2025～2026高一下学期期末复习卷3必修二（北师大2019版）

**基本信息** 覆盖三角函数、立体几何、向量等必修二核心模块，通过基础辨析与综合应用梯度设计，培养直观想象、数学建模及逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|三角函数值、线面关系、异面直线成角|基础概念辨析，如第2题线面位置关系判断| |多选题|3|向量性质、函数奇偶性与对称性|多维度概念辨析，如第9题向量基底判定| |填空题|3|函数奇偶性、向量投影、扇形面积|情境化计算，如第14题扇形内接矩形面积| |解答题|5|三角函数计算、向量应用、实际测量、函数综合、立体几何证明与体积|综合应用与建模，如第17题河对岸广告牌测量（数学建模）、第19题圆台体积计算（直观想象）|

2025~2026高一下学期数学必修二（北师大2019版）期末复习卷3 一、单选题 1．的值为（     ） A． B． C． D．0 2．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．设，若为实数，则的值为（     ） A． B． C．2 D． 4．如图，在长方体中，，，则异面直线和所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 5．函数是（   ） A．非奇非偶函数 B．仅有最小值的奇函数 C．仅有最大值的偶函数 D．既有最大值又有最小值的偶函数 6．已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．已知直三棱柱的顶点都在球上，若，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 8．如图，一条东西方向的河流两岸平行，河宽600 m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河岸边地出发，航行到河对岸的处，（与河的方向垂直），已知船的速度为，过河需要的时间为，船的行驶方向与水流方向的夹角为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．若与是两个单位向量，则 B．若是非零向量，为非零实数，则与的方向相同 C．若，则与可以作为基底 D．若，且与同向，则 10．已知函数，则（   ） A． B．的定义域为 C．曲线关于点对称 D． 11．在三棱锥中，平面，，，，则（   ） A．异面直线与所成的角为 B．点A到平面的距离为 C．二面角的正弦值为 D．三棱锥各顶点均在半径为3的球的球面上 三、填空题 12．已知函数，为偶函数，则__________. 13．已知向量，满足在方向上的投影向量为，若，，则______． 14．如下图，已知是圆心角为的扇形，是扇形弧上的点，四边形是扇形的内接矩形，其中，，则扇形的面积为______． 四、解答题 15．已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 16．已知向量，． (1)若，求的值； (2)设，，求的取值范围． 17．如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，BC长80米．设A、B在同一水平面上，从A、B看D的仰角分别为． (1)设计中CD是铅垂方向，若要求，求CD的长（结果精确到0.01米）； (2)施工完成后CD与铅垂方向有偏差，现实际测得＝39.82°，＝19.48°，求CD的长和∠ACD的大小（结果精确到0.01米和0.01°）． 18．设函数. (1)若，求函数在上的值域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 19．如图，梯形是圆台的轴截面，，分别在底面圆，的圆周上，为圆台的母线，，已知，，，分别为，的中点． (1)证明：平面平面； (2)若三棱锥的体积为，求圆台的体积． 《2026年6月26日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B A D C D C BC ABC 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】根据两角和差公式求解即可. 【详解】因为. 2．D 【详解】若，则或，所以A错误； 若，则或，所以B错误； 若，则或与相交，所以C错误； 若，根据线面垂直的性质定理可知，，所以D正确. 3．B 【分析】先求出的共轭复数，再将分式复数分母实数化，利用实数的虚部为列方程求解参数. 【详解】首先根据共轭复数的定义，可得， ， 因为该复数为实数，故其虚部为，且恒成立， 因此，解得. 故选：B. 4．A 【详解】因为，所以是异面直线和所成角或其补角， 所以在中，，所以， 即异面直线和所成角的大小是. 5．D 【详解】∵，定义域为，又， ∴是偶函数，且不是奇函数， 又，又因为， 所以当时，取得最大值2；当时，取得最小值. 6．C 【详解】因为， 所以，化简可得， ，代入可得， 因为向量与向量都是非零向量， 所以向量与向量垂直，即夹角为. 7．D 【分析】利用底面直角三角形的性质求出底面外接圆半径，结合直棱柱高度确定球心位置及球心到底面的距离，根据求出球半径，进而计算表面积。 【详解】由，知为直角三角形，斜边为其外接圆直径. 计算， 故底面外接圆半径. 直三棱柱的高，球心位于上下底面外心连线的中点， 故球心到底面的距离. 设球半径为，则. 球的表面积. 8．C 【详解】设船速为，水速为，船的合速度为， 则，即，解得， 因为，所以， 则船的合速度为， 则过河需要的时间为. 9．BC 【分析】根据向量的实际背景及基本概念，依次判断各项正误. 【详解】对于A，方向不确定，错误； 对于B，由于，故，正确； 对于C，由于不存在实数满足，即与不共线，故可以作为基底，正确； 对于D，向量不能比较大小，错误. 10．ABC 【详解】A选项，，故A正确； B选项，由，解得， 则的定义域为，故B正确； C选项，令，得， 则函数的对称中心为， 令，得，则曲线关于点对称，故C正确； D选项，，故D错误． 11．ACD 【分析】由两两垂直的条件，先推导线面垂直，解决A选项异面直线垂直问题；固定体积不变，用等体积法列式求点面距，判断B选项；取等腰三角形底边中点构造棱的两条垂线，找到二面角平面角，解直角三角形求正弦值，判断C选项；利补体法，由体对角线求外接球半径，判断D选项. 【详解】对于A选项，因为平面，平面，所以， 又，，所以平面， 由平面知，故异面直线与所成的角为，故A正确； 对于B选项，显然三棱锥的体积， 而，，记M为中点，连接，由等腰三角形得， 由勾股定理得， 故的面积， 可知点A到平面的距离，故B错误； 对于C选项，连接，，由，，平面， 平面知为二面角的平面角，而， 可得，故C正确； 对于D选项，由两两垂直，可将三棱锥补成长方体， 其长宽高分别为，三棱锥外接球与长方体外接球相同， 外接球直径等于长方体体对角线：，，故D正确． 12．，. 【详解】因为为偶函数，故. 13． 【详解】因为. 又，所以，所以， 所以，所以. 14． 【分析】先根据正切函数的定义求出，再根据勾股定理求出扇形半径，进而根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】在矩形中，有，，且， 则在中，，所以，解得， 所以在中，，所以， 即扇形半径的平方为， 所以扇形的面积为． 15．(1) (2) 【分析】（1）根据角α终边上点的坐标，结合任意角三角函数定义求出、，代入目标式计算即可； （2）利用三角函数诱导公式化简原式为，再结合终边上点的坐标求的值. 【详解】（1）点到坐标原点的距离， 根据任意角三角函数的定义： ，， 代入得； （2）利用诱导公式化简原式： 分子部分：，， ，， 因此分子， 分母部分：，，， 因此分母， 约分化简得原式， 根据定义. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得，从而求得. （2）先根据向量的运算及三角函数恒等变换求出，再利用三角函数值的取值范围求出的取值范围． 【详解】（1）因为，则，即，得. （2） 所以 . 因为，所以， 则，， 因此，即的取值范围为. 17．(1)28.28米； (2)CD的长为28.57米，∠ACD≈88.50°. 【详解】（1）根据题意可知，AC长35米，BC长80米， 设CD的长为x米，则，∵， ∴，则，即， 解得：米，故CD的长为28.28米. （2）由题设， 根据正弦定理得，则米， ∴由余弦定理得：， 所以米，又因为， 代入数据解得：米， 又因为， 代入数据得：， 则， 故CD的长为28.57米，∠ACD≈88.50°. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）令，，则，，其中，当时，利用二次函数的基本性质求出函数在上的值域，即为函数的值域； （2）当时，，函数变为，，所求问题变为恒成立，然后对实数的取值进行分类讨论，利用二次函数的单调性求出的最小值，可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围； （3）分析可知在内有两个不等实数根，根据二次方程根的分布可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）令，，则， 令， 当时，在上单调递减， 所以，，即的值域为，故函数的值域为. （2）若要，则需，当时，， 函数变为，，所求问题变为恒成立， 函数的图象开口向下， ①当时，即当时，此时函数在上单调递减， 则，解得，此时； ②当时，即当时，此时函数在上单调递增， 则，解得，此时； ③当时，即当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 故， 当时，即当时，，解得，此时； 当时，即当时，，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. （3）令，，由题意可知，当时， 关于的方程在时有两个不等实数解， 而关于的方程最多只有两个根， 因为方程在上有四个不相等的实数根， 所以原题可转化为在内有两个不等实数根，    令，则有，解得， 即的范围. 19．(1)∵在梯形中，，， ∴，， 又G为的中点，∴，∴， 故四边形为平行四边形，∴. 又平面，平面， ∴平面. ∵分别是，的中点， ∴. 又平面，平面， ∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. (2) 【分析】（1）由题意可证得平面，平面，进而可证得结论； （2）由三棱锥体积以及的面积，可得圆台的高，利用圆台的体积公式可得答案. 【详解】（1）略 （2）设由（1）可知，则为三棱锥的高h. 故， 由，可得， ∴. 又∵，， ∴. 故， ∴. 故圆台的体积. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $