2.4 应用一元二次方程（课时1） 教案 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该教案聚焦应用一元二次方程解决行程与几何问题，通过经典梯子滑动几何情境导入，衔接勾股定理旧知，自然引出方程应用场景，搭建前后知识学习支架。 资料特色在于递进式探究与分步拆解教学，如梯子滑动距离等量问题及海军巡航行程题，培养学生数学眼光（几何直观）、数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识），通过学生板演、自主演算提升问题解决能力，帮助教师规范教学流程，夯实学生方程建模基础。

2.4应用一元二次方程(课时1) 一、核心素养目标 1.利用一元二次方程解决简单的行程问题和几何问题； 2.在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤. 二、教学重点及难点 重点：能建立一元二次方程模型求解行程与几何实际问题. 难点：能从实际情境抽象等量关系列方程，掌握列方程解应用题的通用步骤. 三、教学过程 【新知导入】 还记得本章开始时的梯子滑动问题吗？ 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？ 设计意图：借用经典梯子滑动几何情境导入，前后章节内容呼应衔接，依托直角三角形勾股定理的旧知引出一元二次方程实际应用场景，快速调动学生已有知识储备，自然开启利用方程解决几何长度变化问题的新课学习. 【探究新知】 教师提出：在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ 选取两个学生代表在黑板上进行作答，其余学生在草稿纸上进行作答.作答完毕后，教师公布答案，并规范解题步骤. 解：设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米. 根据题意，有(8-x)2+(6+x)2=102， 整理，得x2-2x=0. 解这个方程，得x1=0(舍)，x2=2. 因此，梯子顶端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等. 教师追问：如果梯子长度是13m，梯子顶端与地面的垂直距离为12m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 学生在草稿纸上进行作答，教师进行巡视指导，观察学生的作答进度，在绝大多数学生完成后，公布正确答案，并规范解题步骤. 解：设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米. 根据题意，得(12-x)2+(5+x)2=132，整理，得x2-7x=0. 解这个方程，得x1=0(舍)，x2=7. 因此，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离相等时为7m. 设计意图：在原有梯子问题基础上增设等量滑动距离的设问，由浅入深递进探究；通过学生板演、自主演算、教师巡辅订正的模式，让学生实操借助勾股定理建立一元二次方程模型，学会检验并舍去不符合实际意义的根.两组数据对比练习，强化几何实际问题建模思路，规范完整解题流程，提升学生提取等量关系、处理实际解取舍的能力. 如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200nmile处有一重要目标B，在B的正东方向200nmile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC中点.一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰. 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1nmile)？ 学生根据题干回答以下问题： (1)要求DE的长，需要如何设未知数？ (2)怎样建立含DE未知数的等量关系？ (3)利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？ (4)构造出Rt△DEF后，三条边长DE，DF，EF分别是多少？ 答案预设：(1)一般求什么设什么，可设DE的长为xnmile. (2)根据已知条件，可考虑利用勾股定理建立等量关系. (3)连接DF，由三角形中位线得AB∥DF，从而DF⊥EF，构造出Rt△DEF. (4)DF=100nmile，DE=xnmile，EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)nmile. 根据以上分析，教师引导学生解题. 解：连接DF. ∵AD=CD，BF=CF， ∴DF是△ABC的中位线. ∴DF∥AB，且DF=AB， ∵AB⊥BC，AB=BC=200nmile， ∴DF⊥BC，DF=100nmile，BF=100nmile. 设相遇时补给船航行了xnmile， 那么DE=xnmile，AB+BE=2xnmile，EF=AB+BF−(AB+BE)=(300−2x)nmile. 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2=1002+(300−2x)2. 整理，得3x2−1200x+100000=0， 解这个方程得，(不合题意，舍去). 所以，相遇时补给船大约航行了118.4nmile. 设计意图：选取海军巡航的行程几何综合应用题，层层拆解设问引导学生分步分析题意；借助三角形中位线性质搭建直角三角形，把行程速度路程关系与勾股定理结合构建一元二次方程模型.通过分步提问降低复杂应用题的理解门槛，训练学生拆解复杂题干、转化几何线段、筛选符合实际的方程根的综合解题能力，巩固用一元二次方程解决实际问题的完整流程. 通过以上探究学习，归纳运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤，学生做笔记. 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤： 教师强调：在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求. 设计意图：借助流程图直观梳理完整解题闭环，把实操经验提炼成标准化解题流程，帮助学生形成固定解题思维框架；特意强调根的实际意义检验环节，纠正学生只解方程不取舍答案的常见疏漏，强化方程建模解决实际问题的严谨性，完成本节课方法体系的总结升华. 四、随堂练习 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，加深学生对新知的理解，牢牢掌握新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.利用一元二次方程解决简单的行程问题和几何问题； 2.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤. 六、板书设计 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤： 学科网（北京）股份有限公司 $