专题03绝对值与相反数(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026年苏科版六升七数学暑假预习讲义

专题03绝对值与相反数暑假预习讲义 1.借助数轴理解绝对值、相反数的几何意义，能说出数轴上点到原点的距离就是该数的绝对值，原点两侧等距两点表示的数互为相反数。 2.掌握绝对值的代数化简规则，会求正数、0、负数的绝对值，牢记绝对值具有非负性。 3.理解相反数定义，会写出任意有理数的相反数，熟练完成多重符号化简，记住 0 的相反数是 0。 4.理清绝对值与相反数的内在联系：互为相反数的两个数绝对值相等，能区分两者概念，不混淆。 5.会利用绝对值比较两个负数的大小，结合数轴掌握有理数大小比较的两种方法。 6.能结合数轴完成简单求值、距离计算，初步建立数形结合的思考方式。 7.能解决含字母简单判断问题，区分-a不一定是负数，规避符号判断常见误区。 8.为后续有理数加减运算打好基础，学会借助绝对值处理负数相关计算。 分层预习要求 基础：会求一个数的绝对值和相反数；能化简两层以内多重符号；会用数轴比较数的大小。 提高：熟练化简多层多重符号；利用绝对值比较两个负分数、负小数的大小；根据绝对值求符合条件的数。 拓展：利用绝对值非负性简单求值；数轴、相反数、绝对值综合题型；含字母式子正负判断。 预习必备 知识梳理 1.绝对值的几何定义 2.绝对值代数法则 3.绝对值五大核心性质 4.相反数 5.绝对值与相反数关联 6.利用绝对值比较有理数大小 7.高频易错汇总 常考题型 精讲精练 1.绝对值的几何意义 2.求一个数的绝对值 3.绝对值非负性 4.绝对值的其他应用 5.有理数大小比较 6.有理数大小比较的实际应用 7.相反数的定义 8.相反数的应用 9.化简多重符号 强化题型 解答题5 知识点01:绝对值几何定义 数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。 记作：|a|，a为任意有理数。 关键点：距离不可能是负数，因此任意数的绝对值一定是非负数，即 |a|0。 举例：数轴上表示-4的点到原点距离为 4，则|-4|=4；表示0的点就在原点，|0|=0。 知识点02:绝对值代数法则（去绝对值核心） 知识点03:绝对值五大核心性质 1.非负性（最重要） 任意有理数的绝对值|a|0； 推论：若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部都为 0。 例：|x-2|+|y+3|=0，则x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3。 2.互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|-a|。 3.若|x|=m(m>0)，则x=m 或 x=-m（一正一负两个解）。 例：|x|=5，x=5或x=-5； 补充：若|x|=0，仅有唯一解x=0。 4.绝对值的乘积、商性质： 5.|a-b|几何含义：数轴上表示a、b两点之间的距离。 知识点04:相反数 (一）两层定义 几何定义：数轴上分别在原点两侧，到原点距离相等的两个点所表示的数，互为相反数，两点关于原点对称。 代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 补充规定：0 的相反数是 0，0 是唯一相反数等于自身的数。 (二）求相反数的方法 数a的相反数记作-a，即在这个整体前面添加负号。 正数：5的相反数是-5； 负数：-3.2的相反数是-(-3.2)=3.2； 字母、代数式：x的相反数-x；a-b的相反数-(a-b)。 (三）多重符号化简规则 负号个数决定最终符号，口诀：奇负偶正 式子中所有正号可以直接去掉，不影响结果； 数清楚负号总个数：负号为偶数，结果为正；负号为奇数，结果为负。 例： -[-(+7)]，2 个负号，偶数，结果7； -[-(-5)]，3 个负号，奇数，结果-5。 (四）相反数核心等量关系 若a、b互为相反数，则 a+b=0； 反之，若a+b=0，则a、b互为相反数。 知识点05:绝对值与相反数的关联 例：|3|=|-3|，3 与-3互为相反数。 知识点06:利用绝对值比较有理数大小（本节拓展应用） 1.数轴通用法则：数轴上右边的数大于左边的数；正数>0>负数。 2.两个负数比较大小专用方法： 两个负数，绝对值大的反而小。 解题步骤： 1 分别求出两个负数的绝对值； 2 比较绝对值的大小； 3 绝对值更大的原负数数值更小。 例题：比较-4.1和-2.9 |-4.1|=4.1，|-2.9|=2.9，4.1>2.9， 所以-4.1<-2.9。 知识点07:易错点汇总 1.对-a的正负判断出错，主观认为带负号就一定是负数。实际上a为正数时-a为负，a为负数时-a为正，a=0时-a=0，不能仅凭符号下结论。 2.相反数概念表述不规范，单独说某个数是相反数，相反数是成对概念，必须描述 “两个数互为相反数”；同时容易遗忘 0 的相反数是 0，误以为 0 没有相反数。 3.多重符号化简时数错负号个数，混淆 “奇负偶正” 规则，化简过程中多余处理正号，正号可直接全部舍去，只需统计负号总数判断结果符号。 4.误解绝对值的意义，写出|-9|=-9这类错误，绝对值代表距离，结果永远是非负数，负数去绝对值要替换为它的相反数。 5.已知绝对值求原数容易漏解，如|x|=4只写出x=4，正数对应的绝对值都有一正一负两个解，只有|x|=0仅有唯一解 0。 6.忽略绝对值非负性，认为存在|a|=-5这类式子，距离不可能为负数，形如绝对值等于负数的等式均无解。 7.直接化简含字母的绝对值，不分类讨论，比如直接认定|x-1|=x-1，需要分内部式子大于 0、等于 0、小于 0 三种情况分别化简。 8.比较两个负数大小时逻辑颠倒，误认为绝对值大的负数数值更大，实际规律是两个负数，绝对值越大，原数越小；比较负小数、负分数时容易只看数字大小直接判断，忽略先求绝对值的步骤。 9.有理数排序时分类混乱，分不清负数、0、正数的整体大小关系，排序遗漏数字、重复书写，没有先分开处理负数和正数再整合。 10.混淆 0 的相关性质，错记|0|>0，0 到原点距离为 0，绝对值等于 0，同时 0 是唯一相反数等于自身的数。 题型1.绝对值的几何意义 【典例】若，则______． 【跟踪专练1】四个有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则这四个点中表示的数的绝对值最大的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练2】如果，当__________，最小值是_____． 【跟踪专练3】若，那么与的关系是（   ） A． B． C． D． 题型2.求一个数的绝对值 【典例】的绝对值是___． 【跟踪专练1】若，则一定是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【跟踪专练2】已知非零有理数，，满足，则______． 【跟踪专练3】已知，且，则的值是（   ） A．6或 B．6或 C．10或 D．6或10 题型3.绝对值非负性 【典例】已知，则_________，_________． 【跟踪专练1】如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（） A．2016 B．2017 C．2019 D．2002 【跟踪专练2】已知x，y为有理数，且，则的值为__________． 【跟踪专练3】如果a，b是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 题型4.绝对值的其他应用 【典例】写出一个绝对值小于的负整数：_____．（写出一个即可） 【跟踪专练1】如图，检测4个排球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，这4个排球中质量最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】求的最小值是___． 【跟踪专练3】如图，数轴上每两个相邻刻度之间的距离均为1个单位长度，若点A、B所表示的数的绝对值相等，则点C表示的数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 题型5.有理数大小比较 【典例】比较大小：_______． 【跟踪专练1】下列四个数中，最小的数是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】比较大小：344________433，________，________（用“”，“”，“”填空）． 【跟踪专练3】若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型6.有理数大小比较的实际应用 【典例】新疆吐鲁番盆地的艾丁湖海拔高度约为米，吐鲁番市区的海拔高度约为米，已知这两个海拔数据中，有一个对应中国陆地最低点，则该最低点的海拔高度约为________米． 【跟踪专练1】下表记录了1月份某日我国四个城市10点时的气温： 城市 北京 哈尔滨 盐城 上海 气温（） 3 7 此时气温最低的城市是（   ） A．北京 B．哈尔滨 C．盐城 D．上海 【跟踪专练2】有7袋糖果，其中6袋质量完全相同，另1袋略轻一些，至少称______ 次才能找出这袋较轻的糖果． 【跟踪专练3】媛媛一家准备周末从地前往地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为，而两地的直线距离为，解释这一现象的数学知识最合理的是（   ） A．两点确定一条直线 B．点动成线 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 题型7.相反数的定义 【典例】的相反数是（     ） A． B． C． D．2022 【跟踪专练1】下列各组数中，互为相反数的有（    ）． A．和 B．和 C．和2 D．和 【跟踪专练2】若的相反数为，则的值为______． 【跟踪专练3】下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．3和 B．和 C．和 D．4和 题型8.相反数的应用 【典例】计算：___________． 【跟踪专练1】若 与 互为相反数，则（ ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】若a和b互为相反数，a在b的右边，且表示数a的点到表示数b的点的距离为10，则__________， _________. 【跟踪专练3】若．则的相反数是（    ） A．1 B．3 C． D． 题型9.化简多重符号 【典例】________． 【跟踪专练1】下列化简结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】化简：___________，___________． 【跟踪专练3】下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；        ②与； ③与；        ④与． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 解答题 1．试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 2．已知：a与3互为相反数，b的绝对值为最小的正整数，回答以下问题． (1)______，______； (2)已知，求． 3．阅读下列材料： 当时，如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是0； 当时，如，则，此时的绝对值是它的相反数． 综上可得， 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题： (1)比较大小：_____5， _____；（填“”“”或“”） (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 4．在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 5．已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03绝对值与相反数暑假预习讲义 1.借助数轴理解绝对值、相反数的几何意义，能说出数轴上点到原点的距离就是该数的绝对值，原点两侧等距两点表示的数互为相反数。 2.掌握绝对值的代数化简规则，会求正数、0、负数的绝对值，牢记绝对值具有非负性。 3.理解相反数定义，会写出任意有理数的相反数，熟练完成多重符号化简，记住 0 的相反数是 0。 4.理清绝对值与相反数的内在联系：互为相反数的两个数绝对值相等，能区分两者概念，不混淆。 5.会利用绝对值比较两个负数的大小，结合数轴掌握有理数大小比较的两种方法。 6.能结合数轴完成简单求值、距离计算，初步建立数形结合的思考方式。 7.能解决含字母简单判断问题，区分-a不一定是负数，规避符号判断常见误区。 8.为后续有理数加减运算打好基础，学会借助绝对值处理负数相关计算。 分层预习要求 基础：会求一个数的绝对值和相反数；能化简两层以内多重符号；会用数轴比较数的大小。 提高：熟练化简多层多重符号；利用绝对值比较两个负分数、负小数的大小；根据绝对值求符合条件的数。 拓展：利用绝对值非负性简单求值；数轴、相反数、绝对值综合题型；含字母式子正负判断。 预习必备 知识梳理 1.绝对值的几何定义 2.绝对值代数法则 3.绝对值五大核心性质 4.相反数 5.绝对值与相反数关联 6.利用绝对值比较有理数大小 7.高频易错汇总 常考题型 精讲精练 1.绝对值的几何意义 2.求一个数的绝对值 3.绝对值非负性 4.绝对值的其他应用 5.有理数大小比较 6.有理数大小比较的实际应用 7.相反数的定义 8.相反数的应用 9.化简多重符号 强化题型 解答题5 知识点01:绝对值几何定义 数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。 记作：|a|，a为任意有理数。 关键点：距离不可能是负数，因此任意数的绝对值一定是非负数，即 |a|0。 举例：数轴上表示-4的点到原点距离为 4，则|-4|=4；表示0的点就在原点，|0|=0。 知识点02:绝对值代数法则（去绝对值核心） 知识点03:绝对值五大核心性质 1.非负性（最重要） 任意有理数的绝对值|a|0； 推论：若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部都为 0。 例：|x-2|+|y+3|=0，则x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3。 2.互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|-a|。 3.若|x|=m(m>0)，则x=m 或 x=-m（一正一负两个解）。 例：|x|=5，x=5或x=-5； 补充：若|x|=0，仅有唯一解x=0。 4.绝对值的乘积、商性质： 5.|a-b|几何含义：数轴上表示a、b两点之间的距离。 知识点04:相反数 (一）两层定义 几何定义：数轴上分别在原点两侧，到原点距离相等的两个点所表示的数，互为相反数，两点关于原点对称。 代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 补充规定：0 的相反数是 0，0 是唯一相反数等于自身的数。 (二）求相反数的方法 数a的相反数记作-a，即在这个整体前面添加负号。 正数：5的相反数是-5； 负数：-3.2的相反数是-(-3.2)=3.2； 字母、代数式：x的相反数-x；a-b的相反数-(a-b)。 (三）多重符号化简规则 负号个数决定最终符号，口诀：奇负偶正 式子中所有正号可以直接去掉，不影响结果； 数清楚负号总个数：负号为偶数，结果为正；负号为奇数，结果为负。 例： -[-(+7)]，2 个负号，偶数，结果7； -[-(-5)]，3 个负号，奇数，结果-5。 (四）相反数核心等量关系 若a、b互为相反数，则 a+b=0； 反之，若a+b=0，则a、b互为相反数。 知识点05:绝对值与相反数的关联 1.互为相反数的两个数，绝对值一定相等；绝对值相等的两个数，相等或互为相反数。 例：|3|=|-3|，3 与-3互为相反数。 2.一个负数的绝对值，等于它的相反数；正数的绝对值等于自身，无需变号。 知识点06:利用绝对值比较有理数大小（本节拓展应用） 1.数轴通用法则：数轴上右边的数大于左边的数；正数>0>负数。 2.两个负数比较大小专用方法： 两个负数，绝对值大的反而小。 解题步骤： 1 分别求出两个负数的绝对值； 2 比较绝对值的大小； 3 绝对值更大的原负数数值更小。 例题：比较-4.1和-2.9 |-4.1|=4.1，|-2.9|=2.9，4.1>2.9， 所以-4.1<-2.9。 知识点07:易错点汇总 1.对-a的正负判断出错，主观认为带负号就一定是负数。实际上a为正数时-a为负，a为负数时-a为正，a=0时-a=0，不能仅凭符号下结论。 2.相反数概念表述不规范，单独说某个数是相反数，相反数是成对概念，必须描述 “两个数互为相反数”；同时容易遗忘 0 的相反数是 0，误以为 0 没有相反数。 3.多重符号化简时数错负号个数，混淆 “奇负偶正” 规则，化简过程中多余处理正号，正号可直接全部舍去，只需统计负号总数判断结果符号。 4.误解绝对值的意义，写出|-9|=-9这类错误，绝对值代表距离，结果永远是非负数，负数去绝对值要替换为它的相反数。 5.已知绝对值求原数容易漏解，如|x|=4只写出x=4，正数对应的绝对值都有一正一负两个解，只有|x|=0仅有唯一解 0。 6.忽略绝对值非负性，认为存在|a|=-5这类式子，距离不可能为负数，形如绝对值等于负数的等式均无解。 7.直接化简含字母的绝对值，不分类讨论，比如直接认定|x-1|=x-1，需要分内部式子大于 0、等于 0、小于 0 三种情况分别化简。 8.比较两个负数大小时逻辑颠倒，误认为绝对值大的负数数值更大，实际规律是两个负数，绝对值越大，原数越小；比较负小数、负分数时容易只看数字大小直接判断，忽略先求绝对值的步骤。 9.有理数排序时分类混乱，分不清负数、0、正数的整体大小关系，排序遗漏数字、重复书写，没有先分开处理负数和正数再整合。 10.混淆 0 的相关性质，错记|0|>0，0 到原点距离为 0，绝对值等于 0，同时 0 是唯一相反数等于自身的数。 题型1.绝对值的几何意义 【典例】若，则______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的定义，掌握该知识点是解题的关键． 根据绝对值的定义，一个数的绝对值表示它到原点的距离，因此当绝对值等于一个正数时，该数可以是正数或负数． 【详解】解：由绝对值的性质，若（其中），则或． 本题中， 所以或． 故答案为：． 【跟踪专练1】四个有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则这四个点中表示的数的绝对值最大的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作a的绝对值，记为，因此哪个点与原点的距离最大，哪个点表示的数的绝对值最大． 【详解】解：由数轴知，点A到原点的距离大于3小于4， 点B到原点的距离大于1小于2， 点C到原点的距离大于0小于1， 点D到原点的距离大于2小于3， 综上可知，点A到原点的距离最大， 故这四个点中表示的数的绝对值最大的点是点， 故选：A． 【跟踪专练2】如果，当__________，最小值是_____． 【答案】 8 【分析】本题主要考查的是绝对值的几何意义，熟悉绝对值的几何意义是解题的关键． 由绝对值的几何意义知，当x在和3之间的时距离的和最小． 【详解】解：表示：数轴上一点到，3和距离的和， ∴当时，的值最小， 此时． 故答案为：，8． 【跟踪专练3】若，那么与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据题意分析与的大小即可． 【详解】解：， 则为非正数， 即， 故选：D． 题型2.求一个数的绝对值 【典例】的绝对值是___． 【答案】/ 【详解】解：． 【跟踪专练1】若，则一定是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】D 【详解】解：∵ ， 当时，，不满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； ∴，即x为非正数． 【跟踪专练2】已知非零有理数，，满足，则______． 【答案】或/或 【分析】本题考查绝对值的概念，由绝对值的概念，即可求解，解题的关键是掌握正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零． 【详解】解：∵非零有理数，，满足， ∴，或，， 当，时， ， 当，时， ， 故答案为：或． 【跟踪专练3】已知，且，则的值是（   ） A．6或 B．6或 C．10或 D．6或10 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 先根据，得到p与q的值，然后结合，选取满足条件的p，q的值，分别计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴或， ∴当时，； 当时，； ∴的值为10或． 故选：C． 题型3.绝对值非负性 【典例】已知，则_________，_________． 【答案】 1 / 【分析】本题考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（） A．2016 B．2017 C．2019 D．2002 【答案】C 【分析】此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质是解题关键． 利用绝对值的非负性，得出的最小值为0，进而确定表达式的最大值即可． 【详解】解：∵为有理数， ∴， ∴， ∴． 当时，即，取等号， ∴最大值为． 故选C． 【跟踪专练2】已知x，y为有理数，且，则的值为__________． 【答案】0 【分析】本题主要考查了绝对值的性质．根据绝对值的非负性可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：0． 【跟踪专练3】如果a，b是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，掌握非负数的最小值为0是解题的关键. 要找到表达式 的最小值，需分别分析平方项和绝对值项的最小值。 【详解】∵平方项和绝对值项具有非负性，即他们的最小值都是0 ∴的最小值是 故选：B. 题型4.绝对值的其他应用 【典例】写出一个绝对值小于的负整数：_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了绝对值的概念，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．根据绝对值的意义，找出绝对值小于的负整数即可． 【详解】解：，绝对值小于的负整数，即其绝对值为正整数且小于， 因此绝对值可以是，，，，，，， ∴负整数为，，，，，，． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，检测4个排球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，这4个排球中质量最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的应用，比较绝对值，即可求解． 【详解】解：因为， 所以的排球质量最接近标准质量， 故选：D． 【跟踪专练2】求的最小值是___． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．注意当的值不明确时，要分情况讨论是解题的关键． 根据绝对值均大于等于的性质，对的大小进行分情况讨论，去掉绝对值后，再进行比较大小，再求最小值． 【详解】解：当时，原代数式①； 当时，原代数式②； 当时，原代数式③； 据以上可得，且； 所以当时，原代数式取得最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，数轴上每两个相邻刻度之间的距离均为1个单位长度，若点A、B所表示的数的绝对值相等，则点C表示的数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意数轴上的点A、B所表示数的绝对值相等可找到数轴的原点，从而解得的长度即可判断点C表示的数． 【详解】解：∵数轴上点A，B所表示的数的绝对值相等， 可以确定原点O的位置，如图，    ∴C点表示的数是5， 故选：C． 【点睛】本题考查数轴；熟练掌握数轴上点的特点，能够确定原点的位置是解题的关键． 题型5.有理数大小比较 【典例】比较大小：_______． 【答案】 【详解】解：，，且 ， ． 【跟踪专练1】下列四个数中，最小的数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的化简与大小比较，涉及相反数的定义、绝对值的性质以及有理数大小比较的法则先利用相反数和绝对值的性质将每个选项中的数化简为最简形式，再根据“正数都大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”的规律，比较所有化简后的数，找出最小的数对应的选项． 【详解】解：，，，； 正数大于负数，且两个负数比较时，绝对值大的数更小，，，，， ∴， ∴最小的数是，对应选项C． 故选：C． 【跟踪专练2】比较大小：344________433，________，________（用“”，“”，“”填空）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的比较大小，解题的关键是掌握有理数大小比较的法则． 对于正数比较，直接比较大小；对于负数比较，比较绝对值，绝对值大的反而小；对于相反数和绝对值，先计算其值再比较． 【详解】解：344和433都是正数， ∴， 故答案为：； ，， 由于， 所以， 故答案为：； ，， 所以， 故答案为：． 【跟踪专练3】若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得，从而可得a、b、c、d 的值，然后比较大小即可解答． 【详解】解：根据题意，可设， 则， ∴，，，, ∵, ∴， ∴，即． 题型6.有理数大小比较的实际应用 【典例】新疆吐鲁番盆地的艾丁湖海拔高度约为米，吐鲁番市区的海拔高度约为米，已知这两个海拔数据中，有一个对应中国陆地最低点，则该最低点的海拔高度约为________米． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的应用，比较两个海拔高度，数值更小的对应中国陆地最低点 【详解】解：艾丁湖海拔高度为米，吐鲁番市区海拔高度为米， 因为， 所以艾丁湖的海拔更低，是中国陆地最低点． 故答案为：． 【跟踪专练1】下表记录了1月份某日我国四个城市10点时的气温： 城市 北京 哈尔滨 盐城 上海 气温（） 3 7 此时气温最低的城市是（   ） A．北京 B．哈尔滨 C．盐城 D．上海 【答案】B 【分析】本题考查有理数的大小比较． 比较四个城市的气温即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴气温最低的城市是哈尔滨． 故选：B． 【跟踪专练2】有7袋糖果，其中6袋质量完全相同，另1袋略轻一些，至少称______ 次才能找出这袋较轻的糖果． 【答案】2 【分析】此题采用天平进行称量．先把7袋糖果分为3份，分别为3袋、3袋、1袋，先将两个3袋的糖果分别放在天平秤两端，根据平衡情况进行分析即可． 【详解】至少称两次，才能找出这袋较轻的糖． 第一次：把7袋糖果分为3份，分别为3袋、3袋、1袋，先将两个3袋的糖果分别放在天平秤两端，若一样重，则余下那一袋为最轻的；若不一样重，则略轻的1袋在天平较高端的1份中，此时进行第二次称量； 第二次：把较高端的1份再平均分为3份每份1袋，任取2份分别放在天平秤两端；若天平平衡，则略轻的1袋是剩下的1份；若天平不平衡，则天平较高端是略轻的1袋． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力，关键是把7袋糖果进行合理分组． 【跟踪专练3】媛媛一家准备周末从地前往地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为，而两地的直线距离为，解释这一现象的数学知识最合理的是（   ） A．两点确定一条直线 B．点动成线 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，两点之间线段最短，根据即可得出两点之间线段最短． 【详解】解：∵ ∴解释这一现象的数学知识最合理的是两点之间线段最短， 故选：C． 题型7.相反数的定义 【典例】的相反数是（     ） A． B． C． D．2022 【答案】D 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是． 【跟踪专练1】下列各组数中，互为相反数的有（    ）． A．和 B．和 C．和2 D．和 【答案】A 【分析】先根据多重符号的化简方法和绝对值的性质化简各选项数值，再根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：A．，，两者互为相反数，符合题意； B．，，两者相等，不互为相反数，不合题意； C．，两者相等，不互为相反数，不合题意； D．，，两者相等，不互为相反数，不合题意； 【跟踪专练2】若的相反数为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，根据题意得到，求解即可，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的相反数为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．3和 B．和 C．和 D．4和 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义逐一分析即可，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 题型8.相反数的应用 【典例】计算：___________． 【答案】 【详解】本题考查了绝对值的化简，相反数，根据，所以，然后根据负数的绝对值等于它的相反数，得出答案． 【分析】解：∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】若 与 互为相反数，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性等知识点，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．根据相反数的定义及非负数的性质列出方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】若a和b互为相反数，a在b的右边，且表示数a的点到表示数b的点的距离为10，则__________， _________. 【答案】 5 【分析】根据相反数的概念和数轴上两点之间的距离，即可解答． 【详解】解：a和b互为相反数， 在原点的两侧，且到原点的距离相等为， a在b的右边， ， 故答案为：5；． 【点睛】本题考查了相反数的概念和数轴上两点之间的距离，知道互为相反数的两个数距离原点的距离相等是解题的关键． 【跟踪专练3】若．则的相反数是（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质求出a、b的值，计算出，再根据相反数的定义解答． 【详解】解：∵， ∴a-1=0，b-2=0， ∴a=1，b=2， ∴=1+2=3， ∴的相反数是-3， 故选：C． 【点睛】此题考查绝对值的性质，相反数的定义，熟记绝对值的性质是解题的关键． 题型9.化简多重符号 【典例】________． 【答案】10 【分析】先根据相反数的意义化简括号内的部分，再根据绝对值的性质计算结果． 【详解】解：． 【跟踪专练1】下列化简结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握化简多重符号法则是解题关键．根据化简多重符号的法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，符合题意； B、，则此项正确，不符合题意； C、，则此项正确，不符合题意； D、，则此项正确，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】化简：___________，___________． 【答案】 【分析】本题考查相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解题的关键；根据一个数前面的正号可以省略不写，一个负数的相反数为正数即可求解． 【详解】解：，； 故答案为：； 【跟踪专练3】下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；        ②与； ③与；        ④与． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义与多重符号的化简，掌握相关知识是解题的关键．先分别进行化简，再进行判断即可． 【详解】解：①由于，故与不互为相反数； ②由于，故与互为相反数； ③由于，，故与互为相反数； ④由于，，故与互为相反数； 综上，互为相反数的有②③④，共3组． 故选：C． 解答题 1．试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 【答案】(1)互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ (2)最接近规格的是⑦号试管．理由见解析 【分析】本题主要考查绝对值以及相反数的定义，熟练掌握绝对值和相反数是解题的关键． （1）根据相反数的定义即可得到答案； （2）根据绝对值的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ （2）解：最接近规格的是⑦号试管． 理由：，，，，． 因为，所以最接近规格的是⑦号试管． 2．已知：a与3互为相反数，b的绝对值为最小的正整数，回答以下问题． (1)______，______； (2)已知，求． 【答案】(1) (2)或3 【分析】本题主要考查相反数、绝对值的非负性； （1）根据相反数及绝对值可直接进行求解a、b的值； （2）根据（1）及绝对值的非负性可得m、n的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）∵a与3互为相反数，b的绝对值为最小的正整数， ∴ （2）∵ ∴ ∴ 当时，； 当时，； 综上：或3； 3．阅读下列材料： 当时，如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是0； 当时，如，则，此时的绝对值是它的相反数． 综上可得， 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题： (1)比较大小：_____5， _____；（填“”“”或“”） (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 【答案】(1)， (2)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数比较大小，利用分类讨论的思想求解是解题的关键。 （1）直接根据去绝对值的方法及有理数的大小比较即可得出答案； （2）根据绝对值的三种情况，进行分析求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 综上，当时，；当时，． 4．在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1)小璐；见解析 (2)3人 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握有理数大小的比较方法． （1）根据，即可得出答案； （2）先求出各个数据的绝对值，然后与进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：小璐的视力最差． ， 最小，与标准差的最多， 小璐的视力最差． （2）解：，，，，， ∴6名学生中有3人需要配戴眼镜． 5．已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 【答案】(1)；； (2)； (3)； (4)或； (5)有最大值和最小值 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析． （1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离； （2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系； （3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可； （4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值； （5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值． 【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为； 当，时，、两点的距离为； 故答案为：；； （2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：； （4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， 当在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为， 则或，解得或； 故答案为：或； （5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离． ①当点在的左侧， ，， ； ②当点在与之间（包含端点）， ，， ， 此时； ③当点在的右侧， ，， ． 综上，式子有最值，最大值为，最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $