精品解析：云南红河哈尼族彝族自治州2025-2026学年高一下学期期末学业水平质量检测

红河州2028届高一下学期期末学业水平质量检测 数学试卷 本试卷共页，共题，全卷满分分，考试用时分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．现有一个上、下底面面积分别是，高为的圆台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 某中学为了解本校学生课外阅读情况，随机抽取名学生进行调查，统计学生平均每日课外阅读时长（单位：分钟），且时长均在范围内，得到如图所示频率分布直方图．该校将阅读时间较长者评为“阅读达人”，且获得“阅读达人”称号的学生人数占总人数的．以样本估计总体，若某学生获得“阅读达人”称号，则他平均每日课外阅读时长至少达到（ ） A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟 7. （ ） A. B. C. D. 8. 已知点是边长为的等边边上一动点，为的重心，则的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，定义如下事件：“掷出的点数为偶数”，“掷出的点数小于”，“掷出点数为”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件包含于事件 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数关于直线对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到的函数是奇函数 D. 不等式的解集为 11. 如图，在正方体中，，点为线段上的动点，点为线段上的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 无论点在线段上如何运动，总有 B. 与平面所成角的正弦值为 C. 的最小值为 D. 若，过三点作该正方体的截面，该截面的面积为 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分． 12. 在平面直角坐标系中，向量，如图所示，则__________．（用坐标表示） 13. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点是角终边上一点，则___________． 14. 已知函数．若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为___． 四、解答题：本题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校的羽毛球社团有，两个训练小组，其中组人，组人，期末学校对羽毛球训练成效进行考核，满分为分．为了解两个小组的训练成效，现采用按比例分层抽样的方法从该社团成员中抽取容量为的样本，记录样本中每名成员的考核成绩（单位：分），统计结果如下： 抽取的名组成员考核成绩为：，，，； 抽取的名组成员考核成绩为：，，，，，． 规定：考核成绩不低于分为“优秀”． （1）根据个样本数据，从考核成绩为“优秀”的成员中任取两人，求这两人来自同一组的概率； （2）以样本估计总体，分别估计，两组考核成绩的平均数与方差，判断哪组的成绩更稳定？请说明理由． 16. 某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． （1）求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； （2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 17. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求证：； （2）若，平分且交于点，且，求的周长． 18. 如图，在四面体中，是边长为的等边三角形，是线段的中点，是的中点，点在上且满足，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）若，求四面体的体积. 19. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求在时的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）对，恒成立，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红河州2028届高一下学期期末学业水平质量检测 数学试卷 本试卷共页，共题，全卷满分分，考试用时分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，解得或，则集合， 因为集合，所以． 2. 已知，，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 所以，故虚部为． 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，解得， 因是的真子集， 故“”是“”的必要不充分条件． 4. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．现有一个上、下底面面积分别是，高为的圆台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，不规则几何体的体积等于圆台的体积， 且圆台上、下底面面积分别是，高为， 设圆台的体积为，则， 则该不规则几何体的体积为. 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解． 【详解】由题意知，，， 又因为，即，所以． 6. 某中学为了解本校学生课外阅读情况，随机抽取名学生进行调查，统计学生平均每日课外阅读时长（单位：分钟），且时长均在范围内，得到如图所示频率分布直方图．该校将阅读时间较长者评为“阅读达人”，且获得“阅读达人”称号的学生人数占总人数的．以样本估计总体，若某学生获得“阅读达人”称号，则他平均每日课外阅读时长至少达到（ ） A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，获得“阅读达人”称号的同学平均每日课外阅读时长的最小值为样本数据的分位数， 由频率分布直方图可知，组距为，且第五组的频率为； 所以前四组频率之和为，则样本数据的分位数为分钟． 7. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】括号内通分，利用辅助角公式化简分子，再利用正弦二倍角公式和诱导公式可解. 【详解】由题意可知， . 8. 已知点是边长为的等边边上一动点，为的重心，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设与的夹角为， 在边长为的等边中， 连接并延长交于点，则垂直平分， 所以， 又因为点为的重心，则， 所以， 为在上的投影， 其最小值为，最大值为. 所以， 所以． 二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，定义如下事件：“掷出的点数为偶数”，“掷出的点数小于”，“掷出点数为”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件包含于事件 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 【答案】BD 【解析】 【详解】由题可知，设掷出点数为， 则试验的样本空间表示为， 事件，事件，事件， 对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B正确； 对于C，由于，故C错误； 对于D，由题意知，，则， 又，， 所以， 则事件与事件相互独立，故D正确． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数关于直线对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到的函数是奇函数 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由题意可知，最小正周期， 由，，得，故A正确； 对于B，由题意可知，当，时， 解得函数的对称轴为，， 当，解得，不成立， 所以函数不关于直线对称，故B错误； 对于C，由题意可知，将的图象向左平移个单位长度得到，， 此时函数是奇函数，故C正确； 对于D，由，得，， 所以的解集为，故D正确． 故选：ACD． 11. 如图，在正方体中，，点为线段上的动点，点为线段上的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 无论点在线段上如何运动，总有 B. 与平面所成角的正弦值为 C. 的最小值为 D. 若，过三点作该正方体的截面，该截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.通过线面垂直证明线线垂直；B.先找到线面所成的角，再在直角中求解角的正弦值；C把长方形与正方形展开成一个平面，当三点共线时求解；D.先作出截面，再求解面积. 【详解】对于A，在正方体中， 由平面，知平面， 又平面，则，故A正确； 对于B，连接，，在正方形中，， 由平面，平面，得， 又，平面， 则平面． 过点作交于点，连接， 于是平面， 故是直线与平面所成的角， 在中，，， 则，故B正确； 对于C，如图： 把长方形与正方形展开成一个平面， 当三点共线时， 此时最小，为，，故C错误； 对于D，若，延长，与的延长线交于点， 连接与相交于点，连接，如图： 由比例关系可得， 则过三点作该正方体的截面是梯形， 记梯形的高为， 由题意得， 在中，由余弦定理得， 则，得． 故，故D正确． 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分． 12. 在平面直角坐标系中，向量，如图所示，则__________．（用坐标表示） 【答案】 【解析】 【详解】由图知，，， 则． 13. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点是角终边上一点，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意知， ． 14. 已知函数．若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为___． 【答案】 【解析】 【详解】已知，其值域为， 令，则原方程可化为，即：， 要使有个不同实数根， 需满足有两个不同的实数根，且这两实数根均大于． 设，即要使的两实数根均大于，则需满足： ，即，得． 所以的取值范围为． 四、解答题：本题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校的羽毛球社团有，两个训练小组，其中组人，组人，期末学校对羽毛球训练成效进行考核，满分为分．为了解两个小组的训练成效，现采用按比例分层抽样的方法从该社团成员中抽取容量为的样本，记录样本中每名成员的考核成绩（单位：分），统计结果如下： 抽取的名组成员考核成绩为：，，，； 抽取的名组成员考核成绩为：，，，，，． 规定：考核成绩不低于分为“优秀”． （1）根据个样本数据，从考核成绩为“优秀”的成员中任取两人，求这两人来自同一组的概率； （2）以样本估计总体，分别估计，两组考核成绩的平均数与方差，判断哪组的成绩更稳定？请说明理由． 【答案】（1）； （2）平均数都是88；组方差为17，组方差为；由于，，所以组的成绩更稳定． 【解析】 【分析】（1）先根据按比例分层抽样求出从两组抽取的成绩优秀的人数，用字母表示并列出“从中任取两人”的样本空间和“两人来自同一组”的样本点，根据古典概型概率公式计算； （2）分别计算出两组成绩的平均数与方差，对应比较即得结果. 【小问1详解】 由题意知，抽取的样本数据中考核成绩为优秀的成员共有5人， 其中组有2人，分别记为，；组有3人，分别记为，，； 从上述5人中随机抽取2人的样本空间为： ，共包含10个样本点， 其中，这两人来自同一组包含4个样本点， 则， 所以考核成绩“优秀”的5人中任取两人，两人来自同一组的概率为. 【小问2详解】 记抽取的4名组成员的考核成绩的平均数为，方差为， 记抽取的6名组成员的考核成绩的平均数为，方差为， 则， ， ， ， 由于，，所以组的成绩更稳定． 16. 某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． （1）求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； （2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 【解析】 【分析】（1）由“利润＝销售收入－固定成本－可变成本”列出关系式并化简即得的解析式； （2）利用基本不等式可求得年利润最大值. 【小问1详解】 由题意知，年利润 【小问2详解】 当时， ， 当且仅当，即时取等号， 此时，取得最大值为， 所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 17. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求证：； （2）若，平分且交于点，且，求的周长． 【答案】（1）证明：因为， 由正弦定理得，即， 得，所以，即 （2） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为，，所以的面积为， 又因为平分且交于点，所以，又， 所以， 所以，即，，因为，根据余弦定理得 ，故，所以周长. 18. 如图，在四面体中，是边长为的等边三角形，是线段的中点，是的中点，点在上且满足，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）若，求四面体的体积. 【答案】（1）证明：因为是线段的中点，是的中点， 所以，又因为， 所以，且平面；平面， 所以平面； （2）因为是边长为的等边三角形，是线段的中点， 所以，且， 又因为，， 所以，则，且，， 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，即； （2）要证明线面垂直，转化为证明，，即可证明； （3）首先根据条件确定，再求底面面积和高，即可求解锥体的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是线段的中点，，， 所以，得， 又因为， 所以， 设四面体的体积为，则. 19. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求在时的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）对，恒成立，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2）函数在上单调递增，证明如下： 设，则，即， 所以函数在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求解析式即可； （2）应用单调性的定义证明单调性； （3）问题化为在上恒成立，结合二次函数的性质求右侧的最大值，即可得. 【小问1详解】 因为是奇函数，故有，且时，， 当时，，则，所以， 因此函数在时的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以， 因为，代入得， 由（2）得在上单调递增，则恒成立， 即恒成立，令，， 令，所以，则的最大值为， 因此，所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $