湖南省长沙市芙蓉区2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷

**基本信息** 以现实情境与数学文化为载体，通过奶茶店销售额回归分析、Sora技术影响调查等问题，考查数学建模与数据分析能力，体现用数学思维解决实际问题的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、二项式定理等|基础概念与运算，如纯虚数判定、展开式常数项| |填空题|3题15分|二项式系数、概率、椭圆离心率|结合科技情境，如智能分选机概率问题| |解答题|5题77分|数列、立体几何、统计、导数|现实应用与创新，如线性回归预测、拉格朗日中值定理证明|

湖南省长沙市芙蓉区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合则（   ） A． B． C． D． 2．若复数为纯虚数，则实数（   ） A． B． C． D． 3．展开式中的常数项为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．在三角形中，M是线段上的一个动点，且满足，求的最小值（   ） A．2 B．4 C．8 D．1 5．的展开式中常数项为（    ） A． B．20 C． D．15 6．某研究所研究耕种深度（单位：）与一种农作物每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 2 3 5 6 每公顷产量 m 5 7 8 发现与之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．已知随机变量的概率分布如下： 2 3 5 若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（    ） A．数列的通项公式为 B．数列是递增数列 C．数列的前项和 D．若，则数列一定是等比数列 10．已知一个盒中装有除颜色外完全相同的乒乓球4个，白色和黄色各2个.现随机抽取2个球，方式一是每次取一个，取完后放回再取下一个，记取到的白球个数为；方式二是每次取一个，取完后不放回，记取到的白球个数为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（    ） A． B． C． D．且 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 13．在科技下乡的大趋势下，某果园使用一种智能水果分选机筛选某种水果，将该种水果分为大果和小果两类，该分选机把大果错误筛选为小果以及把小果错误筛选为大果的概率均为0.1，经过分选机筛选分类之后大果所占比例为0.58，则可推测该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为________ 14．已知椭圆，点分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足，则椭圆C离心率的取值范围是______． 4、 解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知数列的各项均不为0，前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知. (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 17．某奶茶店为了研究日销售额（单位：百元）与平均气温（单位：℃）之间的关系，统计了连续天的数据，如下表： 12 14 16 18 20 25 29 32 34 40 (1)求关于的线性回归方程； (2)若某日的平均气温为，根据回归方程预测该日的销售额； (3)计算样本相关系数（精确到 0.01），并判断销售额与平均气温的相关程度. （附：） （参考公式：​，） 18．向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型Sora（以下简称Sora），能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频．为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示． Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 减少 应用 54 18 72 没有应用 36 42 78 合计 90 60 150 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 (1)根据所给数据，判断是否有的把握认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关？ （附：，其中．） (2)某公司视频部拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora． （i）求员工经过培训能应用Sora的概率； （ii）已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；Sora培训平均每人每年成本为1万元．视频部现有员工100人，根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 19．法国著名数学家拉格朗日给出一个结论：若函数在闭区间上的图象是一条连续不断的曲线，在开区间上都有导数，则在区间上存在实数，使得，这就是拉格朗日中值定理，其中称为在区间上的“拉格朗日中值”.已知函数. (1)利用拉格朗日中值定理求函数在上的“拉格朗日中值”； (2)利用拉格朗日中值定理证明：函数上任意两点连线的斜率不小于； (3)针对函数，请证明拉格朗日中值定理成立. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市芙蓉区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B A A C C BD ACD 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 2．A 【详解】复数的实部为，虚部为， 根据纯虚数的条件，令实部为0，可得，解得； 将代入，得，满足条件， 因此实数. 3．C 【详解】根据二项式定理，展开式中的通项公式为： ， 要求展开式中的常数项，则的指数为0，即， 解得，代入通项公式的系数部分，求得常数项： ，C正确. 4．B 【分析】根据向量基本定理可得，再由基本不等式“1”的妙用求最小值即可． 【详解】三点共线，且M是线段上的一个动点，满足， ， 则，当且仅当时取等， 故的最小值为． 5．A 【详解】由题意得的通项公式为， 令，可得，即其常数项为. 6．A 【分析】将代入经验回归方程计算即可得. 【详解】，， 则，解得. 7．C 【分析】先利用离散型随机变量所有概率和为1求出，再结合期望公式求出，最后代入方差公式计算结果. 【详解】由题意可得，解得， 又，所以，即，即，得， 所以. 8．C 【分析】对原式两边取以为底的对数，得到的对数表达式，再通过对数的运算性质（乘积的对数等于对数的和、对数的幂运算）对表达式进行变形，逐项验证即可. 【详解】已知，两边取以为底的对数，可得： ，， ， 则， 因此. 选项A，，，， 乘积为：，A错误. 选项B，左边， 右边， ，B错误. 选项C，由(1)(2)(3)得：，，， 因此： ，C正确. 选项D， ，D错误. 9．BD 【分析】由条件求得等差数列公差，写出其通项公式，求和公式，结合等比数列定义逐项判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，因为，且， 所以，解得：， 则，显然数列是递增数列，故A错误，B正确； 因，故C错误； 令，，所以数列是公比为的等比数列，故D正确. 10．ACD 【分析】利用二项分布的定义判断A；求出概率判断B；求出期望和方差判断C，D即可. 【详解】对于A，每次取到白球的概率为，则，A正确； 对于B，，，则，B错误； 对于C，的可能取值为，， 则，又，则，C正确； 对于D，，而，则，D正确. 11．BCD 【分析】对于选项A，可根据试验过程直接计算；对于选项B，需要根据试验过程分析表达式；对于选项C，根据条件概率公式判断与是否相等；对于选项D，时，有，得，可知，，则有，可得. 【详解】对于A，若数字9被选到，有两种情况： 第一次选数时，从1到10中选到9，概率为， 第一次选到10，第二次从1到9中选到9，概率为， 所以，选项A错误； 对于B，若数字8被选到，有以下几种情况：第一次就选到8，概率为； 发生后，下一次从1到8中选到8，概率为， 发生后，下一次从1到9中选到8，概率为， 这几种情况彼此互斥，所以，选项B正确； 对于C，根据条件概率公式，， 若发生，即数字9被选到，那么在选到9的情况下， 下一次从1到8中选到8的概率为，即， 若发生，即数字10被选到，那么在选到10的情况下，可以下一次从1到9中选到8， 也可以是下一次从1到9中选到9，再下一次从1到8中选到8， 即， 所以，选项C正确； 对于D，对于即选中的情况，设为选中数当中不小于的最小整数， 则 ， 当时，有，，， 结合知，， 所以最大数选取是任意的，始终有， 对于同时选中情况，不妨设，可理解为从中按规则取数， 选中的概率，则有， 可得，选项D正确. 故选：BCD 12．-28 【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 13．/ 【分析】先假设出大果真实比例，根据题目条件列出方程式，解出方程即可. 【详解】设大果的真实比例为，则小果的真实比例为， 根据题意得，解得. 14． 【分析】设，，利用得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，代入方程，进而得，根据题意，构建的齐次式，解不等式即得结果. 【详解】设，， 则由，可得，所以①． 又因为点，都在椭圆上，满足椭圆方程，所以②， 由方程组①②可得，化简得， 解得，因为， 所以，即，解得． 所以该椭圆的离心率的取值范围是． 15．(1) (2) 【分析】（1）由，可得，从而可得数列是等比数列，再求通项公式即可； （2）由（1）可得，从而得，从而利用错位相减求解即可. 【详解】（1）因为①， 当时，则有， 当时，则有②， 由①②， 得， 所以， 即， 所以数列是等比数列，其首项为，公比， 所以； （2）由（1）可得， 所以， 所以， 所以， 所以， 两式相减，得 ， 所以. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证平面，再根据线面垂直得到线线垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的正弦值. 【详解】（1）因为底面，底面，所以. 又底面为矩形，所以， 又平面，且，所以平面. 又平面，所以. （2）以为原点，建立如下图空间直角坐标系. 由题意：，，，. 所以，. 设平面的法向量为， 则，可取. 取平面的法向量. 设二面角为， 则， 所以. 17．(1) (2)4250元 (3)，正相关 【分析】（1）先计算，进而计算，即可求解； （2）根据（1）当 时，计算即可求解； （3）根据相关系数的公式计算即可. 【详解】（1）由题意得：，， 计算， ， 故， 所以回归方程为； （2）当 时，（百元）， 所以预测该日的销售额为元； （3）由题意得：， ， 表明销售额与平均气温高度正相关. 18．(1)有把握 (2)（i）；（ii）14人 【分析】（1）分析数据关系，完善列联表，提出零假设，计算，比较其与临界值大小，判断结论； （2）（i）设“员工第轮获得优秀”， “员工经过培训能应用Sora”，则，结合互斥事件概率加法公式，独立事件概率乘法公式求结论； （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用Sora的人数，则，由条件列不等式可求结论. 【详解】（1）零假设：Sora的应用与视频从业人员的减少无关， ， 根据小概率值的独立性检验，可以推断出不成立， 所以有的把握认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关； （2）（i）设“员工第轮获得优秀”， “员工经过培训能应用Sora”，则， 所以， 所以员工经过培训能应用Sora的概率为； （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用Sora的人数， 则，因此， 调整后视频部的期望年利润为：（万元）， 令，解得，又，所以， 因此视频部最多可以调14人到其他部门． 19．(1) (2) 由题，， 设， 设， 则在R上单调递增，注意到， 则当在上单调递增， 在上单调递减， 则， 设函数上任意两点为， 则函数上任意两点斜率的表达式为， 由拉格朗日中值定理，在区间上存在实数， 使，即， 因，则， 即函数上任意两点连线的斜率不小于； (3) ， 由题即相当于证明，，存在，使， 即 ， 即命题等价于证明对任意，， 下面证明：， 先证：， 不等式两边同时除以a，所证不等式变为， 令，则所证不等式可化为， 构造函数，则， 则在上递减，则，则； 再证：， 因，则所证不等式可化为， 即，令，则所证不等式可化为， 构造函数，则， 则在上递增，则，则， 又由基本不等式可得，则， 又注意到，则， 即对任意，，则命题得证. 【分析】（1）由题可得，解相应方程可得答案； （2）利用导数知识多次求导可得，然后结合拉格朗日中值定理可证明结论； （3）由题可得即证对任意，，然后通过构造函数分别证明，，从而完成证明. 【详解】（1）由题，， 因，， 则（负值舍去）； （2）略 （3）略 【点睛】方法点睛：本题（3）所涉表达式为对数平均数，则（3）中证明不等式即为几何平均数小于对数平均数小于代数平均数，此不等式及证明方法常用于解决双变量，极值点偏移等涉及多个变元的问题. 学科网（北京）股份有限公司 $