第01讲 集合的概念（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第01讲 集合的概念及表示 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断所给对象能否构成集合 题型2 元素与集合关系的判断与应用 题型3 集合中元素互异性求参数范围 题型4 求集合元素的个数 题型5 利用集合相等求参数值 题型6 用列举法和描述法表示集合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 集合的概念 元素素与集合的关系 集合的分类与表示 1. 理解集合与元素的定义，能结合生活、数学实例区分集合和普通群体，准确判断研究对象能否构成集合。 2. 掌握元素与集合的属于、不属于关系，熟记对应符号，可规范书写两者关系的数学表达式并完成基础判断。 3. 明晰集合的分类标准，熟练运用列举法、描述法表示不同集合，能根据集合特点选择合适的表示方法。 学习重点：理解集合、元素的概念，掌握元素与集合的关系及集合的两种常用表示方法 学习难点：准确运用描述法表示集合，区分不同形式集合的构成特点并规范书写集合表达式。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 元素与集合 1.元素与集合的含义 （1）元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 2.元素与集合的三个特征 确定性 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合 互异性 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素 无序性 集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系 即时即练 下列所给对象不能组成集合的是 ． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． 【易错提醒】 容易误把一些描述模糊、无统一标准的对象当作是确定的，这些不具有确定性的，都不能组成集合. 即时即练 由单词“deepseek”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个. 【方法总结】 先把目标里所有对象都罗列出来，若有重复的对象，留下一个，其他的去掉，从而可以得出所有元素. 3.元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA，读作a属于A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA，读作a不属于A． 【注意】符号“”和“”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． 即时即练 集合M是由大于且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 首先看清楚集合元素的含义，根据元素与集合的关系逐一仔细判断即可. 4.集合相等 根据集合中元素的无序性，我们可以判断两个集合是否相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。集合A与集合B相等记作A=B. 【注意】（1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等；（2）两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如构成的集合与构成的集合相等． 知识点02 常用数集及其记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N 或 Z Q R 即时即练 （1）用符号“”或“”填空： 0 N； N；0.5 Z； Z； Q； R. 【易错提醒】 容易忽略：① 0是自然数集N的元素，②是常数，且是一个无理数，③正整数集或的符号书写. 知识点03 集合分类与表示 1、集合的分类： （1）按元素的数量分为有限集、无限集； （2）按元素的属性分为数集、点集以及其他集合. 2、表示方法： （1）自然语言描述法. （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号 “｛ ｝”括起来表示集合的方法叫做列举法。 【注意】（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法． 【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素． （4）图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。 题型1 判断所给对象能否构成集合 【例1】下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【方法总结】 判断所给对象能否组成集合的关键是：所给对象是否具有确定性，描述模糊、主观感受、无统一标准的对象都是不具有确定性的，都不能组成集合，比如：难题、聪明的人、大个子、身高较高的人等. 【变式1-1】下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 题型2 元素与集合关系的判断与应用 【例2】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 （1）首先看清楚集合元素的含义，（2）然后看对应元素满足的条件，根据条件可以建立方程求参数值，也可以建立不等式关系求参数取值范围，（3）熟记一些常见无理数的近似值，方便判断元素与集合的关系：，. 【变式2-1】已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【变式2-2】设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型3 集合中元素互异性求参数范围 【例3】已知集合，则实数的取值范围为__________． 【方法总结】 利用集合元素间的相互互异性，建立不等式关系，如果有多个元素，需要相互互异，然后建立不等式组，解不等式（组）即可得解. 【变式3-1】集合中实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 题型4 求集合元素的个数 【例4】已知集合，则集合中元素的个数是（     ） A．1 B．3 C．6 D．9 【方法总结】 在求集合元素的个数的时候，可以根据集合中元素的含义用列举法，罗列所有构成集合的元素，若有重复的元素保留1个即可. 【变式4-1】已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 题型5 利用集合相等求参数值 【例5】若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【方法总结】 根据集合相等定义，对应元素相等建立方程（组），解方程（组）得出参数值，然后反代回集合，验证是否满足集合元素的互异性. 【变式5-1】已知a，，若，则______. 题型6 用列举法和描述法表示集合 角度1：用列举法表示集合 【例6】用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 【方法总结】 列举法表示集合的步骤： 第 1 步：求出集合中的所有元素； 第 2 步：将元素一一列举出来，用逗号隔开，置于花括号中，注意相同元素只能列举一次. 【变式6-1】将集合用列举法表示是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】用列举法表示集合 角度2：用描述法表示集合 【例7】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被5除余3的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数x组成的集合． 【方法总结】 描述法表示集合的步骤： 第 1 步：写出代表元素，弄清楚元素是数、点还是其他元素。一般地，数用一个字母表示，点用一个有序数对表示； 第 2 步：明确元素的特征，若出现其他字母时要指明其含义或取值范围； 第 3 步：写出答案，用花括号括起来，一般格式为 【变式7-1】用适当的方法表示下列集合： （1）______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 一、单选题 1．下列说法中正确的是（    ） A．0与表示同一个集合 B．方程的解集为 C．集合可以用列举法表示 D．集合与是两个相同的集合 2．已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，集合A中至少有 3 个元素，则（ ） A. B. C. D. 4．已知集合，则等于（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 6．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．方程的解集可表示为（    ） A． B．或 C． D． 8．的值组成的集合A，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 9．已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 三、填空题 10．若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 11．如图，坐标系中矩形OABC及其内部的点构成的集合可表示为 . 12．集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 四、解答题 13．用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 14. 已知集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）若A中至多有一个元素，求实数的值，并写出相应的集合； （3）若A中至少有两个元素，求实数的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合的概念及表示 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断所给对象能否构成集合 题型2 元素与集合关系的判断与应用 题型3 集合中元素互异性求参数范围 题型4 求集合元素的个数 题型5 利用集合相等求参数值 题型6 用列举法和描述法表示集合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 集合的概念 元素素与集合的关系 集合的分类与表示 1. 理解集合与元素的定义，能结合生活、数学实例区分集合和普通群体，准确判断研究对象能否构成集合。 2. 掌握元素与集合的属于、不属于关系，熟记对应符号，可规范书写两者关系的数学表达式并完成基础判断。 3. 明晰集合的分类标准，熟练运用列举法、描述法表示不同集合，能根据集合特点选择合适的表示方法。 学习重点：理解集合、元素的概念，掌握元素与集合的关系及集合的两种常用表示方法 学习难点：准确运用描述法表示集合，区分不同形式集合的构成特点并规范书写集合表达式。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 元素与集合 1.元素与集合的含义 （1）元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 2.元素与集合的三个特征 确定性 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合 互异性 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素 无序性 集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系 即时即练 下列所给对象不能组成集合的是 ． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． 【答案】（1）（3） 【详解】“难题”没有判断标准，无法判断一道题是否属于难题，不满足集合中元素的“确定性”，故（1）不能组成集合； 某班16岁以下的学生可以组成一个集合，16及16岁以上的学生则不在集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（2）可以组成集合； “大个子”没有判断标准，不知身高多少才能称为大个子，不满足集合中元素的“确定性”，故（3）不能组成集合； 某学校身高超过1.80米的学生可以组成一个集合，身高等于或低于1.80米的学生则不再集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（4）可以组成集合； 【易错提醒】 容易误把一些描述模糊、无统一标准的对象当作是确定的，这些不具有确定性的，都不能组成集合. 即时即练 由单词“deepseek”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个. 【答案】 【详解】因为集合中元素具有互异性， 所以集合中的元素有d，e，p，s，k，共个. 【方法总结】 先把目标里所有对象都罗列出来，若有重复的对象，留下一个，其他的去掉，从而可以得出所有元素. 3.元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA，读作a属于A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA，读作a不属于A． 【注意】符号“”和“”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． 即时即练 集合M是由大于且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，，故A错；－2<0<1，故B错； 1不小于1，故C错；，故D正确． 【方法总结】 首先看清楚集合元素的含义，根据元素与集合的关系逐一仔细判断即可. 4.集合相等 根据集合中元素的无序性，我们可以判断两个集合是否相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。集合A与集合B相等记作A=B. 【注意】（1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等；（2）两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如构成的集合与构成的集合相等． 知识点02 常用数集及其记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N 或 Z Q R 即时即练 （1）用符号“”或“”填空： 0 N； N；0.5 Z； Z； Q； R. 【答案】∈，∉，∉，∉，∈，∈ 【详解】是自然数，则；不是自然数，则；不是整数，则； 是有理数，则；是无理数，则 【易错提醒】 容易忽略：① 0是自然数集N的元素，②是常数，且是一个无理数，③正整数集或的符号书写. 知识点03 集合分类与表示 1、集合的分类： （1）按元素的数量分为有限集、无限集； （2）按元素的属性分为数集、点集以及其他集合. 2、表示方法： （1）自然语言描述法. （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号 “｛ ｝”括起来表示集合的方法叫做列举法。 【注意】（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法． 【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素． （4）图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。 题型1 判断所给对象能否构成集合 【例1】下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2026年高考数学全国I卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 【方法总结】 判断所给对象能否组成集合的关键是：所给对象是否具有确定性，描述模糊、主观感受、无统一标准的对象都是不具有确定性的，都不能组成集合，比如：难题、聪明的人、大个子、身高较高的人等. 【变式1-1】下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【答案】C 【详解】对于A，所有的正方形，对象是明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合题意； 对于B，方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解， 具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意； 对于C，我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意； 对于D，出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性， 能构成集合，D不符合题意. 题型2 元素与集合关系的判断与应用 【例2】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，，，， 所以.所以只有选项B正确. 【方法总结】 （1）首先看清楚集合元素的含义，（2）然后看对应元素满足的条件，根据条件可以建立方程求参数值，也可以建立不等式关系求参数取值范围，（3）熟记一些常见无理数的近似值，方便判断元素与集合的关系：，. 【变式2-1】已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【详解】因为 所以或， 当时，，此时，，故舍去： 当时，解得或（舍去）， 综上． 【变式2-2】设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以. 题型3 集合中元素互异性求参数范围 【例3】已知集合，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】利用集合元素的互异性可求解. 【详解】由集合，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 【方法总结】 利用集合元素间的相互互异性，建立不等式关系，如果有多个元素，需要相互互异，然后建立不等式组，解不等式（组）即可得解. 【变式3-1】集合中实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由集合元素的互异性可知： ， 题型4 求集合元素的个数 【例4】已知集合，则集合中元素的个数是（     ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【详解】根据题意 ，所以集合B中共有6个元素. 【方法总结】 在求集合元素的个数的时候，可以根据集合中元素的含义用列举法，罗列所有构成集合的元素，若有重复的元素保留1个即可. 【变式4-1】已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】集合，共有4个元素. 【变式4-2】已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】数集表示的是自然数集，，， ， ，中元素的个数是. 题型5 利用集合相等求参数值 【例5】若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【详解】因为，且， 则，解得或. 【方法总结】 根据集合相等定义，对应元素相等建立方程（组），解方程（组）得出参数值，然后反代回集合，验证是否满足集合元素的互异性. 【变式5-1】已知a，，若，则______. 【答案】 【详解】由已知得，则，所以，于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以. 题型6 用列举法和描述法表示集合 角度1：用列举法表示集合 【例6】用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 【答案】(1)，(2)，(3)，(4){黄色，红色} 【详解】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以. （2）既是质数又是偶数的整数只有2，集合为； （3）联立，解得， 所以一次函数与的交点为，所以. （4）易知国旗颜色有黄色与红色，所以集合为{黄色，红色}. 【方法总结】 列举法表示集合的步骤： 第 1 步：求出集合中的所有元素； 第 2 步：将元素一一列举出来，用逗号隔开，置于花括号中，注意相同元素只能列举一次. 【变式6-1】将集合用列举法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且， 所以符合要求的的所有取值为， 所以集合用列举法表示是. 【变式6-2】用列举法表示集合 【答案】{} 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 所以. 角度2：用描述法表示集合 【例7】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被5除余3的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数x组成的集合． 【答案】(1) (2)， (3) （4）. 【解析】（1）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. （2）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. （3）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． （4）由，则，故集合为. 【方法总结】 描述法表示集合的步骤： 第 1 步：写出代表元素，弄清楚元素是数、点还是其他元素。一般地，数用一个字母表示，点用一个有序数对表示； 第 2 步：明确元素的特征，若出现其他字母时要指明其含义或取值范围； 第 3 步：写出答案，用花括号括起来，一般格式为 【变式7-1】用适当的方法表示下列集合： （1）______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【答案】 【详解】（1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为. （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合可以表示为. （3）由，得所以所以方程的所有解组成的集合用描述法可表示为. （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为. 一、单选题 1．下列说法中正确的是（    ） A．0与表示同一个集合 B．方程的解集为 C．集合可以用列举法表示 D．集合与是两个相同的集合 【答案】D 【详解】对于A：因为0表示元素，不是集合，所以A错误； 对于B：因为集合的元素具有互异性，所以方程的解集是，所以B错误； 对于C：因为满足不等式的元素有无限个，无法一一列举，所以C错误； 对于D：因为集合的元素具有无序性，所以集合是两个相同的集合，所以D正确. 2．已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 又且，则. 故选：D 3．已知集合，集合A中至少有 3 个元素，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 且集合A中至少有 3 个元素，，故选：C. 4．已知集合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 若，则，符合；若，则，符合； 若，则，符合；若，则，符合； 若，则，符合；若，则，不符合； 所以. 5．已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【详解】根据题意 ， 所以集合B中共有6个元素， 故选：C. 6．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 二、多选题 7．方程的解集可表示为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】BC 【详解】由可得， 所以根据描述法、列举法可得方程的解集为或， 故选：BC 8．的值组成的集合A，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】依题意，当都为正数，代数值等于4； 当中只有一个负数两个正数，代数值为0； 当中只有一个正数两个负数，代数值为0； 当都为负数，代数值为-4 9．已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】AC 【解析】当时，满足的有， 即集合中有8个元素，符合题意，故 A 正确； 当时，满足的有， 即集合A中有4个元素，不符合题意，故 B 错误； 当时，满足的x有， 即集合A中有8个元素，符合题意，故 C 正确； 当时，满足的x有， 即集合A中有6个元素，不符合题意，故 D 错误. 三、填空题 10．若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 【答案】 【详解】因为，分以下两种情况讨论： ①，解得，经检验，不满足集合元素的互异性，而适合； ②，无解. 综上所述，. 11．如图，坐标系中矩形OABC及其内部的点构成的集合可表示为 . 【答案】 【解析】易知阴影部分的点构成的集合为. 12．集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 【答案】或4 【解析】由方程，则或， 当存在两个相等的实数根时，，解得， 此时方程的解为，符合题意； 当存在两个不相等的实数根且其中一个根为1时，，解得， 此时，则方程另一个解为3，符合题意. 综上所述，当或4时，集合中恰有两个元素. 四、解答题 13．用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1)，(2)，(3) 【详解】（1）比1大又比10小的所有有理数组成的集合可表示为； （2）正偶数组成的集合是. （3）函数的图象上所有的点组成的集合是. 14. 已知集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）若A中至多有一个元素，求实数的值，并写出相应的集合； （3）若A中至少有两个元素，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）实数的取值为；当时，；当时，；当时，；（3） 【详解】（1）若A是空集，则方程无解， 此时 且，即， 所以的取值范围为； （2）若A中至多有一个元素， 则方程有且只有一个实根或者无解， 若方程有且只有一个实根，则 当时，方程为一元一次方程，满足条件， 当时，此时，解得：， 若方程无解，由（1）可知， 综上可知：若A中至多有一个元素，则实数的取值为； 当时，；当时，；当时，； （3）若A中至少有两个元素，则有两个不等的实数根， 此时 且，解得且， 所以a的取值范围是. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $