河北沧州市泊头市第一中学2025-2026学年高一下学期6月核心素养训练数学试题

2025一2026学年下学期核心素养训练 高一数学 班级 姓名 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.一个不透明的袋子里装有红、白两种小球，除颜色外其余完全相同，总计20个.进行有放回的 重复摸球（每次摸一个）试验，多次试验后，摸到红球的频率稳定在0.6附近，则红球的个数约为 A.6 B.8 C.12 D.14 2.已知复数z=c0s石-isin石，则其共轭复数之在复平面内对应的点位于 A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.某中学为了弘扬燕赵传统文化，计划从高一年级、高二年级和高三年级中，采用按比例分层随 机抽样的方法，抽取容量为n的样本组成“非遗文化宣讲团”.已知该校高一年级有学生1200 人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人.若从高一年级抽取了12人，则n的值为 A.24 B.28 C.30 D.36 4已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,6c,且A=经，b=4,c=3E,则a= A2√J15 B.4√3 C.√58 D.√/10 5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，得到的直观图是矩形A'B'C'D(如图所示)，其中 AB=1,A'C'=2,则原图形的面积是 D' C x A.√3 B.2 C.√6 D.2√6 高一数学第1页（共4页) 闔®金E 6.在△ABC中，|AB1=2,|AC1=3,且AB·AC=1,则BC在AB上的投影向量为 A-号 B2A店 C-是A脑 D猫 7.已知样本数据a,b,c的平均数为k(k>0),方差为1.若a2,b2,c2的平均数为17，则k= A.3 B.4 C.5 D.6 8.如图1，正三棱柱形容器ABC-A1B1C1中盛有水，水的体积为18√5，侧棱AA1=8,底面边长 AB=2√5，当侧面AA1B1B水平放置时（如图2），水面的高度为 图1 图2 A.3 C.√2 D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知复数z满足|z|=1,则 A.z2=1 B.z一2i的最大值为3 C.z+ 一定是实数 D.s- 一定是纯虚数 2 10.某随机试验中，事件A与事件B互斥，且P(A)=0.3,P(B)=0.4,则 A.P(AUB)=0.7 B.P(A∩B)=0.1 C.P(A∩B)=0.3 D.P(AUB)=1 11.已知m,n是两条不同的直线，a,B,y是三个不同的平面，则下列命题中错误的是 A若a⊥Y,B⊥Y,则aB B.若ma,na,则mn C.若m⊥a,n⊥B,m⊥n,则a⊥β D.若a∩B=n,m∥n,则ma且mB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(2,一1)，b=(3,4),则(2a一b)·b= 13.在平行四边形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC的中点，DE与AF交于点P.若AP= XAB+AD,则1十μ= 14.已知圆锥S0的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，AB为底面圆O的一条直径，C为 圆O上的一个动点（不与A,B重合），则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为 高一数学第2页（共4页） 器田侧 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 某校为了了解高一学生的体重情况，随机抽取了100名男生进行测量，将体重数据（单位： kg)整理后分成5组：[50,55)，[55,60)，[60,65)，[65,70)，[70,75]，并绘制了如下的频率 分布直方图. (1)求频率分布直方图中x的值； (2)估计这100名男生体重的第80百分位数， 个频率/组距 0.08 0.03 0.02 505560657075 体重kg 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD,点E为PD的中点. (1)证明：PB平面AEC: (2)若∠PDA=30°，求直线AC与平面PBC所成角的正切值. 17.（本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足b(cosC-2cosA)=(2a一c)cosB. (1)求二的值； (2)若△ABC为锐角三角形，求cosB的取值范围. 高一数学第3页（共4页） 露®a图 18.(本小题满分17分) 如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2√2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成 △A1DE,点M为线段A,C的中点，连接BM. (1)若A1C=√6，求证：A1D⊥平面A1EC; (2)若∠A,DC=45°，求异面直线MB与EC所成角的余弦值. M ò E B 19.（本小题满分17分) 某班级举办“趣味闯关赢文创”活动，每位同学需依次参加三项独立的挑战任务（顺序可自行 安排)，各任务结果互不影响.若连续通过两项任务，可获得1份文创小礼品；若连续通过三项 任务，可额外再获得1份（共2份）；其余情况无礼品.挑战任务均基于一个装有编号分别为1， 2,3,4,5的5个大小形状相同小球的盒子，规则如下： 任务A:从盒子中随机摸出1个小球.若小球编号小于4，则通过 任务B:从盒子中有放回地依次摸球两次，每次摸出1个小球.若两次摸出的小球编号均小于 4,则通过 任务C:从盒子中不放回地依次摸球两次，每次摸出1个小球.若两次摸出的小球编号之和小 于m,则通过： (1)求单个同学分别通过任务A、任务B的概率. (2)当m=4时，应如何安排三项任务的顺序，才能使单个同学获得文创礼品的概率最大？ (3)若所有同学都按任务A-→B→C的顺序进行，组委会要求：①单个同学获得2份礼品的概 率不低于0.1；②单个同学获得礼品的概率不超过0.34.请确定整数m的取值范围. 高一数学第4页（共4页） 腦巴思 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A C C D C B B BC ACD ABD 1.C解析：20×0.6=12，故选C. 3 2.A解析：因为z=cos g-isin 62 所以：-号+在复平面内对的点为停，》 故选A 解析：由题可知，1 1200 3.C 1200+1000+800 解得n=30,故选C 4.C 解析：由余弦定理，得a=6+e-2k0sA=16+18-2×4×3厄×(）=58，所以a=√5丽，故 选C C③扫描全能王 5.D解析：由四边形A'B'C'D'为矩形，A'B'=1,A'C=2,得AD'=√3，则矩形A'B'C'D'的面积S' √3×1=√3，又斜二测画法中，原图形面积是直观图面积的2√2倍，所以原图形的面积S=2√2×3= 2√6，故选D 6.C解析：由题可知，BC在AB上的投影向量为 C:A正店-C-·正=-子故选C ABI ABI 7.B解折：由题意知，a+b+c=k.a-k)+6-k)+c-k)-。2+62+2-3张=1，即k:= 3 3 a2++c-1,又++c=17,则k2=16,又k>0,所以k=4,故选B 3 3 8.B解析：正三棱柱容器的总容积为V。=S△c·AA1=243,则无水部分体积V=V。一Vk=63.当 侧面AA,B,B水平放置时，设无水部分的底面三角形面积为S,则S-6,3_3y3 底面正三角形ABC 84 h号×233设水平放时无水部分底面的显角形高为，则。点 )解得-所 以水面高度为A一-号，故选R 9.BC解析：设z=a+bi(a,b∈R),则a2+b2=1.对于A,当a=0,b=1时，x2==一1，A错误：对于B, |:一2i表示复平面上以原点为圆心，1为半径的圆上的点到点(0,2)的距离，最大距离为2十1=3，B正 确：对于C.:+=a十b1+a-bi=2a,2a是实数，C正确：对于D.-是=(a+b1）-a-b1=2i。 当a=1,b=0时2-1=0，D错误.故选BC 10.ACD解析：对于A,因为A与B互斥，所以P(AUB)=P(A)+P(B).即P(AUB)=0.3十0.4= 0.7,A正确：对于B.因为A与B互斥，所以A∩B=☑，即P(A∩B)=0,B错误：对于C,因为A与B 互斥，所以A二B,因此A∩B=A,故P(A∩B)=P(A)=0.3,C正确：对于D,因为AUB=A∩B,当 A与B互斥时，A∩B=☑.因此P(AUB)=P(A∩B)=1.D正确.故选ACD. 11.ABD解析：对于A,两个平面垂直于同一个平面，它们的位置关系不一定是平行，也可能是相交，A错 误：对于B,两条直线平行于同一个平面，它们的位置关系可以是平行、相交或异面，B错误：对于C,因为 m⊥a,n⊥B,且m⊥n,过直线m与平面a的交点，在a内作ln,由n⊥3，lm,得l⊥3，又lCa,根据面 面垂直的判定定理，可得a⊥3，C正确：对于D,当mCa时，即使m∥n,也不能说m∥a,同理，当mC3 时，也不能说m3,D错误.故选ABD. 12.一21解析：因为a=(2,一1)，b=(3,4),所以2a一b=(1,一6)，所以(2a一b)·b=1×3+(-6)×4= -21. 13.是解析：设A店=aAD=b.由P在AF上，设A=A=a+b∈0,1])，由P在DE上，设 A护=A心+D正=b+s(2a-b)=气a十1-s)b(∈[0，)，由平面向量基本定理，得 解 2 =1-8, 得=号=所以币=号0+b,即+=号+-是 解析：设圆锥母线长为，因为侧面展开图为一个半圆，所以2π×1=πd,解得1=2，所以圆锥的高 餐巴全艇 为5.由题可知，三棱锥S-ABC的外接球的球心在直线SO上，设为O1,半径设为R,如图，连接O,B, 则SO,=O,B=R,所以OO1=3-R,在R1△OO,B中，O,B2=OO月+OB2,即R=(5-R)+ ,解得R=2号.则三校锥S-ABC的外接球的表面积S=4R=×)-1 3 0 B C 15.解：(1)由题可知，(0.02十0.03十x十0.08十0.03)X5=1,…3分 解得江=0.04.…5分 (2)因为前3组频率和为(0.02十0.03十0.04)×5=0.45，前4组频率和为0.45+0.08×5=0.85， 所以第80百分位数在第4组[65,70)内，…8分 设为m,则0.45十(m一65)X0.08=0.8,… 11分 解得m=69.375。… 13分 16.解：(1)证明：如图，连接BD,交AC于点O,连接OE. 因为底面ABCD是正方形，所以O是BD的中，点. 又点E为PD的中点，所以OEPB.…3分 因为OEC平面AEC,且PB中平面AEC,所以PB∥平面AEC.…6分 (2)设底面正方形ABCD的边长为a. 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥BC,△PAD为直角三角形. 又∠PDA=30,所以PA=AD·tam30°=3 3a。 …8分 因为底面ABCD为正方形，因此BC⊥AB. 由于PA∩AB=A,且PA,ABC平面PAB,所以BC⊥平面PAB. 又BCC平面PBC,因此平面PBC⊥平面PAB,且交线为PB.…I0分 过点A作AH⊥PB,交PB于点H,则AH⊥平面PBC, 连接CH,则∠ACH即为直线AC与平面PBC所成的角.…11分 易知PB=√JPA十AB /3 3a,AH=PA:AB3a·a +a2-2 PB 23 2AC=2a. 在R△ACH中，CH=AC-AT= 2, …14分 所以n乙ACH-2铝-亭 …15分 17.解：(1)由正孩定理，得sinB(cosC-2cosA)=(2sinA一sinC)cosB,…3分 整理得sin Bcos C十sin Ccos B=2(sin Acos B十cos Asin B),…4分 则sin(B十C)=2sin(A十B),即sinA=2sinC,… 5分 霸巴全手 所以C= sin C I a sin A 2 …6分 (2)因为△ABC为锐角三角形，所以三个内角均为锐角 由余孩定理，得cosA=十c2-a >0, 2bc 代入a=2c得，b2十c2-4c2>0,所以b2>3c2,…8分 又cosB=a2+c2- ->0,得b2<502,…9分 2ac 结合三角形两边之和大于第三边：a十c>b→3c>b,即b2<9c2,b十c>a→b>c,即b2>c2, 因此32b2<52,…11分 b* 岭k,则3k5…12分 cos B-cbcb5-k …13分 2c·2c 4c2 4 因为3<k<5,所以0<5-k<2,即0<c0sB<2, 故mB的取值范国为0，》， …15分 18.解：(1)证明：由题易得，AD=BC=AE=EB=√2，DC=2√2， 则DE=√AD+AE=2,EC=√EB2十BC=2,…2分 又A,E=AE=√2，所以A,E+EC=6=A,C,所以EC⊥A,E. 又DE2十EC2=4十4=8=DC2,故DE⊥EC.… …4分 又A,E∩DE=E,所以EC⊥平面A,DE,因此EC⊥A,D. 由翻折性质得A,D⊥A,E 又A,E∩EC=E,且A,E,ECC平面AEC,故A,D⊥平面A,EC. (2)如图，取A,D的中点G,连接GM,GE,CG, 因为M为线段A,C的中点，所以GM/DC,且GM=2DC,…7分 又EB/DC,且EB=号DC.所以GM/EB,且GM=EB, 所以四边形GMBE为平行四边形，所以GEMB,且GE=MB,…9分 所以∠GE℃为异面直线MB与EC所成的角或其补角. …10分 在R△EAG中A,E=AG-号所以GE=MB=四 2 …12分 在△GDC中，根据余孩定理得CG=DG2+DC-2DG·DCcos∠A,DC=号-2. 17 …14分 +4-(-2w2) 5 在△GEC中，根据余孩定理得cos∠GEC-GE+EC-CG”_ 2W5-√/10 2GE·EC 10 10 2×2 ×2 …16分 故异面直线MB与EC所成角的余孩值为25-西 …17分 10 霸巴归全赶 D E B 19.解：设事件A为“通过任务A”,事件B为“通过任务B”,事件C为“通过任务C” )因为事件A为从盒子中随机摸出一个小球，编号小于4（即1,23），所以P(A)三。：…2分 因为有放回摸2次，共25个样本点，又n(B)=9,所以P(B)一25 9 (2)任务C的所有样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(23)，(2,4)，(2.5)，(3,1)，(3,2)， (3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20个， 21 当m=4时，通过的样本点为1,2)，2,1D,有2个，所以P(C)=00 …5分 记事件E=“同学按自己选定的顺序参加三个任务，获得礼品”， 事件M=“同学按自己选定的顺序参加第一个任务，通过”， 事件N=“同学按自己选定的顺序参加第二个任务，通过”， 事件T=“同学按自己选定的顺序参加第三个任务，通过”， 则获得礼品的概率P(E)=P(MN)+P(NT)一P(MNT), 其中P(MN)=P(M)P(N),P(NT)=P(N)P(T),P(MNT)=P(M)P(N)P(T),…6分 所以，根据桑法交换律，第一个任务和第三个任务的位置不影响获得礼品的概率的大小， 其大小取决于第二个任务的选择，下面以第二个任务的选择为研究对象分三种情况进行讨论：…7分 ①若第二个任务选择任务A,则三个任务的顺序为B·A→C成C→A→B,所以获得礼品的概率为 3931391_159 P,(E)=号×25+号×05×25×1065 001440444444…8分 ②若第二个任务选择任务B,则三个任务的顺序为A→B→C或C→B→A,所以获得礼品的概率为 P,(E)=3×9+9×13×91144 号×5+25×105×25X10625 …9分 ③若第二个任务选择任务C,则三个任务的顺序为BC→A或A→C→B,所以获得礼品的概率为 31193、9、193 P,(E)=5×i0+i0×55×25×i0-1250 ………4…10分 因为P,(E)>P:(E)>P,(E), 所以为使获得礼品的概率最大，同学应将任务A放在第二个任务的位置，第一个任务可在任务B、C中任 选，进而确定第三个任务。…1】分 (3)按顺序A→B→C, 约来条件①：获得2份礼品的概率不低于0.1. 因为旅得2份礼品P三项物过，所以其热来P-P(AP(BP(C名××PC贸pC2 0.1→P(C)≥0.1×27=5 12525 …13分 约束条件②：获得礼品的概率不超过0.34. 获得礼品的概奉P=P(AB)+P(BC)一PABC)=125+2巧 279p(C)-25P(C)≤0.34. 餐巴金 解得PC<器 …15&分 枚举P(C)的取值（不放回摸2个小球，编号之和小于m的有序结果数共20种）： 编号之和小于m的 P(C) 是否满足 5 a 组合数 54 P(C)s别 36 m=3 0种 0 否 m=4 2种 0.1 否 m=5 4种 0.2 否 m=6 8种 0.4 否 m=7 12种 0.6 是 m=8 16种 0.8 是 m=9 18种 0.9 否 m=10 20种 1.0 否 因此，整数m=7或8.… 17分 鬚巴全手