第02讲 集合间的基本关系--2026年新高一暑假衔接 （人教A版）

第02讲 集合间的基本关系 1．能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的概念，并掌握其记法和读法； 2．理解两个集合相等的含义，会用子集的观点来解释两个集合相等； 3．在具体情境中了解空集的含义并理解空集是任何集合的子集这一规定； 4．初步认识Venn图，会用Venn图来表示两个集合的关系 一、子集的概念 1、子集的定义：对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 2、真子集：如果集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合B的真子集。记作AB或(BA) 3、集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作 二、空集 1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2、0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 ∅{∅}或∅∈{∅} 三、子集的性质 （1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A. （2）任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A. （3）如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C. （4）如果AB，BC，则AC. 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面． 四、子集的个数 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 五、Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。 韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系 考点一、子集、真子集 命题点1. 判断集合的子集（真子集）的个数 例1　(1)若集合 则的真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．25 D．24 【答案】B 【分析】根据真子集个数的计算公式运算即可. 【详解】集合共有5个元素， 所以集合共有个真子集. 故选：B (2)满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. 跟踪训练1　(1)已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】方法一：根据集合关系写出所有满足题意的集合C即可得答案. 方法二：转化为求集合的任意一个真子集的个数求解即可. 【详解】方法一：因为集合，， 所以满足条件的集合C有：，，，，，，，共7个． 方法二：集合中有2个元素，集合中有5个元素， 故满足条件的集合C可以是集合的任意一个真子集与集合A的并集， 因为集合的真子集的个数为， 所以满足条件的集合C有 （2）设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据条件，先化简集合A，再利用子集个数的计算公式，即可求解. 【详解】由， 则集合A的子集个数为. 故选：B. （3）若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________________. 【答案】 【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有，，“和” ，“和”四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求. 【详解】因为，；，； ，；，； 这样所求集合即由，，“和” ，“和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集． 所以满足条件的集合的个数为， 故答案为：. 命题点2. 求集合的子集（真子集） 例2 已知集合，试写出的所有子集. 【答案】的子集有，，，，，，， 【分析】由确定出，然后利用列举法写出其子集． 【详解】∵， ∴. ∴的子集有，，，，，，，. 跟踪训练2　写出下列集合的所有子集： (1)； (2)． 【答案】(1), (2), 【分析】（1）根据子集的定义即可求解， （2）先用列举法求解集合，即可由子集定义求解. 【详解】（1）的所有子集有和， （2）由于， 所以所有的子集有和， 考点二、集合间的包含关系 命题点1. 判断两个集合的包含关系 例3　(1)给出下列关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①空集中不含任何元素，由此可判断①； ②是整数，故可判断②正确； ③通过解方程，可得出，故可判断③； ④根据为正整数集可判断④； ⑤通过解方程，得，从而可判断⑤. 【详解】①，故①错误； ②是整数，所以，故②正确； ③由，得或，所以，所以正确； ④为正整数集，所以错误； ⑤由，得，所以，所以错误. 所以正确的个数有2个. 故选：B. (2)已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，将集合中元素化为统一形式，进而判断各选项. 【详解】依题意，， ， 所以对任意，存在使， 令，则且，所以. 同理，对任意，存在使， 令，则且，所以，综上，. ，则， 所以的关系满足. 故选：A 跟踪训练3 (1)下列说法正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常用数集的特征易于判断它们之间的包含关系. 【详解】对于A，取，但故A错误； 对于B，取，但，故B错误； 对于C，任取一个自然数，则它必是有理数，故，故C正确； 对于D，取,但，故D错误. 故选：C. (2)已知集合则的关系为（       ） A． B．N⫋M C．M⫋N D． 【答案】C 【详解】因为，，所以M⫋N. 故选：C． 命题点2. 利用集合间的包含关系求参数 例4 (1)（多选）已知集合，，若，则实数的所有可能取值为（） A．2 B． C． D．0 【答案】BCD 【分析】对的取值进行分类讨论，利用可确定的值. 【详解】当时，不成立，，满足． 当时，， 当时，；当时，； 综上得，的所有可能取值为． 故选：． (2)已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）先求出集合，再由分析出，由一元二次方程根与系数的关系即可求出的值； （2）若，分析出集合有四种情况，即或或或，结合一元二次方程的判别式及根与系数的关系，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； （2）若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. 跟踪训练4 (1)已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由可知中元素必属于，故或；分别求解后，结合集合元素的互异性排除，最终得或． 【详解】由，得或， 若，则，，满足， 若，则或， 时，，，满足， 时，，不满足集合元素的互异性， 综上，或． (2)设集合，，则满足的实数的值所组成的集合为______ 【答案】 【分析】化简A，根据，求出值即可得解. 【详解】因为，， 所以当时，，解得， 当时，，解得. 所以实数的值所组成的集合为. 故答案为： （3）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)1536 (2)或 【分析】（1）由题知，进而根据集合中的每个元素包含它的子集个数为计算求解即可； （2）分与两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， 对于集合中的每个元素，除该元素外还有个元素， 每个元素有选或不选两种可能，包含它的子集个数为， 故的所有子集中的元素之和为． （2）解：当，即时，满足． 当，即时，要使成立，需，可得， 综上，的取值范围是或． 考点三、集合间的相等关系 例5 (1)下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. (2)已知，，若，则（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由两集合相等，其元素完全一样，则可求出或或，再利用集合中元素的互异性可知，则可求出答案. 【详解】若，则或，解得或或， 由集合中元素的互异性，得， 则， 故选：C． 跟踪训练5 (1)已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合间的包含关系直接判断即可. 【详解】由，， 则. 故选：B (2)已知a，，若，则______. 【答案】 【分析】利用集合相等可得，代值求解即可. 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以. 考点四、空集的概念 例6 (1)下列各结论中，正确的是（   ） A．是空集 B．空集没有子集 C． D．与不是相同的集合 【答案】C 【分析】根据定义逐项判断即可. 【详解】A：是含有一个元素的数集，故错误； B：因为空集是任何集合的子集，故错误； C：因为是自然数集，所以，故正确； D：由元素具有无序性可知，与是相同的集合，故错误； 故选：C. (2)设集合，若A为空集，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分两种情况分类讨论，时符合题意，时只需满足 即可求解. 【详解】当时，原不等式为，A为空集； 当时，因为A为空集 所以无解， 只需满足， 解得， 综上实数的取值范围是. 故选D 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解为空集，分类讨论的思想，属于中档题. 跟踪训练6 (1)下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确. (2)若是的真子集，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意以及真子集定义分析得出有实数解即可得出答案. 【详解】若是的真子集，则不是空集，即有实数解，故，即实数的取值范围是. 故答案为: 一、单选题 1．集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知， 所以与的关系为 2．集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】由题意得，元素个数为，子集个数为. 3．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. 4．设集合，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合间的包含关系，判断端点大小关系即可. 【详解】集合，因为，所以. 5．集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【分析】由题意可得，，，即可得答案. 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 6．（拓展）对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则S的“绝对交错和”为；当时，S的“绝对交错和”为．若数集，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（    ） A．5040 B．4920 C．4856 D．4832 【答案】A 【分析】根据集合新定义，分别求出当子集为单元素、两个元素、三个元素以及四个元素时的“绝对交错和”，即可求得答案. 【详解】对于数集， 当其子集为单元素集合时，子集的“绝对交错和”的总和为； 当子集为两个元素的集合时，子集的“绝对交错和”的总和为T中任意两个元素的差的绝对值之和， 即； 当子集为三个元素的集合时，若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 故此时子集的“绝对交错和”的总和为； 当子集为四个元素的集合时，“绝对交错和”为， 则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为. 二、多选题 7．已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，解得，集合， 中元素均属于集合，是集合的子集，故A正确； 中有元素不属于集合，不是集合的子集，故B错误； 等于集合，是集合A的子集，故C正确； 中元素均属于集合，是集合的子集，故D正确． 8．设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（   ） A． B． C．集合的非空子集为7个 D．集合的子集为4个 【答案】AC 【分析】求出集合，再根据分情况讨论集合，进而求出实数取值的集合，依次判断选项即可. 【详解】由题可得：，因为， 当时，； 当时，，则或，解得：或， 所以实数取值的集合， 则，故A正确；B错误； 集合的子集为个，非空子集为个，故C正确，D错误； 故选：AC 三、填空题 9．集合的全部非空子集的元素和等于_________. 【答案】240 【分析】先确定集合中的元素个数，对于集合中的任意一个元素，其余个元素每个都有“选”和“不选”两种情况，即可得到任意一个元素所在所有子集中出现的次数，进而可求解. 【详解】集合中共有个元素， 对于集合中的任意一个元素，它在所有子集中出现的次数为次， 则集合的全部非空子集的元素和等于. 故答案为：. 10．设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【分析】化简集合，分类讨论，根据求解. 【详解】， 因为， 当，即时，， 满足； 当，即时，由可得或， 所以，由 ， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. 四、解答题 11．已知集合． (1)若，求的值； (2)若集合至多有两个子集，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，代入得，再求解即可； （2）分集合为或有且仅有一个元素两种情况进行求解，其中当集合有且仅有一个元素时，注意对方程的二次项系数分和两种情况进行分别求解即可． 【详解】（1）由于，所以是的实数根， 故，故； （2）由已知可得中最多有一个元素，故中可能无任何元素，或者只有一个元素， 当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素， 中最多有一个元素，或． 12．已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次方程即可求解； （2）由可得，解得，进而得到，再根据包含关系求解即可. 【详解】（1）当时，得，解得或， 所以． （2）因为，所以，解得， 所以． 因为，所以，解得， 所以b的取值范围是． 13．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 14．（拓展）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”． (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的的值； 【答案】(1) (2)2或10 【分析】（1）因为要得到差倍集，所以需找出P中所有满足的元素对，代入运算，再将所有运算结果组成集合； （2）因为，所以需先对k的大小进行分类讨论：分、情况；在每种情况下，计算所有对应的，再根据中恰好有两个元素的条件，确定中恰好有两个元素的条件，确定k的取值. 【详解】（1）根据差倍集的定义， 当，时，； 当，时，； 当，时，． 由集合中元素的互异性，可得． （2）已知，由集合中元素的互异性可知，且． 当时，的可能取值为2或3． 当时，，， ，， 此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故． 当时，，， ，， 则，不满足差倍集中恰好有两个元素，故． 当时，根据， 可得，，． 由于且，所以且，且． 因为差倍集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时， 满足差倍集中恰好有两个元素，故． 综上，若其差倍集中恰好有两个元素，则的值为2或10． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 集合间的基本关系 1．能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的概念，并掌握其记法和读法； 2．理解两个集合相等的含义，会用子集的观点来解释两个集合相等； 3．在具体情境中了解空集的含义并理解空集是任何集合的子集这一规定； 4．初步认识Venn图，会用Venn图来表示两个集合的关系 一、子集的概念 1、子集的定义：对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 2、真子集：如果集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合B的真子集。记作AB或(BA) 3、集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作 二、空集 1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2、0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 ∅{∅}或∅∈{∅} 三、子集的性质 （1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A. （2）任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A. （3）如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C. （4）如果AB，BC，则AC. 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面． 四、子集的个数 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 五、Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。 韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系 考点一、子集、真子集 命题点1. 判断集合的子集（真子集）的个数 例1　(1)若集合 则的真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．25 D．24 (2)满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 跟踪训练1　(1)已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 （2）设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 （3）若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________________. 命题点2. 求集合的子集（真子集） 例2 已知集合，试写出的所有子集. 跟踪训练2　写出下列集合的所有子集： (1)； (2)． 考点二、集合间的包含关系 命题点1. 判断两个集合的包含关系 例3　(1)给出下列关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3 (1)下列说法正确的是（ ）． A． B． C． D． (2)已知集合则的关系为（       ） A． B．N⫋M C．M⫋N D． 命题点2. 利用集合间的包含关系求参数 例4 (1)（多选）已知集合，，若，则实数的所有可能取值为（） A．2 B． C． D．0 (2)已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 跟踪训练4 (1)已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 (2)设集合，，则满足的实数的值所组成的集合为______ （3）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 考点三、集合间的相等关系 例5 (1)下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， (2)已知，，若，则（     ） A．2 B．1 C． D． 跟踪训练5 (1)已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． (2)已知a，，若，则______. 考点四、空集的概念 例6 (1)下列各结论中，正确的是（   ） A．是空集 B．空集没有子集 C． D．与不是相同的集合 (2)设集合，若A为空集，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 跟踪训练6 (1)下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． (2)若是的真子集，则实数的取值范围是_________． 一、单选题 1．集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 2．集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 4．设集合，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 6．（拓展）对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则S的“绝对交错和”为；当时，S的“绝对交错和”为．若数集，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（    ） A．5040 B．4920 C．4856 D．4832 二、多选题 7．已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 8．设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（   ） A． B． C．集合的非空子集为7个 D．集合的子集为4个 三、填空题 9．集合的全部非空子集的元素和等于_________. 10．设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 四、解答题 11．已知集合． (1)若，求的值； (2)若集合至多有两个子集，求的取值范围． 12．已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 13．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 14．（拓展）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”． (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的的值； 学科网（北京）股份有限公司 $