1.4相似三角形的判定（第3课时相似三角形的判定定理2）（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理2（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），课堂导入通过表格梳理已学判定方法（定义法、预备定理、判定定理1），类比全等三角形SAS提出问题，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过作辅助线构造相似证明定理（体现数学思维的推理能力），典例与应用涵盖多种情境，如例5用相似证直角、例9分类讨论AP长度（体现数学语言的应用意识），帮助学生发展逻辑推理与问题解决能力，也为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

第1章 图形的相似 第3课时 相似三角形的判定定理2 1.4 相似三角形的判定 导入新课 前面，我们学了哪些相似三角形的判定方法？ 预备定理 定义法 判定定理1 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形是相似三角形 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似 条件充分但较繁琐 图形中有平行线 有两组角相等 我们学习全等三角形判定方法时有SAS（两边及其夹角对应相等），相似三角形是不是也有类似的判定方法呢？ 两边对应成比例且夹角相等 学 习 目 标 1 2 理解并掌握相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（重点） 能熟练运用判定定理2判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形有关的问题。（难点） 新知探究 思 考 如图，已知△ABC ，然后作一个△，使∠=∠A， 且。△与△ABC相似吗?为什么？ 定义法 平行得相似 两角对应相等 通过平行构造A型图 在截取过点D作DE//， D E 从刚才的分析来看，你可以猜测满足什么条件的两个三角形相似？ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 你证明它吗？ △A′DE ≌△ABC △A′DE ∽△A′B′C′. 新知探究 已知：如图，在△ABC和△中, ∠A=∠A′, = . 求证： △ABC∽△. 证明：在△A′B′C′的边A′B′上取一点D，使 A′D=AB. 过点D作 DE∥B′C′， 交A′C′于点E. ∵ DE∥B′C′，∴△A′DE ∽△A′B′C′. ∴ = 又A′D=AB, =,∴ ==. ∴ A′E=AC. ∵∠A′=∠A,∴ △A′DE ≌△ABC(SAS). ∴ △ABC ∽△A′B′C′. D E 你能得到什么结论？ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 新知探究 总结归纳 相似三角形的判定定理2 几何语言 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 在△ABC和△ ∵ =，∠A=∠A′, ∴ △ABC∽△ 注意：相等的角必须是成比例两边的夹角 例4 如图， 在△ABC与△DEF中，已知∠C=∠F=70°，AC=3.5cm， BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求证：△ABC∽△DEF. 典例分析 3.5 2.5 2.1 1.5 从作标记来看，题目已知哪些条件？给了我们什么模型？ 两边及其夹角 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 已知夹角相等 只要两边对应成比例 例4 如图， 在△ABC与△DEF中，已知∠C=∠F=70°，AC=3.5cm， BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求证：△ABC∽△DEF. 典例分析 证明：∵ AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm ， ∴==，==， ∴=. 又∠C=∠F=70°， ∴ △ABC∽△DEF . （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） 例5 如图，在△ABC中，CD 是边 AB 上的高， 且=. 求证：∠ACB=90°. 典例分析 ∠ADC=∠BDC=900 ∆ADC与∆BDC两组对边成比例 ∠ACB=∠ACD+∠BCD=900 ∠ACD+∠A=900 ∠A=∠BCD ∆ADC与∆BDC相似 证明角相等的方法不仅只有三角形全等，还有相似啦。 例5 如图，在△ABC中，CD 是边 AB 上的高， 且=. 求证：∠ACB=90°. 典例分析 解： ∵CD是边AB上的高， ∴ ∠ADC=∠CDB=90°. 又=， ∴ △ACD ∽△CBD. ∴ ∠ACD=∠B. ∴ ∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°. 基础巩固题 新知应用 1.如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(　　) C B A C D 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 两边及其夹角 300 基础巩固题 新知应用 2. 如图，能判定△ADC∽△ACB的条件是（ ） A. B. C. D. D A B C D 公共角 夹这个角的两边对应成比例 基础巩固题 新知应用 3. 如图，已知∠BAD=∠CAE，添加下列条件，不能判定△ABE∽△ACD的是（ ） A. ∠ABE=∠ACD B. ∠AEB=∠ADC C. D. D A B C D E 不是两边对应成比例及其夹角相等 基础巩固题 新知应用 4.如图， 在四边形 ABCD 中， ∠B=∠ACD， AB=6， BC=4， AC= 5， CD=7.5， 求 AD 的长． 解：∵ = = ,∠B=∠ACD， ∴△ABC∽△DCA ∴ = = , ∴AD=AC× = 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 6 4 5 7.5 已知两边及其夹角 基础巩固题 新知应用 5.如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC=6，AB=5，EC=4，DB=7.求证：△ABC∽△AED． 证明：∵AC=6，AB=5，EC=4，DB=7， ∴AE=10,AD=12, ∴ ==, ∵ =,∠DAE=∠CAB, ∴△ABC∽△AED. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 能力提升题 新知应用 6.如图，点， 在线段上，且 是等边三角形，，， .求证： . 证明： 为等边三角形， ， ， ， , , ． ． 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 能力提升题 新知应用 7.如图，在与中，，且． 求证：． 证明：， ， ， ， ． 能力提升题 新知应用 8.如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD＝4DF，连接EF，BE. 求证：△ABE∽△DEF. 证明：设AB=4k，在正方形ABCD中，AB=AD=CD=4k，∠A=∠D=90°， ∴DF=k，AE=ED=2k， ∴== ， ∴△ABE∽△DEF 能力提升题 新知应用 9. 如图，已知 △ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似. 4 或 9 A B C D P P 解析：当 △ADP ∽△ACB 时，AP : AB = AD : AC ，∴ AP : 12 = 6 : 8 ，解得 AP = 9； 当 △ADP ∽△ABC 时，AD : AB = AP : AC ， ∴ 6 : 12 = AP : 8 ，解得 AP = 4. ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时， △ADP 和 △ABC 相似． 分类讨论 课堂小结 相似三角形的判定 判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理 2 的运用 感谢聆听! $