精品解析：云南省石屏县第一中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年高一下学期期末考试 数学试卷 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则的元素个数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】由题意可得，则有7个元素. 故选：C. 2. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，，， 所以，， 当且仅当，即，时取等号. 故选：C. 3. 下列函数既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性与奇偶性直接判断即可. 【详解】对A，为偶函数，故A错误； 对B，在上不为增函数，故B错误； 对C，既是奇函数又在上单调递增，故C正确； 对D，为偶函数，故D错误. 故选：C 4. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理易得，然后代值计算即可. 【详解】由正弦定理可得：， 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题. 5 已知复数，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求得，再求复数的模即可. 【详解】由题意， 则. 故选：D. 6. 已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为4，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求展开图中扇形的弧长，再由圆心角与弧长和扇形半径的关系求圆心角. 【详解】圆锥的侧面展开图为扇形， 扇形的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长， 所以圆锥的侧面展开图的圆心角为. 故选：B. 7. 下图是我国2018～2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法错误的是（ ） A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B. 这六年销量第60百分位数为536.5万辆 C. 这六年增长率最大的为2019年至2020年 D. 2020年销量高于这六年销量的平均值 【答案】D 【解析】 分析】根据条形图，结合百分位数、平均数求法及各项描述判断正误即可. 【详解】A：由条形图知，我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势，对； B：由，故第60百分位数为2021年数据，为536.5万辆，对； C：由图知：2019年到2020年增长率超过了100%，其它都不超过100%，对； D：由，错； 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二倍角公式、两角差的正弦公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，A选项正确. B选项， ，B选项错误. C选项，，C选项错误. D选项，，D选项正确. 故选：AD 9. 如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于的任意一点，则下列关系正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理及性质判断各选项即可. 【详解】由题意，平面，因为平面，所以， 因为点在以为直径的圆上，且为圆上异于的任意一点，所以， 故A错误； 因，，又平面， 所以平面，故B正确； 因为平面，又平面，所以，故D正确； 若，由，平面， 则平面，又平面，则，这与矛盾，故C错误. 故选：BD. 10. 已知随机事件满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用概率的性质结合已知即可推出A正确；再利用和事件的概率公式结合A选项，即可判断BCD. 【详解】对于A，， ， 又，所以， 故，A正确； 对于BCD，，结合， 则，而， 所以，B正确，C错误，D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知向量，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量坐标运算法则求，结合向量平行的坐标表示求，再求的坐标，再由模的坐标表示求结论. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 12. 已知复数为纯虚数， 则________________； 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的类型求出参数的值. 【详解】因为， 又复数为纯虚数，所以，解得. 故答案为： 13. 设正方体的所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合正方体的性质与球的表面积公式计算即可得. 【详解】正方体的对角线就是球的直径，即，则， 则. 故答案为：. 四、解答题 14. 化简求值 （1）已知，在第二象限，求和的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式来求得正确答案. （2）根据商数关系来求得正确答案. 【小问1详解】 由于，在第二象限，所以， 所以. 【小问2详解】 依题意，， 所以. 15. 在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是，乙答题错误的概率是，乙、丙两人都答题正确的概率是，假设每人答题正确与否是相互独立的． （1）求丙答题正确的概率； （2）求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设丙答对这道题的概率为，利用对立事件和相互独立事件概率公式，即可求解； （2）由相互独立事件概率乘法公式，即可求解. 【小问1详解】 记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件， 设丙答对题的概率，乙答对题的概率， 由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此是相互独立事件. 根据相互独立事件同时发生的概率公式，得，解得， 所以丙对这道题的概率为 【小问2详解】 甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率为甲、乙、丙三人都回答错误的概率为 16. 已知A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，向量，，且． （1）求角C的大小； （2）若，且，求边c的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算及三角公式化简整理可得角C的大小； （2）将中角化边，再将用三角形的边角表示出来，然后利用余弦定理求出边c的长. 【小问1详解】 由已知得． 因为，所以， 所以． 又，所以， ，则 所以．又， 所以； 【小问2详解】 由已知及正弦定理得． 因为，所以，所以． 由余弦定理得， 所以，所以， 所以． 17. 已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为2. （1）求复数； （2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，得到、，根据和的虚部为2联立方程组解出、，再根据复数在复平面上对应点在第一象限得到复数； （2）分别求出、，得到点、、的坐标，求出. 【小问1详解】 设，，， 由题意得，解得或，又因为复数在复平面上对应点在第一象限，所以. 【小问2详解】 ，，， 所以对应的点，，，从而，，. 18. 如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，截面将该正方体分成两部分，这两部分的体积分别为，且． （1）求； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据锥体体积公式可得，再利用割补法求； （2）根据题意利用等体积法求点到面的距离. 【小问1详解】 截面将正方体分成两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥， 其底面是腰长为的等腰直角三角形，面积为． 又底面上的高为， 所以三棱锥的体积． 因为正方体的体积， 所以剩余部分的体积． 【小问2详解】 在中，， 如图，取的中点，连接， 则， 所以， 的面积． 设点到平面的距离为， 因为三棱锥与三棱锥是同一个几何体， 所以，结合（1）得， 即，解得， 所以点到平面的距离为． 19. 已知函数． （1）若，求的值； （2）根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增； （3）若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用对数的运算公式，即可求解； （2）根据题意，利用函数单调性的定义及判定方法，结合指数函数的性质，即可求解； （3）由，不等式转化为，根据在上单调递增，转化为存在，使得成立，令，得到存在，使得，结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 由函数， 因为，可得. 【小问2详解】 任取，且， 则 ． 因为，可得，所以，， 所以，即， 所以在上单调递增． 【小问3详解】 因为， 所以可化为， 由（2）可知，在上单调递增， 所以，即， 要存在，使得不等式成立， 只要存，使得成立， 因为，所以，令， 只要存在，使得成立，即， 令， 设且， ， 当且时，，则， 可得时，函数单调递增， 所以（当时取等号）， 所以，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高一下学期期末考试 数学试卷 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则的元素个数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 2 2. 已知，，，则最小值为（ ） A B. C. D. 3. 下列函数既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的长为（ ） A B. 1 C. D. 2 5. 已知复数，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 6. 已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为4，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 7. 下图是我国2018～2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法错误的是（ ） A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B. 这六年销量第60百分位数为536.5万辆 C. 这六年增长率最大的为2019年至2020年 D. 2020年销量高于这六年销量的平均值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列计算结果为是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，垂直于以为直径圆所在的平面，为圆上异于的任意一点，则下列关系正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 10. 已知随机事件满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知向量，且，则__________. 12. 已知复数为纯虚数， 则________________； 13. 设正方体的所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______. 四、解答题 14. 化简求值 （1）已知，在第二象限，求和的值； （2）已知，求的值. 15. 在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是，乙答题错误的概率是，乙、丙两人都答题正确的概率是，假设每人答题正确与否是相互独立的． （1）求丙答题正确的概率； （2）求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率． 16. 已知A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，向量，，且． （1）求角C的大小； （2）若，且，求边c的长． 17. 已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为2. （1）求复数； （2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值. 18. 如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，截面将该正方体分成两部分，这两部分的体积分别为，且． （1）求； （2）求点到平面的距离． 19. 已知函数． （1）若，求的值； （2）根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增； （3）若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $