1.4 线段垂直平分线与角平分线（第2课时 角平分线的性质）（课件）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备课系列（苏科版2024）

苏科版（2024）八年级数学上册 第一章 三角形 第2课时 角平分线的性质 1.4 线段垂直平分线与角平分线 目录 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结与布置作业 课堂练习（分层练习） 01 学习目标 学习目标 1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点） 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;（难点） 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． 新课导入 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 线段垂直平分线的性质定理： ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴ PA＝PB （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 几何语言： 知识回顾 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. ∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上 （到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）. 几何语言： 知识回顾 知识点讲解 问题 如图，在∠AOB 的平分线上任意取一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PC和PD，垂足分别为C,D.PC与PD一定相等吗?如何证明? 证明：∵ PC⊥OB，PD⊥OA， ∴ ∠PCO＝∠PDO＝90 °. ∵OP是∠AOB的角平分线 ∴∠COP＝∠DOP 在△COP和△DOP中， ∴ △PCO ≌△PDO(AAS). ∴PC＝PD. B A O D C P ● 定义与概念 于是，我们得到角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等． 几何语言： P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 ∵OP平分∠AOB，PC⊥OB，PD⊥OA， ∴PC＝PD（角平分线上的点 到角两边的距离相等）. B A O D C P ● 典型例题 例1.如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 若△ABC的面积是12 cm2，AB＝6 cm，AC＝4 cm， 则DF＝_______cm． 2.4 经典例题 解题秘方: 先紧扣角平分线的性质得出DE＝DF，然后结合三角形的面积公式可得出点D到角的两边的距离． 解：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴ DE＝DF． ∵△ABC的面积是12 cm2，AB＝6 cm，AC＝4 cm， ∴ S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝AB·DE＋AC·DF＝12 cm2，∴ DF＝DE＝2.4 cm． 总结归纳 方法点拨 运用角平分线的性质解决问题时，条件中必须有角平分线的性质的模型(即角平分线+两垂直)，若缺少某个部分，则通过作辅助线补充完整，才能运用此性质解决问题. 知识点讲解 如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点一定在这个角的平分线上吗？如何证明？ O B A D C Q ● 证明：连接OQ． ∵QC⊥OB，QD⊥OA， ∴∠OCQ＝∠ODQ＝90°． 在Rt△OCQ 和Rt△ODQ 中， ∴ Rt△OCQ≌Rt△ODQ (HL)． ∴ ∠COQ∠DOQ． ∴ 点Q在∠AOB 的平分线上． 问题 定义与概念 于是，我们得到角平分线的性质定理的逆定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线是到角两边距离相等的点的集合. O B A D C Q ● ∵QC＝QD，QC⊥OB，QD⊥OA， ∴点Q在∠AOB的平分线上 . （角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）. 几何语言： 典型例题 例2.如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BE＝CF，BF和CE交于点D，连接AD.求证：AD平分∠BAC. 解题秘方：利用角平分线的判定定理证明角平分线时，紧扣点在角的内部且点到角两边的距离相等进行证明. 经典例题 证明：∵ BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠DEB＝∠DFC＝90°. 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(AAS). ∴ DE＝DF. 又∵ DF⊥AC，DE⊥AB， ∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC. 总结归纳 证明角平分线的方法: 1. 从数量上证明：被要证的线分成的两个角相等. 2.从形上证明：角的内部的点到角两边的距离相等，即只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想. 例3.（课本例题） 如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．求证：点P在∠C的平分线上． P A B D E F N M C 证明：过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分 别为F，M，N． ∵AD平分∠BAC，点P在AD上，PF⊥AB，PN⊥AC． ∴PF＝PN（角平分线的性质定理）. 同理PF＝PM．∴ PM＝PN． ∵PM⊥BC，PN⊥AC， ∴点P在∠C的平分线上（角平分线的性质定理的逆定理）. 经典例题 三角形的三条角平分线相交于一点 如图，把直尺的一边落在∠AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD；再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF，CD与EF相交于点P．连接OP，OP是∠AOB的平分线吗？为什么？ A B O C D E F P ● M N 解：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB， 垂足分别为M，N． ∵尺的宽度相等， ∴PM＝PN． 在Rt△OPM 和Rt△OPN 中， ∴ Rt△OPM≌Rt△OPN (HL)． ∴ ∠POM＝∠PON． ∴ OP平分∠AOB． 探究 课堂练习 知识点1 角平分线的性质定理 1.［2024江苏南京江宁区期中］如图，点在的平分线 上（不与点重合），于点，，若是 边上任 意一点，连接，则下列关于线段 的说法一定正确的是 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 点在的平分线上，，， 点到 边的距 离等于3， 点到边的距离为 点是边上的任意一点， 长的最小 值为3，即 .故选D. 基础题 22 2.［2025江苏南京质检］如图，是 的角平分线， 于点，，，，则 的长是 ( ) C A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】如图,过作于 . 是的角平分线， ， , ， ，，， ，故选C． 23 3.如图，已知的周长是21，，分别平分 和 ，于点，且，则 的面积是___. 【解析】作于，于，连接 平分， ，， ， 同理，周长是21，， 的面积为 .故答案为 ． 思路分析作于，于，连接，根据角平分线的性质分别求出 ， 的长度，然后利用三角形的面积公式计算即可. 24 知识点2 角平分线性质定理的逆定理 4.［2024广东肇庆期末］如图所示的是一块三角形草坪 ，现 要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离 相等，则凉亭的位置应选在( ) B A.三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C.三条高所在直线的交点处 D. 三边的垂直平分线的交点处 【解析】 凉亭到草坪三条边的距离相等， 凉亭的位置应选在 三条角平 分线的交点处.故选B. 25 5.［2025江苏南京江宁区质检］小明同学只用两把完全相同的长方 形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺压住射线 ， 另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点 ，小明说：“射 线就是 的平分线.”小明的理论依据是_________________ ___________________________. 角的内部到角两边 距离相等的点在角的平分线上 【解析】由题可知点到,的距离相等,平分 （角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），故答案为角 的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 26 6.如图，点在的内部，于点，于点,点， 分别在 ，上，且，．求证：平分 ． 【证明】， ， ． 在和中， ， ． 又，，平分 ． 27 知识点3 三角形的角平分线 7.如图，在中，点是该三角形角平分线的交点．若， ， ，则,, 的面积之比为_______． 【解析】根据角平分线的性质定理，得点到的三边距离相等，则 ， ，的面积之比为 ． 28 8.如图，直线，， 表示3条互相交叉的公路．若要建一个货 物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的站址 有___处． 4 【解析】如图，根据角平分线的性质定理，可知 内部有1 个点，另外与的平分线的交点、与 的平 分线的交点、与 的平分线的交点也符合题意，故可供 选择的站址有4处． 29 9.如图，在中，点在边上， ， 的平分线交于点 ，过点作，交的延长线于点 ，且 ，连接 . （1） _____； 提升题 （2）求证：平分 ； 证明：过点作于点，于点 ， 易知 ，，， 平分，， ，， . 又，，平分 . 30 （3）若，，，且，求 的面积. 解：， , ，即 ， 解得， ， . 返回 9.如图，在中，点在边上， ， 的平分线交于点 ，过点作，交的延长线于点 ，且 ，连接 . 31 10. 已知 ，是 的平分线，将直角 的直角顶点在射线上移动，使一直角边与边交于点 ，另一直角边与边 交于点 . 拓展题 32 （1）如图①所示，求证： ； 证明：过点作于点，于点 ，如图①， 则 .又 ， ， 即 . ， . 是的平分线，, , . 在和中， ， . 33 （2）若另一直角边与边的反向延长线相交于点 （如图②所示），则与 还会相等吗？若相等，请予以证明；若不相等，请说明理由. 解：与 还会相等，证明如下： 过点作于点，于点 ，如图②， 则 . 是的平分线，, , . ， ， . 在和中， ， . 34 课堂小结 角平分线的性质及判定 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 重要结论 三角形的角平分线相交于内部一点 本节课同学们学到了什么？ 布置作业 作业题 教科书第40-41页练习 第1，2题 1.利用网格画图： (1) 在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等； A B C ● P 课本练习 1.利用网格画图： (2) 在射线AP上找一点Q，使QB＝QC. A B C ● P ● Q M N 2．如图，判断△ABC的外角∠BAD，∠ABE的平分线的交点是否在∠C的平分线上，并证明你的结论. A B C D E F O ● 解：△ABC的外角平分线的交点在∠C的平分线上. 证明：如图，∠BAD，∠ABE的平分线OA、OB交 于点O．过O点作OF⊥CD，OM⊥AB，ON⊥CE， 垂足分别为F，M，N. ∵点O在∠BAD的平分线上，OF⊥AD， OM⊥AB. ∴OF＝OM. 同理OM＝ON. ∴OF＝ON. ∵OF⊥CD，ON⊥CE， ∴点O在∠ACB的平分线上.　 感谢观看 $$