陕西省西安市铁一中学2025-2026学年第二学期高二期末考试数学试题

陕西省西安市铁一中学高二年级期末考试 数学试题 ★祝大家学习生活榆快★ 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和劳生号，试室号，座位号填写在答题 卡上。用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需玫动，用 橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择短必须用思色字迹的纲笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上：如需改动，先划辨原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答 案无效。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1.已知z=a-i(a∈R),且z-1为纯虚数，则z在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合A={4号≥0，B={ay=-log.(-16},则C)= A.（-1,4) B.[-1,4] C.(-1,5] D.(4,5) 3.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事 休”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征， 函数f(e)=log号士岳的大致图象是 （) -2:0 eYs 4.已知{an}为等差数列，若m,n,p,q是正整数，则m+n=p十g是an十an=ap十a,的 () A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分不必要条件 数学试题第1页共14页 5.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列{a},若a,=2,a,a,成等比数列， 则此样本的平均数和中位数分别是 () A.12,13 B.13,13 C.13,12 D.12,14 6.若函数f(x)同时满足：(1)对于定义域内的任意x,有f(x)+f(-x)=0:(2)对于定义域内的任意x1, ,当工≠，时，有）儿<0，则称函数f四为理想函数给出下列四个函数：①f田)=：② 工1一工2 f回=-r:®fa)=r-子：@fa)=, -x2,x≥0 其中是“理想函数”的序号是 x<0 A.①② B.②③ C.②④ D.③④ (号-2z-1,x≤0 7.若函数f(x) 有4个零点，则正数ω的取值范围是 sin(oz-看）， 0<x<π A[g兽) B.(.] c[g曾) D.(岩] 已知函数f@=log.(2z-a>0且a≠)的图象恒过点A,函数g②=a十骨 L-ln(bz)的图象怡 好过点A,且g(c)在[1，+oo)上单调递减，则实数a的取值范围是 () A.(1,4] B.(0,1)U(1,3] C.0,1)U(1,3] D.(0,1)U(1,4] 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.己知函数f(x)=cos2x+2sinx,则 A.f(x)的最小正周期为2元 B.f(o)关于直线x=受对称 C.f关于点（受，0）中心对称 D.f(x)的最小值为-3 10.己知函数f(z)=x3-3x+1,则 A.f(x)有两个极值点 B.若方程f(c)=a有三个实根，则a≤-1或a≥3 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=9x-15是曲线y=f(x)的切线 11.已知函数f(x)是R上的奇函数，且过点(3,2)，对于一切正实数m,n,都有f(mn)=f(m)+f(n)-1, 当x∈（号，+o)时，fo)>0恒成立，则 () A.f3)=0 B.f(x)在R上是单调函数 C.当x>0时，f)+f(2)=2 D.当f)∈2,3)时，xe(3,9)U(-27,-) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.计算0.0273-(x-4)°+16+0.49= l3.设函数f(x)=x(e2+ae)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为_ 数学试题第2页共14页 14.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A(x1,y1),B(a2,2),则A,B两点间 的曼哈顿距离d(A,B)=z1-x2+1-y2l.己知M(4,6),点N在圆C:x2+y+6x+4y=0上运动，若 点P满足d(M,P)=2,则|PW|的最大值为一 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.己知函数f(z)=(1ogx-2)(1ogx-1). (1)求不等式f(x)<0的解集： (2)若存在x∈[4,16]，使得不等式f(x)≥mlogzx成立，求实数m的取值范围. 16.三棱柱ABC-AB,C中，AA1=AB=2W3,CA1=4,CB,=2W7,∠BAA1=60°. (1)证明：CA=CB: (2)若CA=4,求二面角A1-CB,-C的余弦值. 17.己知抛物线C:=2p(p>0)的焦点为F,M(m,-号)为C上一点，且MF=多 (1)求C的方程： (2)过点P(4,0)且斜率存在的直线1与C交于不同的两点A,B,且点B关于x轴的对称点为D,直线 AD与x轴交于点Q.求点Q的坐标 数学试题第3页共14页 18.已知函数f()=e (1)若f'(1)=e2,求此时a的值： (2)求f(x)的单调区间： (3)当a>0,z<且>0时，判断f()-f()与是-的大小，并说明理由. 工1工2 19.已知双曲线C:x2-y=1,直线l为其中一条渐近线，A,为双曲线的右顶点，过A,作x轴的垂线，交l于 点B,再过B作y轴的垂线交双曲线右支于点A2,重复刚才的操作得到B2,A3,B,,An,B。…,记 A(In,Un). (1)求{xn}的通项公式： ②过A作双曲线的切线分别交双曲线两条浙近线于4，N,记a,=6,=a求证：2方十 h2n+3≤2，<2m中-1. 5 2 数学试题第4页共14页参考答案 1.D 【分析】利用z-1=(a-1)-i为纯虚数，可求a,可得z在复平面内对应的点所在的象限. 因为z=a-i(a∈R),所以z-1=(a-1)-i为纯虚数， 所以a-1=0,解得a=1,所以复数z=1-i, 所以z=1一i在复平面内对应的点位于第四象限， 故选：D. 2.B 【分析】计算出集合A、B后，偕助补集定义及交集定义即可得 由+上≥0，即+1)5-)≥0，解得-1≤<5，故A=-1≤<5， 5-x 5-x≠0 由y=log2(a2-16),可得x2-16>0,即x>4或x<-4,故CRB={x-4≤x≤4}， 故A∩(CRB)={x-1≤x≤4}： 故选：B. 3.B 【分析】先求函数f(红)的定义域，判断f(x)是奇函数，故排除CD:再根据f(1)的值，排除A,从而B正确， 由2号>0，得（红+2红-2）<0，解得-2<<2， ∴.函数f(x)的定义域为(-2,2)， =(←nog号+=-1g2 ,2+王=-f(x), ∴.函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故排除CD: f)=1og号}=log3>1og,1=0,故排除A.从而B正确， 故选：B. 4.A 【分析】根据等差数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行判断即可. 当m+n=p十q时， am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d=2a1+(p+q-2)d=a1+(p-1)d+a1+ (q-1)d=ap+ag, 当am+an=ap+a,时，(m+n-2)d=(p+q-2)d, d=0时，m+n与p+q不一定相等，不必要， 故选：A. 5.B 【分析】首先根据α1=2，，a成等比数列求出数列的首项，然后即可求出样木的平均数和中位数， 解：依题意a=a1a7→(a1+4)2=a1(a+6×2),解得a1=4, 故{an}是首项a=4,公差d=2的等差数列， 所以此样本的平均数为0=13，中位数为士=13. 2 故选：B 【点睛】本题主要考查了等比中项的性质，中位数，平均数，属于基础题， 6.C 数学试题第5页共14页 【分析】由己知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调性，能求 出结果 解：函数f(c)同时满足①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0: ②对于定义域上的任意1，，当工，≠时，恒有，)-<0，则称函数f回为“理想函数”， 工1一C2 .“理想函数”既是奇函数，又是减函数， ①f(x)=是偶函数，且不是单调函数，故①不是“理想函数”： ②f(x)=一x是奇函数，且是减函数，故②是“理想函数”： ③f(x)=x- 是奇函数，但在定义域上不是单调函数，故®不是“理想函数”， ④f(x)= -x2,x≥0 是奇函数，且是减函数，故④是“理想函数”. x2,x<0 故选C 【点睛】本题考查了新定义、函数的奇偶性、单调性，属于中档题. 7.B 【分析】当x≤0时，分析函数单调性及最值，得当x≤0时f(x)有且仅有一个零点，则当x∈(0，π)时， f(四=sin(ar-若)有3个零点，结合图象分析得2x<wr-否≤3x,解不等式即可. 当x≤0时，fa)=(分广-2红-1是减函数，且f0)=0, 故当x≤0时f(z)有且仅有一个零点， 由题意得，当x∈(0，)时，f(m)=sin(or-若)有3个零点， .x∈(0，π)， ∴x-看∈(-若，or-晋) 令t=ωx- 君，即y=sint,te(-若or-君)， 结合图象分析得2r<t≤3x,即2x<ox-吾≤3x,解得号<u≤ 6 故选：B, y=sint 2π37 8.B 【分析】根据题意结合对数函数的定点可得g()=红--1n,进而可得g≤0在[1，十o)上恒成 2x+1 立，利用参变分离可得3a-4≤4红十士在[1，+0)上恒成立，结合恒成立问题分析运算。 令2x-1=1,得x=1,所以函数f(x)=log(2x-1)的图象恒过点A(1,0),， 将点A份坐标代入函数g到=经-hba,得0=-h6,则6=1， 所以g=a经-1n,则ga=a22+-+a-1， x(2x+1)2 x(2x+1)2 因为函数g(x)在[1，+o)上单调递减，所以g(x)≤0在[1，+o)上恒成立， 数学试题第6页共14页 即g回=3ar2x+1==4r+3a-9x-1≤0在1，+0)上恒成立， x(2x+1)月 x(2x+1) 可得-4x2+(3a-4)x-1≤0在[1，+o)上恒成立， 则3a-4≤4红+是在[1，+o0)上恒成立， 因为y=4红+士在1，+o)上单调递增，且=5， 即y=4红+二在[1，+o0)上的最小值为5，则3a-4≤5，解得a≤3， 又因为a>0且a≠1，所以实数a的取值范围为(0,1)U(1,3]. 故选：B 9.ABD 【分析1将函数fe)=cos2x+2si血x可变形为f)=-2(sinx-合了+号，结合函数性质逐项分析计算 即可得 fa)=co2r+2sinz=1-2sin'z+2inz=-2(sinz- 由y=sinx的最小正周期为2r,故f(z)的最小正周期为2r,故A正确： fx-)=-2sin(x-x)-2了+多=-2(sinx-号/+多=fja, 且fπ-x)≠-f(x), 故f()关于直线x=乏，不关于点（受，0）对称，故B正确，C错误： 由fe)=-2(sinr-+号，且sinze[-1.小， 故fe)=-2x(-1-2了+号=-3，故D正确， 故选：ABD. 10.ACD 【分析】f(x)有两个极值点=-1，x=1,所以选项A正确：f(1)<a<f(-1)得-1<a<3,所以选项B 错误：函数满足f(-x)+f(c)=2,所以选项C正确：直线y=9x-15是曲线y=f(x)在点(2,3)处得切 线，所以选项D正确. 解：由f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0解得x1=-1,x2=1,则函数f(x)在(-0，-1)，(1，+0)上单 调递增，在(-1,1)上单调递减，所以f(x)在x=一1，x=1处取得极值，所以函数有两个极值点，所以选 项A正确： 由选项A可知，若方程f(x)=a有三个实根，需要a的取值介于两个极值点之间，即f1)<a<f(-1),即 -1<a<3,所以选项B错误： 计算得f(-x)+f(x)=2,则点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，所以选项C正确： 当f(x)=3x2-3=9时，解得x=±2，而f(-2)=-1,f(2)=3,所以直线y=9x-15是曲线y=f(x)在 点(2,3)处得切线，所以选项D正确. 故选：ACD, 11.ACD 【分析】利用赋值法计算判断AC:举例说明判断B:利用函数单调性定义探讨单调性并求出范围判断D. 对一切正实数m,n,都有f(mm)=f(m)+f(n)-1,f(3)=2, 对于A,令m=n=1,f(1)=f1)+f1)-1,得f1)=1: 数学试题第7页共14页 令m=3,n=号，f)=f)+f号）-1，得f号)=0，A正确： 对于B,由函数f(a)是R上的奇函数，得(-号)=-f(号)=0=f0)=f(号) 因此函数f(x)在R上不单调，B错误： 对于C,令m=红，n=立，>0，则f0)=fa+f2)）-1,因此f)+f(）=2,C正确： 对于D.五，西e0,+o<要>1，磊>号而当ze(兮+)时，>0， 则（器）>0f=z要)=f✉)+f(经)-1=✉)+3）-1 =f✉)+f(器)+8)-2>e. 函数f(x)在(0，+o)上单调递增，在(-∞，0)上单调递增， 而f9)=f3)+f(3)-1=3, 当x>0时，由2<f)<3,即f3)<f(x)<f(9),得3<x<9, (-号)=-f号)=-[(3)+号)-1=1，-27)=-(2)=-（号）+（号）-1=2 (-)=-()=-(号)+行)-1=3， 当x<0时，(-27)<f)<(-对)， 解得-京<红<-司， 因此当f)∈(2,3)时，x∈B,9)U(-克-)，D正确 故选：ACD 12.8 【分析】根据给定条件，利用指数运算计算得解. 0.027-(-4°+16+0.49=[(8]-1+(2y+[(0]月 =音-1+2+0=8 故答案为：8 13.-1 由题意可得g(x)=e2+ae7为奇函数，由g(0)=0,得a=-1. 14.√149+√13#/13+√149 【分析】根据题意，作出点P的轨迹，将问题转化为点到圆的距离问题，从而得解. 由题意得，圆C:(x+3)2+(y+2)2=13,圆心C(-3,-2),半径r=√13， 设点P(ao,o),则-4+l-6=2, 故点P的轨迹为如下所示的正方形，其中A(4,8),B(6,6), 数学试题第8页共14页 则|AC=√(4+3+(8+2=√149，lBCl=√(6+3)+(6+2=145， 则|PN川≤|AC+r=√149+√3，即|PN|的最大值为√149+√3 故答案为：√149+√13 【点睛】关键点点睛，本题解决的关键是将点M,P的曼哈颜距离转化为图形，从而利用数形结合即可得 解。 15.(1){2<x<4} (2-o,多] 【分析】(1)解不等式得到1<logx<2,从而求出f(x)<0的解集： (②)换元后得到t-3+是≥m对于tE[2,4能成立，利用函数单调性求出，得到答突。 【小问1详解】 f()=(log2z-2)(log2-1)<0,t=log2T, 则原不等式可化为(t-2)(t-1)<0,解得1<t<2,即1<log2x<2 所以2<x<4,不等式f(x)<0的解集{x2<x<4). 【小问2详解】 当x∈[4,16]时，令t=log,可得t∈[2,4]， 原不等式可化为t2-3t+2≥mt对于t∈[2,4]能成立， 即可得t-3+是≥m对于E[2,4)能成立， 由对勾函数性质可知y=t-3+是在t∈[2,4]上单调递增，所以=4-3+号= 4 2, 因此只需=是≥m即可，得m≤号： 即m的取值范围是(-o,多] 16.(1)证明见解析： 2)-3 【分析】(1)通过证明AB⊥平面A,OC,即得AB⊥OC,从而得到CA=CB (2)根据求两平面法向量即可求得二面角余弦值. 【小问1详解】 如图所示：作AB中点O,连接OC,OA1, 数学试题第9页共14页 B A ,AA1=AB,∠BAA1=60°， ∴.△ABA是等边三角形，.AB⊥OA .CA=4,A B=2V3,CB=2V7, 满足CA?+ABR=CB盼，即有A,B⊥AC, 而AB∥AB,所以AB⊥AC, OA∩AC=A1,OA1,ACC平i面AOC, .AB⊥平面AOC, 而OCC平面A,OC, 所以AB⊥OC,又因为O是AB中点， 所以CA=CB. 【小问2详解】 若CA=4,则OC=√-√32=√13，易知OA1=3, 以点O为原点，分别以OA,OA:方向为x,y轴，以过点O竖直向上的直线为z轴建立空间直角坐标系， 如图所示： 过点C作CD⊥OA,垂足为D, 在△A0C中，cosLC0A,=13+9-16=3 2×W13×3 13’ 所以OD=B×=,CD=2W3, 13 则A(3,0,0),C0,1,2W3),A(0,3,0),C(-3,4,2W3),B(-2W5,3,0) CA=(0,2,-2W3),CB=(-2W5,2,-2W),CC=(-5,3,0), 设平面CBA1的法向量为元=(x1,y1,z), 则有 mCg=0,即{25+22324=0. iCA=0'2y-2W3a=0 数学试题第10页共14页 令1=√5，则z=1,1=0,所以元=(0,5,1)， 同理可得：平面CB,C1的法向量元=(3,5，-2)， 则cos(元，)= i元3-2 v4i诟=8， 1 :园 因为所求二面角为钝角，所以二面角A,-CB-C的余弦值为-令， 17.(1)y=3x: (2)Q(-4,0) 【分析】(1)由条件结合抛物线的定义列方程求p,,由此可得抛物线方程. (2)设l的方程为工=ty+4,联立方程组并化简，设A(工，y),B(x2,),D(a2,一y2),应用韦达定理得y1 +,y,写出直线AD方程，求出它与x轴的交点坐标即得. 【小问1详 依题意， m+号=解得p=受 2pm=是 所以C的方程为2=3x. 【小问2详解】 依题意，直线l的斜率不为0，且过点(4,0)，设的直线1的方程为x=ty+4(t≠0)， 由牛4消去z得r-3y-12=0,△=9+48≥0 设A(c1,y),B(x2,2),则D(c2,-2),不妨设>0，则1+=3t,y1=-12, 直线AD的方程为：g-=数要红-小即y-=热动红-小 即y-=3(红-x）,令y=0,得(，-小·(-）=3江-， 1-2 因此3x=(1-)·(-)+=y=-12,解得x=-4, 所以Q(-4,0). 18.(1)2 (②)当a>0时，单调增区间为（合，+∞）：单调减区间为（一0,0），(0，是)】 当a=0时，单调减区间为(-0,0)和(0，+∞)：无单调增区间. 当α<0时，单调增区间为(-0，是)：单调减区间为(0，+0)和（合，0）， (③a)-f)<安一女，理由见详解 【分析】(1)求出导数f'(c),由f'(1)=e2,得a>1,利用函数M(a)=(a-1)e°，(a>1)的单调性求得 (a-1)e=e2的解，即得a的值： 数学试题第11页共14页 2)求导得f)=a工-一1)e“,通过分类讨论可求得函数的单调性，得到答案： (3)构造函数9()=寸（回）-士，利用多次求导的方法判断出9)的单调区间，从而判断出两者的大小关 系 【小问1详解】 函数fa)=,则f(a)=ee巴-a-1e 因为f'(1)=e2,所以(a-1)e=e2. .e>0,.a-1>0,得a>1. 令M(a)=(a-l)e°，(a>1),则M'(a)=e+(a-1)ea=ae>0, 所以M(a)=(a-1)e在(1，+o)单调递增： 因为M(a)=(a-1)e=e2=M(2),所以a=2. 【小问2详解】 f(m)的定义域为(-o0,0)U(0,+∞)，f()=ax-1)e 当a>0时， 令f)>0,得x>是，所以f(在（合+∞）上单调递增： 令f(回<0，得0<红<日或工<0，所以fa在(-0,0)和(0，是)上单调递减。 所以f(z)的单调增区间为（合，+0）：单调减区间为(-0,0)，(0，) 当a=0时， 由f'(四)=-立<0，得f(在(-0,0)和(0，+o)上分别单调递减， 所以f(x)的单调减区间为(-∞，0)和(0，十∞)：无单调增区间. 当a<0时， 令f()>0,得x<是，所以f()在(-0，合)上单调递增： 令f'()<0,得是<x<0或x>0,所以f)在(0，+o)和（合，0）上单调递减。 所以f(z)的单调增区间为(-∞，)）：单调减区间为(0，+∞)和（合，0）， 【小问3详解】 当a>0,<且z>0时，fa)-f)<合- 证明如下： 令g@)=fa)-,xe(0,0)U(0,+o0). 则ga=号-士ga]=a-1ne+1， 2 设h(x)=(ax-1)er+1,则h'(x)=a2xe, 因为a>0, 令h'(r)<0,得x<0,令h'()>0,得x>0. 所以h(c)在区间(-∞，0)上单调递减，在区间(0，+o)上单调递增， 所以h(x)>h(0)=0,即g(x)>0, 数学试题第12页共14页 所以g(x)的单调递增区间为(-o∞，0)，(0，+o). 当0<西<时g(a)<g,即f()-f)<1-1 工1D2 当a<<0时，a<.即fa)-f<士- 综上所述，当<且>0时，f北)-f)<安-岛 19.(1)xn=√元 (2)证明见解析 【分析】(1)由点An(cy)在双曲线上，又yn=xn-,得{}是以=1为首项，公差为1的等差数列，可 求得xn=√m 1 1 (2)由切线方程代入渐近线，得a,=MN=2√2一，b,=2W2+,由放缩法证明右边，通过构造函 数证明不等式，再利用放缩法证明左边. 【小问1详解】 双曲线C:x2-y2=1,渐近线方程为y=士x, 由己知可得：yn=cn-1, 又点An(红n,yn)在双曲线上，所以品-=1，即z哈-品-1=1， 所以{x}是以=1为首项，公差为1的等差数列，所以x品=n即x,=√元 【小问2详解】 设A(x,),有x-=1, 以A为切点的双曲线的切线，≠0时斜率存在时，设斜率为k, 切线方程为y=k(红-)+，代入双曲线C, 得(1-)x2-2k(-kz)x-(,-kc2-1=0,由△=0， 得k-2zk+=0,解得k=,切线方程为x江-yg=1, A(1,0)为切点的双曲线的切线方程x=1也满足， 由{任91，可得红=g=后-后=+可， ly=x 即M(i+V-I,√i+W-I), 由gg1可得=y=十7+百=-， 1 1 即N(W-√-1，√-1-√)，所以|MNM=V(2W-1)+(2Wy=2W2i-, 1 1 所以a=MN=2W2i百，b,=2W2i+7 先证右边： 数学试题第13页共14页 b,= 2F7@1+V2aT2++V2-可=27与2可 1 1 1 2 1 所以∑b=。 元+瓦s-+68+…+2领+-2a口 1 =1 2/5 2 2 2 =√2n+1-1,右边得证. 2 下证左边： 先证x>ln(1+x),令f(x)=x-ln(x+1)(x>0), f)=1-+=年>0， 所以f(x)在(0，+oo)递增，所以f(x)>f(0)=0, 即x>0时，x>ln(1+x), 】>ln(+2W2+ 所以b:=2√2i+1 1 )=(2 当i≥2时，2W2i+1+1≥2W2+3, 证明如下：[2W2i+1+1]2-[2W2+3]2=4(2i+1)+4W2+1+1-4(2i+3) =4w2i+1-7≥4w5-7>0 所以(2)）>h(2需)=h器. 所以当n≥2时： 2=+2店++220中>2+号n号++号h0=+号n, 5 当n=1.6=2石成立.所以公4，≥点+号n2拉，左边得证 所以命题得证。 【点晴】方法点睛： .放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证 题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了. 说.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用 这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 数学试题第14页共14页