1.2 集合间的基本关系（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合间的基本关系，系统讲解子集、真子集、集合相等及空集的概念、符号表示与性质，包括子集个数公式。课堂通过“班级学生分类”情境导入，设计三个具体问题引导学生从女生与全体学生等实例中抽象关系，搭建集合概念到关系的学习支架。 其亮点在于互动探究与分层例题结合，通过Venn图直观表示集合关系培养几何直观，类比实数大小关系归纳概念发展推理能力，符号语言规范表达强化数学语言。典型例题分判断关系、求参数等类型，学海拾贝总结易错点。学生能深化理解并提升思维，教师可直接使用丰富资源提高教学效率。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2集合间的基本关系 学 习 目 标 1 2 理解子集、真子集、集合相等的概念；掌握符号语言（⊆、⊇、⊊、⊋、=）及Venn图表示方法。 了解空集（∅）的意义，掌握空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 会求已知集合的所有子集、真子集，并能正确判断两个集合之间的包含关系。 通过类比实数的大小关系，经历从具体到抽象的归纳过程，体会类比思想。 通过Venn图和数轴等工具，培养数形结合思想和直观想象素养。 新课引入 🏭情境设计：班级学生分类 问题1： 设 A={"我班全体女生"}，B={"我班全体学生"}，集合 A 与 B 有什么关系？ 问题2： 设 C={"我班住校生"}，D={"我班走读生"}，集合 C 与 D 有什么关系？ 问题3： 设 E={x∣-3x+2=0}，F={1,2}，集合 E 与 F 有什么关系？ 独立思考后小组讨论，尝试用自然语言描述集合间的关系。 互动探究 环节1：概念建构——子集 探究活动：观察以下集合对，寻找共同特征 - A={1,2}，B={1,2,3,4} M={"正方形"}，N={"矩形"} 提示：A 中的每一个元素是否都在 B 中？ 归纳：如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素，那么 A 与 B 存在包含关系。 概念形成：子集定义：如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 称为集合 B 的子集，记作 A⊆B（或 B⊇A），读作” A 包含于 B “（或” B 包含 A “）。 符号语言：∀x∈A，都有 x∈B，则 A⊆B。 即时辨析： A⊆B 与 a∈A 有什么区别？ 互动探究 环节2：深化理解——真子集与集合相等 序号 问题描述 核心前提条件 最终结论 标准数学符号表示 4 若 且 ，集合 与 有什么关系？ 集合的所有元素都属于集合，同时集合的所有元素也都属于集合 集合与集合完全相等 5 若 ，但 中至少有一个元素不属于 ，这时关系有何不同？ 集合的所有元素都属于集合，但集合中存在至少一个元素不在集合中 集合是集合的真子集 （也可写作） 自主归纳 集合相等：若 A⊆B 且 B⊆A，则 A=B。 真子集：若 A⊆B，但存在 x∈B 且 x∉A，则 A 是 B 的真子集，记作 A⫋B（或 B⫌A）。 互动探究 环节3：特殊集合——空集 问题6：方程 +2=0 的实数解组成的集合是什么？它与其他集合有什么关系？ 类别 内容 符号 空集定义 不含任何元素的集合 性质1 空集是任意集合的子集 性质2 空集是任意非空集合的真子集 ，则 易错区分 为空集；含元素0；为数字元素 三者意义各不相同 构建体系 🔗核心知识网络 集合间的基本关系 关系类型 定义 符号 Venn图 读法 子集 中任意元素都在 中 包含于 真子集 且 中有元素不属于 真包含于 集合相等 且 等于 构建体系 🔗重要性质总结 集合间的基本关系 类别 核心内容 标准符号/公式 子集的自反性 任何集合是它本身的子集 子集的传递性 若集合A是集合B的子集，且集合B是集合C的子集，则集合A是集合C的子集 若且，则 含n个元素集合的子集总数公式 含n个元素的集合，所有子集的总个数 子集总个数： 含n个元素集合的真子集总数公式 含n个元素的集合，所有真子集的总个数（排除集合自身） 真子集总个数： 含n个元素集合的非空真子集总数公式 含n个元素的集合，所有非空且不等于自身的子集总个数（排除空集和集合自身） 非空真子集总个数： 典型例题 类型三　组合体的表面积 　类型一、判断集合关系 【例1】下列关系式不正确的是( ) A.{1}⊆{1,2} B.{0}⊆{1,2} C.{2}⊆{1,2} D.1∈{1,2} 解析 选项A：集合{1}里的元素1在{1,2}中，满足子集定义，{1}⊆{1,2}，正确。 选项B：集合{0}的元素是0，集合{1,2}中没有元素0，不满足子集定义，关系式错误。 选项C：集合{2}里的元素2在{1,2}中，{2}⊆{1,2}，正确。 选项D：1是集合{1,2}中的元素，用∈表示属于关系，正确。 典型例题 类型三　组合体的表面积 　类型一、判断集合关系 【例2】（多选题）下面关系中正确的为（） A.0∈{0} B.⌀⫋{0} C.{0,1}⊆{(0,1)} D.{(a,b)}={(b,a)} 解析 选项A：集合{0}的元素是数字0，因此0∈{0}，正确。 选项B：空集是任何非空集合的真子集，{0}是非空集合，故⌀⫋{0}，正确。 选项C：{0,1}的元素是数字0、1；{(0,1)}的元素是有序数对(0,1)，两类元素完全不同，不存在包含关系，错误。 选项D：有序数对(a,b)与(b,a)一般不相等（如a=0,b=1时，(0,1)≠(1,0)），两个集合不相等，错误。 典型例题 类型三　组合体的表面积 　类型一、判断集合关系 【例3】集合A={x∣x=3n-2, n∈Z}，B={y∣y=3k+1, k∈Z}，则A，B关系。 解析 步骤1：变形集合A的表达式 x=3n-2=3(n-1)+1 令t=n-1，因为n∈Z，所以t∈Z， 则A={x∣x=3t+1, t∈Z}。 步骤2：对比 集合B 的描述完全一致，只是代表元字母、参数字母不同，集合只看元素属性，与字母无关。 结论: A=B（集合A与集合B相等） 典型例题 类型三　组合体的表面积 　类型二、利用集合间关系求参 【例4】{2,}⊆{2,4,m}，求m的值 。 解析 子集说明∈{2,4,m}，分三种情况 =2：m=± 检验集合互异性： m=：{2,2}舍去；m=-：{2,2}舍去，无解。 =4：m=2或m=-2 ,m=2：大集合{2,4,2}元素重复，舍去；m=-2：{2,4}⊆{2,4,-2}，符合。 综上：m=-2,0,1 典型例题 类型三　组合体的表面积 　类型二、利用集合间关系求参 【例5】已知集合A={-1,2}，B={x∣mx+1=0}，若B⫋A，则m的可能取值组成的集合为____。 解析 1. B=⌀：方程无解，m=0； B是方程mx+1=0的解集，B是A的真子集，分三类 2. B={-1}：x=-1代入，-m+1=0⇒m=1； 3. B={2}：x=2代入，2m+1=0⇒m=-。 取值集合：{0,1,-} 典型例题 类型三　组合体的表面积 　类型二、利用集合间关系求参 【例6】设集合A={-1,1}，集合B={x∣-2ax+b=0}，若B≠⌀, B⊆A，则(a,b)不能是( ) A.(-1,1)　B.(-1,0)　C.(0,-1)　D.(1,1) 解析 1. B={-1}：重根x=-1 根和：2a=-1+(-1)=-2⇒a=-1；根积：b=(-1)×(-1)=1，即(-1,1)，对应A可行。 B⊆A且B≠⌀，方程根只能为-1或1，分三种情况： 2. B={1}：重根x=1 根和：2a=1+1=2⇒a=1；根积：b=1×1=1，即(1,1)，对应D可行。 3. B={-1,1}：两根为-1,1 根和：2a=-1+1=0⇒a=0；根积：b=-1×1=-1，即(0,-1)，对应C可行。 检验B选项(-1,0)：方程+2x=0，根x=0,x=-2，0,-2∉A，不满足B⊆A。 答案：B 典型例题 类型三　组合体的表面积 　类型二、利用集合间关系求参 【例7】已知集合P={x∣+x-6=0}，集合Q={x∣ax+1=0}，满足Q⊆P，求满足条件的实数a的取值集合。 解析 情况1：𝑄=⌀（空集是任意集合的子集） 方程 𝑎𝑥+1=0 无解，一次项系数为0： 𝑎=0，此时𝑄=⌀，符合条件。 先化简集合P 解方程 +x-6=0 (x+3)(x-2)=0⟹x=-3或 x=2 ∴P={-3,2} 情况2：Q≠⌀，则a≠0，Q={-}，子集要求-∈P，分两种： ① -=-3 3a=1⟹a= ② -=2 2a=-1⟹a=- 汇总 a 的取值为 0,,- ∴ 实数a的取值集合：{0,,-} 典型例题 类型三　组合体的表面积 　类型二、利用集合间关系求参 【例8】已知集合A={x∣-2≤x≤5}，B={x∣m+1≤x≤2m-1} (1) 若B⊆A，求实数m的取值范围； (2) 若A⊆B，求实数m的取值范围。 解析 ① B=⌀：区间左端点 > 右端点,m+1>2m-1⟹m<2 (1) 解 B⊆A, 分两种情况：B=⌀、B≠⌀ ② B≠⌀，则 ⟹2≤m≤3 合并①②：m≤3 (2) 解 A⊆B，A非空，要A全部包含于B，则B一定非空： 不等式组无公共解，m∈⌀ 典型例题 类型三　组合体的表面积 　类型三、子集个数 【例9】(1) 写出 {1,2} 的子集 (2) 写出 {1,2,3} 的子集 解析 集合元素个数 n=2，子集总数 =4 集合元素个数 n=3，子集总数 子集：⌀,{1},{2},{1,2} 子集：⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} 子集个数由集合元素个数，结合公式可算得；写出子集，需要把所有子集一一列举出来，易漏掉空集。 典型例题 类型三　组合体的表面积 　类型三、子集个数 【例10】已知集合 M 满足 {-1,1}⊆M⊆{-4,-1,1,2}，写出不同 M。 解析 M 必须包含 {-1,1}，只能从剩余元素 {-4,2} 中任意选取搭配； 可选元素共 2 个，每个可选/不选。 子集数量：=4 所有符合条件的 M： {-1,1}, {-1,1,-4}, {-1,1,2}, {-1,1,-4,2} 典型例题 类型三　组合体的表面积 　类型四、子集个数求参 【例11】已知集合M={x∈Z∣1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m= （） A.1　 B.2　 C.3　 D.4 解析 推测M中元素个数 子集个数公式：若集合有n个元素，子集总数为。 已知M有4个子集，即=4⟹n=2，说明集合M含2个整数元素。 计算m的值 子集个数公式：若集合M={x∈Z∣1≤x≤m}，最小整数是1，要恰好2个整数：1,2。 因此m的取值范围：2≤m<3，选项中只有m=2符合。 举一反三 解答：先全部通分，统一分母为6： 1. 化简集合M x=m+, m∈Z,分子：6m+1，是除以6余1的整数。 2.化简集合N x=-, n∈Z,,令k=n+1，n∈Z⇒k∈Z 3n-2=3(k-1)-2=3k-5=3(k-2)+1,分子：3n-2可取全体形如3t+1（t∈Z）的整数。 1.若M={x∣x=m+, m∈Z}，N={x∣x=-, n∈Z}，P={x∣x=+, p∈Z}，试确定M，N，P的关系。 3.化简集合P x=+, p∈Z 分子：3p+1，全体形如3t+1（t∈Z）的整数。 4.最终关系：M⫋N=P 举一反三 解答 B⊆A，则∈A，≠3： =-2，无实数解； 2. =4m-4，-4m+4=0⇒=0⇒m=2 2.已知集合A={-2,3,4m-4}，集合B={3,}。若B⊆A，则实数m=____。 检验：A={-2,3,4}, B={3,4}，满足B⊆A。答案：2 举一反三 解析 ⌀是任何非空集合的真子集，条件说明集合{x∣+x+a=0}非空， 即一元二次方程+x+a=0有实数根，判别式Δ≥0。 Δ=-4⋅1⋅a≥0⟹1-4a≥0⟹a≤ 答案：(-∞,] 3.已知⌀⫋{x∣+x+a=0}，则实数a的取值范围是____。 举一反三 A⊆B ① a=0：不等式变为 0<1≤5，解集为R，R⊈B，舍去；② a>0：-<x≤，由A⊆B：⟹⟹a≥2 ③ a<0：≤x<-，由A⊆B：,解得a∈(-∞,-8)∪[2,+∞) 4.已知集合A={x∣0<ax+1≤5}，B={x∣-<x≤2}。 (1) 若A⊆B，求实数a的取值范围； (2) 若B⊆A，求实数a的取值范围 举一反三 (2) B⊆A ① a=0：A=R，显然B⊆A，成立； ② a>0：A=(-,]，B⊆A：⟹⟹0<a≤2③ a<0：A=[,-)，B⊆A： 4.已知集合A={x∣0<ax+1≤5}，B={x∣-<x≤2}。 (1) 若A⊆B，求实数a的取值范围； (2) 若B⊆A，求实数a的取值范围 合并三段：-<a≤2 a∈(-,2] 举一反三 M 必须包含全部 A 的元素 {1,3,5,7}，且至少多一个元素； B 比 A 多出元素：{2,4,6}，共 3 个元素。 这3个元素任意组合（不能全不选，因为是真子集）： 总组合数 = 全部子集数 - 全不选的1种 = 答案：7 5. A={1,3,5,7}, B={1,2,3,4,5,6,7}，A⫋M⊆B，求集合 M 个数 举一反三 子集个数为，说明集合A有2个不同实数根，即方程a-2x+1=0有两个不相等的实数解。 6.已知集合A={x∣a-2x+1=0}恰有4个子集，则实数a的值可以是（） A.-2　 B.-1　 C.0　 D.1 由a≠0：一元二次方程，需同时满足 判别式Δ=-4⋅a⋅1=4-4a，Δ>0⟹4-4a>0⟹a<1 答案：AB 学海拾贝 📌 知识部分 本节主要学习集合与集合之间的四种基本关系：子集、真子集、相等、空集，是集合运算的基础，也是考试高频考点。 关系类型 文字定义 数学符号 核心特点/口诀 子集（包含） 集合A中任意一个元素都在集合B中，则称A是B的子集 小含大、全在里面才叫子集；集合自身是自身的子集 真子集（真包含） ，且B中至少有一个元素不在A中，则A是B的真子集 A比B“小一号”，两个集合不相等 集合相等 且，则 两个集合元素完全相同，与元素顺序、重复与否无关 空集 不含任何元素的集合，记作 1. 空集是任何集合的子集：2. 空集是任何非空集合的真子集 学海拾贝 📌 知识部分 高频易错点 区分 ∈ 和 ⊆：∈ 是元素与集合关系；⊆ 是集合与集合关系，绝对不能混用。 0≠∅：0 是元素，空集是集合。 {0}≠∅：{0} 含有元素 0，不是空集。 任何集合都是自身的子集，但不是自身的真子集。 学海拾贝 📌 核心思想 通过“包含、相等”关系对集合进行大小比较，学会用数形结合、分类讨论解决含参子集问题，为后续交集、并集学习打基础。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $