精品解析：天津市武清区天和城实验中学2025-2026学年高一第二学期第二次形成性检测数学试卷

2025—2026学年度高一第二学期第二次形成性检测 数学试卷 第Ⅰ卷 注意事项：请将Ⅰ卷的答案填涂在答题卡上，答在试卷上的无效． 一、单选题（4*9=36分） 1. 期中考试后,为了分析高一年级1000名学生的学习成绩,从中随机抽取了200名学生的成绩单,就这个问题来说,下面说法中正确的是（ ） A. 1000名学生是总体 B. 每名学生是个体 C. 每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D. 样本容量是200 【答案】D 【解析】 【详解】A.总体是1000名学生的学习成绩，A错； B.个体是每名学生的成绩，B错； C.所抽取的样本是200名学生的成绩，不是每名学生的成绩，C错； D.样本容量是200，D正确. 2. 袋子里装有四枚围棋子，其中两枚黑色棋子、两枚白色棋子，从中随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（ ）． A. “至多有一枚白色棋子”与“至多有一枚黑色棋子” B. “至多有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” C. “恰好有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” D. “至多有一枚白色棋子”与“都是白色棋子” 【答案】C 【解析】 【分析】利用对立事件、互斥事件的定义判断即可． 【详解】记随机取出两枚棋子，均为黑色棋子为事件，一枚黑色棋子、一枚白色棋子为事件，均为白色棋子为事件. 对于A：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“至多有一枚黑色棋子” 包含事件、事件. 两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件.A不满足. 对于B：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“都是黑色棋子”为事件. 两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件.B不满足. 对于C：“恰好有一枚白色棋子”为事件，“都是黑色棋子”为事件. 两个事件不能同时发生，且并集不是全集（缺少事件），是互斥而不对立事件.C满足. 对于D：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“都是白色棋子”为事件. 两个事件不能同时发生，且并集是全集，是对立事件.D不满足. 3. 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数和为6的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求得基本事件的总数和点数和为的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值． 【详解】解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为种， 而点数和为的事件为，，，，共5种， 则点数和为的概率为． 故选：B． 4. 已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，下列正确的是（ ） A. 若m⊥n，，则m⊥α B. 若m⊥α，α⊥β，则m⊥β C. 若m⊥n，n⊥α，则m⊥α D. 若m⊥α，α∥β，则m⊥β 【答案】D 【解析】 【分析】由直线、平面的位置关系逐一判断即可. 【详解】若m⊥n，，则与可能平行，故A错误； 若m⊥α，α⊥β，则可能在内，故B错误； 若m⊥n，n⊥α，则可能在内，故C错误； 若m⊥α，α∥β，易知m⊥β，故D正确； 故选：D 5. 在中，已知是边上的一点，若，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由已知得，因此，答案选B. 考点：向量的运算与性质 6. 已知向量若则（     ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的垂直关系可以得到数量积等于0，算出，再利用模的坐标公式进行求解，即可得到答案 【详解】由已知，因为，所以，，所以． 故选C． 7. 已知两个随机事件和，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， ． 8. 在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法正确的是（ ） A. B. 众数小于平均数 C. 中位数超过75分 D. 估计全校有640名考生及格 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质，列出方程，求得的值，可判断A不正确；求得数据的众数和平均数的值，可判定B不正确；根据中位数的计算方法，求得数据的中位数，可判定C错误；求得落在中的人数为，结合分层抽样，列出方程，求得及格的人数，可判定D正确. 【详解】对于A，根据频率分布直方图的性质，可得， 解得，所以A不正确； 对于B，由频率分布直方图，可得数据的众数为， 平均数， 众数大于平均数，所以B错误； 对于C，由频率分布直方图，可得中位数为，所以C错误； 对于D，由频率分布直方图，可得落在中的人数为， 设全校有人及格，则，解得，即估计全校有640名考生及格，所以D正确. 故选：D. 9. 如图，正方体中，点E、F、G、H分别为棱的中点，点M为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AM与 异面；②平面AEM；③平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面平面. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的几何性质逐项分析. 【详解】对于①，连接，四边形是平行四边形， 平面，平面，平面， 平面，又，所以与AM是异面直线，正确； 对于②，连接EH，则四边形是平行四边形，， 又平面AEM，平面AEM，平面AEM，正确； 对于③，取的中点T，当M与T重合时，连接，则有四点共面， 即平面AEM截正方体的图形是四边形，如下图： 当M点在线段上时，在平面内作直线，交的延长线于U，交于V，连接UM， 四点共面，平面，， 即平面AEM截正方体的图形是五边形，如下图： 错误； 对于④，在正方形ABCD内， 所以，又平面ABCD，平面ABCD， ，平面，平面， 平面AEM，平面平面，正确； 故选：C. 【点睛】难点点睛：本题的难点在于当M点移动时，平面AEM与正方体的交面需要在平面内寻找到与直线EM平行的直线AV，从而确定交面的形状. 第Ⅱ卷 注意事项：请将Ⅱ卷的答案书写在答题卡上，答在试卷上的无效． 二、填空题（4*6=24分） 10. 样本数据20，26，5，16，17，18的第60百分位数为______. 【答案】 18 【解析】 【详解】将样本数据从小到大排列为：5，16，17，18，20，26， 因为，所以第60百分位数为排序后的第4个数据18. 11. 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式求概率. 【详解】两个零件中恰有一个一等品的概率为 故答案为： 【点睛】本题考查独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 12. 如图，在正方体中，M，N分别为的中点，则异面直线MN与所成的角等于_____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可证M，N分别为的中点，且可求得，再根据正方体的性质可得∥，为异面直线MN与所成的角（或其补角），即可得答案. 【详解】连接 设正方体的棱长为, ∵与是正方形，M，N分别为的中点， 所以M，N分别为的中点， ∴ ∴是等边三角形，∴ 在由正方体中,∥，， ∴四边形是平行四边形，∴∥， 所以为异面直线MN与所成的角（或其补角）. 异面直线MN与所成的角为. 故答案为：. 13. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则______． 【答案】0.6## 【解析】 【分析】利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】随机事件和互斥，则． 又和对立，. 故答案为：0.6． 14. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】 该六面体是两个正四面体组合而成，正四面体棱条为1，如图，在正四面体中，棱长为1，取中点，连接，作平面于，垂足在中，且是中心，当六面体内有一球，且球体积最大时，球心为，且该球与相切，过球心作于，就是球半径．计算出后可得体积． 【详解】该六面体是两个正四面体组合而成，正四面体棱条为1，如图，在正四面体中，棱长为1，取中点，连接，作平面于，垂足在中，且是中心，， 由对称性，当六面体内有一球，且球体积最大时，球心为，且该球与相切，过球心作于，就是球半径． ，， 由得， ∴球体积为． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查求球的体积，关键是确定球心，求出球的半径．根据对称性，此球体积最大时，球与六个面相切，球心为两个正四面体公共面的中心，如图只要取中点，作于，就是半径． 15. 在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作出向量在向量上的投影向量，在直角三角形中求出；以点为坐标原点，为轴建立直角坐标系，利用坐标法求出的最小值. 【详解】过点作垂直于点，则向量为向量在向量上的投影向量， 由题意知点为线段的中点，所以， 所以，又为锐角，故. 以点为坐标原点，为轴建系如图，则，，. 因为，所以. 因为点为线段上的动点，所以设，故点. ，. 当时，取到最小值. 故答案为：；. 三、解答题（5*12=60分） 16. 已知复数，（为虚数单位）． （1）当时，求； （2）若为纯虚数，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 当 时: 实部：, 虚部：. 故 , 共轭复数 , . 【小问2详解】 若 为纯虚数, 则实部为且虚部不为, 由 得 , 即 或 . 由 得 , 即 且 . 综上所述, . 【小问3详解】 复数对应点在第二象限, 则 : . : 或 . 综上所述. 17. 在中，角所对的边分别为．已知 ． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案； （Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得 ， 又因为，所以； （Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得； （Ⅲ）由知角为锐角，由，可得 ， 进而， 所以. 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 18. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛. （I）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数； （II）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. （i）用所给编号列出所有可能的结果; （ii）设A为事件“编号为的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A发生的概率. 【答案】（Ⅰ）3,1,2;（Ⅱ）（ⅰ）见试题解析;（ⅱ） 【解析】 【详解】试题分析：（I）由题意可得抽取比例，即可求出相应的人数；（II）（i）列举可得从名运动员中随机抽取名的所有结果，共种； （ii）事件所包含的上述基本事件的个数为个，由概率的公式即可求解概率． 试题解析：（I）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2; （II）（i）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为, ,,,,,,,,,,,,,,共15种 （ii）编号为的两名运动员至少有一人被抽到的结果为,, ,, ,,,,,共9种, 所以事件A发生的概率 考点：古典概型及其概率的计算． 19. 为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）． （1）求a的值； （2）从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数； （3）认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数） 【答案】（1） （2）众数为65分，平均数为71.8分 （3）68分 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为1，可求出的值； （2）根据众数和平均数的定义求解即可； （3）根据频率分布直方图计算出第40百分位数，即可得出结果. 【小问1详解】 在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为1， 可得，解得， 【小问2详解】 估计本次竞赛成绩的众数为分， 估计本次竞赛成绩的平均数为 分. 【小问3详解】 由题意，成绩位于前百分之六十的考生为良好，则良好认定的分数线是第40百分位数， 前两个矩形面积之和为， 前三个矩形面积之和为， 设第40百分位数为，则， 则，解得， 因此，估计良好认定的分数线为68分. 20. 如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝，AD＝2，PA＝PD＝，E，F分别是棱AD，PC的中点． （1）证明：EF∥平面PAB； （2）若二面角P－AD－B为60°． ①证明：平面PBC⊥平面ABCD； ②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②． 【解析】 【详解】试题分析：（1）要证明平面，可以先证明平面，利用线面平行的判定定理，即可证明平面；（2）①要证明平面平面，可用面面垂直的判定定理，即只需证明平面即可；②由①平面，所以为直线与平面所成的角，由及已知，得为直角，即可计算的长度，在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值． 试题解析：（1）证明：如图，取PB中点M，连接MF，AM． 因为F为PC中点，故MF∥BC且MF＝BC．由已知有BC∥AD，BC＝AD． 又由于E为AD中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形， 所以EF∥AM．又AM⊂平面PAB，而EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB． （2）①证明：如图，连接PE，BE． 因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD中点，故PE⊥AD，BE⊥AD， 所以∠PEB为二面角P－AD－B的平面角． 在△PAD中，由PA＝PD＝，AD＝2，可解得PE＝2． 在△ABD中，由BA＝BD＝，AD＝2，可解得BE＝1． 在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，由余弦定理，可解得PB＝， 从而∠PBE＝90°，即BE⊥PB． 又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC． 又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD． ②连接BF．由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角． 由PB＝及已知，得∠ABP为直角． 而MB＝PB＝，可得AM＝，故EF＝． 又BE＝1，故在Rt△EBF中，sin∠EFB＝＝． 所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为． 考点：直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解． 【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据平面，可以确定为直线与平面所成的角，可放置在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高一第二学期第二次形成性检测 数学试卷 第Ⅰ卷 注意事项：请将Ⅰ卷的答案填涂在答题卡上，答在试卷上的无效． 一、单选题（4*9=36分） 1. 期中考试后,为了分析高一年级1000名学生的学习成绩,从中随机抽取了200名学生的成绩单,就这个问题来说,下面说法中正确的是（ ） A. 1000名学生是总体 B. 每名学生是个体 C. 每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D. 样本容量是200 2. 袋子里装有四枚围棋子，其中两枚黑色棋子、两枚白色棋子，从中随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（ ）． A. “至多有一枚白色棋子”与“至多有一枚黑色棋子” B. “至多有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” C. “恰好有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” D. “至多有一枚白色棋子”与“都是白色棋子” 3. 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数和为6的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，下列正确的是（ ） A. 若m⊥n，，则m⊥α B. 若m⊥α，α⊥β，则m⊥β C. 若m⊥n，n⊥α，则m⊥α D. 若m⊥α，α∥β，则m⊥β 5. 在中，已知是边上的一点，若，，则 A. B. C. D. 6. 已知向量若则（     ） A. B. C. 2 D. 4 7. 已知两个随机事件和，其中，则（ ） A. B. C. D. 8. 在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法正确的是（ ） A. B. 众数小于平均数 C. 中位数超过75分 D. 估计全校有640名考生及格 9. 如图，正方体中，点E、F、G、H分别为棱的中点，点M为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AM与 异面；②平面AEM；③平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面平面. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 注意事项：请将Ⅱ卷的答案书写在答题卡上，答在试卷上的无效． 二、填空题（4*6=24分） 10. 样本数据20，26，5，16，17，18的第60百分位数为______. 11. 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________． 12. 如图，在正方体中，M，N分别为的中点，则异面直线MN与所成的角等于_____________． 13. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则______． 14. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为_________． 15. 在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________． 三、解答题（5*12=60分） 16. 已知复数，（为虚数单位）． （1）当时，求； （2）若为纯虚数，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 17. 在中，角所对的边分别为．已知 ． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 18. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛. （I）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数； （II）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. （i）用所给编号列出所有可能的结果; （ii）设A为事件“编号为的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A发生的概率. 19. 为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）． （1）求a的值； （2）从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数； （3）认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数） 20. 如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝，AD＝2，PA＝PD＝，E，F分别是棱AD，PC的中点． （1）证明：EF∥平面PAB； （2）若二面角P－AD－B为60°． ①证明：平面PBC⊥平面ABCD； ②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $