ 【答案】 【分析】本题主要考查反比例关系的应用，根据各数量之间的关系写出关系式是解题的关键．根据表格数据可得与的乘积不变，成反比例，据此即可求解． 【详解】解：由表格可知，与的乘积不变，成反比例，， ∴当时，容器与水的总质量的值为， 故答案为：． 31．（25-26七年级下·全国·课后作业）找规律 (1)观察：，，，，…… 你发现其中的规律了吗？如何用代数式表示这一规律？ (2)利用（1）中的规律计算． (3)你还能找到哪些类似的规律？试举两例． 【答案】(1) （为非负整数） (2) (3) 示例：，（答案不唯一，符合规律即可） 【分析】（1）根据个例题的计算过程找到规律，用含的代数式表示出规律即可； （2）根据（1）中的规律计算即可； （3）通过观察可知相乘的两个数的个位数相加为，其他数位上的数字相同，根据规律写出两个符合规律的算式． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 根据规律可得：（为非负整数）； （2）解：根据规律可得： ； （3）解：， （答案不唯一）． 32．（25-26七年级上·河北唐山·期末）某机床要加工一批零件，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工的件数 63 42 35 30 … 加工时间（） 10 15 21 … (1)这批零件共________件； (2)表中________； (3)用表示每小时加工零件的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系．与成什么比例关系？ 【答案】(1) (2) (3)；与成反比例关系． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，合理从表格中获取相关信息是解题的关键． （1）根据工作时间工作效率总数解答即可； （2）根据工作时间工作效率总数解答即可； （3）列出函数式子判断即可． 【详解】（1）解：（件）， 故答案为：件； （2）解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：； （3）解：由题意可得：， ∴， ∴与成反比例关系． 33．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）某报刊报道了“涵养好家风·共筑家国梦”家风家教主题宣讲活动在榆林高新区举办的情况．小张录完这篇报道稿所需的时间与每小时录入的字数情况如下表： 每小时录入的字数/万字 … … 录完这篇报道稿所需的时间/小时 … … (1)小张录完这篇报道稿所需的时间是怎样随着每小时录入的字数的变化而变化的？ (2)用表示录完这篇报道稿所需的时间，表示每小时录入的字数，用式子表示与的关系．与成什么比例关系？ (3)若小张录完这篇报道稿用了小时，求小张每小时录入的字数． 【答案】(1)每小时录入的字数越多，完成录入所需的时间越少 (2)，与成反比例关系 (3)每小时录入万字 【分析】本题考查变量的变化关系，反比例关系的判定与表达式，函数关系式的应用，识别两个变量之间的变化趋势是解题关键． （1）观察表格里每小时录入字数和所需时间的数值变化，可得出录入字数增加时，所需时间随之减少的结论； （2）根据报道的总字数为定值，可知为定值，与成反比例关系，设反比例关系式，代入一组数据求出的值，确定具体关系式； （3）把已知的时间代入第（2）问求出的反比例关系式中，通过解方程计算对应的每小时录入字数． 【详解】（1）解：据图表可知，每小时录入的字数从，，，不断增加， 所需时间从，，，不断减少， 故每小时录入的字数越多，完成录入所需的时间越少． （2）解：根据题意可知，报道的总字数为定值，即为定值， 故与为反比例函数关系，设反比例函数的解析式为， 将，代入，可得， 则与的函数关系为． 答：，与成反比例关系． （3）解：令，代入， 解得， 故当所需时间为小时时，每小时需录入的字数为万字． 答：每小时录入万字． 34．（25-26七年级上·广东汕尾·阶段检测）把一瓶果汁平均分成若干杯，分得的杯数和每杯的果汁量如下表所示： 分得的杯数 6 5 4 3 每杯的果汁量/ 100 120 200 (1)请把上表补充完整． (2)分得的杯数和每杯的果汁量有什么关系？为什么？ (3)如果把这些果汁平均分成10杯，那么每杯的果汁量是多少毫升？ 【答案】(1)见解析 (2)成反比例关系；因为每杯的果汁量分得的杯数果汁总量（一定） (3)60毫升 【分析】本题考查了反比例关系，掌握反比例关系的概念是关键； （1）由表可计算出一瓶果汁的总量，即可求得平均分成4杯时每杯的果汁量； （2）由题意知，每杯的果汁量分得的杯数果汁总量（一定），即可判断分得的杯数和每杯的果汁量的关系； （3）果汁总量除以分得的杯数即可求解． 【详解】（1）解：一瓶果汁共有，， 表格补充如下： 分得的杯数 6 5 4 3 每杯的果汁量/ 100 120 150 200 （2）解：成反比例关系； 因为每杯的果汁量分得的杯数， 所以分得的杯数和每杯的果汁量是反比例关系； （3）解：， 答：每杯的果汁量是60毫升． 35．（25-26七年级上·山东德州·期末）代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系．下列赋予实际意义的例子中不正确的是（） A．用元购买件单价为元的商品，剩余元 B．周长是的长方形，一边长为，另一边长为 C．数学项目式学习活动中，某班有人参加，老师把女生分为组，每组人，则表示男生人数 D．一辆汽车以每小时公里的速度行驶了小时，那么它行驶的总距离为公里，如果总路程为公里，那么剩余路程为公里 【答案】B 【分析】本题考查代数式，利用总价与单价数量关系、长方形周长公式、路程与速度时间关系等分别列出代数式即可．根据题意写出代数式是解题的关键． 【详解】解：A．∵件单价为元的商品总价为元，总钱数为元， ∴剩余钱数为元， 故该选项中赋予实际意义的例子正确，不符合题意； B．∵长方形周长公式为， ∴当周长时，长+宽， ∵一边长为， ∴另一边长应为， 故该选项中赋予实际意义的例子不正确，符合题意； C．∵总人数为人，老师把女生分为组，每组人，则女生人数为人， ∴男生人数为人， 故该选项中赋予实际意义的例子正确，不符合题意； D．∵总路程为50公里，一辆汽车以每小时公里的速度行驶了小时，则已行驶路程为公里， ∴剩余路程为公里， 故该选项中赋予实际意义的例子正确，不符合题意． 故选：B． 36．（2026·云南昭通·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别分析第n个代数式的系数，a的次数，b的符号三部分的规律，再对应选项得到答案。 【详解】解：按顺序拆分观察规律： ∵第1个代数式： 第2个代数式： 第3个代数式： 第4个代数式： …… ∴归纳可得，第个代数式中，系数为，的次数为，的系数为，整理得第个代数式是． 37．（25-26七年级上·天津西青·期中）下列关于“代数式”的意义有如下叙述： ①的4倍与的和的2倍是； ②小明以的速度走了，再以的速度走了，小明一共走了； ③小华买了苹果和橘子，已知苹果的单价为元，橘子的单价为元，小华一共花费元． 其中正确的个数是（） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式的实际意义，根据每个叙述的含义判断是否与代数式相符即可求解． 【详解】解：①中“x的4倍与y的和的2倍”表示为，故①错误； ②中总路程为，与代数式相符，故②正确； ③中总花费为，故③错误； 综上，正确的个数是1个； 故选：C． 38．（25-26七年级下·广东佛山·期末）小红设计了如下的运算程序：任意写下一个三位数（三位数字互不相同），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差．重复这个过程，则按照此程序运算2026次后得到的数是______． 【答案】495 【分析】任选三个不同的数字，组成一个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，用所得的结果的三位数重复上述的过程，即可发现规律． 【详解】解：若取数字6，5，3， 第1次运算：， 第2次运算：， 第3次运算：， 第4次运算：， 第5次运算：， …， 可以发现，从第4次运算开始，结果恒为495， ∴按照此程序运算2026次后得到的数是：495． 39．（25-26八年级下·江苏连云港·期末）图1中以为顶点的矩形对角线有条，对角线长的平方为；图2中以为顶点的矩形的对角线有条，对角线长的平方和为，以此类推，第个图中以为顶点的矩形对角线长的平方和为______．（注：用含的代数式表示，其中） 【答案】 【分析】第个图对角线长的平方和为，第个图对角线长的平方和为第个图对角线长的平方和为，得到第个图中以为顶点的矩形对角线长的平方和为，即可求解． 【详解】解：第个图对角线长的平方和为， 第个图对角线长的平方和为 第个图对角线长的平方和为， ， 第个图中以为顶点的矩形对角线长的平方和为． 40．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10，4 (2)， (3)没有，理由如下： ∵当时，， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； （2）解：由图可知： 第一个图案有三角形（个），六边形1个， 第二个图案有三角形（个），六边形2个， 第三个图案有三角形（个），六边形3个， 那么第n个图案中有三角形个，六边形有个； （3）解：略 41．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）图1是由绳索编织成的网状带实物图，我们把这种网状图形中的交叉点称为“结点”（结点数记为），内部每个封闭小区域称为“网眼”（网眼数记为），围成网眼的线段称为“边”（边数记为）．例如，图2中该图形结点数，网眼数，边数． (1)观察图形，根据规律填表： 图3 图4 … 六边形个数（） 2 … 结点数（） … 网眼数（） 6 9 … 边数（） … 表中，，； (2)小明通过观察，猜想，验证，发现这种网状图形满足等式：，请说明他的结论是正确的，并再写一条不同于小明发现的，关于、、三个量的等式； (3)小丽想用绳索编织一条如图5所示的两端封口且长度不超过的带子，其中带子中的六边形均是边长为的正六边形，编织时需在每个结点处打一个绳结，则小丽最多需要打个绳结． 【答案】(1)3，，； (2)解：； 验证： 由题意可得，，，， ； (3)． 【分析】（1）从图中数出来即可； （2）找规律，结点数由左端封口处3个，每多一个正六边形，结点数多5个；网眼数每多一个正六边形，网眼数多3个；边数由左端封口处2个，每多一个正六边形，边数多8个；由此分别列出它们关于六边形个数的表达式，找关于、、三个量的等式即可； （3）算出两端需要多长的带子，每加一个正六边形需要多长的带子，得出的带子可以编织出多少个正六边形，再计算结点数即可． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ； （3）解：由题意可得每多编织一个正六边形需要带子， 如图，把左端平移到右端是这样的， 的长度明显小于正六边形两条边长的和，即， ， 的带子最多可以编织个正六边形， 小丽最多需要打个绳结． 42．（2026·安徽合肥·二模）【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题． (1)探究一：点阵等式规律 观察下面的点阵（图）和相应的等式： ①； ②； ③； ④；… ①填空：（）2； ②猜想：（）2（是正整数）． (2)探究二：平面密铺规律 如图，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有块正方形、块正三角形；第二层有块正方形、块正三角形；以此类推． ①第层中分别含有________块正方形和________块正三角形； ②第层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含的代数式表示）． (3)【应用拓展】 某市打算在一个新建广场中央，采用如图的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和块正方形地砖，若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计算过程． 【答案】(1)①5；② (2)①6，30；② (3)还需要600块正三角形地砖 【分析】（1）根据给出的等式进行推导即可得出结果； （2）观察可知，每一层均有6块正方形，后一层比前一层多12块正三角形，据此进行求解即可； （3）根据（2）中规律进行作答即可. 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； …， ∴；； （2）解：观察可知，每一层均有6块正方形，后一层比前一层多12块正三角形， ∴①第层中分别含有6块正方形和块正三角形； ②第层中分别含有6块正方形和块正三角形； （3）解：铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案10层； ∵铺设层需要正三角形地板砖的数量为：， ∴当时，． 故铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖． 试卷第2页，共18页 12/26 学科网（北京）股份有限公司 $