1.2.1解二次项系数为1的一元二次方程—对标课时练 2026--2027学年青岛版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦“直接开平方法”“配方法解二次项系数为1的一元二次方程”，以“基础巩固-方法深化-综合应用”分层设计，通过梯度题型培养运算能力与推理意识，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直接开平方法基本运算、配方法步骤|计算题（如解4个方程）、概念辨析选择题，强化运算能力| |提升层|配方法变形、参数问题|变式题（如T12）、配方过程正误判断（如T16），发展推理意识| |综合层|跨情境应用、实际问题|新考法（点在象限角平分线，T14）、阅读材料探究（等腰三角形周长，T18），体现模型意识与应用意识|

1.2.1用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 婁册对点练 知识点1用直接开平方法解一元二次方程 1.用直接开平方法解下列方程： (①x2-8=0； (②x-3)2=36, 38x+12-50=0, x+22-1=5 (42 2.方程y-25=0的解是（ A.y=5 B.y=-5 c.=5,2=-5 D.=0,y3=5 3.如果关于x的方程x-9=m+4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是 A.m>3 B.m≥3 C.m>-4 D.m≥-4 4.若一元二次方程x2-9=0的两根分别是a,b,且a>b,则2a-b=。 知识点2用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 5.解下列方程： 1)x2+4x=7; 2)x2-6x+3=0: 2、 (3) 2x-1=0 (④x2+3x-4=0 6.用配方法解方程x2-4x-3=0.下列变形正确的是() A.(x-4)2=19 B.(x-2)2=7 C.(x-2)2=1 D.(x+2)2=7 7.用配方法解下列一元二次方程，其中应在方程两边同时加上16的是() A.x2+32x=3 B.x2-4x=5 C.x2+8x=1 D.x2-16x=4 8.已知方程x2-6x+4=口，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成(c-p)=7的形式，则 印刷不清楚的数字是() A.6 B.9 C.2 D.-2 9.若将一元二次方程x2-8x-5=0化成c+a=b(a,b为常数)的形式，则ab=一 能力达标练 a 10.若一元二次方程=b(b>0)的两个不相等的根分别是2m+1与m-7,则b为() 1 1 1 1 A.5 B.10 C.20 D. 25 1.若(a+b-l(a+b+)-4=0,则a+b的值为() A.2 B.±2 c.5 D.±V5 12.T11变式0已知(a2+b-5(a+b2)-6=0,则a2+b2的值为一。 13.已知方程x-6x+q=0可以配方成(x-p)'=7,那么x2-6x+9=2可以配方成 14.(新考法)已知点5-k,2k+3)在第四象限内，且在其角平分线上，则k=一。 15.关于x的方程a(x+m+b=0(a,b,m均为常数，a≠0)的根是：=3，=7，则方程 4a(x+-m)2+b=0 2 的解是。 16.下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务 解：x2-2x=1…第一步 x2-2x+1=1,即(x-)2=1…第二步 x-1=士1…第三步 x=0,为2=2“第四步 任务一：填空：上述材料中小明同学解一元二次方程的数学方法是，依据的个数学公式是 第 步开始出现错误； 任务二：请你直接写出该方程的正确解 3 17.解下列方程： 0①x-10(x-2)=12 (2x-2)2-4(x-2)=5 拨高提升练 18.阅读材料：我们知道，若几个非负数相加得零，则这些数都必同时为零。 例如：①(a-+b+5)=0,我们可以得到(a-=0,(仍+5)}=0，：a=,b=-5. ②若m2-4m+n2+6n+13=0,求m,n的值。 解：：m2-4m+n2+6n+13=0. :m2-4m+4+n2+6n+9=0(我们将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式). :.0m-2)2+(0n+3)2=0. :(m-2)2=0,m+3)}2=0. :m=2,n=-3 根据你的观察，探究下面的问题： 0)若a2-4a+4+b2=0,则a=,b= 4 ②已知r+2y+2y-6y+9=0,求x'的值 (3)已知a,b(a≠b)是等腰三角形的边长，且满足2a2+b2-8a-6b+17=0,求三角形的周长 解析： 础对点练 知识点1用直接开平方法解一元二次方程 1.用直接开平方法解下列方程： )x2-8=0: 解：移项得，x2=8 由平方根的意义，得 x=+22 :=2V2,x2=-22 (20x-3)2=36. 5 解：由平方根的意义，得x-3=6 x=3+6=9,x2=3-6=-3 6)80x+102-50=0: 8(x+1)2=50 解：移项得， 等式两边同时除以8得， (x+12=25 4 x+1=t5 由平方根的意义，得 2 22'=-1-57 :l+ 53 -2-2 26+22-1=5 2c+2f-6 解：移项合并同类项得， 等式两边同时乘2得，(x+2)2=12 x+2=±2V3 由平方根的意义，得 :=-2+2V5,3=-2-25 2.方程y-25=0的解是() A.y=5 B.y=-5 C.y=5,2=-5 D.为=0,2=5 答案：C 6 y2=25 解析：移项得， 由平方根的意义，得x=5 .x=5,x2=-5 故选C选项 3.如果关于x的方程x-9)'=m+4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是 A.m>3 B.m≥3 C.m>-4 D.m≥-4 答案：C 解析： :方程(x-9)=m+4可以用直接开平方法求解 .m+4≥0. 解得m≥-4 故选C选项. 4.若一元二次方程x2-9=0的两根分别是a,b,且a>b,则2a-b=。 答案：9 x2=9 解析：移项得， 由平方根的意义，得x=3 :.a>b a=3,b=-3 个 :2a-b=2x3-(-3)=9 知识点2用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 5.解下列方程： 1x2+4x=7; 解析：配方，方程两边都加上4，得r+4x+4=7+4 即(x+2)2=11 +2=±V11 由平方根的意义，得 :x=-2+,x2=-2-而 (②)x2-6x+3=0； 解析：移项，得x2-6x=-3 配方，方程两边都加上9，得r-6x+9=-3+9 即(x-3)2=6 -3=±√6 由平方根的意义，得 :=3+V6,x=3-√6 g10 2、1 x=1 解析：移项，得2 1 11 配方，左程两边都加上16，得26+， t-1 f 由平方根的意义，得44 4要“平要四 444 (4x2+3x-4=0. 解析：移项，得x+3x=4 9 9 2+3x+ 配方，方程两边都加上4，得 449 4 x+}-2 即 2 4 3 由平方根的意义，得②×) X+ 2 35 22山，5=-35 22s4 6.(2024巴中月考)用配方法解方程x-4x-3=0.下列变形正确的是（) A(x-4=19 B.(x-2)2=7 c.(x-2)2=1 D.(x+2)2=7 答案：B 解析：移项，得x2-4x=3 配方，方程两边都加上4，得x2-4x+4=3+4 即(x-2)2=7 故选B选项. 7.(2024商丘期末)用配方法解下列一元二次方程，其中应在方程两边同时加上16的是() A.x2+32x=3 B.x2-4x=5 C.x2+8x=1 D.x2-16x=4 答案：C 解析：当二次项的系数为1时，可先把常数项移到方程的右边，然后在方程的两边都加上一次项系数的 一半的平方. A选项，x2+32x=3,上一次项系数是32，方程的两边都加上16=256，A选项错误： B选项，x2-4x=5,上一次项系数是-4，方程的两边都加上(-2)=4，B选项错误： C选项，X+8x=1,上一次项系数是8，方程的两边都加上4=16，C选项正确： D选项，2-16x=4,上一次项系数是-16，方程的两边都加上(8=64，D选项错误； 故选C选项. 8.(邯郸期中)已知方程x-6x+4=口，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成x-p)=7的 形式，则印刷不清楚的数字是() A.6 B.9 C.2 D.-2 答案：C 解析：移项，得x2-6x=口-4 10 配方，方程两边都加上9，得x2-6x+9=口-4+9 即(x-3)2=口+5 方程配方成(x-p)2=7 ☐+5=7 解得，口=2 故选C选项， 9.2025东阿模拟若将一元二次方程x2-8x-5=0化成(x+a=b(a,b为常数)的形式，则ab=_ 答案：84 解析：移项，得x2-8x=5 配方，方程两边都加上16，得x2-8x+16=5+16 即(x-4)2=21 方程配方成(r+a)2=b a=-4,b=21 .ab=-4×21=-84 3 能力达标练 a 10.2024沈阳月考)若一元二次方程r=b(b>0)的两个不相等的根分别是2m+1与m-7,则b为 () 1 1 1 A.5 B.10 C.20 D.25 答案：D a 解析：移项，得 .ab>0 b>0 ..a (2m+1)2=(m-7)2 x=tb 由平方根的意义，得a b x1= X2三一 ∴七+x2=0 即2m+1+m-7=0 解得，m=2 x=2m+1=2×2+1=5,x2=m-7=2-7=-5 名 =x=5, a1 V6 a I ,即b25 故选D选项 11.(2025包头期中)若(a+b-1(a+b+)-4=0,则a+b的值为（) A.2 B.±2 C.v5 D.±5 答案：D 解析：令msa+b 则原方程为，(m-1)(m+1)-4=0 整理得，m2-1-4=0 移项，得m2=5 由平方根的意义，得m=±V⑤ a+b=±5 故选D选项。 12.T1变式已知(a+b)y-5(a+b)-6=0,则a2+b2的值为。 答案：6 m=a2+b2(m>0) 解析：令 则原方程为，m2-5m-6=0 13 移项，得m2-5m=6 25 m2-5m+ 25 25 =6+ 配方，方程两边都加上4，得 4 4 4 即 m、 ,7 = 2 2 由平方根的意义，得 57 57 m1= 22 =6,m2= 22 =-1 .m>0 ∴.m=6,即a2+b2=6 故选D选项 13.已知方程x-6x+9=0可以配方成(x-p)'=7,那么x2-6x+9=2可以配方成 答案：(xp)2=9 解析：(x-p)=7移项得，(x-p)-7=0 :x2-6x+9=0可以配方成x-p)2-7=0 x2-6x+q=(x-p)2-7 方程x-6x+9=2变形为，(x-p)2-7=2 移项，得(x-p)2=9 14 14.(新考法X2024威海期中)已知点5-k,2k+3)在第四象限内，且在其角平分线上，则k=一。 答案：2 解析：：点(5-k,2k+3)在第四象限内的角平分线上 :5-k2=-(2k+3),且2k+3<0 去括号，得5-k2=-2k-3 k2-2k=8 移项合并同类项，得 配方，方程两边都加上↓，得2-2k+1=8+1 即k-2=9 k-1=±3 由平方根的意义，得 k=1+3=4,k2=1-3=-2 2k+3<0 .k=-2 15.(2025宿迁期末)关于x的方程a(r+m)+b=0(4,b,m均为常数，a≠0)的根是=3，为2=7， 1 4a(x+二m)2+b=0 则方程 的解是」 答案：3/2,7/2 da 解析：为区分两个方程的未知数，不放将方程 ）改4a0+2m+b=0 ，改做 15 a(y+-m)2+b=0 22a0y+5m)2+b=0 方程 2 可变形 即a(2y+m)2+b=0 由a(x+m)'+b=0,得 (x+m)2=-b a(2y+m)2+b=0,得 2y+m2=-b x+m=2y+m 业st 2 方程ax+m+b=0的根是5=3，：=7 3 :方程a(2y+m+b=0的根是为 37 即程a2r+m+b=0的根是22 16.(2024晋中模拟)下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 解：x2-2x=1…第一步 x2-2x+1=1,即(x-1)2=1…第二步 x-1=士1…第三步 x=0,七2=2“第四步 任务一：填空：上述材料中小明同学解一元二次方程的数学方法是配方法，依据的个数学公式是 完全平方；第二步开始出现错误； 任务二：请你直接写出该方程的正确解. 解：配方，方程两边都加上1，得x2-2x+1=1+1 16 即x-02=2 x-1=±√2 由平方根的意义，得 :x=1+V2,x2=1-2 17.解下列方程： (①x-10x-2)=12 x2-3x+2=12 解：去括号，得 移项合并同类项，得x2-3x=10 9 配方，方程两边都加上4，得 2-3r+9 1049 4 4 2=49 (x-2 4 即 x ) 3 2 2 由平方根的意义，得 37 37 x= +25,622-2 (26x-2)}2-4(x-2)=5 解：去括号，得-4x+4-4+8=5 移项合并同类项，得x2-8x=-7 配方，方程两边都加上16，得r2-8x+16=-7+16 即x-4)2=9 17 x-4=±3 由平方根的意义，得 .X=4+3=7,62=4-3=1 拔高提升练 18.(2025株洲期末)阅读材料：我们知道，若几个非负数相加得零，则这些数都必同时为零。 例如：O(a-)2+(仍+5)2=0，我们可以得到(a-)2=0,(仍+5)'=0，：a=1,b=-5 ②若m2-4m+n2+6n+13=0,求m,n的值。 解：：m2-4m+n2+6n+13=0, :m2-4m+4+n2+6n+9=0(我们将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式) :.(m-2)2+(n+3)2=0 .(m-2)2=0,(n+3)2=0 .m=2,n=-3 根据你的观察，探究下面的问题： (1若Q2-4a+4+b2=0,则a=一，b= ②已知x+2y+2y-6y+9=0,求x'的值 (6)已知4，b(a≠b)是等腰三角形的边长，且满足2a2+b2-8a-6砧+17=0，求三角形的周长 解析：(1)解：a2-4a+4+b2=0, (a-2)2+b2=0 (a-2)2=0,b2=0 18 a=2,b=0 (2)解：x2+2y+2y2-6y+9=0, :+2xy+y2+y2-6y+9=0 :x+)+0-3)=0 :.x+y)2=0,0y-3)2=0 x=-3,y=3 x=(-3)》°=-27 (3)解：2a2+b-8a-6b+17=0, :2a2-8a+8+b2-6b+9=0 2(a2-4a+4)+b2-6b+9=0 .2a-22+6-3)2=0 :.(a-2)2=0,(b-3)2=0 a=2,b=3 当腰长为Q时，等腰三角形的三边长分别为2,2,3，此时可以组成三角形，等腰三角形的周长 为2+2+3=7. 当腰长为b时，等腰三角形的三边长分别为3,3,2，此时可以组成三角形，等腰三角形的周长为 3+3+2=8. 综上，等腰三角形的周长为7或8. 19