精品解析：安徽省蚌埠市2025-2026学年度第二学期期末监测 七年级数学（沪科版）

2025-2026学年度第二学期期末监测 七年级数学（沪科版） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.101001 2. 2026年4月，我国科学家在嫦娥五号月壤中发现新矿物“镁嫦娥石”，其颗粒极小，最小直径为米，大约是一根头发丝直径的二十分之一，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 秤的历史可以追溯到数千年前，我们的先祖运用杠杆原理发明了木杆秤．木杆秤在称物时手提绳与秤砣绳是平行的．如图是一杆木杆秤在称物时的状态，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 若分式 中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ） A. 3 B. C. D. 8. 将一块含有角的直角三角尺按如图所示方式放置．其中，含角的顶点落在直线a上，含角的顶点落在直线b上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 10. 图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3中阴影部分的面积都是90，则裁剪前大正方形红布的面积为 A. 100 B. 120 C. 150 D. 180 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 12. 分解因式：=_______． 13. 若关于x，y的方程组的解满足，则整数m的最小值为______． 14. 关于x的方程 （1）若，则该方程的解为______； （2）若该方程的解为整数，则满足条件的所有整数b的和是______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 解不等式组：，并求出它的整数解． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简：，再从，，，中选取一个合适的数代入求值． 18. 如图，已知在三角形中，，，将三角形沿方向平移至三角形，使点B恰好是的中点，连接． （1）求三角形的面积； （2）已知，请直接写出点F到直线的距离________． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为了满足教学需要，某中学拟购进甲、乙两种品牌的鼠标，调查得知每个甲品牌鼠标的进价比每个乙品牌鼠标的进价高，用6600元购进的甲品牌鼠标的数量比用4500元购进的乙品牌鼠标的数量多50个．求该中学购买甲、乙两种品牌鼠标的进价分别是多少． 20. 若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理，规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题： （1）若的“舒适区间”为，且a为偶数，求的小数部分； （2）实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”． 21. 某社区开展“绿色出行”宣传活动，活动开始前，已有100名居民在广场排队等候领取共享单车骑行卡．活动开始后，每分钟都有6名新居民加入排队．已知社区志愿者初始设置了3个发卡窗口，每个窗口平均每分钟可为4名居民完成领卡手续，领到卡的居民立即离开．活动规定每人限领一张卡． （1）若活动开始x分钟后，广场排队等候的人数恰好还剩40人，请求出此时的x值； （2）为让更多居民快速领到骑行卡，社区计划增设发卡窗口．若要确保活动开始10分钟后，所有初始排队以及这10分钟内前来排队的居民都能全部办妥领卡手续，实现后来的居民随到随办，至少需要增设几个窗口？ 22. 人教版教科书中这样写道：“我们把和这样的式子叫作完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：； 因为，所以原式，即当时，原式有最小值． 请根据阅读内容，完成以下问题： （1）分解因式：_________； （2）当x为何值时，多项式有最大值？请用配方法求出这个最大值； （3）已知，请直接写出的最小值为_________． 23. 综合实践 【问题背景】潜望镜是潜水艇中用来从水下观察水面上事物的一种仪器，它通过两个平行的平面镜反射来实现观察，如图1，，根据光的反射原理，可以得到，． 【理解原理】 （1）如图1，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（把证明过程补充完整） 理由：． ∴（ ）， ∵，， ∴（__________________）． ． 即__________________ （ ） 【尝试探究】 （2）改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变．如图2，，入射光线经两次反射后，反射光线与平行，但方向相反，求； （3）如图3，若，，入射光线与反射光线的夹角，若三角形为锐角三角形，请直接写出的取值范围______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末监测 七年级数学（沪科版） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.101001 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的定义判断，无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，据此对各选项逐一判断即可. 【详解】解：A.开方开不尽，是无限不循环小数，是无理数，符合题意； B.是分数，属于有理数，不符合题意； C.是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合题意； D.是有限小数，属于有理数，不符合题意. 2. 2026年4月，我国科学家在嫦娥五号月壤中发现新矿物“镁嫦娥石”，其颗粒极小，最小直径为米，大约是一根头发丝直径的二十分之一，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值较小的数，形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：给不等式两边同时乘，不等号方向改变，得，故A不成立； 选项B：给不等式两边同时除以，不等号方向改变，得，两边加，不等号方向不变，得，故B不成立； 选项C：给不等式两边同时除以，不等号方向不变，得，故C不成立； 选项D：给不等式两边同时加，不等号方向不变，得，故D一定成立． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用对应法则分别计算各选项，即可判断出正确结果. 【详解】解：A.，A错误； B.，B错误； C.，C错误； D.，D正确. 5. 秤的历史可以追溯到数千年前，我们的先祖运用杠杆原理发明了木杆秤．木杆秤在称物时手提绳与秤砣绳是平行的．如图是一杆木杆秤在称物时的状态，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴. 6. 若，，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．根据，再判断、的关系即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， 故选：D． 7. 若分式 中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，当分式中的变量扩大3倍后，分母变为原来的9倍．要使分式的值不变，分子A必须也变为原来的9倍．因此，A的表达式在变量扩大3倍后应等于原表达式的9倍，据此进行判断即可． 【详解】解：原分式为，当和扩大为原来的3倍时，分母变为．此时分式变为．要使分式的值不变，需满足，即． 选项A：，扩大后仍为3，不满足． 选项B：，扩大后为，而，不相等． 选项C：，扩大后为，而，不相等． 选项D：，扩大后为，而，相等． 故选D． 8. 将一块含有角的直角三角尺按如图所示方式放置．其中，含角的顶点落在直线a上，含角的顶点落在直线b上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线的性质以及角的和差进行求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 9. 已知，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得出，整体代入进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 10. 图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3中阴影部分的面积都是90，则裁剪前大正方形红布的面积为 A. 100 B. 120 C. 150 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形面积的计算以及代数式的化简与求值，解题的关键是根据图形中阴影部分的构成列出面积关系式，再结合已知条件求解． 由图2阴影面积列出方程，化简得；由图3阴影面积为；将上述结果代入大正方形面积公式，计算即可． 【详解】解：∵图2所示的阴影部分面积为90， ∴， 展开化简：， ， ，则． 根据图3所示的阴影部分面积为90可得：． ∴大正方形面积：． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零成为解题的关键． 根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，解得：． 故答案为：． 12. 分解因式：=_______． 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否符合完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】解：． 故答案为：. 13. 若关于x，y的方程组的解满足，则整数m的最小值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组和解不等式，首先解方程组，用m表示x和y，再代入不等式，解出m的范围，确定最小整数解． 【详解】解：解方程组： ①式乘以2，得： ③式减去②式，消去y：， ， ， 将代入①式，解得y：， ， ， 将和代入不等式： 不等式变为： 解不等式：， m需满足，因此最小整数为0． 14. 关于x的方程 （1）若，则该方程的解为______； （2）若该方程的解为整数，则满足条件的所有整数b的和是______． 【答案】 ①. ②. 9 【解析】 【分析】（1）将代入原方程，解分式方程即可，注意分式方程一定要检验； （2）先用含的式子解出方程，再根据方程的整数解计算即可． 【详解】解：（1）当时， 原方程为 ​， 去分母得： ， 整理得， 解得， 检验：时，， ∴方程的解为； （2）对原方程去分母得 ， 整理得 ， ∴ ∵方程的解为整数，为整数，且分式方程有解要求（否则分母为0，是增根，方程无解）， ∴ 是的整数约数，且，  ∵的约数为，排除（此时，增根）， ∴ 得到对应的为：，，，，， ∴所有整数的和为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，根据绝对值的性质，平方根和立方根的性质，，，任何非零数的零次幂等于1​进行计算即可． 【详解】解：原式：， ， ， ． 16. 解不等式组：，并求出它的整数解． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解： 解①得 解②得 ∴不等式组的解集是 如图， 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简：，再从，，，中选取一个合适的数代入求值． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，上式． 18. 如图，已知在三角形中，，，将三角形沿方向平移至三角形，使点B恰好是的中点，连接． （1）求三角形的面积； （2）已知，请直接写出点F到直线的距离________． 【答案】（1）12； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，结合三角形的面积公式进行求解即可； （2）根据平移的性质得到，设点F到直线的距离为，根据三角形的面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵沿射线方向平移至， ， ∵B是的中点， ， ∵， ； 【小问2详解】 解：∵平移， ∴， 设点F到直线的距离为，由（1）知：； ∴， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为了满足教学需要，某中学拟购进甲、乙两种品牌的鼠标，调查得知每个甲品牌鼠标的进价比每个乙品牌鼠标的进价高，用6600元购进的甲品牌鼠标的数量比用4500元购进的乙品牌鼠标的数量多50个．求该中学购买甲、乙两种品牌鼠标的进价分别是多少． 【答案】该中学购买甲品牌鼠标的进价为元/个，购买乙品牌鼠标的进价为30元/个 【解析】 【分析】设该中学购买乙品牌鼠标的进价为x元/个，则购买甲品牌鼠标的进价为元/个，根据用6600元购进的甲品牌鼠标的数量比用4500元购进的乙品牌鼠标的数量多50个建立方程求解即可． 【详解】解：设该中学购买乙品牌鼠标的进价为x元/个，则购买甲品牌鼠标的进价为元/个． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴， 答：该中学购买甲品牌鼠标的进价为元/个，购买乙品牌鼠标的进价为30元/个． 20. 若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理，规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题： （1）若的“舒适区间”为，且a为偶数，求的小数部分； （2）实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”． 【答案】（1）或； （2）． 【解析】 【分析】（1）求出，分两种情况进行解答即可； （2）求出，由即可得到答案． 【小问1详解】 解：由条件可知， ， 为偶数， ， 若，则，，因此小数部分为； 若，则，，因此小数部分为； 的小数部分为或； 【小问2详解】 解：由条件可知，， ，； ， ∴右边， ， 两边立方得：， ， ， ， ， 的“舒适区间”为． 21. 某社区开展“绿色出行”宣传活动，活动开始前，已有100名居民在广场排队等候领取共享单车骑行卡．活动开始后，每分钟都有6名新居民加入排队．已知社区志愿者初始设置了3个发卡窗口，每个窗口平均每分钟可为4名居民完成领卡手续，领到卡的居民立即离开．活动规定每人限领一张卡． （1）若活动开始x分钟后，广场排队等候的人数恰好还剩40人，请求出此时的x值； （2）为让更多居民快速领到骑行卡，社区计划增设发卡窗口．若要确保活动开始10分钟后，所有初始排队以及这10分钟内前来排队的居民都能全部办妥领卡手续，实现后来的居民随到随办，至少需要增设几个窗口？ 【答案】（1）活动开始10分钟后，广场排队等候的人数恰好还剩40人，此时的x值为10； （2）至少需要增设1个窗口． 【解析】 【分析】（1）根据等量关系：“初始排队人数新来人数已办理人数剩余排队人数”，列出一元一次方程即可求解． （2）根据不等关系：“10分钟内窗口办理人数10分钟内总需求人数”，列出一元一次不等式即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，分钟后新加入的人数为人，3个窗口分钟后可办理的人数为人， 初始人数为100，分钟后广场排队等候的人数恰好还剩40人， ， 解得． 答：活动开始10分钟后，广场排队等候的人数恰好还剩40人，此时的x值为10． 【小问2详解】 解：设需要增设个窗口，则总窗口数为个，10分钟最多办理人， 初始人数为100，活动开始10分钟后总需领卡人数为（人）， ， 解得． 答：至少需要增设1个窗口． 22. 人教版教科书中这样写道：“我们把和这样的式子叫作完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：； 因为，所以原式，即当时，原式有最小值． 请根据阅读内容，完成以下问题： （1）分解因式：_________； （2）当x为何值时，多项式有最大值？请用配方法求出这个最大值； （3）已知，请直接写出的最小值为_________． 【答案】（1）； （2）当时，原式有最大值13； （3）． 【解析】 【分析】（1）模仿题干中的解题过程，进行求解即可； （2）首先将多项式配方为，然后得到，进而求解即可； （3）将变形为，然后根据非负数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 原式， 即当时，原式有最大值13． 【小问3详解】 解： ， ， 有最小值． 23. 综合实践 【问题背景】潜望镜是潜水艇中用来从水下观察水面上事物的一种仪器，它通过两个平行的平面镜反射来实现观察，如图1，，根据光的反射原理，可以得到，． 【理解原理】 （1）如图1，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（把证明过程补充完整） 理由：． ∴（ ）， ∵，， ∴（__________________）． ． 即__________________ （ ） 【尝试探究】 （2）改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变．如图2，，入射光线经两次反射后，反射光线与平行，但方向相反，求； （3）如图3，若，，入射光线与反射光线的夹角，若三角形为锐角三角形，请直接写出的取值范围______． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；等量代换，；内错角相等，两直线平行； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定与性质完成证明即可； （2）先求出，进而求出，即可求出结论； （3）先求出，根据三角形为锐角三角形列不等式组计算求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， ， ， ， ，即； 【小问3详解】 解：，理由如下： 由图可得，， ， ， 同理可得，， ， ∵三角形为锐角三角形， ，， 即． 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $