1.5.1一元二次方程的应用—几何图形问题—对标课时练 2026-2027学年青岛版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习聚焦“应用一元二次方程解决几何图形问题”，通过基础巩固、中档应用、提高探究三层设计，构建从单一模型到综合实践的知识路径，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|矩形周长与面积关系、简单图形面积计算|以选择填空为主，如矩形窗框（题1）、道路绿化（题2），强化方程建模基础| |中档层|复杂图形转化、实际限制条件应用|含解答题与选择，如含桂花树限制的花园面积（题4）、观花道面积（题5），培养空间观念| |提高层|综合应用与存在性探究|以多问解答题为主，如绿地扩充（题7）、长方体盒子侧面积探究（题8），发展推理能力与创新意识|

1.7.1　 几何图形问题 知识点 应用一元二次方程解决几何图形问题 1．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为米，则根据题意可列出关于的方程为( ) A． B． C． D． 2．如图，在一块长17m、宽12m的矩形空地上，修建两条同样宽的互相垂直的道路，剩余部分裁种花草，要使绿化面积为176m，则修建的路宽为 . 第2题图 第3题图 3．如图，李大爷要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇1m宽的门.若要使羊圈的面积为80m2，则所围成矩形与墙垂直的一边长为 m. 4．某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角(阴影部分，两边足够长)，用40米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(筒笆只围AB，AD两边)，设AB=米. (1)若花园的面积为300平方米，求的值; (2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米、24米，要将这棵树围在矩形花园内(含边界，不考虑树的粗细)，则花园的面积能否为400平方米?若能，求出的值；若不能，请说明理由. 5．如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地(单位：m)，现在其中修建一条观花道(阴影部分)供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的.设观花道的直角边(如图所示)为,则可列方程为( ) A． B． C． D． 第5题图 第6题图 6．如图，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点B是线段CG上一点，设CG=6，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为( ) A． B． C． D． 7．如图，某小区矩形绿地的长、宽分别为35m和15m，现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地. (1)若扩充后的矩形绿地面积为800m2，求新的矩形绿地的长与宽; (2)若扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5:3，求新的矩形绿地的面积. 8．如图，把一张长10 cm，宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计). (1)要使无盖长方体盒子的底面积为48 cm2，那么剪去的正方形的边长为多少? (2)你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于52cm2吗?请说明理由. 解析： 知识点 应用一元二次方程解决几何图形问题 1．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为米，则根据题意可列出关于的方程为( ) A． B． C． D． 答案：C 解析：设它的一条边长为米，则相邻的边长米，即米 由题意得， 故选C选项. 2．如图，在一块长17m、宽12m的矩形空地上，修建两条同样宽的互相垂直的道路，剩余部分裁种花草，要使绿化面积为176m，则修建的路宽为 . 答案：1 解析：利用平移法如图 设修建的路宽为米，则绿地长米，绿地宽米 由题意得， 整理得 ∴ 解得， 不符合题意，舍去 ∴ 答：修建的路宽为1m. 3．如图，李大爷要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇1m宽的门.若要使羊圈的面积为80m2，则所围成矩形与墙垂直的一边长为 m. 答案：8 解析：所围成矩形与墙垂直的一边长为米，则与墙平行的一边长为米，即米 由题意得， 整理得 ∴ 解得， ∵墙长为12m ∴ 解得， 不符合题意，舍去 ∴ 答：所围成矩形与墙垂直的一边长为8m. 4．某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角(阴影部分，两边足够长)，用40米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(筒笆只围AB，AD两边)，设AB=米. (1)若花园的面积为300平方米，求的值; (2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米、24米，要将这棵树围在矩形花园内(含边界，不考虑树的粗细)，则花园的面积能否为400平方米?若能，求出的值；若不能，请说明理由. 解析： (1)解：解：设AB=米，则AD=米 由题意得， 整理得 ∴ 解得， 答：的值是10或30. (2)解：要将桂花树围在矩形花园内，则花园的面积不能为400平方米，理由如下： 由题意得， 整理得 ∴ 解得， ∵桂花树CD的距离是24米，而 ∴桂花树没有围在矩形花园内，故花园的面积不能为400平方米 5．如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地(单位：m)，现在其中修建一条观花道(阴影部分)供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的.设观花道的直角边(如图所示)为,则可列方程为( ) A． B． C． D． 答案：D 解析：设观花道的直角边为，则两个空白三角形的底为，两个空白三角形的高为 由题意得， 整理得， 故选D选项. 6．如图，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点B是线段CG上一点，设CG=6，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为( ) A． B． C． D． 答案：B 解析：设BE，则BC 由题意得， 整理得， S△BCE= 故选B选项. 7．如图，某小区矩形绿地的长、宽分别为35m和15m，现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地. (1)若扩充后的矩形绿地面积为800m2，求新的矩形绿地的长与宽; (2)若扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5:3，求新的矩形绿地的面积. 解析： (1)解：设将绿地的长、宽增加m，则新的矩形绿地的长为m，宽为m 由题意得，得=800， 整理，得， 解得(不符合题意，舍去) ∴ ∴， 答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m. (2)解：设将绿地的长、宽增加m，则新的矩形绿地的长为m，宽为m， 由题意得，得：=5:3， 即， 解得， ∴， 答：新的矩形绿地的面积为1500m2 8．如图，把一张长10 cm，宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计). (1)要使无盖长方体盒子的底面积为48 cm2，那么剪去的正方形的边长为多少? (2)你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于52cm2吗?请说明理由. 解析： (1)解：设剪去的正方形边长为cm， 由题意，得 整理得 解得，(不合题意，舍去) ∴ 答：剪去的正方形的边长为1 cm. (2)解：折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于52cm2，理由如下: 由题意，得 整理得， ∵ ∴原方程没有实数解. 答：折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于52cm. 1 学科网（北京）股份有限公司 $