精品解析：天津市滨海新区塘沽第一中学2025-2026学年高一第二学期4月月考数学试题

塘沽一中2025—2026学年度第二学期月考试题 高一年级 数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间100分钟，试卷共6页.卷I答案用2B铅笔填涂在答题卡上，卷Ⅱ答案用黑色字迹的笔直接答在答题纸规定区域内. 第I卷（共60分） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分） 1. 复数在复平面上所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知平面上四点互不重合，则下列向量的运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 四边形ABCD的周长为 D. 四边形ABCD的面积为 6. 已知向量与的夹角为，且，，则（ ） A. B. 4 C. D. 7. 在中，若，且，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 非等边等腰三角形 D. 等边三角形 8. 已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，三个内角所对边分别为，若且则的面积等于（ ） A. B. C. D. 3 10. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 在中，分别是角的对边，下列四个命题中正确的个数为（ ） ①若，则是等腰三角形； ②若，三角形面积，则三角形外接圆半径为； ③若点为内一点，且，则； ④在中，若有解，则的取值范围是. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积为S，，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每小题5分，共40分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.） 13. 若复数，则______. 14. 复数是实数，则实数的值为________． 15. 已知，则向量在向量上的投影向量坐标为____________． 16. 在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为__________. 17. 如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为________米. 18. 已知，，与的夹角为，求的值______；若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围______． 19. 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥的体积为______；四棱锥的表面积是______. 20. 如图，在平行四边形中，，点E为中点，，点F为边上的点．若点F满足，且，则________；若点F为线段上的动点，则的取值范围为________． 三、解答题（共50分） 21. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若. ①求与的夹角的余弦值； ②求. 22. 已知，且与夹角为，求： （1）； （2）与的夹角； （3）若向量与平行，求实数的值. 23. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足． （1）求角B的大小； （2）设，． （ⅰ）求c的值； （ⅱ）求的值． 24. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求； （2）若，，，求的面积； （3）若N是的平分线与的交点，且，则求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽一中2025—2026学年度第二学期月考试题 高一年级 数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间100分钟，试卷共6页.卷I答案用2B铅笔填涂在答题卡上，卷Ⅱ答案用黑色字迹的笔直接答在答题纸规定区域内. 第I卷（共60分） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分） 1. 复数在复平面上所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，确定复数，再根据复数的几何意义进行判断即可. 【详解】复数. 故选：A 2. 已知平面上四点互不重合，则下列向量的运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的加法法则可判断A、B；由数量积的运算判断C、D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由数乘向量可得，故C正确； 对于D，由数乘向量运算律可得，故D正确. 故选：B. 3. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小. 【详解】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得， 又因为，故或. 故选：D. 4. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的减法运算法则即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C. 5. 如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 四边形ABCD的周长为 D. 四边形ABCD的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法求出原四边形各边的长度，并确定四边形为直角梯形，进而得到其周长和面积，即可得． 【详解】由题设，A错； 由斜二测画法知，，，， 易知原四边形为直角梯形，， 所以， 四边形的周长为，面积为，B、C错，D对． 故选：D． 6. 已知向量与的夹角为，且，，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先求，再根据模长公式求解即可． 【详解】， ，则， ． 故选：B 7. 在中，若，且，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 非等边等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得解. 【详解】由已知在中，， 则， 又在中，， 则， 所以，即， 又， 所以， 由中，， 即， 所以， 由， 所以，即， 所以，即为等边三角形， 故选：D. 8. 已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为 ，高为h， 又因为圆锥的轴截面是等腰三角形， 所以该轴截面是等腰直角三角形，则圆锥的高等于底面半径 所以圆锥的母线长， 圆锥侧面积：； 圆柱侧面积：； 圆锥和圆柱的侧面积之比为. 故选：B. 9. 在中，三个内角所对边分别为，若且则的面积等于（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，结合余弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得，即，解得或（舍）. 由余弦定理可得， 解得，故， 因为，则角为锐角，所以，， 因此，. 故选：A. 10. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意可知三点共线，进而得到，利用向量基本定理表示出,进而表示出计算即可. 【详解】因为，所以 所以， 因为，所以， 即， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而, 所以, 即. 故选：D. 11. 在中，分别是角的对边，下列四个命题中正确的个数为（ ） ①若，则是等腰三角形； ②若，三角形面积，则三角形外接圆半径为； ③若点为内一点，且，则； ④在中，若有解，则的取值范围是. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】对①，利用正弦定理边转角及正弦的和角公式，得，即可求解；对②，利用三角形面积公式及余弦定理求出，再利用正弦定理即可求解；对③，取中点，根据条件，利用向量的中线公式得到三点共线，且，即可求解；对于④，利用正弦定理，即可求解. 【详解】对于①，因为，由正弦定理得， 所以，又，且，则，所以①正确， 对于②，由题知，又，所以，解得， 又，得到， 又由正弦定理知（其中是三角形外接圆半径）， 所以，解得，所以②错误， 对于③，如图，取中点，因为，又， 所以，即，所以三点共线，且， 又共底边，所以，故③正确， 对于④，由正弦定理知，得到， 所以，又因为有解，又，则，得到，故④错误， 故选：B. 12. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积为S，，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由及面积公式与正弦定理求得， 由得，由平方结合二次函数求的最小值. 【详解】，， 由正弦定理得， ，， ， ，. ，，当且仅当时取等号. ， . . 故选：D 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每小题5分，共40分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.） 13. 若复数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先计算复数，再求模. 【详解】由题意可得：， 所以. 14. 复数是实数，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的概念可得，若复数是实数，则其虚部为0，由此即可求解. 【详解】由题意得，解得或， 且，即，故的值为， 故答案为：． 15. 已知，则向量在向量上的投影向量坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合投影向量的计算公式，即可得到向量在向量上的投影向量，得到答案. 【详解】由，可得， 设向量与的夹角为， 则向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 16. 在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三棱锥与长方体的外接球求法求解. 【详解】 由题意可知，可将该三棱锥在长方体中作出， 所以三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 为外接球的直径，所以, 所以外接球的半径为, 所以三棱锥的外接球的表面积为， 故答案为:. 17. 如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为________米. 【答案】90 【解析】 【分析】中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【详解】中，，，则， 由图可知，， 则， 中，由正弦定理，得， 中，（米）， 故答案为：90. 18. 已知，，与的夹角为，求的值______；若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算性质求解；再利用向量夹角公式及共线向量定理列式求解. 【详解】依题意，， ； 由向量与的夹角是锐角， 得，且与不共线， 即，且， 整理得，且，解得且 所以实数的取值范围为. 故答案为：； 19. 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥的体积为______；四棱锥的表面积是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意得出四棱锥的底面是边长为的正方形，四个侧面都是边长为的等边三角形，进一步结合棱锥的体积、表面积公式即可求解. 【详解】第一空：由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积， 顶点到底面四边形的距离为， 由四棱锥的体积公式可得：. 第二空：如图所示： 设为中点，为正方形中心，则，， 显然，所以正四棱锥的侧棱，同理， 又，所以正四棱锥的四个侧面都是边长为的等边三角形， 设四棱锥的表面积是， 则. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：关键在于得出所求四棱锥的特征，进一步结合对称性，求出表面积、体积公式中相应的长度或者面积，由此即可顺利得解. 20. 如图，在平行四边形中，，点E为中点，，点F为边上的点．若点F满足，且，则________；若点F为线段上的动点，则的取值范围为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意得，从而；对于第二问，设，首先分解，然后由数量积的运算律转换成关于的二次函数在闭区间上的值域即可求解. 【详解】由题意 所以， 设， ， ， ， ， 设，对称轴是， 故单调递增， 从而当点F为线段上的动点时，的取值范围为. 故答案为：；. 三、解答题（共50分） 21. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若. ①求与的夹角的余弦值； ②求. 【答案】（1）或 （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的结论求值. （2）先根据条件求出的值，再利用向量的数量积求夹角，利用向量的坐标求模. 【小问1详解】 因为，所以或. 【小问2详解】 因为. 此时，. ①，，. 所以. ②因为，所以. 22. 已知，且与夹角为，求： （1）； （2）与的夹角； （3）若向量与平行，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用展开计算； （2）利用公式计算即可； （3）存在实数使，利用系数对应相等列方程组求解. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，又， 所以，又， 所以与的夹角为； 【小问3详解】 因为向量与平行， 所以存在实数使， 所以，解得. 23. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足． （1）求角B的大小； （2）设，． （ⅰ）求c的值； （ⅱ）求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解即可. （2）（ⅰ）利用余弦定理求解即可；（ⅱ）利用二倍角公式，两角和的正弦定理结合即可求解. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得，, 可得， 因为，故，则， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，且，， （ⅰ）则， 即，解得（舍），. 故. （ⅱ）由， 得， 解得，则， 则， ， 则 . 24. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求； （2）若，，，求的面积； （3）若N是的平分线与的交点，且，则求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由得，利用正弦定理和两角和的正弦公式即可求解； （2）由得，利用向量求，最后由三角形的面积公式即可求解； （3）由已知有得，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由由正弦定理有 ， ∵，，∴，整理得. 又∵，，，∴. 【小问2详解】 由 ∵，，，即 ∴， 解得（舍）或. ∴； 【小问3详解】 由已知有： ， 得，整理得 当且仅当时取到最小值，即取等号. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $