1.2.2解二次项系数不为1的一元二次方程—对标课时练 2026--2027学年青岛版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习通过基础操作、理解应用、综合拓展三层设计，实现从配方法步骤掌握到跨情境综合应用的递进，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础操作层|配方法解二次项系数不为1的方程步骤|直接解方程题（如第1题），强化系数化1、配方等基础运算，培养运算能力| |理解应用层|配方法的正确性辨析与变形|错误步骤判断（第3题）、配方形式选择（第2题），发展推理意识| |综合拓展层|配方法在几何、实际问题中的应用|几何图解法（第9题）、面积最值问题（第14题），提升模型意识与应用意识|

1.2.2解二次项系数不为1的一元二次方程 婁册对点练 知识点用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1.解下列方程： 19y2-18y-4=0. (2)2x2-4x-30=0: 3 (3)3x2-2x-6=0: 3x2+6x= (4 2 ⑤2.xx-4)=1 (⑥2x2+5x+7=x+11: 2.用配方法解一元二次方程2x2-2x-1=0,下列配方正确的是() B -x-2=0 1 3.下列用配方法解方程2 的四个步骤中，出现错误的是（一)2一x一2=0 ① ② ③ ④ x2-2x=4→x2-2x+1=5→(x-1)2=5→x=V5+1 A.① B.② C.③ D.④ 4.对于任意实数x,代数式x2-5x+10的值是一个() A.正数 B.负数 C.非负数 D.无法确定 能力达标练 5.用配方法解一元二次方程，下列配方错误的是() A.x2-2x-99=0化成x-)2=100 B.x2+8x+9=0化成x+4)2=25 2 - 1 2210 c.22-7t-4=0化成 4=16 D.3y-4y-2=0化成” y 6.在解方程2x2+4x+1=0时，对方程进行配方，对于两人的做法，说法正确的是 小思： 小博 2x2+4x=-1 2x2+4x=-1 2+2x=-1 4x2+8x=-2 2 r+2x+1=-1 1 4x2+8x+4=-2+4 c+-号 (2x+2)2=2 2 A.两人都正确 B.小思正确，小博不正确 C.小思不正确，小博正确 D.两人都不正确 7.用配方法解一元二次方程3x2+6x-1=0时，将它化为x+a)=b的形式，则a+b的值为() 10 7 A.3 B.3 C.2 D.3 =m-4Q=m2-3 8.(2026原创题型)已知 2 2 ,则P与Q的大小关系为() A.P<Q B.P<Q C.P-Q D.P>Q e 9.欧儿里得的《原本》记载，形如x2+ax=b的方程的图解法是：画Rt△ABC,使∠ACB=90,BC=2 a ，AC-b,再在斜边AB上截取BD2则该方程的一个正根是() C a B D A.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.CD的长 10.若x=0是一元二次方程m-2)x+3x+2m2+2m-8=0的一个根，则m= 11.己知a,b,C是△4BC的三边长，满足a2+b2=10a+8b-41,且C是△4BC中最长的边，则c的 取值范围为 12.若方程2x2+8x-32=0能配方成(x+p)°+g=0的形式，则直线y=r+9不经过的象限是 13.(教材P134习题T5变式)试说明无论x取何实数时，代数式2x2+4x+7的值一定是正数 拔高提升练 14.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用， 例如：已知可取任意实数，试求二次三项式x+6x-1的最小值， 解：x2+6x-1=x2+2×3x+32-32-1 =(x+3)2-10 “无论x取何实数，总有=(x+3)2≥0， :(x+3)2-10≥-10 即二次三项式x2+6x-1的最小值是-10， 问题：（①）已知x可取任意实数，则二次三项式x2-6x+10的最值情况是() A.有最大值-1 B.有最小值-1 C.有最大值1 D.有最小值1 2已知y=-4x+7,求证：y是正数： (3)如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15）的空地上建一个长方形花园ABCD,花园一边靠墙，另 三边用总长为20m的栅栏围成.设ABxm,请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 4 M A D B 解析： 础对点练 知识点用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1.解下列方程： 19y2-18y-4=0. y2-2y- 40 解：方程两边同时除以9，得 9 4 y2-2y=g 移项得， 2-2y+1=4 1 配方，方程两边都加上1，得 0y-102=13 9 即 5 1=t3 由平方根的意义，得 y1+ 3’h1-3 3 (②)2x2-4x-30=0 解：方程两边同时除以2，得x2-2x-15=0 x2-2x=15 移项得， 配方，方程两边都加上1，得x2-2x+1=15+1 (x-1)2=16 即 由平方根的意义，得七-1=4 =1+4=5,x2=1-4=-3 (3)3x2-2x-6=0: 22 x-2=0 解：方程两边同时除以3，得3 x2 x=2 3 移项得， 1 x2-21 配方，方程两边都加上9，得392×、1 、x+ 9 即 6 X 3stf四 1 由平方根的意义，得3 3 1+19_1+9x-1V19_1-V19 :3+3=3,33=3 3 3x2+6x (4) 2+2x 解：方程两边同时除以3，得 3 2+2x+1=1 配方，方程两边都加上1，得 +09=3 即 +1=6 2 由平方根的意义，得 :51+6 ,戈=-1-6 2 (⑤)2x(x-4)=1 解：去括号，得2x2-8x=1 方程两边同时除以2，得 2-4x= 2 2-4x+4=1 配方，方程两边都加上4，得 ×✉ > -2}2=9 即 x-2= 3v2 由平方根的意义，得 2 3 :专2 2,5-232 2 (⑥2x2+5x+7=x+11: 解：移项合并同类项，得2x2+4x=4 方程两边同时除以2，得x2+2x=2 配方，方程两边都加上1，得x+2x+1=2+1 (x+1)2=3 朗 由平方根的意义，得 x+1=±V3 x=1+V3=,x3=1-V3 2.用配方法解一元二次方程2x2-2x-1=0,下列配方正确的是() A 答案：C ax-x-1 解析：方程两边同时除以2，得 0 P r2-x= 移项得， 1x2-x+4 111 配方，方程两边都加上4，得 424 即 故选C选项 3.下列用配方法解方程 x2-x-2= 的四个步骤中，出现错误的是（) x2-x-2=0→ ① ② ③ ④ x2-2x=4→x2-2x+1=5→(x-1)2=5→x=V5+1 A.① B.② C.③ D.④ 答案：D 解析：方程两边同时乘2，得x2-2x-4=0 移项得，x2-2x=4 配方，方程两边都加上1，得x-2x+1=4+1 即x-)2=5 由平方根的意义，得 g-1=±V5 =1+5=,3=1-5 故选D选项 4.对于任意实数x,代数式x2-5x+10的值是一个() A.正数 B.负数 C.非负数 D.无法确定 9 答案：A x2-5x+ 252 2+10 4 解析：配方，得 5*4 =-(0x .15 ,0 2 55 44 “代数式x2-5x+10的值是一个正数 故选A选项 能力达标练 5.用配方法解一元二次方程，下列配方错误的是() A.x2-2x-99=0化成(x-1)2=100 B.x2+8x+9=0化成(x+4)2=25 -2 1 -4=16 y 2-9 c.22-7t-4=0化成 D.3y-4y-2=0化成39 答案：B x2-2x=99 解析：A选项，移项得， 配方，方程两边都加上1，得x2-2x+1=99+1 即-02=100 ，正确 x2+8x=-9 B选项，移项得， 配方，方程两边都加上16，得x2+8x+16=-9+16 10 即c+4=7,错误 2t2-7t=4 C选项，移项得， 、7 方程两边同时除以2，得一2=2 4 2-749 9 配方，方程两边都加上9，得216=2+16 一t+ =2+ 81 (t- 即416，正确 3y2-4y=2 D选项，移项得， y2-4=2 3 方程两边同时除以3，得 4 2-4y+424 配方，方程两边都加上9，得少3少+。 939 0-3=10 2 y39,咋 “代数式x2-5x+10的值是一个正数 故选B选项. 6.在解方程2x2+4x+1=0时，对方程进行配方，对于两人的做法，说法正确的是 小思： 小博： 2x2+4x=-1 2x2+4x=-1 2+2x= 4x2+8x=-2 2 x2+2x+1=- +1 4x2+8x+4=-2+4 2 11 +W-月 (2x+2)2=2 A.两人都正确 B.小思正确，小博不正确 C.小思不正确，小博正确 D.两人都不正确 答案：A (x+)2=1 小思配方后方程为， 解析： 小博配方后方程为，(2x+2)=2,方程左侧提公因式，得[2(x+=2:去中括号，得 4(x+1)2=2:方程两边同时除以4，得 +1)2 2；两人都正确 故选A选项。 7.用配方法解一元二次方程3x2+6x-1=0时，将它化为(x+a)=b的形式，则a+b的值为() 10 > A.3 B.3 c.2 D.3 答案：B x2+2r-1 =0 3 解析：方程两边同时除以3，得 X+2x=3 1 移项得， 2+2x+1=+1 配方，方程两边都加上1，得 3 3 12 方程3x2+6x-1=0化为(c+a)°=b的形式为是 :a=1b=4 3 47 a+b=1+ 33 故选B选项 =m-4Q=m2-3 8.(2026原创题型)已知 2 2 ,则P与的大小关系为() A.P<Q B.P<Q C.P-Q D.P>Q 答案：B -P=m2-)-m-4 解析： 121 1 m-。m+1 2 1 =-(m2-m)+1 2 2m2-m+ 1 11 )+1 44 1.1 = 2【m-m+-+1 4 1 m--+1 =一（m-一 28 7 2m、 2 8 m-2≥0 2 (m- 2 170 28恒成立，即-P>0恒成立 13 :Q>P,即P<Q 故选B选项. 9.(济宁模拟)欧儿里得的《原本》记载，形如x+x=b的方程的图解法是：画Rt△ABC,使 a e ∠4CB=90°，BC-2,AC-b,再在斜边AB上截取BD-2则该方程的一个正根是() D A.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.CD的长 答案：B a2 2+ax+ 解析：配方，方程两边都加上4，得 4 x+9}2=b2+a 即 4 =b2+ a 4 a 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC-2,AC=b AB=AC2+BC2 a2 1V4 +b2 由勾股定理得， a BD=2 14 a 4=AB-BD=AD 4 故选B选项. 10.若x=0是一元二次方程(m-2)r2+3x+2m2+2m-8=0的一个根，则m= 1.717 答案：22 或22 解析：将x=0代入方程0m-2)r2+3x+2m2+2m-8=0 2m2+2m-8=0 得 m2+m-4=0 方程两边同时除以2，得 m2+m=4 移项得， 1 m2+m+=4+ 配方，方程两边都加上4，得 44 即 4 1+V17 22，% -1V17 22 11.己知a,b,C是△4BC的三边长，满足Q2+b2=10a+8b-41,且c是△4BC中最长的边，则c的 取值范围为 答案：5≤c<9 解析：a2+b=10a+8b-41 :a-10a+25+62-85+16=0 15 (a-5)2+(b-4)2=0 a=5,b=4 ,C是△ABC中最长的边 .5≤c<5+4,即5≤c<9 12.若方程2x2+8x-32=0能配方成(x+p)°+q=0的形式，则直线y=pr+9不经过的象限是 答案：第二象限 x2+4x-16=0 解析：方程两边同时除以2，得 x2+4x=16 移项得， 配方，方程两边都加上4，得x2+4x+4=16+4 即(x+2)2=20 ∴方程2x2+8x-32=0化为x+p)+9=0的形式为是c+2)}'-20=0 p=2,9=-20 :将卫=2,9=-20代入直线y=px+9,得y=2x-20 k=2>0,b=-20<0 直线过一，三，四象限，不过第二象限 13.(教材P134习题T5变式)试说明无论x取何实数时，代数式2x2+4x+7的值一定是正数. 解析： 2x2+4x+7=2(x2+2x)+7=2(x2+2x+1-1)+7=2(x+1)2+5 ·(x+I)2≥0 16 .2(0x+I)2+5≥5 即2(x+1)'+5>0恒成立 :无论x取何实数时，2x2+4x+7的值一定是正数 拨高提升练 14.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用， 例如：已知可取任意实数，试求二次三项式x2+6r-1的最小值 解：x2+6x-1=x2+2×3x+32-32-1 =(x+3)2-10 无论x取何实数，总有x+3)≥0， ·(x+3)2-10≥-10 即二次三项式x2+6x-1的最小值是-10 问题：（①）已知x可取任意实数，则二次三项式x2-6x+10的最值情况是() A.有最大值-1 B.有最小值-1 C.有最大值1 D.有最小值1 2已知y=x-4x+7,求证：y是正数： (3)如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15）的空地上建一个长方形花园ABCD,花园一边靠墙，另 三边用总长为20的栅栏围成.设AB=xm,请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ M A B C 解析： x2-6x+10=x2-6x+9+1=(x-3)2+1 (1)解： 17 ÷(x-3)2≥0 .(x-3)2+1≥1 x2-6x+10有最小值-1 (2)解：y=r-4x+7=2-4x+4+3=(K-2}+3 ·(x-2)2≥0 .(x-2)2+3≥3 即(x-2)P+3>0恒成立 .y是正数 (3)解：设AB=xm,花园ABCD的面积为Sm,则BC=(20-2x)m S=x(20-2x)=-2x2+20x=-2(x2-10x)=-2(x-5)2+50 :-2(x-5)2≤0 .-2(x-5)2+50≤50 ,墙长15m .0<20-2x≤15 解得，2.5≤x≤10 ∴x=5符合题意，此时花园ABCD的面积最大为50 18 61