专题04有理数的加法与减法(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026年人教版六升七数学暑假预习讲义

专题04有理数的加法与减法暑假预习讲义 1.结合数轴、实际相反意义的量，理解有理数加法法则的由来，熟记同号、异号、与 0 相加三种加法运算规则，能准确判断和的符号并计算绝对值。 2.掌握有理数加法交换律、结合律，会运用运算律分组凑整、消去相反数，简化连加计算。 3.理解减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，能熟练将有理数减法转化为加法运算。 4.学会把加减混合算式统一写成省略括号和加号的和式，规范读出化简后的式子，准确处理多重负号。 5.掌握有理数加减混合运算步骤，能有序完成含分数、小数、负数的混合计算，减少符号、绝对值计算失误。 6.区分加减符号法则与后续乘除符号法则，避免概念混淆；能借助数轴直观理解加减运算的几何意义。 7.会根据生活实际问题，列出有理数加减法算式并求解，体会正负量的运算应用。 8.感受转化思想（减法转加法）、数形结合思想，为有理数乘除、四则混合运算打好基础。 分层预习要求 基础：熟记有理数加法、减法基本法则，能完成两个有理数一步加减计算；会简单化简加减算式符号。 提高：多个有理数连加简便运算；加减混合统一为加法再计算，熟练处理负分数、小数混合运算。 拓展：复杂多括号加减混合化简求值；结合数轴移动、实际盈亏、行程类应用题列式计算。 预习必备 知识梳理 1.有理数加法法则 2.加法运算律 3.有理数的加法 4.有理数加减混合运算 5.数轴辅助理解加减运算 6.有理数加减实际应用 7.高频易错汇总 常考题型 精讲精练. 1.有理数加法运算 2.有理数加法中的符号问题 3.有理数加法在生活中的应用 4.有理数加法运算律 5.有理数减法运算 6.有理数减法的实际应用 7.有理数的加减混合运算 8.有理数加减中的简便运算 9.有理数加减混合运算的应用 10.省略加法和括号的形式 11.有理数减法与数轴的综合应用 12.有理数混合运算中的规律题 13.新定义运算 强化题型 解答题5题 知识点01:有理数加法法则（四大分类，必考背诵） 设两数a、b，分四类情况： 1.同号两数相加 法则：取相同的符号，并把绝对值相加。 例 1：(+3)+(+5)=+(3+5)=8 例 2：(-3)+(-5)=-(3+5)=-8 2.异号两数相加（绝对值不相等） 法则：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 例 1：(-8)+(+3)=-(8-3)=-5 例 2：(+9)+(-4)=+(9-4)=5 3.互为相反数的两数相加 法则：和为 0。 例：(-7)+7=0，3.2+(-3.2)=0 4.一个数与 0 相加 法则：仍得这个数。 例：0+(-6)=-6，12+0=12 5.加法运算步骤 (1)判断两数符号，区分同号、异号、含 0 三种情况； (2)确定和的符号； (3)计算绝对值的和或差； (4)组合符号与数值，得出结果。 6.有理数加法分类对比记忆表 相加两数类型 符号怎么定 绝对值怎么算 例题 同正 结果为正 绝对值相加 4+6=10 同负 结果为负 绝对值相加 (-4)+(-6)=-10 异号，负数绝对值更大 结果为负 大绝对值减小绝对值 (-9)+5=-4 异号，正数绝对值更大 结果为正 大绝对值减小绝对值 9+(-5)=4 互为相反数 结果为 0 两绝对值相等相减得 0 -2.5+2.5=0 任意数加 0 原数符号不变 绝对值不变 0+(−1.3)=−1.3 知识点02:加法运算律（简化混合计算核心） 有理数范围内，加法交换律、结合律仍然成立 加法交换律：a+b=b+a，交换加数位置，和不变 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).，改变相加顺序，和不变 四大简便凑整分组技巧（阅卷得分方法） · 互为相反数的先结合，凑0； · 同号数字先结合； · 小数、分数能凑整数的优先结合； · 分母相同的分数合并计算。 例：(-5)+7+5=(-5+5)+7=0+7=7 知识点03:有理数的减法 （一）减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 公式：a-b=a+(-b) 核心：减法统一转化为加法计算。 （二）减法计算两步变形 把减号变为加号；. 将减数换成它的相反数，被减数保持不变。 举例： 8-12=8+(-12)=-4 -3-(-6)=-3+6=3 -5-4=-5+(-4)=-9 知识点04:有理数加减混合运算 （一）统一成加法算式 所有减法按照法则转化为加法，式子全部变为几个有理数相加的形式。 例：(-7)-(+9)+(-3)-(-6) 转化：(-7)+(-9)+(-3)+6 （二）省略括号与加号（和式写法） 正数前的 “+”、括号可以省略，只保留数字自带符号，读作 “负 7 减 9 减 3 加 6” 或 “负 7、负 9、负 3、正 6 的和”。 上式简写：-7-9-3+6 （三）混合运算完整步骤 1.减法全部转化为加法； 2.写成省略括号的和式； 3.利用加法交换律、结合律分组简便运算； 4.分步计算各组结果，最后合并求和。 知识点05:数轴辅助理解加减运算（数形结合考点） 加法：向右加正数，向左加负数 例：-2+3，数轴上-2点向右移动 3 个单位，结果为1； 减法：a-b等价于a+(-b)，向左移动b个单位 例：1-4，数轴上1点向左移动 4 个单位，结果为\(-3\)。 知识点06:有理数加减实际应用题型 1.通用解题步骤 (1)设定正负标准：规定上升、收入、零上、向东为正，相反量为负； (2)根据题意列出有理数加减混合算式； (3)计算代数和； (4)根据结果正负、数值回答实际意义。 2.常见应用场景 温度变化：初始温度 ± 升降温度； 海拔高度：基准高度 ± 上下浮动； 收支盈亏：原有金额 ± 收入 / 支出； 行程移动：初始位置 ± 前进 / 后退距离。 知识点07:高频易错点汇总（教师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 标准正确解法 出错根源 异号相加先算符号再算绝对值颠倒 -7+3=4 -7+3=-4 分不清取绝对值大数的符号 减法只变符号，不转换运算 5-(-2)=5-2=3 5-(-2)=5+2=7 忘记 “减负数 = 加正数” 两步变换 去多重括号符号混乱 -3-(5-2)=-3-5-2 -3-(5-2)=-3-5+2 括号前是负号，括号内全部变号 简便分组漏带数字符号 -8+6-2=-(8+2)+6 (-8-2)+6 移动数字时，符号要跟着数字走 互为相反数相加算错 6+(-6)=12 6+(-6)=0 未记住相反数相加和为 0 混合运算漏转化减法直接计算 -4-6=-2 -4+(-6)=-10 两个负数相减，忘记统一为加法 题型1.有理数加法运算 【典例】_______ 【跟踪专练1】两个数的和为正数，那么这两个数是（　　） A．正数 B．负数 C．至少有一个为正数 D．一正一负 【跟踪专练2】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在6进制中，数位上能显示的最大数字与最小数字之和为______． 【跟踪专练3】且，则的值为（   ） A．9或3 B．或 C． D． 题型2.有理数加法中的符号问题 【典例】的符号取___________号，的符号取___________号，的符号取___________号． 【跟踪专练1】已知为有理数，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 题型3.有理数加法在生活中的应用 【典例】一种零件的长度在图纸上标为（单位：）表示这种零件的长度应是，加工要求最大不超过_________． 【跟踪专练1】北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间，同一时刻的莫斯科时间是．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】学校组织学生研学，行至一河边，某班四名学生想通过一条河．已知河边仅有一条小船可供使用，四人的单人划船过河时间如下表所示： 学生 所需时间/分钟 当多人同时乘船时，由于重量发生变化，此时过河时间与单人划船过河所需的最长时间相同． （1）若该船的最大载客人数为人，则、、、四人过河所需的最短时间为______分钟； （2）若该船的最大载客人数为人，则、、、四人过河所需的最短时间为______分钟． 【跟踪专练3】如图是李叔叔月日至日的微信零钱明细，其中正数表示收款，负数表示付款，月日扫二维码付款给便利店后余额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 题型4.有理数加法运算律 【典例】计算：_______． 【跟踪专练1】下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】（1）计算：________． （2）计算：________． 【跟踪专练3】下列交换加数位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型5.有理数减法运算 【典例】计算：______． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一个不透明的袋子中装有5个小球，小球上分别标有数字：，，，，，小球除数字外完全相同．现从袋子中随机摸出四个小球，将摸出的四个小球上的数字按一定顺序填入“□-□-□-□”中的“□”内，计算所得算式的结果，计算结果的最小值为_______． 【跟踪专练3】小明用1个表示，用1个表示，图（1）表示的是计算的过程．按照这种方法，图（2）表示的过程应是在计算（    ）． A． B． C． D． 题型6.有理数减法的实际应用 【典例】如图是北京某天的天气预报图，那么早晚温差为___________． 【跟踪专练1】立定跳远测试中以为标准，若小明跳出了，记作；小红跳出了，应记作（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，一个的正方形网格中每个单元格中刚开始都写有数字0，之后每变化一次，其中的小正方形中的4个数字都减少1，该过程重复多次，最终得到第二张图片的形状，但有些数字被覆盖了，则表示的数字是______． 0 0 0 0 0 0 0 0 0 【跟踪专练3】下面的四个时钟显示了同一时刻北京时间和国外三个城市时间，根据下表给出的国外三个城市与北京的时差，代表北京时间的时钟是（    ） 城市 时差/h 纽约 悉尼 伦敦 A．城市A B．城市B C．城市C D．城市D 题型7.有理数的加减混合运算 【典例】_______ 【跟踪专练1】计算的结果是（   ） A．10 B． C．9 D． 【跟踪专练2】_____. 【跟踪专练3】“幻圆”是古老的数学问题，将1，，3，，5，，7，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和都相等，其中，，7，已填入如图所示的位置，则图中的值为（   ） A．1或 B．1或4 C．4或6 D．6或8 题型8.有理数加减中的简便运算 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】计算时，画线的步骤中使用了（   ）． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．加法结合律 【跟踪专练2】利用公式计算： （1）______________________；（直接写答案） （2）______________________．（直接写答案） 【跟踪专练3】再加上（  ）后，结果就是． A． B． C． D． 题型9.有理数加减混合运算的应用 【典例】某地某天早晨的气温是，中午的气温比早晨的气温高，夜间的气温比中午的气温低，则这天夜间的气温是________． 【跟踪专练1】根据世界食品物流组织（）制定的要求，某种冷冻食品的标准储存温度是，下列四个储藏室的温度中不适合储藏这种冷冻食品的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】6个小朋友参加实验小学一年级跳绳比赛，其中2号小朋友跳了100下，王老师把比赛成绩记录成表．那么这组小朋友平均每人实际跳了________下；如果将1号小朋友的成绩记作0，那么3号小朋友的成绩应记作________． 编号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 成绩/下 0 【跟踪专练3】在如图所示的九宫格中分别填入1~9不重复的9个自然数，若区域①中两个数之和为9，区域②中五个数之和为31，则阴影格子中的数可能是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 题型10.省略加法和括号的形式 【典例】把算式改写成省略括号和加号的形式：______． 【跟踪专练1】不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】把（﹣8）+（﹣5）﹣（﹣2）写成省略括号的和的形式是_____． 【跟踪专练3】为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 11.有理数减法与数轴的综合应用 【典例】如图，在数轴上，点、表示的数分别为、，则线段的长为________． 【跟踪专练1】如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示的点重合，圆沿着数轴向左滚动1周，此时点A表示的数是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，把周长为4的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A点对应2，将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是______． 【跟踪专练3】如图，将刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是)，刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（  ） A． B． C． D． 题型12.有理数混合运算中的规律题 【典例】对于正整数，我们规定用符号表示代数式.则有，例如：，设，依此规律进行下去，得到一列数：、，，…，（为正整数），则_____． 【跟踪专练1】如图，数轴上，点的初始位置表示的数为，现点做如下移动：第次点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，，按照这种移动方式进行下去，点表示的数，是__________，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值是__________． 【跟踪专练2】任意大于1的正整数的三次幂均可“分裂”成个连续奇数的和，如：，按此规律，若分裂后，其中有一个奇数是2023，则的值是（      ） A．46 B．45 C．44 D．43 题型13.新定义运算 【典例】定义新运算，如；那么_________，若，则x可以取的值有_____________． 【跟踪专练1】定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和都有：，这里“+”号表示数的加法．例如：．则 （1）______； （2）______． 【跟踪专练2】定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练3】规定：，．例如，．则的最小值是________． 解答题 1．计算： (1)； (2) 2．定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 3．计算： 4．定义：表示不超过的最大整数． (1)求的值； (2)求的值． 5．请把下列各式写成省略加号的形式： (1)； (2)． 6．某公路养护小组乘车沿一条南北方向公路巡视养护．某天早晨，他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：千米）如下：,,,,,,,．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)地在地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶1千米平均耗油升，那么这天汽车共耗油多少升？ 7．2025年9月3日的盛大阅兵式上，空中梯队的直升机编队飞越天安门广场上空，其中26架直升机组成了巨大的“80”字样，以纪念抗战胜利80周年． (1)阅兵仪式上，一架执行摄影任务的直升机先在海拔米的高度飞行，为了避开气流，它先上升了米，随后又下降了米．请问此时直升机的海拔高度是多少米？ (2)另一架直升机在执行任务时，从海拔米的高度开始下降，先下降了米后，又下降了米．请问它现在的飞行高度是多少米？ 8.．某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04有理数的加法与减法暑假预习讲义 1.结合数轴、实际相反意义的量，理解有理数加法法则的由来，熟记同号、异号、与 0 相加三种加法运算规则，能准确判断和的符号并计算绝对值。 2.掌握有理数加法交换律、结合律，会运用运算律分组凑整、消去相反数，简化连加计算。 3.理解减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，能熟练将有理数减法转化为加法运算。 4.学会把加减混合算式统一写成省略括号和加号的和式，规范读出化简后的式子，准确处理多重负号。 5.掌握有理数加减混合运算步骤，能有序完成含分数、小数、负数的混合计算，减少符号、绝对值计算失误。 6.区分加减符号法则与后续乘除符号法则，避免概念混淆；能借助数轴直观理解加减运算的几何意义。 7.会根据生活实际问题，列出有理数加减法算式并求解，体会正负量的运算应用。 8.感受转化思想（减法转加法）、数形结合思想，为有理数乘除、四则混合运算打好基础。 分层预习要求 基础：熟记有理数加法、减法基本法则，能完成两个有理数一步加减计算；会简单化简加减算式符号。 提高：多个有理数连加简便运算；加减混合统一为加法再计算，熟练处理负分数、小数混合运算。 拓展：复杂多括号加减混合化简求值；结合数轴移动、实际盈亏、行程类应用题列式计算。 预习必备 知识梳理 1.有理数加法法则 2.加法运算律 3.有理数的加法 4.有理数加减混合运算 5.数轴辅助理解加减运算 6.有理数加减实际应用 7.高频易错汇总 常考题型 精讲精练. 1.有理数加法运算 2.有理数加法中的符号问题 3.有理数加法在生活中的应用 4.有理数加法运算律 5.有理数减法运算 6.有理数减法的实际应用 7.有理数的加减混合运算 8.有理数加减中的简便运算 9.有理数加减混合运算的应用 10.省略加法和括号的形式 11.有理数减法与数轴的综合应用 12.有理数混合运算中的规律题 13.新定义运算 强化题型 解答题5题 知识点01:有理数加法法则（四大分类，必考背诵） 设两数a、b，分四类情况： 1.同号两数相加 法则：取相同的符号，并把绝对值相加。 例 1：(+3)+(+5)=+(3+5)=8 例 2：(-3)+(-5)=-(3+5)=-8 2.异号两数相加（绝对值不相等） 法则：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 例 1：(-8)+(+3)=-(8-3)=-5 例 2：(+9)+(-4)=+(9-4)=5 3.互为相反数的两数相加 法则：和为 0。 例：(-7)+7=0，3.2+(-3.2)=0 4.一个数与 0 相加 法则：仍得这个数。 例：0+(-6)=-6，12+0=12 5.加法运算步骤 (1)判断两数符号，区分同号、异号、含 0 三种情况； (2)确定和的符号； (3)计算绝对值的和或差； (4)组合符号与数值，得出结果。 6.有理数加法分类对比记忆表 相加两数类型 符号怎么定 绝对值怎么算 例题 同正 结果为正 绝对值相加 4+6=10 同负 结果为负 绝对值相加 (-4)+(-6)=-10 异号，负数绝对值更大 结果为负 大绝对值减小绝对值 (-9)+5=-4 异号，正数绝对值更大 结果为正 大绝对值减小绝对值 9+(-5)=4 互为相反数 结果为 0 两绝对值相等相减得 0 -2.5+2.5=0 任意数加 0 原数符号不变 绝对值不变 0+(−1.3)=−1.3 知识点02:加法运算律（简化混合计算核心） 有理数范围内，加法交换律、结合律仍然成立 加法交换律：a+b=b+a，交换加数位置，和不变 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).，改变相加顺序，和不变 四大简便凑整分组技巧（阅卷得分方法） · 互为相反数的先结合，凑0； · 同号数字先结合； · 小数、分数能凑整数的优先结合； · 分母相同的分数合并计算。 例：(-5)+7+5=(-5+5)+7=0+7=7 知识点03:有理数的减法 （一）减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 公式：a-b=a+(-b) 核心：减法统一转化为加法计算。 （二）减法计算两步变形 把减号变为加号；. 将减数换成它的相反数，被减数保持不变。 举例： 8-12=8+(-12)=-4 -3-(-6)=-3+6=3 -5-4=-5+(-4)=-9 知识点04:有理数加减混合运算 （一）统一成加法算式 所有减法按照法则转化为加法，式子全部变为几个有理数相加的形式。 例：(-7)-(+9)+(-3)-(-6) 转化：(-7)+(-9)+(-3)+6 （二）省略括号与加号（和式写法） 正数前的 “+”、括号可以省略，只保留数字自带符号，读作 “负 7 减 9 减 3 加 6” 或 “负 7、负 9、负 3、正 6 的和”。 上式简写：-7-9-3+6 （三）混合运算完整步骤 1.减法全部转化为加法； 2.写成省略括号的和式； 3.利用加法交换律、结合律分组简便运算； 4.分步计算各组结果，最后合并求和。 知识点05:数轴辅助理解加减运算（数形结合考点） 加法：向右加正数，向左加负数 例：-2+3，数轴上-2点向右移动 3 个单位，结果为1； 减法：a-b等价于a+(-b)，向左移动b个单位 例：1-4，数轴上1点向左移动 4 个单位，结果为\(-3\)。 知识点06:有理数加减实际应用题型 1.通用解题步骤 (1)设定正负标准：规定上升、收入、零上、向东为正，相反量为负； (2)根据题意列出有理数加减混合算式； (3)计算代数和； (4)根据结果正负、数值回答实际意义。 2.常见应用场景 温度变化：初始温度 ± 升降温度； 海拔高度：基准高度 ± 上下浮动； 收支盈亏：原有金额 ± 收入 / 支出； 行程移动：初始位置 ± 前进 / 后退距离。 知识点07:高频易错点汇总（教师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 标准正确解法 出错根源 异号相加先算符号再算绝对值颠倒 -7+3=4 -7+3=-4 分不清取绝对值大数的符号 减法只变符号，不转换运算 5-(-2)=5-2=3 5-(-2)=5+2=7 忘记 “减负数 = 加正数” 两步变换 去多重括号符号混乱 -3-(5-2)=-3-5-2 -3-(5-2)=-3-5+2 括号前是负号，括号内全部变号 简便分组漏带数字符号 -8+6-2=-(8+2)+6 (-8-2)+6 移动数字时，符号要跟着数字走 互为相反数相加算错 6+(-6)=12 6+(-6)=0 未记住相反数相加和为 0 混合运算漏转化减法直接计算 -4-6=-2 -4+(-6)=-10 两个负数相减，忘记统一为加法 题型1.有理数加法运算 【典例】_______ 【答案】/0.0625 【分析】本题考查的是异分母分数的加法运算，灵活运用通分将异分母分数化为同分母分数是解题的关键．根据分数的基本性质，将通分为分母为的分数，进而求出式子的结果． 【详解】解：原式． 【跟踪专练1】两个数的和为正数，那么这两个数是（　　） A．正数 B．负数 C．至少有一个为正数 D．一正一负 【答案】C 【分析】根据有理数加法法则，对各选项逐一分析判断，即可得到正确结果． 【详解】解：如果两个数的和是正数，这两个数可以都是正数，也可以是一正一负（例如）， ∴A错误； ∵两个负数相加的和一定是负数，不可能为正数， ∴B错误； ∵如果两个数都不是正数，那么它们的和一定不是正数， ∴和为正数时，至少有一个数为正数， ∴C正确； 当时，和为正数，但两个数都是正数，不是一正一负， ∴D错误． 【跟踪专练2】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在6进制中，数位上能显示的最大数字与最小数字之和为______． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的加法，在进制中，数位上能显示的数字从0到，因此最大数字与最小数字之和为，当时，和为5，即可得出结果，熟练掌握在进制中，数位上能显示的数字从0到是解此题的关键． 【详解】解：∵在6进制中，数位上能显示的最大数字是5，最小数字是0， ∴它们的和为； 故答案为：5． 【跟踪专练3】且，则的值为（   ） A．9或3 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质及有理数的加法运算，解题的关键是根据绝对值求出、的所有可能值，再结合的条件筛选出有效组合，进而计算． 先由得或，由得或；再根据排除不符合的组合（时，且，均不满足，故只能为）；最后分和计算的值． 【详解】解：由得或， 由得或． ∵， ∴时（且）不符合，故． 当、时，； 当、时，．     故选：B． 题型2.有理数加法中的符号问题 【典例】的符号取___________号，的符号取___________号，的符号取___________号． 【答案】 负/- 正/+ 负/- 【分析】根据加法法则判断和的符号即可． 【详解】解：的符号取负号，的符号取正号，的符号取负号， 故答案为：负，正，负 【点睛】此题考查了加法法则判断和的符号，熟练掌握加法法则是解题的关键． 【跟踪专练1】已知为有理数，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数比较大小，有理数加法，根据题意得到，进而根据有理数的大小比较法则分析得出结论即可． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 【跟踪专练2】若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 题型3.有理数加法在生活中的应用 【典例】一种零件的长度在图纸上标为（单位：）表示这种零件的长度应是，加工要求最大不超过_________． 【答案】 【分析】根据标注的意义，最大不超过标准长度加上允许的正偏差，计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得，加工要求的最大长度为． 【跟踪专练1】北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间，同一时刻的莫斯科时间是．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据北京时间比莫斯科时间早5小时解答即可． 【详解】解：小丽的通话时间范围是北京时间； 小红的通话时间范围（莫斯科时间）换算为北京时间是至次日． 两人共同通话时间范围为北京时间， 选项中只有在此范围内， 故这个时刻可以是北京时间． 【跟踪专练2】学校组织学生研学，行至一河边，某班四名学生想通过一条河．已知河边仅有一条小船可供使用，四人的单人划船过河时间如下表所示： 学生 所需时间/分钟 当多人同时乘船时，由于重量发生变化，此时过河时间与单人划船过河所需的最长时间相同． （1）若该船的最大载客人数为人，则、、、四人过河所需的最短时间为______分钟； （2）若该船的最大载客人数为人，则、、、四人过河所需的最短时间为______分钟． 【答案】 12 38 【分析】本题考查最优策略下的过河时间计算，根据船的载客人数，结合“多人同时乘船时，过河时间与单人划船的最长时间相同”这一规则，分别分析两种载客人数下的最短时间． （1）当船的最大载客人数为人时，四人可同时乘船过河，过河时间取单人划船过河所需的最长时间，即的分钟； （2）当船的最大载客人数为人时，需通过多次往返完成过河，最优方案为：和先过河，返回；和再过河，返回；最后和再次过河，计算总时间即可得最短时间分钟． 【详解】解：（1）∵船的最大载客人数为人，四人可同时乘船过河， 又∵多人同时乘船时，过河时间与单人划船的最长时间相同，四人中最长时间为分钟， ∴四人过河所需最短时间为分钟． 故答案为：； （2）解：船的最大载客人数为人，需通过“快者往返送船”的策略优化时间，具体步骤如下： 第一次：(分钟)与(分钟)过河，耗时分钟；返回，耗时分钟．累计：分钟； 第二次：(分钟)与(分钟)过河，耗时分钟；返回，耗时分钟．累计：分钟； 第三次：(分钟)与(分钟)过河，耗时分钟．累计：分钟． 此时四人全部过河，总耗时最短为分钟． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图是李叔叔月日至日的微信零钱明细，其中正数表示收款，负数表示付款，月日扫二维码付款给便利店后余额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】根据李叔叔月日至日扫码付款给超市元后的余额为元，所以李叔叔月日至日扫码付款给超市元之前的钱数即为月日扫二维码付款给便利店后余额，即为元． 【详解】解：李叔叔月日至日扫码付款给超市元后的余额为元， 月日扫二维码付款给便利店后余额为元． 故选：C． 题型4.有理数加法运算律 【典例】计算：_______． 【答案】1008 【分析】本题考查有理数加法的简便运算，从左边第一个数开始，相邻的两个数为一组，每组的值为，共有组还剩余2015，由此可解，正确分组是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：1008． 【跟踪专练1】下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法运算律是解本题的关键．利用加法交换律及结合律判断即可得到结果． 【详解】解：、，故错误，不符合题意； 、，故正确，符合题意； 、，故错误，不符合题意； 、，故错误，不符合题意． 故选：． 【跟踪专练2】（1）计算：________． （2）计算：________． 【答案】 1012 1013 【分析】本题考查有理数的加法，掌握加法结合律是解题的关键． （1）利用加法结合律计算即可； （2）利用加法结合律计算即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：1012； （2） ， 故答案为：1013． 【跟踪专练3】下列交换加数位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数加法的运算律，根据加法交换律，在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动，掌握加法的运算律是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 题型5.有理数减法运算 【典例】计算：______． 【答案】 【分析】本题根据有理数减法法则，将原式转化为有理数加法运算，计算得到结果即可． 【详解】解：． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 【跟踪专练2】一个不透明的袋子中装有5个小球，小球上分别标有数字：，，，，，小球除数字外完全相同．现从袋子中随机摸出四个小球，将摸出的四个小球上的数字按一定顺序填入“□-□-□-□”中的“□”内，计算所得算式的结果，计算结果的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，根据题意正确列式是关键．根据计算结果最小，又是减法运算，所以第一个数字为最小的负数，后面三个不选负数． 【详解】解：由题意得， 当摸出的四个小球上的数字为，，，时，计算结果最小， 即． 故答案为：． 【跟踪专练3】小明用1个表示，用1个表示，图（1）表示的是计算的过程．按照这种方法，图（2）表示的过程应是在计算（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的减法，掌握知识点是解题的关键． 根据图（1）的计算过程，按照这种方法，即可得到图（2）表示的过程应是在计算的过程，即可得答案． 【详解】解：由题意可知，按照这种方法，图（2）表示的过程应是在计算的过程． 故选C． 题型6.有理数减法的实际应用 【典例】如图是北京某天的天气预报图，那么早晚温差为___________． 【答案】9 【分析】本题考查有理数的减法运算，用一天的最高气温减去该天的最低气温即为温差． 【详解】解：． 【跟踪专练1】立定跳远测试中以为标准，若小明跳出了，记作；小红跳出了，应记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负数在实际生活中的应用，有理数的减法，通过计算实际成绩与标准成绩的差值来确定正负记录． 【详解】解：∵以为标准，小红跳出了 故选：B． 【跟踪专练2】如图，一个的正方形网格中每个单元格中刚开始都写有数字0，之后每变化一次，其中的小正方形中的4个数字都减少1，该过程重复多次，最终得到第二张图片的形状，但有些数字被覆盖了，则表示的数字是______． 0 0 0 0 0 0 0 0 0 【答案】 【分析】本题考查了有理数减法的应用，理解题意分析并正确列式计算即可． 【详解】解：由题意可知，第一行中间格属于左上的小正方形，也属于右上的小正方形， 则第一行中间格的数字为左上和右上正方形的变化次数之和， 第三行第一个格和第三个格分别为左下的小正方形和右下的小正方形独有， 则第三行第一个格的数字为左下正方形的变化次数，第三行第三个格的数字为右下正方形的变化次数， 正中间的格子为的小正方形都包含， 则正中间的格子的数字为左上、右上、左下、右下的变化数之和， 即， 故答案为：． 【跟踪专练3】下面的四个时钟显示了同一时刻北京时间和国外三个城市时间，根据下表给出的国外三个城市与北京的时差，代表北京时间的时钟是（    ） 城市 时差/h 纽约 悉尼 伦敦 A．城市A B．城市B C．城市C D．城市D 【答案】C 【分析】本题考查有理数加减运算，正负数的应用，根据纽约、悉尼、伦敦与北京的时差，结合钟表给定的时间确定对应的城市即可． 【详解】解：由表格可知悉尼与北京时差为， 所以北京时间是16点或18点（按白天时间计）， 由伦敦与北京时差为，可推得北京时间只能是16点， 则纽约时间为点，悉尼时间点，伦敦时间点， 即城市C表示北京． 故选：C． 题型7.有理数的加减混合运算 【典例】_______ 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，根据去括号法则化简原式，再利用有理数加减法则计算即可得到结果． 【详解】解： 原式 ． 【跟踪专练1】计算的结果是（   ） A．10 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减运算．根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解： 故选：A 【跟踪专练2】_____. 【答案】 【分析】本题考查了裂项法进行有理数加减运算，关键是裂项相消法求和；观察原式，每一项为两个连续整数倒数的差的绝对值，利用绝对值的性质去掉绝对值符号，发现裂项相消，即中间项相互抵消，只剩首尾部分项化简即可． 【详解】解：原式， ， 故答案为： ． 【跟踪专练3】“幻圆”是古老的数学问题，将1，，3，，5，，7，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和都相等，其中，，7，已填入如图所示的位置，则图中的值为（   ） A．1或 B．1或4 C．4或6 D．6或8 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减法，求得横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和是关键． 先计算所有数的和，结合横、竖及内外圆的和的关系求出公共和，再确定、的值． 【详解】解：根据题意可知，所有数的和为：， 则横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和为， ， 则内圈中剩下数字为， 1，，，，7，已经确定位置， 或， 或， 故选：C． 题型8.有理数加减中的简便运算 【典例】计算：________． 【答案】50 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式两项两项合并正好得50个1，最后计算结果即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：50． 【跟踪专练1】计算时，画线的步骤中使用了（   ）． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．加法结合律 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据算式的特点解答即可． 【详解】解： ， ∴画线的步骤中使用了加法结合律． 故选D． 【跟踪专练2】利用公式计算： （1）______________________；（直接写答案） （2）______________________．（直接写答案） 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，变形套用公式是解题的关键： （1）利用公式拆项进行计算即可； （2）拆项，套用公式进行计算即可． 【详解】解：（1）原式1； 故答案为：． （2）原式 ； 故答案为：． 【跟踪专练3】再加上（  ）后，结果就是． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据简便算法求出的值，再用1减去该值即得出答案． 【详解】解： ． ， 故再加上后，结果就是． 故选C． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则，并利用简便算法计算是解题关键． 题型9.有理数加减混合运算的应用 【典例】某地某天早晨的气温是，中午的气温比早晨的气温高，夜间的气温比中午的气温低，则这天夜间的气温是________． 【答案】 【分析】本题考查有理数运算的应用，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键． 根据气温变化条件，先计算中午气温，再计算夜间气温即可． 【详解】解：早晨气温为，中午气温比早晨高， 因此中午气温为， 夜间气温比中午低， 因此夜间气温为， 故答案为：． 【跟踪专练1】根据世界食品物流组织（）制定的要求，某种冷冻食品的标准储存温度是，下列四个储藏室的温度中不适合储藏这种冷冻食品的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意先求出适合储存该冷冻食品的温度范围，再对比各选项温度判断即可． 【详解】解：∵该冷冻食品的标准储存温度是． ∴计算得适合储存的温度最低为，最高为， ∵不在到的范围内，其余选项温度都符合要求． ∴不适合储藏该冷冻食品的是A． 【跟踪专练2】6个小朋友参加实验小学一年级跳绳比赛，其中2号小朋友跳了100下，王老师把比赛成绩记录成表．那么这组小朋友平均每人实际跳了________下；如果将1号小朋友的成绩记作0，那么3号小朋友的成绩应记作________． 编号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 成绩/下 0 【答案】 102 +2 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数的混合运算应用，解决此题的关键是正确的计算；先算出总成绩，即可算出平均数；根据正负数的意义得到第二空的答案即可； 【详解】解：（下）， （下）， 答：平均每个小朋友跳102下． ， 如果将1号小朋友的成绩记作0，那么3号小朋友的成绩应记作． 故答案为：102；． 【跟踪专练3】在如图所示的九宫格中分别填入1~9不重复的9个自然数，若区域①中两个数之和为9，区域②中五个数之和为31，则阴影格子中的数可能是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减法的应用，先求得九宫格数字总和为45，再求得区域①和区域②以外的2个格子中的数字之和为5，再根据“九宫格中为从1到9不重复的9个自然数”即可求解． 【详解】解：因为九宫格数字总和为， 所以区域①和区域②以外的2个格子中的数字之和为， ∵， ∴阴影格子中数字可能是4， 故选：D． 题型10.省略加法和括号的形式 【典例】把算式改写成省略括号和加号的形式：______． 【答案】 【分析】根据有理数的减法法则进行变形，即可得到结果． 【详解】解：． 【跟踪专练1】不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， A错误； B、， B正确； C、， C错误； D、， D错误． 【跟踪专练2】把（﹣8）+（﹣5）﹣（﹣2）写成省略括号的和的形式是_____． 【答案】﹣8﹣5+2． 【分析】根据有理数的运算法则即可求出答案． 【详解】原式＝﹣8﹣5+2， 故答案为﹣8﹣5+2． 【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键熟练运用有理数的运算法则，本题属于基础题型． 【跟踪专练3】为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 【答案】A 【分析】根据有理数的运算法则计算即可. 【详解】原式＝﹣1.4+3.7﹣0.5+2.4﹣3.5 ＝﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5， 故选A. 【点睛】考查有理数的运算，解题的关键是熟记和运用有理数的计算法则． 11.有理数减法与数轴的综合应用 【典例】如图，在数轴上，点、表示的数分别为、，则线段的长为________． 【答案】 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，掌握数轴上两点间距离的计算方法是解题的关键．根据数轴上两点间的距离等于两点表示的数的差的绝对值，即，进而求出线段的长度． 【详解】解：已知点表示的数为，点表示的数为， 则． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示的点重合，圆沿着数轴向左滚动1周，此时点A表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题通过圆沿着数轴向左滚动1周，实际上就是A点向左移动了一个圆的周长的长度． 【详解】圆的周长为：， 沿着数轴向左滚动1周后，点A表示的数是：． 【跟踪专练2】如图，把周长为4的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A点对应2，将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点间的距离，根据两点间的距离公式，用2减去圆的周长即可得出结果． 【详解】解：由题意，得点表示的数是； 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，将刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是)，刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的点与刻度尺的位置对应关系，关键是找出刻度尺刻度与数轴上数的数量关系． 【详解】解：∵刻度尺上对应数轴上的3，对应数轴上的0，数轴的单位长度是， ∴刻度尺上的刻度值与数轴上对应的数的和为3， ∴刻度尺上对应数轴上的数为； 故选：D． 题型12.有理数混合运算中的规律题 【典例】对于正整数，我们规定用符号表示代数式.则有，例如：，设，依此规律进行下去，得到一列数：、，，…，（为正整数），则_____． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探索；理解新定义，能够运用新定义通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键，先求出、，，…，值，从而得出规律，9个数不断循环出现，4、2、1、6、3、64、32、16、8依次出现，再计算，再由计算求出结论即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由此可以看出：9个数不断循环出现，4、2、1、6、3、64、32、16、8依次出现． ， ， ∴每18个数的和为0， ， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，数轴上，点的初始位置表示的数为，现点做如下移动：第次点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，，按照这种移动方式进行下去，点表示的数，是__________，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值是__________． 【答案】 7 13 【分析】本题考查了规律型：认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律．序号为奇数的点在点的左边，各点所表示的数依次减少，序号为偶数的点在点的右侧，各点所表示的数依次增加，于是可得到表示的数为，表示的数为，表示的数为，则可判断点与原点的距离不小于时，的最小值是． 【详解】解：第一次点向左移动个单位长度至点，则表示的数，； 第次从点向右移动个单位长度至点，则表示的数为； 第次从点向左移动个单位长度至点，则表示的数为； 第次从点向右移动个单位长度至点，则表示的数为； 第次从点向左移动个单位长度至点，则表示的数为； ； 则表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 所以点与原点的距离不小于， 那么的最小值是． 故答案为：，． 【跟踪专练2】任意大于1的正整数的三次幂均可“分裂”成个连续奇数的和，如：，按此规律，若分裂后，其中有一个奇数是2023，则的值是（      ） A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】B 【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2023的是从3开始的第1011个数，然后确定出1011所在的范围即可得解． 【详解】解：∵底数是2的分裂成2个奇数和，底数为3的分裂成3个奇数和，底数为4的分裂成4个奇数和， ∴分裂成m个奇数， 所以，从到的奇数的个数为：， ， ， ∴奇数2023是从3开始的第1011个奇数， ，， ∴第1011个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个， 即． 故选：B． 【点睛】本题考查了数字变化规律，有理数的混合运算，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式． 题型13.新定义运算 【典例】定义新运算，如；那么_________，若，则x可以取的值有_____________． 【答案】 和 【分析】本题考查有理数的加减运算，去绝对值，绝对值方程的解法等知识，掌握相关运算法则是解题的关键．对于第一部分，根据新运算定义，先计算，再计算结果与3的运算；对于第二部分，先根据定义将方程化简为，再分区间讨论求解． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 当时，方程化为，解得，符合条件， 当时，方程化为，无解， 当时，方程化为，解得，符合条件， 故x可以取的值为和， 故答案为：；和． 【跟踪专练1】定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和都有：，这里“+”号表示数的加法．例如：．则 （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算． （1）先根据题意得到推出，据此求解即可； （2）将所求式子变形为，得出，得到，据此计算可得答案． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ． 故答案为：． 【跟踪专练2】定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，先根据题意将所求式子变形为，则，再根据可进一步将原式变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选A． 【跟踪专练3】规定：，．例如，．则的最小值是________． 【答案】5 【分析】本题考查求代数式的最值问题及绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义．根据题意将表示出来，利用数轴上点到两点的距离和求最小值即可． 【详解】解：由定义，，， 故． 此式表示数轴上点到点和点的距离之和． 故当在到之间（含端点）时，距离之和最小，最小值为． 故答案为：5． 解答题 1．计算： (1)； (2) 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算． （1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法的运算律进行简单计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 【答案】(1)相加；绝对值 (2)①11；② 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的加法，理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）观察算式的规律，归纳新定义的运算法则即可解答； （2）①根据（1）中的运算法则计算即可；②根据（1）中的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的绝对值． 故答案为：相加；绝对值． （2）解：①∵5和6同号，， ∴， 故答案为：11； ②由（1）得，， ∵和4异号，， ∴， 即． 3．计算： 【答案】 【分析】根据有理数的减法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 4．定义：表示不超过的最大整数． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题干提供的信息列式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 5．请把下列各式写成省略加号的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了省略加号的和的形式，熟记省略加号的和的形式书写是解本题的关键． 直接写成省略加号的和的形式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 6．某公路养护小组乘车沿一条南北方向公路巡视养护．某天早晨，他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：千米）如下：,,,,,,,．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)地在地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶1千米平均耗油升，那么这天汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)地在地的南边，它们相距5千米 (2)这天汽车共耗油升 【分析】（1）首先根据正、负数运算的方法，把当天的行驶记录相加；然后根据正、负数的意义，判断出B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米即可； （2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，然后根据乘法的意义，用汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出这天共耗油多少升即可． 【详解】（1） ， 地在地的南边，它们相距5千米． （2）由题可得： ， （升）， 这天汽车共耗油升． 7．2025年9月3日的盛大阅兵式上，空中梯队的直升机编队飞越天安门广场上空，其中26架直升机组成了巨大的“80”字样，以纪念抗战胜利80周年． (1)阅兵仪式上，一架执行摄影任务的直升机先在海拔米的高度飞行，为了避开气流，它先上升了米，随后又下降了米．请问此时直升机的海拔高度是多少米？ (2)另一架直升机在执行任务时，从海拔米的高度开始下降，先下降了米后，又下降了米．请问它现在的飞行高度是多少米？ 【答案】(1)此时直升机的海拔高度是850米 (2)直升机现在的飞行高度是2500米 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的加减运算，解题的关键是掌握正负数的实际意义和有理数加减运算法则． （1）根据正负数的实际意义，列出算式，利用有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）根据正负数的实际意义，列出算式，利用有理数的加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：记上升为正，下降为负，则 （米） 答：此时直升机的海拔高度是850米； （2）解： （米） 答：直升机现在的飞行高度是2500米． 8.．某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 【答案】(1)六，19 (2)910个 (3)301个 【分析】（1）根据表格中每天生产玩偶与计划数量的差值，找出最多和最少的一天，再计算差值； （2）先求出前三天生产玩偶与计划数量的差值总和，再加上前三天计划生产的数量； （3）先求出着一周生产玩偶与计划数量的差值总和，再计算平均每天的生产数量． 【详解】（1）解：根据题意可知，周六那天生产的玩偶最多，比计划多生产12个，生产最少的一天比计划少生产7个， 则周六那天比生产马年玩偶最少的一天多生产个． （2）解：（个）， 答：该玩具厂这一周前三天共生产了910个马年玩偶． （3）解：（个）． 答：该玩具厂这一周平均每天生产301个马年玩偶． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $