第10讲 有理数的乘方（讲义，新教材人教版全国通用）数学小升初衔接

第10有理数的乘方 · 预习目标 · 新课轻松学 · 新知速通 · 题型探究 · 题型1、乘方概念的理解与辨析 · 题型2、有理数乘方的运算 · 题型3、乘方中的符号规律与绝对值非负性 · 题型4、乘方在实际问题中的应用 · 题型5、含有乘方的四则混合运算 · 基础通关 · 拓展提优 1、理解有理数乘方的意义，掌握幂、底数、指数的概念； 2、能熟练进行有理数的乘方运算，准确判断结果的符号； 2、掌握乘方运算的符号规律（奇负偶正）； 4、了解乘方在解决实际问题（如细胞分裂、折纸等）中的应用。 【生活情境引入】 同学们，你们听过“棋盘放麦粒”的故事吗？传说古印度国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么。发明者说：“陛下，请您在棋盘的第一个格子里放1粒麦子，第二个格子里放2粒，第三个格子里放4粒，第四个格子里放8粒……以后每一个格子都比前一个多一倍，直到放满64个格子。”国王觉得这太简单了，爽快答应了。可是，当人们开始计算时，却发现整个国家的麦子都不够放！为什么数字会增长得这么快？- 第1格：1，第2格：第3格：，第4格：…第64格：需要粒麦子！这种求几个相同因数的积的运算，就是我们要学习的——乘方。 【思考互动】 【思考1】和一样吗？ 提示：这是一个超级易错点！ 表示4个-2相乘，即。 表示4个2相乘的相反数，即。 结论：括号的位置决定了底数是谁，结果天差地别！ 【思考2】任何数的平方都是正数吗？ 提示：别忘了0！，0既不是正数也不是负数。所以应该说“任何数的平方都是非负数”。 【课外阅读：负数的历史】 在数学中，乘方带来的增长被称为“指数爆炸”。一张厚度为0.1毫米的纸，如果把它对折30次，它的厚度会有多少？答案是毫米，大约是107,374米，比珠穆朗玛峰（8848米）还要高10倍多！这就是乘方的威力。 1.乘方的定义 求个相同因数的积的运算，叫做乘方。 表达式： 各部分名称：叫做底数（表示相同的因数）；叫做指数（表示相同因数的个数）；乘方的结果叫做幂。读法：读作“的次方”或“的次幂”。 2.有理数乘方的符号法则 这是计算的核心，必须牢记： （1）正数的任何次幂都是正数。 例如：, （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 例如：（奇数个负号，结果为负） 例如：（偶数个负号，结果为正） （3）0的任何正整数次幂都是0。例如： 3.互为倒数的性质推广 若互为倒数，则。若互为相反数，则。这些性质在复杂的乘方混合运算中经常用来简化计算。 题型1、乘方概念的理解与辨析 【例题1】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·开学考试）为了简便，可以将记为_____． 【例题2】的底数是________，读作________． 题型2、有理数乘方的运算 【解题技巧】先定符号，再算绝对值，步骤一：正数的任何次幂都是正数。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（简称“奇负偶正”）。0 的任何正整数次幂都是 0。 【例题3】（2026·天津河东·三模）计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【例题4】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算题 (1)；(2)． 题型3、乘方中的符号规律与绝对值非负性 【解题技巧】 分配律逆用：，常用于提取公因数； 凑整：将相乘能得到整数（如 10, 100, -1 等）的数优先结合。 【例题5】（25-26七年级上·四川泸州·期中）若，且，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型4、乘方的实际应用 【解题技巧】 乘积为 1 的两个数互为倒数； 0 没有倒数； 求带分数或小数的倒数，先化为假分数或分数。 【例题5】（25-26七年级上·河北衡水·期末）人教版生物教材提到，细菌是靠分裂进行生殖的，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．某种细菌在培养过程中每半小时分裂一次（由1个分裂为2个），经过4小时，1个这种细菌可分裂成的细菌个数为（    ） A． B． C． D． 题型5、含有乘法的四则混合运算 【解题技巧】 第一级： 先算乘方（包括开方，如果有）。第二级： 再算乘除。第三级： 最后算加减。 最高优先级： 有括号先算括号里面的（小→中→大） 【例题6】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”． 对于下面的计算：，运算顺序是怎样的呢？ 1．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）表示（   ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 3．（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列算式可以表示成的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2022·江苏无锡·模拟预测）下列说法：①相反数等于本身的数是0；②绝对值等于本身的是正数；③倒数等于本身的数是； ④平方等于本身的数是0和1；⑤平方为9的数是3；⑥有绝对值最小的有理数．正确的个数为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏连云港·二模）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．和3 B．和 C．和 D．和 7．（2026·内蒙古赤峰·三模）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2025 9．（25-26七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 10．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 11．（2026·四川攀枝花·中考真题）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 12．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 13．（2026·河北石家庄·二模）有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（     ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）计算：________． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则________． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）将厚0.1毫米的一张纸对折，再对折，这样对折4次后，这张纸厚( )毫米． 16．（2026·河南周口·二模）我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 17．（24-25七年级上·湖南·期中）按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 18．平方等于16的负数与立方等于的和是____________． 19．（24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 22．（25-26七年级下·重庆·自主招生）定义新运算“”，规定：，则若，则________． 20．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）规定一种运算：，则的值为__________． 21．在数轴上表示下列各数，再用“”连接起来． ，，，． 22．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 23（2026·河北邢台·二模）小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下： 解： ……………………第一步 ………………………………第二步 …………………………………第三步 解答下列问题： (1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程； (2)计算：． 24．（21-22七年级上·山东临沂·阶段检测）计算： (1) (2)． 25．（2026·河北石家庄·模拟预测）图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 26．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 27．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 34．（22-23七年级下·内蒙古乌海·开学考试）计算： (1) (2) 28．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 29．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 30．（21-22七年级下·山东菏泽·开学考试）计算 (1) (2) 31．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2) 32．（20-21六年级上·山东淄博·期中）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学： A：乘2 B：减 C：平方 D：加6 (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是13，a是多少？ 33．（2026·湖北襄阳·三模）请完成以下数学活动： 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． n（，且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1： (1)将下列进制数转化为十进制数： ①______；②______； (2)现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2： (3)十进制数21转化为二进制数得． (4)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数． 根据小勤的思路可以得出：． 34．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 试卷第2页，共18页 12 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10有理数的乘方 · 预习目标 · 新课轻松学 · 新知速通 · 题型探究 · 题型1、乘方概念的理解与辨析 · 题型2、有理数乘方的运算 · 题型3、乘方中的符号规律与绝对值非负性 · 题型4、乘方在实际问题中的应用 · 题型5、含有乘方的四则混合运算 · 基础通关 · 拓展提优 1、理解有理数乘方的意义，掌握幂、底数、指数的概念； 2、能熟练进行有理数的乘方运算，准确判断结果的符号； 2、掌握乘方运算的符号规律（奇负偶正）； 4、了解乘方在解决实际问题（如细胞分裂、折纸等）中的应用。 【生活情境引入】 同学们，你们听过“棋盘放麦粒”的故事吗？ 传说古印度国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么。发明者说：“陛下，请您在棋盘的第一个格子里放 1 粒麦子，第二个格子里放 2 粒，第三个格子里放 4 粒，第四个格子里放 8 粒……以后每一个格子都比前一个多一倍，直到放满 64 个格子。” 国王觉得这太简单了，爽快答应了。可是，当人们开始计算时，却发现整个国家的麦子都不够放！ 为什么数字会增长得这么快？ - 第 1 格：1 - 第 2 格：2=2^1 - 第 3 格：4=2×2=2^2 - 第 4 格：8=2×2×2=2^3 … - 第 64 格：需要 2^63 粒麦子！ 这种求几个相同因数的积的运算，就是我们要学习的——乘方。 【思考互动】 【思考 1】 和 一样吗？ 提示： 这是一个超级易错点！ 表示 4 个 -2 相乘，即 。 表示 4 个 2 相乘的相反数，即 。 结论： 括号的位置决定了底数是谁，结果天差地别！ 【思考 2】 任何数的平方都是正数吗？ 提示： 别忘了 0！，0 既不是正数也不是负数。所以应该说“任何数的平方都是非负数”。 【课外阅读：负数的历史】 在数学中，乘方带来的增长被称为“指数爆炸”。一张厚度为 0.1 毫米的纸，如果把它对折 30 次，它的厚度会有多少？ 答案是 毫米，大约是 107,374 米，比珠穆朗玛峰（8848米）还要高 10 倍多！这就是乘方的威力。 1. 乘方的定义 求 个相同因数的积的运算，叫做乘方。 表达式： 各部分名称： 叫做底数（表示相同的因数）； 叫做指数（表示相同因数的个数）；乘方的结果叫做幂。读法： 读作“ 的 次方”或“ 的 次幂”。 2. 有理数乘方的符号法则 这是计算的核心，必须牢记： （1）正数的任何次幂都是正数。 例如：, （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 例如： （奇数个负号，结果为负） 例如： （偶数个负号，结果为正） （3） 0 的任何正整数次幂都是 0。例如： 3. 互为倒数的性质推广 若 互为倒数，则 。 若 互为相反数，则 。 这些性质在复杂的乘方混合运算中经常用来简化计算。 题型1、乘方概念的理解与辨析 【例题1】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·开学考试）为了简便，可以将记为_____． 【答案】 【分析】n个相同因数相乘可以写成该数的n次方形式，据此进行解答． 【详解】解：根据乘方的定义， n个相同的因数5相乘，记为5的n次方，即． 【例题2】的底数是________，读作________． 【答案】 负的的次方 【详解】解：根据乘方的定义，在中，叫做乘方的底数，叫做乘方的指数． 对于，该式表示的相反数，负号不属于底数部分，因此底数是，该式读作负的的次方． 题型2、有理数乘方的运算 【解题技巧】先定符号，再算绝对值，步骤一：正数的任何次幂都是正数。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（简称“奇负偶正”）。0 的任何正整数次幂都是 0。 【例题3】（2026·天津河东·三模）计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【例题4】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算题 (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：． （2）解：． 题型3、乘方中的符号规律与绝对值非负性 【解题技巧】 分配律逆用：，常用于提取公因数； 凑整：将相乘能得到整数（如 10, 100, -1 等）的数优先结合。 【例题5】（25-26七年级上·四川泸州·期中）若，且，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的运算与绝对值的性质，结合不等式条件确定、的取值是解题的关键．根据先确定、的所有可能值，再利用的条件筛选出符合要求的组合，进而求出的值． 【详解】解：， 或， ， ， 或， 又， 当时，不满足，满足， ， 当时，不满足，满足， ， 的值为或． 故选：． 题型4、乘方的实际应用 【解题技巧】 乘积为 1 的两个数互为倒数； 0 没有倒数； 求带分数或小数的倒数，先化为假分数或分数。 【例题5】（25-26七年级上·河北衡水·期末）人教版生物教材提到，细菌是靠分裂进行生殖的，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．某种细菌在培养过程中每半小时分裂一次（由1个分裂为2个），经过4小时，1个这种细菌可分裂成的细菌个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方，根据题意得到细菌每分裂一次后所得细菌，列出关系式，是解答此题的关键． 由题意可知细菌分裂一次时有个细菌，分裂2次时变为个细菌，分裂3次时变为个细菌，故当分裂次时变为个细菌，据此即可解答． 【详解】解：细菌分裂一次时有个细菌， 分裂2次时变为个细菌， 分裂3次时变为个细菌， 当分裂次时变为个细菌， 细菌每半小时分裂一次， 经过4小时，细菌分裂8次． 故1个这种细菌可分裂成的细菌个数为个． 故选：D． 题型5、含有乘法的四则混合运算 【解题技巧】 第一级： 先算乘方（包括开方，如果有）。第二级： 再算乘除。第三级： 最后算加减。 最高优先级： 有括号先算括号里面的（小→中→大） 【例题6】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”． 对于下面的计算：，运算顺序是怎样的呢？ 【答案】运算顺序为：先算乘方和括号内的减法，接着算除法和乘法，最后从左到右计算加减． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 1．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）表示（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数幂的概念，进行判断即可. 【详解】解：由题意，表示3个2相乘，即. 2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 3．（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列算式可以表示成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即记作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 依据乘方的概念判断选项中哪个算式符合的意义即可． 【详解】解：∵乘方的定义为：n个相同因数a相乘，记作， ∴表示3个2相乘，即． 故选C． 4．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方定义即可判断； 【详解】解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． 5．（2022·江苏无锡·模拟预测）下列说法：①相反数等于本身的数是0；②绝对值等于本身的是正数；③倒数等于本身的数是； ④平方等于本身的数是0和1；⑤平方为9的数是3；⑥有绝对值最小的有理数．正确的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相反数、绝对值、倒数、有理数乘方的定义逐一判断每个说法，统计正确个数即可得到结果. 【详解】解：①∵只有的相反数等于本身，∴①正确； ②∵绝对值等于本身的数是正数和，不只是正数，∴②错误； ③∵倒数等于本身的数是和即，∴③正确； ④∵，，其余数的平方都不等于本身，∴平方等于本身的数是和，④正确； ⑤∵，，∴平方为的数是，不只是，∴⑤错误； ⑥∵绝对值最小的有理数是，存在绝对值最小的有理数，∴⑥正确； 综上，正确的说法共个. 6．（2026·江苏连云港·二模）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．和3 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，先化简每个选项中的两个数，再判断是否符合定义即可． 【详解】解：∵ 相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数. 对各选项化简判断， 选项A： ，9和3不互为相反数，A错误； 选项B： ，，两个数相等，不互为相反数，B错误； 选项C： ，两个数相等，不互为相反数，C错误； 选项D： ，，3和只有符号不同，互为相反数，D正确． 7．（2026·内蒙古赤峰·三模）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算每个选项的结果，判断结果的正负性即可得到答案． 【详解】解：∵，是正数， ∴ A不符合题意． ∵，是正数， ∴ B不符合题意． ∵，是正数， ∴ C不符合题意． ∵，是负数， ∴ D符合题意． 8．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2025 【答案】A 【详解】解：∵任意数的平方和绝对值都是非负数，且， ∴，， 解得 ，， 将， 代入 得：. 9．（25-26七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题需依据乘方运算的符号规则与运算顺序，分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否相等． 【详解】解：∵，，， ∴A选项数值不相等，不符合题意； ∵，，， ∴B选项数值相等，符合题意； ∵，， ∴C选项数值不相等，不符合题意； ∵，， ∴D选项数值不相等，不符合题意， 故选：B 10．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方的意义，通过拆分指数将原式转化为可利用乘方意义进行计算的形式，进而简便计算． 【详解】解：∵， ∴原式 ， 故选：A． 11．（2026·四川攀枝花·中考真题）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 【答案】A 【分析】根据“快乐数”的定义，对各选项依次重复计算每一位数字的平方和，最终结果为1就是快乐数，否则不是． 【详解】解：A、∵，，，，，，，，，，，，， ∴计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B、∵， ∴最终结果为1，故7是快乐数； C、∵，， ∴最终结果为1，故13是快乐数； D、∵，， ∴最终结果为1，故31是快乐数． 12．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，按照运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号先算括号内的，逐一计算验证选项即可。 【详解】选项A： ∵ ， ∴ A错误； 选项B： ∵ ， ∴ B错误； 选项C： ∵ ， ∴ C错误； 选项D： ∵ ， 计算符合运算法则，结果正确， ∴ D正确； 13．（2026·河北石家庄·二模）有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用两个底面积加侧面积即可. 【详解】解：， ∴做这样一个礼品盒至少要硬纸. 14．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）计算：________． 【答案】 【分析】按照乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则________． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘方的逆运算． ，结合已知即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）将厚0.1毫米的一张纸对折，再对折，这样对折4次后，这张纸厚( )毫米． 【答案】1.6 【分析】每对折一次，纸的厚度扩大为原来的倍，对折次后，纸的厚度扩大为原来的倍，本题对折次，代入计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对折次后，纸的厚度为（毫米） 16．（2026·河南周口·二模）我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 【答案】38 【分析】由题意可知满五进一符合五进制计数规则，将各数位的打结数乘以对应数位的权重，再求和即可得到总天数． 【详解】解：根据满五进一的计数规则，从右起第位的权重为，因此总天数为： 天． 17．（24-25七年级上·湖南·期中）按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 【答案】160 【分析】按照框图的计算顺序进行计算即可． 【详解】解：把40输入得： ， 把80输入得： ， ∴输出结果为：160． 18．平方等于16的负数与立方等于的和是____________． 【答案】/ 【分析】根据有理数乘方的定义，先求出符合条件的两个数，再根据有理数加法法则计算两个数的和即可． 【详解】解： ，题目要求平方等16的负数， 符合条件的数是 ， ， 立方等于的数是， ∴平方等于16的负数与立方等于的和是： ． 19．（24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意可得（答案不唯一）． 22．（25-26七年级下·重庆·自主招生）定义新运算“”，规定：，则若，则________． 【答案】38 【详解】解：根据新运算的定义，， ． 20．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）规定一种运算：，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据新定义代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 21．在数轴上表示下列各数，再用“”连接起来． ，，，． 【答案】， 【详解】解：，，． 图见答案，用“”连接见答案． 22．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】（1）根据有理数的乘方计算即可； （2）根据负数的奇数次幂是负数，确定符号，再根据有理数的乘方法则求解即可； （3）先确定结果的符号为负，再计算即可； （4）根据，再计算立方即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 23（2026·河北邢台·二模）小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下： 解： ……………………第一步 ………………………………第二步 …………………………………第三步 解答下列问题： (1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程； (2)计算：． 【答案】(1)小明在第一步出现错误；正确计算过程为： ； (2) 【分析】（1）小明在第一步中先计算了，因此出现错误；根据有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ． 24．（21-22七年级上·山东临沂·阶段检测）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】第一题涉及有理数乘法分配律的计算；第二题涉及到乘方的计算和绝对值的计算． 【详解】（1） （2） 25．（2026·河北石家庄·模拟预测）图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． 【详解】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 26．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 27．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)15 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 34．（22-23七年级下·内蒙古乌海·开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据题干所提供的思路，设，再把这个等式两边同时乘以得到，把这两个等式两边分别相减得到得，然后再把两边同时除以可得结果； （2）根据规律可得第个数是；仿照（1）中的解题思路设，把等式两边同式乘以得到则，把两个等式两边同时相加可得，然后再把两边同时除以即可得到结果． 【详解】（1）解：设， 则． 由，得， ， 即； （2）解：第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 根据规律可得第个数是； 设， 则． 由，得， ， 即这列数中前个数的和是． 29．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得第5个等式：； （2）解： ． 30．（21-22七年级下·山东菏泽·开学考试）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 31．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．（20-21六年级上·山东淄博·期中）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学： A：乘2 B：减 C：平方 D：加6 (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是13，a是多少？ 【答案】(1)①7；②206 (2)或 【分析】（1）①根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； ②根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； （2）根据题目所给的运算顺序，列出方程，根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由题意知，， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 33．（2026·湖北襄阳·三模）请完成以下数学活动： 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． n（，且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1： (1)将下列进制数转化为十进制数： ①______；②______； (2)现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2： (3)十进制数21转化为二进制数得． (4)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数． 根据小勤的思路可以得出：． 【答案】(1)①13 ，②435 (2) (3)10101 (4)2D 【分析】（1）根据进制数的位值表示法，将每一位数字乘以对应基数的幂次后求和，即可转化为十进制． （2）分别将三进制数和二进制数转化为十进制数，再比较大小． （3） 采用“除二余法”将十进制数反复除以，记录余数，倒序排列即为二进制结果． (4) 先将二进制数按位值展开转化为十进制数，再用“除十六取余法”将十进制数转化为十六进制数． 【详解】（1）解：① ． ② ． （2）解：， ， ， ． （3）解：用除取余法， ， ， ， ， ， 将余数从下往上倒序排列，得． （4）解：第一步，将二进制数转化为十进制数： ． 第二步，用除16取余法将45转化为十六进制数： ， ， 将余数从下往上倒序排列，得， ． 34．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 【答案】(1)1， (2)D (3)12 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确； C．，，且，则，故正确； D．，或1，故错误；故选D； （3） 试卷第2页，共18页 12 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $