精品解析：湖北武汉市青山区2025-2026学年高二下学期调研考试数学试卷

高二数学试卷 2026.6. 满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在答题卡对应题目的相应位置上． 1. 若的展开式中常数项为15，则实数a的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2. 已知随机变量，，若，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 3. 已知正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 4. 已知线性相关的两个变量、的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（ ） A. B. C. D. 5. 已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 6. 在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．如图1所示，杨辉三角第6行的7个数依次为，．将杨辉三角中第行的第个数乘以，第0行的一个数为0，得到一个新的三角数阵如图2，则在这个新的三角数阵中，第100行的所有数的和为（ ） A. B. C. D. 7. 设随机变量的分布列为，且，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列前7项之和为 D. 8. 若对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．将答案填在答题卡对应题目的相应位置上． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 线性回归直线必然过样本中心点 B. 在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好 C. 已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数r越接近于1 D. 正态曲线当一定时，越小，这条曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖” 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 的单调递增区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 11. 将甲、乙、丙、丁、戊5位教师分配到、、三所学校支教，若每所学校至少分配一位教师，则（ ） A. 共有300种不同的分配方法 B. 甲分配到学校的概率为 C. 若甲、乙两位教师必须分配到同一所学校，则共有36种不同的分配方法 D. 甲不能分配到学校同时乙必须分配到学校的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡对应题目的相应位置上． 12. 设，，，则_____． 13. 在平面直角坐标系中，位于坐标原点处的点按下述规则移动：点每次移动一个单位长度，移动的方向只能是向上、向下、向左、向右，并且向四个方向移动的概率均为．点移动4次后，点在直线上的概率为___________． 14. 将4名某医科大学的学生分配到3个不同的医院实习，每个大学生被分配到每个医院的概率均等且相互独立．分配结束后，设实际有大学生分配实习的医院个数为，则数学期望________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡对应题目的相应位置上． 15. 已知函数 （1）求在处的切线方程． （2）求的单调区间． （3）求在区间上的最值． 16. 袋子装有4个黑球，6个白球． （1）每次从袋子中取出1个球，若有放回地抽取2次，求恰好取到1个黑球的概率； （2）每次从袋子中取出1个球，若不放回地抽取2次，求取到黑球数X得分布列及期望； （3）每次从袋子中取出2个球，若是不放回地抽取，求第二次抽到2个黑球的概率． 17. 已知数列的前项和为，． （1）证明：是等差数列； （2）若，求的取值范围． 18. 2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. （1）求的值； （2）现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望. （3）用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线过点的切线方程； （2）若对任意，都有成立，求的取值范围； （3）设，，求的小数点后第一位数字（如：自然对数的底数的小数点后第一位数字为7，的小数点后第一位数字为6）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 2026.6. 满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在答题卡对应题目的相应位置上． 1. 若的展开式中常数项为15，则实数a的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式确定常数项的表达式，结合已知常数项的值列方程求解实数a。 【详解】首先写出展开式的通项， 要求常数项，令的指数为0，即，解得. 将代入通项，得常数项为 ，计算得，因此常数项为. 由题知常数项为15，故 ，解得，即. 2. 已知随机变量，，若，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】结合正态分布与二项分布性质计算即可得. 【详解】由，，则，， 由，则，， 由，则，故， 则，故. 3. 已知正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【分析】对于正态分布，则正态曲线关于直线对称，然后利用对称性即可求解. 【详解】因为正态分布，所以正态曲线关于直线对称，即， 又因为，所以， 因为和关于对称，所以. 4. 已知线性相关的两个变量、的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用回归直线过样本中心点求出的值，再利用残差的概念可得结果. 【详解】由表格中的数据可得，， 由于回归直线过样本中心点，所以，解得， 当时，，故当时的残差为. 5. 已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由密度曲线结合正态分布性质求解即可. 【详解】由题图可知，，则，即，所以A错误； 根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误； 由图可知，，所以C正确； 由图可知，，所以D错误． 6. 在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．如图1所示，杨辉三角第6行的7个数依次为，．将杨辉三角中第行的第个数乘以，第0行的一个数为0，得到一个新的三角数阵如图2，则在这个新的三角数阵中，第100行的所有数的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据杨辉三角的特性、二项展开公式结合函数的导数分析求解即可. 【详解】由题可得杨辉三角中第行的第个数为，则新的三角数阵中第行的第个数为， 第行的和为：， 设， 两边求导得：， 令得，， 所以第行的和为，第100行的所有数的和为． 7. 设随机变量的分布列为，且，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列前7项之和为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用累积概率与分布列关系推导出的递推公式，进而求出通项，再结合分布列概率总和为1确定首项，最后逐个分析选项即可. 【详解】因为，， 则当时，， 代入得，化简得; 由递推式：，即; 由分布列概率总和为1可得：，即. 选项A，因为，所以，，所以数列不是等比数列，A错误； 选项B，，B错误； 选项C，因为，所以前7项和为：，C错误； 选项D，期望，D正确. 8. 若对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过分离参数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】对任意恒成立等价于对任意恒成立， 令，则，故等价于对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，则， 令，即，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，为. 要使对任意恒成立，只需. 实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．将答案填在答题卡对应题目的相应位置上． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 线性回归直线必然过样本中心点 B. 在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好 C. 已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数r越接近于1 D. 正态曲线当一定时，越小，这条曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖” 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接利用线性回归直线以及决定系数、相关系数、正态分布曲线的特点，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，线性回归直线必然经过样本中心点，这是线性回归的基本性质，故A正确； 对于B，决定系数是衡量回归模型拟合效果的重要指标，其值越大（越接近），说明模型解释因变量变异的能力越强，即拟合效果越好，故B正确； 对于C，相关系数的绝对值越接近，表示两个变量的线性相关性越强，故C错误； 对于D，正态分布中，当固定时，越小，曲线越“瘦高”，数据越集中；越大，曲线越“矮胖”，数据越分散；故D正确. 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 的单调递增区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数的正负来判断函数的单调性，借助取值规律可判断各选项. 【详解】由的定义域为，则求导得： ， 当时，，故切点为；该点处的切线斜率， 由点斜式得切线方程为，故A正确； 令，得，解得， 所以的单调递增区间为，故B错误； 令，得， 当时，，所以的单调递减区间为， 因此在处取极大值，且极大值为，故C正确； 由的极大值， 且在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，， 即的取值从递增到，此时与 ​有1个交点； 的取值再从递减到，此时与有另1个交点； 因此方程有两个不同解，故D正确. 11. 将甲、乙、丙、丁、戊5位教师分配到、、三所学校支教，若每所学校至少分配一位教师，则（ ） A. 共有300种不同的分配方法 B. 甲分配到学校的概率为 C. 若甲、乙两位教师必须分配到同一所学校，则共有36种不同的分配方法 D. 甲不能分配到学校同时乙必须分配到学校的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据计数原理及排列组合知识，结合古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】对于A，5位教师分配到三所学校支教，每所学校至少分配一位教师，有2种分组情况： 分组为1,1,3时，分配方法有种； 分组为2,2,1,时，分配方法有种； 故总分配方法有种，A错误. 对于B，学校只有甲，分配方法有种； 学校有2位老师，分配方法有种； 学校有3位老师，分配方法有种； 故甲分配到学校的总分配方法有种，概率为，B正确. 对于C，将甲乙绑定为1组，共4组，分配方法有种，C正确. 对于D，甲乙均分配到学校，分配方法有种， 甲分配到学校，乙分配到学校时， 3位老师都分配到学校，分配方法有种， 2位老师分配到学校，分配方法有种， 1位老师分配到学校，分配方法有种， 故甲不能分配到学校同时乙必须分配到学校的总分配方法有种，概率为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡对应题目的相应位置上． 12. 设，，，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据对立事件及全概率公式求解． 【详解】，， 则． 13. 在平面直角坐标系中，位于坐标原点处的点按下述规则移动：点每次移动一个单位长度，移动的方向只能是向上、向下、向左、向右，并且向四个方向移动的概率均为．点移动4次后，点在直线上的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】因为点移动4次后，点在直线上，所以点水平移动的次数为偶数，计算概率得到答案. 【详解】因为点移动4次后，点在直线上，所以点水平移动的次数为偶数. 第一种情况，点水平移动2次（即向右移动2次，向左移动0次），， 第二种情况，点水平移动4次（即向右移动3次，向左移动1次），， 则所求的概率． 14. 将4名某医科大学的学生分配到3个不同的医院实习，每个大学生被分配到每个医院的概率均等且相互独立．分配结束后，设实际有大学生分配实习的医院个数为，则数学期望________． 【答案】## 【解析】 【分析】先确定随机变量的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据数学期望公式计算. 【详解】的可能取值为，总分配情况数为， 当 时，即 4 名学生全部分配到同一家医院； 当 时，即只有 2 个医院有学生实习：先选 2 个医院：，4 人分配至这 2 个医院，排除全在其中 1 个医院的情况： ； 当 时，即 3 个医院均有学生实习，人数分配为 ：选 1 个医院安排 2 名学生：，从 4 人中选 2 人分配至该医院：，剩余 2 人分配至剩下 2 个医院： 所以，， ， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡对应题目的相应位置上． 15. 已知函数 （1）求在处的切线方程． （2）求的单调区间． （3）求在区间上的最值． 【答案】（1）切线方程为； （2）单调递减区间为，单调递增区间为； （3）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域并求导，利用导数几何意义求切线方程； （2）通过分析导函数符号确定单调区间； （3）比较区间内极值点和端点的函数值得到最值. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 所以，即切点为，， 由点斜式得切线方程为，即. 【小问2详解】 将导函数整理为， 令，解得，令，解得， 所以单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点， 计算端点与极值点的函数值： 比较大小：，因此：最小值为；最大值为. 16. 袋子装有4个黑球，6个白球． （1）每次从袋子中取出1个球，若有放回地抽取2次，求恰好取到1个黑球的概率； （2）每次从袋子中取出1个球，若不放回地抽取2次，求取到黑球数X得分布列及期望； （3）每次从袋子中取出2个球，若是不放回地抽取，求第二次抽到2个黑球的概率． 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）由独立重复实验的概率计算即可求解； （2）由题可知，的可能取值为，然后求出对应概率，即可得出分布列及期望； （3）利用全概率公式计算即可． 【小问1详解】 设恰好取到1个黑球为事件，由题可知，每次抽到黑球的概率为， 所以． 【小问2详解】 由题可知，的可能取值为， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 则． 【小问3详解】 设第二次抽到2个黑球为事件，设第一次取到2个球为事件， 其中含个白球分别为事件， 则，， 由题可知，，，， 所以 ． 17. 已知数列的前项和为，． （1）证明：是等差数列； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据可得，两式相减即可求解； （2）由（1）得到的表达式，分别讨论为奇数和偶数的情况即可求解. 【小问1详解】 当时，，所以， 当时，，又因为， 所以，即，所以， 所以， 所以是以为首项，公差为的等差数列． 【小问2详解】 由（1）得，，， ，， 设，则变为对任意正整数恒成立， 当，，； 当，，， 因为， 所以，当时，，即；当时，，即， 故，， 所以，解得或， 因此的取值范围为． 18. 2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. （1）求的值； （2）现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望. （3）用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 【答案】（1） （2） 0 1 2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解； （2）根据超几何分布的概率求解分布列，即可求解； （3）根据二项分布以及组合数的计算即可求解. 【小问1详解】 由，解得. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，[40,60）与[80,100）的用户数之比为3：4， 所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，取0，1，2， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以 【小问3详解】 用样本的频率估计概率，从所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为 所以 ， 解得：，又，故时概率最大 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线过点的切线方程； （2）若对任意，都有成立，求的取值范围； （3）设，，求的小数点后第一位数字（如：自然对数的底数的小数点后第一位数字为7，的小数点后第一位数字为6）． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）求得的解析式，设出切点，根据导数的几何意义，可得切线方程，代入，可得关于的方程，利用导数求出单调性和最值，分析即可得答案. （2）由题意得恒成立，求出的解析式，分别讨论和两种情况，求出的单调性，分析即可得答案. （3）方法一：求出数列单调性，代入特殊值，可得，由（2）知，换元变形，整理化简，即可得答案.方法二：由（1）知，换元变形，可得，整理计算，可得，即可得答案. 【小问1详解】 当时，，则， 所以在切点处的切线方程为 ， 又切线过点，则，即， 令，则， 所以当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，，所以， 所以切线方程为． 【小问2详解】 因为对任意，均有恒成立，即恒成立， 则， 令， 当时，对称轴，即在上单调递增， 又，所以，即， 所以在上单调递增，又， 所以恒成立，即恒成立，符合题意； 当时，对称轴，又， 又的两个根分别为，， 所以，，且当时，，即，则单调递减， 又，所以当时，，即，与矛盾，故不成立． 综上所述，的取值范围为． 【小问3详解】 方法一： 一方面， ， 所以，则数列单调递增， 而，，， 所以； 另一方面，由（2）知，当且仅当时，取“”， 令，则，则， 所以 ， 所以． 方法二：由（1）知，当且仅当时，取“”， 用代，则，即，当且仅当时，取“”， 令，则，所以， 所以， 所以． 综上所述，的小数点后第一位数字为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $