精品解析：天津市第一中学滨海学校2025-2026学年高一下学期第二次质量监测数学试卷

天津一中滨海学校2025-2026-2第二次质量监测 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 考试时间：100分钟.考试结束后，将答题纸交回.祝各位考生考试顺利！ 参考公式： ·柱体的体积公式，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高； ·锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高； ·球的体积公式，球的表面积公式，其中R表示球的半径. ·如果事件A、B相互独立，那么． ·一组数据的平均数为，它的方差为． 第Ⅰ卷 选择题（60分） 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 在复平面内，与复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置. 【详解】,复数对应的点为，它在第四象限，故本题选D. 【点睛】本题考查通过复数的除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位置. 2. “”是“向量与向量的夹角为钝角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据且与不共线求出的范围可得答案. 【详解】若与的夹角为钝角，则且与不共线， 可得解得且， 所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件， 故选:C. 3. 在中，，，，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据同角三角函数得出，再应用正弦定理计算求解. 【详解】在中，，所以， 又因为，则由正弦定理得，解得. 故选：D. 4. 为提高学生学习数学的热情，实验中学举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）78，70，72，86，79，80，81，84，56，83，则这10人成绩的第80百分位数是（ ） A. 83 B. 83.5 C. 84 D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】将10个数据从小到大排列得，56，70，72，78，79，80，81，83，84，86， ，故其第80百分位数是， 故选：B. 5. 珠算是以算盘为工具进行数字计算的一种方法，2013年年底联合国教科文组织将中国珠算项目列入人类非物质文化遗产名录．算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从最右边两档的14颗算珠中任取1颗，则这一颗是上珠的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算古典概型概率即可. 【详解】总共14颗算珠，其中上珠4颗，故从最右边两档的14颗算珠中任取1颗，则这一颗是上珠的概率为. 故选：C 6. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（ ） A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件 C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析即可. 【详解】当向上的点数为5时，事件A与B同时不发生，故A错误； 当向上的点数为2时，事件B与C同时不发生，故B错误； 当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，故C错误； 事件A与事件B不能同时发生，故D正确． 故选：D 7. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据各选项中，线面、面面位置关系，利用相关判定定理可推得相应结论逐一判断即可. 【详解】对于A，由，，可得与平行或异面，故A错误； 对于B，由，可得或，故B错误； 对于C，由，可得与平行或相交，如同时垂直于地面的两堵墙面可以平行，也可以相交，故C错误； 对于D，由，可得或，当时，由可得； 当时，利用线面平行的性质，则必存在且，同法可得，故也可得，即D正确. 故选：D. 8. 如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由线面平行的性质定理得到，故，转化为求即可． 【详解】 连接 交 于 ，连接 ， 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ，所以 . 又 ， 为 的中点， 所以 ， 所以 . 故选：D. 9. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由投影向量的定义可得，再由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，即， 所以，又，则， 又，则， 所以. 故选：C 10. 1000名高一学生参加数学质量监测，从中随机抽取200名学生的成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中，正确的个数是（ ） ①频率分布直方图中的值为0.005 ②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 ③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 ④估计总体中成绩落在内的学生人数为150 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据频率之和为1可得，进而可得每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断. 【详解】对于①：因为，可得，故①正确； 可知每组的频率依次为. 对于②：前三组的频率和为， 所以这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80，故②正确； 对于③：因为的频率最大，所以这200名学生竞赛成绩的众数为75，故③错误； 对于④：总体中成绩落在内的学生人数为，故④正确. 故选：C. 11. 已知，分别是圆柱上､下底面圆的直径，且，.，O分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥的体积为18，则该圆柱的侧面积为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形分析得三棱锥的体积为两个全等四棱锥减去两个全等三棱锥，利用锥体体积代入计算求，再利用圆柱的侧面积． 【详解】分别过作圆柱的母线，连接，设圆柱的底面半径为 则三棱锥的体积为两个全等四棱锥减去两个全等三棱锥 即，则 圆柱的侧面积为 故选：D． 12. 在棱长为1的正方体中，，E是线段（含端点）上的一动点， ①； ②平面； ③三棱锥的体积为定值； ④与所成的最大角为. 上述命题中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方体的结构特征，利用线面位置关系的判定和性质，异面直线所成角及锥体体积计算对4个命题逐个判断即可得出结论. 【详解】对于①，因为平面，平面，则， 又因为，且平面， 得平面，又平面，所以； 因为平面，平面，则， 又因为平面， 所以平面，又平面， 所以，又平面，所以平面. 又平面，所以，正确； 对于②，在正方体中，因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理，平面，又平面， 所以平面平面.又平面，所以平面，正确； 对于③，由②知，平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以为定值，正确； 对于④，当与重合时，与所成的角最大,最大为，理由如下： 因为，平面，平面， 所以，，且平面， 所以平面， 平面，所以，所以与所成的最大角为，正确. 故正确的命题个数为4个. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查了线线、线面关系的判断及锥体的体积，解题的关键是利用等体积转化法判断体积为定值. 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分.） 13. 已知复数，则z的共轭复数_________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据复数的乘法得出复数，再应用共轭复数的定义求解. 【详解】因为复数， 则z的共轭复数. 故答案为：. 14. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据斜二测法，由直观图可作出原图形，再求面积即可. 【详解】根据题意可作出原图形， ，，，， ， 故答案为：2. 15. 已知向量，，向量与垂直，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为所以由向量与垂直得： 考点：向量垂直坐标表示 16. 记样本、、…、的平均数为，样本、、…、的平均数为（）.若样本、、…、、、、…、的平均数为，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数公式运算求解即可. 【详解】因为样本、、…、的平均数为，可得， 样本、、…、的平均数为，可得， 又因为样本、、…、、、、…、的平均数为 ， 且，整理得，即. 故答案为：. 17. 联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对两个问题的概率为_________，“粽队”在两轮活动中至少答对三个问题的概率为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，设事件“甲答对问题”，事件“乙答对问题”，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【详解】设事件“甲答对问题”，事件“乙答对问题”， 因为每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响， 所以甲在两轮活动中答对两个问题的概率为； “粽队”在两轮活动中至少答对三个问题，则包含， 可得概率为 . 故答案为：；. 18. 如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为则正八面体外接球的体积为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积． 【详解】如图正八面体，连接交于点， 因为，， 所以，，又为平面内相交直线， 所以平面，所以为正八面体的中心， 设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为， 所以正八面体的棱长为， 所以， 则． 故答案为：． 19. 如图，正三棱柱的所有棱长均相等，点M，P，N分别是棱，，的中点，则二面角的正弦值为_________，异面直线与所成的角的余弦值为_________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，根据平面法向量夹角求二面角，根据直线方向向量的夹角求线线角. 【详解】 取的中点，连接，则在正三棱柱中，平面， 四边形为矩形，以为坐标原点， 以的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示坐标系， 平面的一个法向量为，不妨设正三棱柱的棱长为， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则，， ，， 所以二面角的正弦值为； ， ， 异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：，. 20. 在边长为的正方形中，为线段CD的三等分点，，，则______；为线段上的动点，为中点，则的最小值为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出，利用向量的坐标运算及向量相等，即可求解第一空，设，根据条件求出，利用数量积的坐标运算，求得，再利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图建立平面直角坐标系，易知， 则，所以，又， 则，所以， 设，所以，又为中点，所以， 所以，则， 图象开口向上，对称轴为，又， 由二次函数的性质知，当时，最小，最小值为， 故答案为：##，. 三、解答题（共4小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 21. 已知向量，满足，． （1）若，求向量的坐标； （2）若，求与的夹角． 【答案】（1）或. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，由向量模的公式可得的值，即可得答案. （2）先求出，由向量数量积的计算公式可得，可解得，结合夹角的范围分析可得答案. 【小问1详解】 根据题意，，设， 若，则 解得，故或. 【小问2详解】 由题知，则， 若，则， 即， 解得，又， 所以. 22. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足 （1）求角B的大小； （2）设，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到所以，求得，即可求解； （2）（ⅰ）由（1）结合余弦定理，列出方程，求得的值；（ⅱ）先由余弦定理求得，再利用平方关系结合二倍角公式求得，利用两角和的正弦公式，即可得解. 【小问1详解】 解：由， 得， 所以， 因为，所以， 所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，且，， （ⅰ）在中，由余弦定理，得， 即， ∴， 解得或（舍去），所以. （ⅱ）在中，由余弦定理得 ， ， 所以，， 则. 23. 如图，在多面体PABCD中，平面ABC，平面平面PBC，且，M为BD的中点． （1）求证：平面ABC； （2）求证：平面PAB； （3）若，求直线AC和平面PBC所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明：取BC中点N，连接MN，AN，由M为BD的中点，得， 而，则，四边形PANM为平行四边形， 因此， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC. （2）证明：在平面PAB内过作于E， 由平面平面PBC，平面平面，平面， 得平面PBC，而平面PBC，则， 由平面ABC，平面ABC，得， 又，平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB. （3）. 【解析】 【分析】（1）取BC中点N，由中位线得到线线平行，得到四边形PANM为平行四边形，因此，所以平面ABC. （2）作于E，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证. （3）由（2）中信息，得到线面垂直，为AC和平面PBC所成的角，求出各边长，利用定义法求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，平面PBC，则EC为斜线AC在平面PBC上的射影， 为AC和平面PBC所成的角， 在中，，由勾股定理得， ，在中，，， 所以直线AC和平面PBC所成的角的正弦值为 24. 在中，角所对的边分别为，已知为边上的中线，点分别为边与上的动点，若直线与交于点，且，，且满足． （1）求边的长度； （2）若的面积是面积的4倍，求的最小值． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，结合余弦定理可得，可求得结论；（2）设，，，表达出，进而求出，从而得到，结合，求出最小值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 所以，故． 【小问2详解】 设，，， 由于共线，故存在，使得. 因为，所以， 即，即①， 因为； 所以有， 即，整理有解得②， 由①②得， 因为，， 所以 ， 又，且等号不同时取得，即，此时为单调递减函数， 因此当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津一中滨海学校2025-2026-2第二次质量监测 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 考试时间：100分钟.考试结束后，将答题纸交回.祝各位考生考试顺利！ 参考公式： ·柱体的体积公式，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高； ·锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高； ·球的体积公式，球的表面积公式，其中R表示球的半径. ·如果事件A、B相互独立，那么． ·一组数据的平均数为，它的方差为． 第Ⅰ卷 选择题（60分） 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 在复平面内，与复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. “”是“向量与向量的夹角为钝角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在中，，，，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 4. 为提高学生学习数学的热情，实验中学举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）78，70，72，86，79，80，81，84，56，83，则这10人成绩的第80百分位数是（ ） A. 83 B. 83.5 C. 84 D. 70 5. 珠算是以算盘为工具进行数字计算的一种方法，2013年年底联合国教科文组织将中国珠算项目列入人类非物质文化遗产名录．算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从最右边两档的14颗算珠中任取1颗，则这一颗是上珠的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（ ） A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件 C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件 7. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 8. 如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（ ） A. B. C. D. 9. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 10. 1000名高一学生参加数学质量监测，从中随机抽取200名学生的成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中，正确的个数是（ ） ①频率分布直方图中的值为0.005 ②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 ③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 ④估计总体中成绩落在内的学生人数为150 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 已知，分别是圆柱上､下底面圆的直径，且，.，O分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥的体积为18，则该圆柱的侧面积为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 18 12. 在棱长为1的正方体中，，E是线段（含端点）上的一动点， ①； ②平面； ③三棱锥的体积为定值； ④与所成的最大角为. 上述命题中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分.） 13. 已知复数，则z的共轭复数_________. 14. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为_________． 15. 已知向量，，向量与垂直，则实数的值为__________． 16. 记样本、、…、的平均数为，样本、、…、的平均数为（）.若样本、、…、、、、…、的平均数为，则的值为______. 17. 联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对两个问题的概率为_________，“粽队”在两轮活动中至少答对三个问题的概率为_________． 18. 如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为则正八面体外接球的体积为_______ 19. 如图，正三棱柱的所有棱长均相等，点M，P，N分别是棱，，的中点，则二面角的正弦值为_________，异面直线与所成的角的余弦值为_________． 20. 在边长为的正方形中，为线段CD的三等分点，，，则______；为线段上的动点，为中点，则的最小值为______． 三、解答题（共4小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 21. 已知向量，满足，． （1）若，求向量的坐标； （2）若，求与的夹角． 22. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足 （1）求角B的大小； （2）设，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 23. 如图，在多面体PABCD中，平面ABC，平面平面PBC，且，M为BD的中点． （1）求证：平面ABC； （2）求证：平面PAB； （3）若，求直线AC和平面PBC所成的角的正弦值． 24. 在中，角所对的边分别为，已知为边上的中线，点分别为边与上的动点，若直线与交于点，且，，且满足． （1）求边的长度； （2）若的面积是面积的4倍，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $