第01讲 集合的概念--2026年新高一暑假衔接（人教A版）

第01讲 集合的概念 1．通过实例了解集合的定义，体会元素与集合间的属于关系； 2．能通过自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合的意义和作用； 一、集合的含义与表示 1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 二、元素的三个特性 1、确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。 例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等 2、互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． 3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 三、元素与集合关系的判断及应用 1、属于与不属于概念： （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 2、常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 四、集合的两种表示方法 1、列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】(1)元素与元素之间必须用“，”隔开；(2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复；(4)集合中的元素可以是任何事物． 2、描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 考点一、集合的概念 例1　(1)下面给出的四类对象中，构成集合的是（     ） A．某班视力较好的同学 B．长寿的人 C．的近似值 D．倒数等于它本身的数 【答案】D 【分析】根据集合的定义分析判断即可. 【详解】对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合； 对于B，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合； 对于C， 的近似值没有明确近似到小数点后面几位， 不是明确的定义，故不能构成集合； 对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合； 故选：D. (2)（多选）考察下列每组对象，能构成一个集合的是（    ） A．不超过20的非负整数 B．方程在实数范围内的解 C．某校2026年在校的所有高个子同学 D．的近似值的全体 【答案】AB 【分析】根据解集的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，对任意一个整数能判断出是不是“不超过20的非负整数”，所以能构成集合； 对于B中，方程的两个解是，能构成集合； 对于C中，“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合； 对于D中，“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数是不是它的近似值，所以不能构成集合． 故选：AB 跟踪训练1　(1)以下元素的全体能构成集合的是（    ） A．中国古代四大发明 B．接近于1的所有正整数 C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流 【答案】A 【分析】根据集合的知识可选出答案. 【详解】中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A满足； 接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B不满足； 未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C不满足； 地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D不满足； 故选：A (2)已知集合A={x|x2+px+q=0}={2}，则p=_______，q=_______． 【答案】     -4     4 【分析】根据A={x|x2+px+q=0}={2}，由2是方程x2+px+q=0的等根求解. 【详解】因为A={x|x2+px+q=0}={2}， 所以，解得， 故答案为：-4，4 考点二、元素与集合 例2　(1)给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． (2)已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 跟踪训练2　(1)已知集合,那么（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定结合的元素，根据元素和集合的关系判断各选项，即得答案. 【详解】由题意知集合， 故，故A正确，D错误，，故B错误，，故C错误， 故选：A (2)已知集合至多有一个元素，则的取值范围是__________． 【答案】或 【分析】把集合至多有一个元素，转化为关于x的方程至多有一个根.对a进行分类讨论，列不等式组，求出a的范围. 【详解】因为集合至多有一个元素， 所以关于x的方程至多有一个根. 方程无根，需满足：，解得：. 方程有一个根，需满足：a=0或，解得：a=0或. 综上所述：的取值范围是或. 考点三、集合中元素的特性 例3　(1)已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. 【详解】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意. 故选：D. (2)由实数所组成的集合，最多可含有（     ）个元素 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】把分别可化为，，，，，，根据集合中元素的互异性，即可得到答案． 【详解】由题意，当时所含元素最多， 此时分别可化为，，， 所以由实数所组成的集合，最多可含有3个元素． 故选：B 跟踪训练3 (1)集合{3，x，x2–2x}中，x应满足的条件是（    ） A．x≠–1 B．x≠0 C．x≠–1且x≠0且x≠3 D．x≠–1或x≠0或x≠3 【答案】C 【分析】利用集合元素的互异性求解. 【详解】集合{3，x，x2–2x}中，x2–2x≠3，且x2–2x≠x，且x≠3， 解得x≠3且x≠–1且x≠0， 故选：C． (2)若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据集合元素的互异性即可判断. 【详解】由题可知，集合中的元素是的三边长， 则，所以一定不是等腰三角形． 故选：D． 四、集合的表示方法 例4 (1)用列举法表示集合__________． 【答案】 【分析】对整数取值，并使为正整数，这样即可找到所有满足条件的值，从而用列举法表示出集合． 【详解】因为且 所以可以取，2，3，4. 所以 故答案为： (2)用另一种方法表示下列集合: （1）; （2）; （3）已知，，写出集合P; （4）集合，，写出集合B. 【答案】（1）且；（2） （3）；（4） 【详解】（1）因为均为奇数，所以利用描述法表示为且. （2）因为均平方形式，所以利用描述法表示为. （3）因为，， 所以利用列举法表示出. （4）因为集合，，所以. 跟踪训练4 选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可； （4）利用描述法表示集合即可. 【详解】（1）利用列举法表示集合; （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用描述法表示集合. 跟踪训练5 表示下列集合： (1)请用列举法表示方程的解集； (2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合； (4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）方程的解集为. （2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. （3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. （4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 【答案】B 【分析】根据集合的确定性判断A，B，应用互异性判断C，列举法判断D. 【详解】A选项，“擅长”标准模糊，不满足确定性； B选项，七大洲对象确定，可构成集合； C选项，违背互异性，重复元素只算1个，仅有5个元素； D选项，不大于3的正整数不含0，正确集合为. 2．给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 3．已知集合，则集合中元素的最多个数为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据集合中元素具有互异性的性质，即可做出判断. 【详解】根据集合元素互异性，只要，集合中四个元素，，，均互不重复，因此，集合中最多有4个元素. 4．已知集合，，，若，，则必有（ ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 【答案】B 【分析】设出的表示形式，计算后比较各集合的代表元形式可得． 【详解】由题意设，，其中都是整数， 则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数， ∴. 5．已知，若集合，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等结合集合的互异性求，代入即可得结果. 【详解】因为， 可知，且，可得， 即，可得，且，解得， 代入，检验符合题意，所以. 故选：B. 6．（拓展）设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】根据题意保证各集合中尽量小，结合已知和集合的性质有最大时，进而分析的取值即可. 【详解】由题意中都至少有一个元素，且元素个数互不相同， 要使最大时，则各集合中尽量小， 所以集合中的元素个数尽量少且数值尽可能连续， 所以，不妨设， 则有， 当时，， 当时，， 所以只需在时，在上述特征值取最小的情况下， 使其中一个集合的特征值增加7即可，故的最大值为11． 故选：A. 二、多选题 7．如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 【答案】AC 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意； 综上可得或. 故选：AC 8．非空数集具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】CD 【分析】由题意，根据性质一一判断即可. 【详解】对于选项A，假设，集合是非空集合，存在， 由性质①，，，， 由性质②，，，，若，则无意义，这与性质①矛盾，则假设不成立，故，故选项A错误； 对于选项B，由性质①，，，，， 而，故选项B错误； 对于选项C，集合是非空集合，存在，由性质①，，， 由性质②，，，，由性质①，，故选项C正确； 对于选项D，由性质①，，，由性质①，， ，， 由性质①，，，，故选项D正确. 三、填空题 9．设，集合，若，则______. 【答案】2或或 【详解】因为，所以或，解得或. 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 故或或. 10．当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 【答案】 【详解】由“孤立元素”的定义知，对任意，要成为的孤立元素， 必须是集合中既没有，也没有． 因此只需逐一排查中的元素即可． 而0有1“相伴”，1，2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”， 从而集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为． 四、解答题 11．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1)且 (2) (3) (4) (5)用列举法：， 用描述法： 【分析】（1）集合为列举法表示，改为描述法表示； （2）集合为文字描述表示，由列举法表示； （3）集合为描述法表示，改为列举法表示； （4）集合为文字描述表示，由描述法表示； （5）集合为文字描述表示，由列举法和描述法表示． 【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． 12．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 13．已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由； (2)若集合具有“包容”性，求的值. 【答案】(1) 对于集合，集合中的， 所以，集合不具有“包容”性； 对于集合， 该集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合， 所以，集合具有“包容”性. (2)1 【分析】（1）根据“包容”性的定义进行判断即可. （2）根据“包容”性的定义进行计算即可. 【详解】（1）略 （2）若集合具有“包容”性，记， 则，易得，从而必有， 不妨令，则且， 则，且， 当时，若得， 此时具有包容性. 若，得舍去；若无解， 当时，则， 由且，可知无解，故， 所以. 14．（拓展）非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)若题设中的、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. (3)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； 【答案】(1)是“坏集”，是“好集”，理由见解析 (2)且 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“好集”和“坏集”的定义进行判断即可. （2）根据“超级好集”的定义进行解答即可. （3）根据“坏集”的定义进行证明即可. 【详解】（1），当时，，，是“坏集”. ，不妨设， 当时，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若数或中至少有一个属于，所以集合是“好集”. （2）当且时，，则为“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其它元素. 因为集合不可能存在同时大于1和小于1的元素， 若，且为中大于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其它元素. 满足题意的“超级好集”且. （3）假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为， 则，，因为，无最小值，与集合的有限性和有最小值相矛盾， ，而，所以，有限集合是“坏集”. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合的概念 1．通过实例了解集合的定义，体会元素与集合间的属于关系； 2．能通过自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合的意义和作用； 一、集合的含义与表示 1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 二、元素的三个特性 1、确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。 例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等 2、互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． 3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 三、元素与集合关系的判断及应用 1、属于与不属于概念： （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 2、常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 四、集合的两种表示方法 1、列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】(1)元素与元素之间必须用“，”隔开；(2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复；(4)集合中的元素可以是任何事物． 2、描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 考点一、集合的概念 例1　(1)下面给出的四类对象中，构成集合的是（     ） A．某班视力较好的同学 B．长寿的人 C．的近似值 D．倒数等于它本身的数 (2)（多选）考察下列每组对象，能构成一个集合的是（    ） A．不超过20的非负整数 B．方程在实数范围内的解 C．某校2026年在校的所有高个子同学 D．的近似值的全体 跟踪训练1　(1)以下元素的全体能构成集合的是（    ） A．中国古代四大发明 B．接近于1的所有正整数 C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流 (2)已知集合A={x|x2+px+q=0}={2}，则p=_______，q=_______． 考点二、元素与集合 例2　(1)给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 (2)已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 跟踪训练2　(1)已知集合,那么（     ） A． B． C． D． (2)已知集合至多有一个元素，则的取值范围是__________． 考点三、集合中元素的特性 例3　(1)已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． (2)由实数所组成的集合，最多可含有（     ）个元素 A．2 B．3 C．4 D．5 跟踪训练3 (1)集合{3，x，x2–2x}中，x应满足的条件是（    ） A．x≠–1 B．x≠0 C．x≠–1且x≠0且x≠3 D．x≠–1或x≠0或x≠3 (2)若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 四、集合的表示方法 例4 (1)用列举法表示集合__________． (2)用另一种方法表示下列集合: （1）; （2）; （3）已知，，写出集合P; （4）集合，，写出集合B. 跟踪训练4 选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 跟踪训练5 表示下列集合： (1)请用列举法表示方程的解集； (2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合； (4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 2．给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 3．已知集合，则集合中元素的最多个数为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 4．已知集合，，，若，，则必有（ ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 5．已知，若集合，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 6．（拓展）设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 二、多选题 7．如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 8．非空数集具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 三、填空题 9．设，集合，若，则______. 10．当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 四、解答题 11．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 12．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 13．已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由； (2)若集合具有“包容”性，求的值. 14．（拓展）非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)若题设中的、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. (3)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； 学科网（北京）股份有限公司 $