衔接点05 一元二次不等式的补充（讲义，上海专用沪教版）数学初升高衔接

衔接点05 一元二次不等式的补充 初中视角 高中展望 1.一元二次方程：仅掌握判别式判断实数根有无，基础韦达定理，只计算无参数代数式；完全不学习一元二次不等式. 2.代数运算：仅数字系数因式分解、整式简单运算，无含参数变形，不会利用方程根反向推导不等式系数. 3.思维逻辑：二次函数、二次方程知识点完全割裂，不会结合图像分析自变量取值范围，几乎不涉及分类讨论. 4.书写规范：只需算出最终数值答案，解题步骤简略，不要求用集合、区间规范书写解集. 1.三个二次关联： 、、 三者结合解题，抛物线上下图像直接对应不等式解集，判别式、韦达定理多用于求解参数取值范围. 2.含参不等式核心：对分层讨论二次项系数正负、判别式符号、两根大小，完整求解参数范围. 3.两类综合不等式： ①全体实数范围恒成立：联立抛物线开口方向、判别式列出不等式组求解； ②指定区间恒成立、区间有解：分离参数转化为函数最值问题，或依据对称轴与区间位置分类讨论函数最值. 4.书写规范：解集必须使用集合、区间表示，多条件联立书写不等式组，分类讨论标注前提条件，推导逻辑完整闭环. 衔接引导 1.打通“三个二次”内在联系：依托初中二次函数图像、一元二次方程实数根，延伸学习利用图像求解一元二次不等式，建立数形结合基础解题方法. 2.拓展韦达定理在不等式中的应用：一元二次不等式解集端点是对应方程的实数根，结合韦达定理列等式求解参数，弥补初中无参数题型的局限. 3.建立完整分类讨论思维：针对含参一元二次不等式，按二次项系数、判别式、两根大小三层有序分类，做到不重不漏. 4.区分区间恒成立、区间有解两类题型逻辑：掌握最值转化思路，分清“区间内全部满足不等式”与“区间内存在满足不等式”的最值选取差异. 5.规范数学答题书写：熟练使用集合、区间表达解集，多限制条件分步列式，每类分类讨论标注对应前提，论证过程步步有据. 考点阐释 一元二次不等式的解与解集 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中）的不等式叫做一元二次不等式. 1. 一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的的值，叫一元二次不等式的解，其解的集合，称为一元二次不等式的解集. 2. 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 为方便起见，我们先研究二次项系数时的一元二次不等式的解.对于一元二次方程，设，解的情况按，，分别为下列三种： ① 当时，抛物线与轴有两个公共点和，方程有两个不相等的实数根和，由图可知不等式的解为；不等式的解集为. ② 当时，抛物线与轴有且仅有一个公共点，方程有两个相等的实数根，由图可知不等式的解集为；不等式无解. ③ 当时，抛物线与轴没有公共点，方程没有实数根，由图可知不等式的解为一切实数；不等式无解. 判别式 的图象 一元二次方程的根 有两个相异实根 有两个相等实根 没有实数根 二次函数的图象 开口向上、与轴交于两点的抛物线 开口向上、与轴相切的抛物线 开口向上、与轴无交点的抛物线 的解集 的解集 一元二次方程的根对应于二次函数图象与轴的交点，一元二次不等式的解对应于二次函数图象在轴上方（下方），或在轴上的点，由此得出二次函数图象的开口方向及与轴交点情况确定的一元二次不等式的图象解法，这样就形成了二次函数与一元二次方程相结合的解一元二次不等式的方法. ① 解一元二次不等式时，当二次项系数为负时，通常化为二次项系数为正的情形. ② 在具体求解一个标准形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根以及二次函数的图象，这种方法体现了“化归”的数学思想方法的运用，要注意体会. ③ 解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式. 含参变量的一元二次不等式解法及应用 (1) ① 一元二次不等式在上恒成立一元二次不等式的解集为二次函数的图象恒在轴上方 ② 一元二次不等式在上恒成立一元二次不等式的解集为二次函数的图象恒在轴下方 推论1 一元二次不等式，它的解集为的条件为. 推论2 一元二次不等式的解集为的条件为. 推论3 若改为不等式（或），又该如何呢？ (2) 由不等式恒成立求参数取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是，. 题型一、一元二次不等式的概念及辨析 下列不等式是否是一元二次不等式？ (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)是 (2)答案见解析 (3)不是 (4)不是 【分析】根据一元二次不等式的概念判断即可. 【详解】（1）是一元二次不等式. （2）时，为一元一次不等式.； 不等于0时，是一元二次不等式 （3）是二元二次不等式. （4）是一元一次不等式. 已知不等式的解集是，则（    ） A．-10 B．-6 C．0 D．2 【答案】A 【解析】由一元二次方程根与系数的关系求得即可得出结果. 【详解】因为不等式的解集是, 所以的两根为，则，即， 所以. 故选：A 【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求解参数，一元二次不等式的解法，属于基础题. 已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集的关系求结果. 【详解】由题设且， 所以，所以不等式的解集为. 故选：B 已知方程的两个实数根分别为，，则不等式 的解集为 _______. 【答案】 【解析】由题意得方程的两根为和1，由根与系数的关系可得，，代入即可得解. 【详解】方程的两根为和1，由根与系数的关系可得， ，， 可变为，即，解得. 故答案为：. 题型二、解不含参数的一元二次不等式 不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】，解得或， 所以不等式的解集为或 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，结合二次函数的图象即可得出答案. 【详解】，二次函数图象开口向下，可知解集为， 故选：D. 不等式的解集是____. 【答案】 【详解】不等式化为， 因式分解得，解得. 不等式的解集为， 求函数的解集__________. 【答案】 【详解】对原不等式 两边同时乘以 ，不等号方向改变，得到 . 因式分解得，因此原不等式等价于 . 令 ，解得两根为 和 . 由于二次函数 的二次项系数为正，图象开口向上，    因此 解集为. 解不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】因式分解解二次不等式即可 【详解】不等式的解集为， 故答案为：． 已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求函数在上的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式解法直接计算可求出不等式解集； （2）由二次函数对称轴位置以及所给区间即可计算得出最大值. 【详解】（1）当时，不等式，解得， 即不等式的解集为， （2）当时，函数， 即函数为开口向上的二次函数，对称轴为, 又易知，对称轴在轴的左侧，所以函数在上单调递增，且3距离对称轴较远， 所以函数在上的最大值为，即. 题型三、解含有参数的一元二次不等式 不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知不等式的解集得到的符号及关系，再根据一元二次不等式求解方法解不等式. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且，所以. 所以不等式可化为， 所以或. 所以不等式的解集为. 故选：A 【方法总结】 解含参数的一元二次不等式时，仍按照一般不等式的方法求解，但要注意参数的影响.若二次项系数为常数，先考虑因式分解再对参数讨论；若不易因式分解，则可判别式讨论，要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想.分类讨论要做到“不重”“不漏”“最简”的三原则.其中引发分类因素以及讨论的常见方法如下：(ⅰ)若二次项系数含有参数不确定正负时，则应分，，三种情况讨论. (ⅱ)若一元二次方程的判别式符号不确定，则应分，，三种情况讨论. (ⅲ)若求出的根中含有参数不确定大小时，则应对两根的大小进行讨论. 关于的不等式：，当时，不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】将不等式分解因式可得答案. 【详解】由得， 由，得， 解得，或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 已知函数． (1)当时，求出函数在上的值域； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）将代入，得到，根据二次函数的性质，结合给定的区间，求出函数的最值，进而得出函数的值域； （2）先对分解因式，然后根据与4的大小关系进行讨论分别求解的解集. 【详解】（1）当时，，其对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， 因为，，， 所以在区间上的值域为. （2），由， 即， 当时，得， 当时，得，不等式无解， 当时，得， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 已知函数，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】根据条件得到，利用含参的一元二次不等式的解法，对进行讨论，即可求出结果. 【详解】由可得，，即， 当，即时，解得， 当时，解得， 当，即时，解得， 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】化简原不等式，分类讨论的取值，结合一元二次不等式的解法即可求解． 【详解】由题意，，即， 由于方程的根为， ①当时，，故原不等式的解为； ②当时，，原不等式为，故原不等式无实数解； ③当时，，故原不等式的解为； 综上所述： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型四、由一元二次不等式的解确定参数 若关于的不等式的解集为，则（   ） A．5 B．1 C．-1 D．-5 【答案】D 【分析】由一元二次不等式的解集与对应的方程的解的关系结合二次方程根与系数的关系求解即可. 【详解】关于的不等式的解集为， 则是方程的两个根， 根据韦达定理可知，解得， 故选：D. 【方法总结】 不等式解集端点是对应一元二次方程两根，且二次项系数符号由解集区间判断. 1.若解集为，二次项系数；解集，则. 2.用韦达定理：两根和、两根积，列方程求参数. 3.已知解集求另一不等式：先推出系数比例关系，代换化简后再解新二次不等式. 易错点：忽略二次项系数正负，直接套用韦达定理导致符号出错. 关于的不等式的解集是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知关于的方程的两根分别为、，根据韦达定理可求出、的值，即可得解. 【详解】由题意可知关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，解得，，故. 故选：A. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________ 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以有， 所以，或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的值为________． 【答案】 【分析】依题意和为方程的两根，利用韦达定理求解即可； 【详解】由题意，和为方程的两根，且. 所以，解得，所以． 故答案为： 若关于的不等式的解集为，则的值为__________ 【答案】 【分析】依题意可得关于的方程的两根为和且，利用韦达定理得到、、的关系，即可得解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为和且， 所以，即，所以. 故答案为： 题型五、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据三个二次的关系解得系数的关系，进而直接解一元二次不等式可得. 【详解】关于的不等式的解集为或， 故，且，整理得到， 所以不等式，即，解得， 故选：A． 【方法总结】 三者互通，方程根是函数与x轴交点，不等式解集看图像上下区域. 1.已知不等式解集，得方程两根与符号，推出 比例，再解新不等式、判断函数图像. 2.给定函数，取图像x轴上方区间，取下方区间. 3.图像判断要点：开口由二次项系数定，零点对应方程根，解集区间与零点位置匹配. 解题关键：数形结合，先定开口，再找零点，直接读出解集. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三个二次的关系，求解间的数量关系，代入函数，分析即可判断函数图象. 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和，且， 则，解得， 故函数的图象开口向下， 且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A. 已知函数， (1)求时，的取值； (2)求时，的取值范围； (3)求时，的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）解一元二次方程，求出的取值； （2）结合二次函数图象，求出的取值范围； （3）结合二次函数图象，求出的取值范围． 【详解】（1）已知， 当时，，即， 解得， 时，的取值为2，3． （2）函数开口向上， 当时，的取值范围为或．    （3）函数开口向上， 当时，的取值范围为．    函数 (1)若，求的解集； (2)若关于的方程只有一个根，求的值； (3)关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或1 (3) 【分析】（1）解一元一次不等式可得结果； （2）分和，结合根的判别式得到不等式，即可得到的值； （3）分和，结合二次函数的图象性质得到不等式，即可得到的取值范围. 【详解】（1）当时，，当时，，解得， 所以的解集为. （2）由题意，只有1个根， 若，，解得，只有1个解，满足要求， 若，，解得， 综上，或1. （3），即的解集为， 当时，，解得，不符合要求， 当时，需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可构造方程组求得的值； （2）根据一元二次不等式的解法，通过对的范围的讨论确定解集. 【详解】（1）不等式的解集为或， 方程的两根为和，且， ，解得：，. （2）由（1）知：； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型六、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【方法总结】 分一次、二次两类讨论： 1.形如恒成立： ①：一次式需； ②：开口向上，判别式，无实根，图像全在x轴上方. 2.恒成立：且. 3.解集为空集等价于相反不等式在R上恒成立. 技巧：优先讨论二次项系数为0的一次情况，再用判别式限制. 已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不存在实数x，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）当时，不等式等价于，             ∴．                              ∴或． ∴不等式的解集为． （2）∵不存在实数x，使得不等式成立， ∴不等式的解集为空集．               ∴方程的判别式，即，                  ∴．∴实数b的取值范围为． 已知函数． (1)若函数满足且的最小值为，求的解析式； (2)当时，对一切实数都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由，得，求解.再由的最小值为建立关于的方程并求解即可； （2）根据题意得对一切实数都成立，再利用判别式求解. 【详解】（1）因为， 所以，解得. 又因为的最小值为 所以，代入得，解得， 故. （2）当时，对一切实数都成立 即对一切实数都成立， 则，解得. 所以实数的取值范围为. 已知函数. (1)若的解集为，求实数，的值； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集与方程根的关系可求两个未知数； （2）根据恒成立可从开口方向和判别式得出限制条件，从而可求答案. 【详解】（1）因为的解集为， 所以， 解得，经检验知符合题意. （2）当时，显然不合题意； 当时，因为对一切实数恒成立， 所以， 解得. 题型七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 __． 【答案】 【分析】分类讨论和两种情况下的范围，最后取交集. 【详解】当时，原式即为，恒成立. 当时，由可得恒成立，即. 而，当且仅当即时取等号，所以． 综上所述， 故答案为：． 【方法总结】 两种解法： 1.分离参数法：把参数单独放一侧，转化为恒成立；恒成立，求函数最值. 2.二次函数分类讨论：按对称轴与给定区间位置分三类（对称轴在区间左、中、右），求区间最小值，令最小值满足不等式. 适用场景：参数易分离用分离法；参数难分离则讨论对称轴求最值. 已知函数，对任意，恒成立，则实数 a 的取值范围为_________ 【答案】 【分析】将题设等价转化为 对任意恒成立，再由对勾函数性质即可求解. 【详解】对任意恒成立，即 对任意恒成立， 则， 令，则在上单调递增， 所以，故， 则实数 a 的取值范围为. 故答案为： 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】分情况讨论和，结合二次函数单调性及函数值判断参数范围. 【详解】当时，不等式为，恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 因为函数的图象的对称轴为，且图象过点， 故当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得； 综上，的取值范围是． 故答案为：． 已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)求在上的最小值； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）解不含参的一元二次不等式即可； （2）利用对称轴分为三类区间来讨论二次函数的单调性，然后求出最小值； （3）利用分离参变量思想，构造对勾函数来判断单调性求最大值，即可求解参数的范围. 【详解】（1）当时，， 则，解得：或， 即不等式的解集为：； （2）因为二次函数的对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以 当，即时，在上单调递减， 所以. 综上可得：； （3）由不等式可得： (*)， 因为，所以， 则(*)等价于，， 再令，则，令函数， 因为在单调递减，在单调递增， 且， 所以， 由对任意的都恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 题型八、一元二次不等式在某区间上有解问题 当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意参变分离得，再根据对勾函数求最值即可． 【详解】由时，有解， 所以， 又在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时， 所以． 故选：C． 【方法总结】 核心转化：存在区间使不等式成立，等价于参数大于函数最小值/小于函数最大值. 1.分离参数：有解；有解. 2.二次函数法：求区间内函数最值，只要区间内存在函数值满足不等式即可. 区分恒成立与有解：恒成立看全部最值，有解看局部最值，二者最值取法相反. 若存在，使得成立，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，利用二次函数性质求解最值即可. 【详解】存在，使得成立， 所以，， 由二次函数的性质可知在上单调递减， 所以当时，函数取得最小值5，所以． 故选：C 当时，不等式有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题化为时能成立，根据解析式判断右侧的区间单调性求最小值，即可得范围. 【详解】因为，所以不等式可化为， 因为在上为减函数，则当时有最小值， 所以的取值范围是. 故选：B 关于的不等式在区间上有实数解，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】分离参数，转化为求最值，利用对勾函数的单调性求解最值得解. 【详解】由于在区间上有实数解，则在区间上有实数解， 故， 由于在单调递增，故当时，取最小值3， 因此， 故答案为： 已知函数 (1)若，求的解集； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (3)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入函数解析式，解不等式即可；     （2）分类讨论解决不等式恒成立问题； （3）问题等价于存在使得成立，求在时的最大值即可得实数的取值范围. 【详解】（1）若，不等式，即，解得， 所以不等式解集为. （2）对任意恒成立，即对任意恒成立， ① 当， 则对任意恒成立，即满足题意；                 ② 当时，函数的图像抛物线开口向上， 对任意不恒成立，所以不满足题意；                             ③ 当，函数的图像抛物线开口向下， 要使得对任意恒成立，即，解得.                      综上由①②③可得的取值范围为. （3）不等式，即， 因为， 故存在使得成立， 当时，，得， 当时，有最大值，则有， 即实数的取值范围为. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，且一元二次方程的两根为和，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先确定一元二次不等式的解集，得到，再利用对应系数相等得到，，最后结合韦达定理得到，进而求出的值即可. 【详解】令，解得或， 而二次函数的二次项系数为正数， 因此不等式的解集为，可得，， 由韦达定理得，解得， 综上可得，故B正确. 故选：B. 不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】直接利用一元二次不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 由一元二次不等式解得，所以解集为. 故选：A 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分类讨论，利用二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得：， 综上可得：的取值范围为， 故选：D. 不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式化成由一个一元一次不等式与一个一元二次不等式组成的不等式组求解. 【详解】不等式化为或， 解得，得； 解，得， 所以原不等式的解集为. 故选：A 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得和为二次函数的两个根，分别代入二次函数后联立即可求解. 【详解】设，由题意得和为的两个根，则有： ，即， ，即， 联立，解得， 故. 故选：C. 若不等式的解集是，求不等式的解集_____. 【答案】 【分析】利用韦达定理求出系数，再解不等式. 【详解】由不等式的解集是， 可知和为方程的两根，则有，即. 所以即为，即， 则解集为. 已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】令，根据条件得，即可求解. 【详解】令，其图象开口向上， 又方程有一正根一负根，则， 解得， 故答案为：. 若不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】分和两种情况，结合一元二次不等式恒成立问题运算求解. 【详解】因为不等式对一切实数x都成立， 若，则不恒成立，不合题意； 若，则，解得 ， 故实数 的取值范围为. 故答案为：. 若关于的不等式的解集为，则___________． 【答案】1 【分析】利用已知不等式的解集得出相应一元二次方程的两个根，把两个根代入方程，求解． 【详解】不等式的解集为， 方程的实数根为和5，且， ，解得． 故答案为：1 关于的不等式的解集为，则关于不等式的解集为______. 【答案】 【分析】先由已知不等式的解集确定、的关系与符号，再代入目标不等式化简，最后解二次不等式得到结果. 【详解】由不等式的解集为，得且，即. 将代入不等式，得. 因，不等式等价于. 二次不等式的零点为和， 结合二次函数开口向上的性质，解得或. 所以不等式的解集为. 故答案为： 已知二次函数的图象过，且函数图象顶点的横坐标 (1)求函数的解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出二次函数式中参数即可. （2）由（1）的结论列出不等式，再求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）由二次函数的图象过，得， 由该函数图象顶点的横坐标，得，解得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）得不等式，解得， 所以不等式的解集为. 已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求实数的取值范围. (3)若，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用幂函数定义求出，结合性质取舍即可； （2）根据二次函数对称轴和区间的位置关系可求答案； （3）对参数分类讨论，比较根的大小可得不等式的解集. 【详解】（1）由幂函数定义可得， 即，解得或， 当时，，此时为奇函数，不符； 当时，，此时为偶函数，符合要求； 综上可得，则的解析式为. （2）由题意得，对称轴为， 由在区间上不单调，则，解得； （3）， 当时，，解得； 当时，令，解得或， 若，当，即时，该不等式无解； 当，即时，该不等式的解集为； 当，即时，该不等式的解集为； 综上所述，当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式的解集为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 衔接点05 一元二次不等式的补充 初中视角 高中展望 1.一元二次方程：仅掌握判别式判断实数根有无，基础韦达定理，只计算无参数代数式；完全不学习一元二次不等式. 2.代数运算：仅数字系数因式分解、整式简单运算，无含参数变形，不会利用方程根反向推导不等式系数. 3.思维逻辑：二次函数、二次方程知识点完全割裂，不会结合图像分析自变量取值范围，几乎不涉及分类讨论. 4.书写规范：只需算出最终数值答案，解题步骤简略，不要求用集合、区间规范书写解集. 1.三个二次关联： 、、 三者结合解题，抛物线上下图像直接对应不等式解集，判别式、韦达定理多用于求解参数取值范围. 2.含参不等式核心：对分层讨论二次项系数正负、判别式符号、两根大小，完整求解参数范围. 3.两类综合不等式： ①全体实数范围恒成立：联立抛物线开口方向、判别式列出不等式组求解； ②指定区间恒成立、区间有解：分离参数转化为函数最值问题，或依据对称轴与区间位置分类讨论函数最值. 4.书写规范：解集必须使用集合、区间表示，多条件联立书写不等式组，分类讨论标注前提条件，推导逻辑完整闭环. 衔接引导 1.打通“三个二次”内在联系：依托初中二次函数图像、一元二次方程实数根，延伸学习利用图像求解一元二次不等式，建立数形结合基础解题方法. 2.拓展韦达定理在不等式中的应用：一元二次不等式解集端点是对应方程的实数根，结合韦达定理列等式求解参数，弥补初中无参数题型的局限. 3.建立完整分类讨论思维：针对含参一元二次不等式，按二次项系数、判别式、两根大小三层有序分类，做到不重不漏. 4.区分区间恒成立、区间有解两类题型逻辑：掌握最值转化思路，分清“区间内全部满足不等式”与“区间内存在满足不等式”的最值选取差异. 5.规范数学答题书写：熟练使用集合、区间表达解集，多限制条件分步列式，每类分类讨论标注对应前提，论证过程步步有据. 考点阐释 一元二次不等式的解与解集 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中）的不等式叫做一元二次不等式. 1. 一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的的值，叫一元二次不等式的解，其解的集合，称为一元二次不等式的解集. 2. 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 为方便起见，我们先研究二次项系数时的一元二次不等式的解.对于一元二次方程，设，解的情况按，，分别为下列三种： ① 当时，抛物线与轴有两个公共点和，方程有两个不相等的实数根和，由图可知不等式的解为；不等式的解集为. ② 当时，抛物线与轴有且仅有一个公共点，方程有两个相等的实数根，由图可知不等式的解集为；不等式无解. ③ 当时，抛物线与轴没有公共点，方程没有实数根，由图可知不等式的解为一切实数；不等式无解. 判别式 的图象 一元二次方程的根 有两个相异实根 有两个相等实根 没有实数根 二次函数的图象 开口向上、与轴交于两点的抛物线 开口向上、与轴相切的抛物线 开口向上、与轴无交点的抛物线 的解集 的解集 一元二次方程的根对应于二次函数图象与轴的交点，一元二次不等式的解对应于二次函数图象在轴上方（下方），或在轴上的点，由此得出二次函数图象的开口方向及与轴交点情况确定的一元二次不等式的图象解法，这样就形成了二次函数与一元二次方程相结合的解一元二次不等式的方法. ① 解一元二次不等式时，当二次项系数为负时，通常化为二次项系数为正的情形. ② 在具体求解一个标准形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根以及二次函数的图象，这种方法体现了“化归”的数学思想方法的运用，要注意体会. ③ 解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式. 含参变量的一元二次不等式解法及应用 (1) ① 一元二次不等式在上恒成立一元二次不等式的解集为二次函数的图象恒在轴上方 ② 一元二次不等式在上恒成立一元二次不等式的解集为二次函数的图象恒在轴下方 推论1 一元二次不等式，它的解集为的条件为. 推论2 一元二次不等式的解集为的条件为. 推论3 若改为不等式（或），又该如何呢？ (2) 由不等式恒成立求参数取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是，. 题型一、一元二次不等式的概念及辨析 下列不等式是否是一元二次不等式？ (1)； (2)； (3)； (4). 已知不等式的解集是，则（    ） A．-10 B．-6 C．0 D．2 已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 已知方程的两个实数根分别为，，则不等式 的解集为 _______. 题型二、解不含参数的一元二次不等式 不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 不等式的解集是____. 求函数的解集__________. 解不等式的解集为___________． 已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求函数在上的最大值. 题型三、解含有参数的一元二次不等式 不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 解含参数的一元二次不等式时，仍按照一般不等式的方法求解，但要注意参数的影响.若二次项系数为常数，先考虑因式分解再对参数讨论；若不易因式分解，则可判别式讨论，要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想.分类讨论要做到“不重”“不漏”“最简”的三原则.其中引发分类因素以及讨论的常见方法如下：(ⅰ)若二次项系数含有参数不确定正负时，则应分，，三种情况讨论. (ⅱ)若一元二次方程的判别式符号不确定，则应分，，三种情况讨论. (ⅲ)若求出的根中含有参数不确定大小时，则应对两根的大小进行讨论. 关于的不等式：，当时，不等式的解集为__________. 已知函数． (1)当时，求出函数在上的值域； (2)求关于的不等式的解集． 已知函数，解关于的不等式. 解关于的不等式. 题型四、由一元二次不等式的解确定参数 若关于的不等式的解集为，则（   ） A．5 B．1 C．-1 D．-5 【方法总结】 不等式解集端点是对应一元二次方程两根，且二次项系数符号由解集区间判断. 1.若解集为，二次项系数；解集，则. 2.用韦达定理：两根和、两根积，列方程求参数. 3.已知解集求另一不等式：先推出系数比例关系，代换化简后再解新二次不等式. 易错点：忽略二次项系数正负，直接套用韦达定理导致符号出错. 关于的不等式的解集是，则（   ） A． B． C． D． 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________ 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的值为________． 若关于的不等式的解集为，则的值为__________ 题型五、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 【方法总结】 三者互通，方程根是函数与x轴交点，不等式解集看图像上下区域. 1.已知不等式解集，得方程两根与符号，推出 比例，再解新不等式、判断函数图像. 2.给定函数，取图像x轴上方区间，取下方区间. 3.图像判断要点：开口由二次项系数定，零点对应方程根，解集区间与零点位置匹配. 解题关键：数形结合，先定开口，再找零点，直接读出解集. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 已知函数， (1)求时，的取值； (2)求时，的取值范围； (3)求时，的取值范围． 函数 (1)若，求的解集； (2)若关于的方程只有一个根，求的值； (3)关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 题型六、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________ 【方法总结】 分一次、二次两类讨论： 1.形如恒成立： ①：一次式需； ②：开口向上，判别式，无实根，图像全在x轴上方. 2.恒成立：且. 3.解集为空集等价于相反不等式在R上恒成立. 技巧：优先讨论二次项系数为0的一次情况，再用判别式限制. 已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不存在实数x，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 已知函数． (1)若函数满足且的最小值为，求的解析式； (2)当时，对一切实数都成立，求实数的取值范围． 已知函数. (1)若的解集为，求实数，的值； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 题型七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 __． 【方法总结】 两种解法： 1.分离参数法：把参数单独放一侧，转化为恒成立；恒成立，求函数最值. 2.二次函数分类讨论：按对称轴与给定区间位置分三类（对称轴在区间左、中、右），求区间最小值，令最小值满足不等式. 适用场景：参数易分离用分离法；参数难分离则讨论对称轴求最值. 已知函数，对任意，恒成立，则实数 a 的取值范围为_________ 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是___________． 已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)求在上的最小值； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 题型八、一元二次不等式在某区间上有解问题 当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【方法总结】 核心转化：存在区间使不等式成立，等价于参数大于函数最小值/小于函数最大值. 1.分离参数：有解；有解. 2.二次函数法：求区间内函数最值，只要区间内存在函数值满足不等式即可. 区分恒成立与有解：恒成立看全部最值，有解看局部最值，二者最值取法相反. 若存在，使得成立，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 当时，不等式有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 关于的不等式在区间上有实数解，则实数的取值范围是___________． 已知函数 (1)若，求的解集； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (3)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，且一元二次方程的两根为和，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的值为（    ）． A． B． C． D． 若不等式的解集是，求不等式的解集_____. 已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 若不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为______. 若关于的不等式的解集为，则___________． 关于的不等式的解集为，则关于不等式的解集为______. 已知二次函数的图象过，且函数图象顶点的横坐标 (1)求函数的解析式； (2)求不等式的解集. 已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求实数的取值范围. (3)若，求不等式的解集. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $