1.3第2课时补集及综合应用课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦补集的定义、性质及综合运算，通过方程在不同数集的解集对比和集合关系问题导入，衔接子集、有理数集等旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合高考真题设计典例与定向训练，运用Venn图、数轴法培养直观想象，通过类题通法总结提升数学运算能力，助力学生深化数学抽象，既帮助学生掌握解题方法，也为教师提供系统教学资源。

第2课时　补集及综合应用 素养目标 思维导图 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义(数学抽象). 2.能求给定子集的补集(数学运算). 3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用(直观想象). 问题1.根据方程(x-3)(x2-2)=0在不同范围内的解集,完成下面的问题: 该方程在有理数集内的解集为　　　　;在实数集内的解集为　　　　　.  提示:方程在有理数集内的解集为{3},实数集内的解集为{3,,-}. 答案:{3}　{3, ,-} 问题2.观察下面三个集合A={1,2,3,4},B={5,6,7,8},U={1,2,3,4,5,6,7,8},完成下面的问题: (1)集合A与U;B与U;A∪B与U有什么关系? 提示:A⊆U,B⊆U,A∪B=U. (2)B中元素与U和A有何关系? 提示:B中元素都属于集合U,它是由U中不属于A的元素构成的. 自主探究 【核心概念】 1.全集 含有所研究问题中涉及的______元素的集合,通常记作U. 2.补集 所有 3.性质 A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=⌀,(∁UU)=⌀, ∁U⌀=U,∁U(∁UA)=A,(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B), (∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B). 探究点一　全集、补集的运算 【典例1】(1)设全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则∁UM=(　　) A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6} 【思维导引】本题考查了补集运算,直接利用补集的运算即可. 【解析】选C.因为U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},由补集的定义可知∁UM={3,5,6}. (2)若全集U={x|-3≤x≤3,x∈R},A={x|-3≤x≤0或1<x≤2},则∁UA=　　　　　　　.  【思维导引】本题考查集合的补集运算.在数轴上标出范围,求出补集. 【解析】如图,由补集定义可知∁UA表示图中阴影部分,故∁UA={x|0<x≤1或2<x≤3}. 答案:{x|0<x≤1或2<x≤3} 【类题通法】求补集的方法 (1)排除法:全集及其子集是用列举法表示的,从全集U中去掉所有属于集合A的所有元素组成的集合. (2)Venn图法:较为复杂的集合,还可借助于Venn图求解. (3)数轴法:全集及其子集是用不等式表示的,常借助于数轴求解. 【定向训练】 1.(2024·全国甲卷)集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则∁A(A∩B)=(　　) A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} 【解析】选D.因为A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A}={1,4,9,16,25,81},所以∁A(A∩B)={2,3,5}. 2.已知U={x|x>0},A={x|2≤x<6},则∁UA=　　　　　　　.  【解析】如图,分别在数轴上表示两集合,则由补集的定义可知, ∁UA={x|0<x<2或x≥6}. 答案:{x|0<x<2或x≥6} 探究点二　并集、交集、补集的综合运算 【典例2】(1)(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=(　　) A.∁U(M∪N) B. N∪∁UM C.∁U(M∩N) D. M∪∁UN (2)已知全集U=R,集合M={x|-1<x<1},N={x|0<x<2},则图中阴影部分表示的集合是(　　) A.{x|x≤0或x≥1} B.{x|x≤-1或x≥2} C.{x|0<x<1} D.{x|-1<x<2} 【解析】(1)选A.由题意可得M∪N={x|x<2},则∁U(M∪N)={x|x≥2},选项A正确; ∁UM={x|x≥1},则N∪∁UM={x|x>-1},选项B错误; M∩N={x|-1<x<1},则∁U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1},选项C错误; ∁UN={x|x≤-1或x≥2},则M∪∁UN={x|x<1或x≥2},选项D错误. (2)选B.题图中阴影部分对应的集合为∁U(M∪N), 因为M={x|-1<x<1},N={x|0<x<2}, 所以M∪N={x|-1<x<2}, 所以∁U(M∪N)={x|x≤-1或x≥2}. 【类题通法】求解集合混合运算问题的一般顺序 解决集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分,然后再运算其他,如求(∁UA)∩B时,可先求出∁UA,再求交集. 【定向训练】 1.(2023·天津高考)已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={1,2,4},则∁UB∪A=(　　) A.{1,3,5} B.{1,3} C.{1,2,4} D.{1,2,4,5} 【解析】选A.U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={1,2,4},则∁UB={3,5},故∁UB∪A={1,3,5}. 2.已知全集U=R,集合M={x∈Z|-1≤x-1≤2}和N={x|x=2k+1,k∈N*}的关系如图所示,则阴影部分表示的集合的元素共有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.无穷多个 【解析】选B.由题意,集合M={x∈Z|-1≤x-1≤2}==,N={x|x=2k+1,k∈N*},所以阴影部分表示的集合为(∁UN)∩M=,有3个元素. 【题后反思】由Venn图可得阴影部分表示的集合为(∁UN)∩M,由交集,补集的概念可得结果. 探究点三　补集的综合应用 【典例3】(一题多解) 已知集合A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|x≤1或x≥4}. (1)当a=3时,求A∩B; (2)若a>0,且A⊆∁RB,求实数a的取值范围. 【思维导引】(1)a=3时化简集合A,根据交集的定义写出A∩B; (2)方法一:直接法,根据A⊆∁RB,得出关于a的不等式,求出解集即可;方法二:转化法,条件A⊆∁RB转化为A∩B=⌀,再求实数a的取值范围. 【解析】(1)当a=3时,集合A=,B={x|x≤1或x≥4}, 所以A∩B={x|-1≤x≤1或4≤x≤5}; (2)方法一(直接法):因为A⊆∁RB,A={x|2-a≤x≤2+a}(a>0),得A≠⌀, 又B=,得∁RB=, 由A⊆∁RB,所以又a>0,解得0<a<1.所以实数a的取值范围是{a|0<a<1}. 方法二(转化法):因为A⊆∁RB,所以A∩B=⌀,又A=(a>0),得A≠⌀, 又B=,由A∩B=⌀,结合数轴,得又a>0,解得0<a<1. 所以实数a的取值范围是{a|0<a<1}. 【类题通法】已知集合的运算结果求参数的值或范围 (1)观察得出不同集合中元素之间的关系. (2)列方程(组)或不等式(组)求解. (3)注意对结果进行检验,避免违背元素的互异性. (4)注意对空集的讨论,以避免漏解. 【定向训练】 若集合{x|x2+x+a=0}中,至少有一个元素为非负实数,求实数a的取值范围. 【解析】由题意知,方程x2+x+a=0至少有一个非负实根. 若方程无非负实根,即方程无实根,或有两个负实根x1,x2. 则Δ=1-4a<0,解得a>,或 解得0<a≤. 综上可得a>0,记A={a|a>0}. 所以满足题意的实数a的取值范围是∁RA={a|a≤0}. 课堂练习 1.若全集U={1,2,3,4},集合M={1,2},N={2,3},则∁U(M∪N)= (　　) A.{1,2,3} B.{2} C.{1,3,4} D.{4} 【解析】选D.因为全集U={1,2,3,4},集合M={1,2},N={2,3},所以M∪N={1,2,3}, 所以∁U(M∪N)={4}. 2.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,5},∁UB={4,5,6},则A∩B=(　　) A.{1,2} B.{5} C.{1,2,3} D.{3,4,6} 【解析】选A.因为∁UB={4,5,6},所以B={1,2,3},所以A∩B={1,2,5}∩{1,2,3}={1,2}. √ √ 3.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},B={2,4,6},则A∩(∁UB)= (　　) A.{1} B.{2} C.{4} D.{1,2} 【解析】选A.因为∁UB={1,3,5},所以A∩(∁UB)={1}. 4.(多选题)设全集U=R,若集合M⊆N,则下列结论正确的是(　　) A.M∩N=M B.M∪N=N C.∁UM⊆∁UN D.(M∪N)⊆N 【解析】选ABD.如图所示, 当M⊆N时,M∩N=M,M∪N=N,故A,B正确;∁UN⊆∁UM,故C不正确;(M∪N)=N⊆N,故D正确. √ √ √ √ 5.已知A={x|-1<x<2},B={x|0≤x≤1}. 求:(1)A∩B.(2)A∪B.(3)(∁RA)∩(∁RB). 【解析】(1)由题意得A∩B={x|-1<x<2}∩{x|0≤x≤1}={x|0≤x≤1}. (2)由题意得A∪B={x|-1<x<2}∪{x|0≤x≤1}={x|-1<x<2}. (3)因为A={x|-1<x<2},B={x|0≤x≤1}, 所以∁RA={x|x≤-1或x≥2},∁RB={x|x<0或x>1},所以(∁RA)∩(∁RB)={x|x≤-1或x≥2}∩{x|x<0或x>1}={x|x≤-1或x≥2}. $