2.2.3 直线的一般式方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦直线的一般式方程，通过回顾点斜式、斜截式等四种直线方程形式，引导学生分析共同特点，从具体方程抽象出二元一次方程与直线的关系，构建前后知识的衔接支架。 以探究问题驱动学生用数学眼光发现规律，典例与变式训练培养推理意识，通过判断正误、解题感悟规范数学语言表达，分层练习与课堂达标助力自主学习，提升分析和解决问题的能力。

2.2.3 直线的一般式方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ★学习目标　1.结合教材实例了解关于x，y的二元一次方程与直线的关系. 2.掌握直线的一般式方程. 3.了解直线方程的几种形式的关系，能灵活利用直线的几种形式解决问题. 一、直线的一般式方程 探究1　之前学习的直线的四种方程形式分别是什么？观察四个方程式，分析总结共同特点. 探究2　平面直角坐标系中任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 探究3　任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？ 探究4　直线的一般式方程与其他几种形式的直线方程相比，有什么优点？ ★梳理教材 1.定义：关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程 （其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式. 2.系数的几何意义：当B≠0时，－＝k（斜率），－＝b（y轴上的截距）； 当B＝0时，A≠0，－＝a（x轴上的截距），此时斜率不存在. 3.直线与二元一次方程的关系 （1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示. （2）每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线. ★温馨提示　（1）对于直线方程的一般式，有如下约定：①方程中等号的左侧从左向右一般按x，y，常数项的先后顺序排列； ②x的系数为正； ③x，y的系数和常数项一般不出现分数. （2）直线方程Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的系数A，B，C对直线位置的影响： ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）任何一条直线的二元一次方程都能化为其他四种形式.（ 　） （2）直线的二元一次方程Ax＋By＋C＝0中，若A＝0，则B一定不等于0.（ 　） （3）直线的一般式方程可以表示平面直角坐标系内的任意一条直线.（ 　） （4）对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线.（ 　） 【典例1】　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： （1）斜率是，且经过点A（5，3）；（2）经过A（－1，5），B（2，－1）两点； （3）在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； （4）经过点B（4，2），且平行于x轴. ★解题感悟 求直线一般式方程的策略 （1）当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；当B≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值.因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程. （2）在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式的方程，然后可以转化为一般式方程. 【练习1】　（1）过点P（－2，3），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ 　） A.x－y＋1＝0 B.x－y＋1＝0或3x＋2y＝0 C.x－y－5＝0 D.x－y＋5＝0或3x＋2y＝0 （2）过点A（－2，1），且倾斜角的余弦值为－的直线的一般式方程为 . 二、含参数的一般式方程 【典例2】　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. （1）求证：不论实数a为何值，直线l总经过第一象限； （2）求使直线l不经过第二象限的a的取值范围. 【变式探究1】　本典例中若直线不经过第四象限，则a的取值范围是什么？ 【变式探究2】　本典例中将直线l的方程改为“x－（a－1）y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？ ★解题感悟 已知含参数的直线的一般式方程， 求参数的值或取值范围的步骤 【练习2】　设直线l的方程为（a＋1）x＋y－a＋2＝0. （1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的直线方程； （2）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 三、由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 探究5　已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若B1，B2≠0，则由l1∥l2，l1⊥l2可得什么结论？ 探究6　在探究5中，若B1＝0，则由l1∥l2，l1⊥l2可得什么结论？ ★梳理教材 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. （1）两直线平行的充要条件是 （或A1C2－A2C1≠0）； （2）两直线垂直的充要条件是 . ★温馨提示　（1）A1B2－A2B1＝0表示斜率相等或都不存在，B1C2－B2C1≠0（或A1C2－A2C1≠0）表示截距不同，排除重合的情况. （2）A1A2＋B1B2＝0既包含斜率之积为－1的垂直，又包含一个斜率为0，一个斜率不存在的垂直. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）两直线l：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2＝A2B1.（ 　） （2）两直线l1，A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是＝－1.（ 　） 【典例3】　判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由． (1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0； (2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0； (3)l1：x＝2，l2：x＝4； (4)l1：y＝－3，l2：x＝1. ★解题感悟 　　1.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0. （1）l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0（或A1C2－A2C1≠0）. （2）l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2.与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法 （1）与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0（m≠C）. （2）与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0. 【练习3】　（1）过点P（2，1）且与直线x－2y＋1＝0垂直的直线方程为（ 　） A.2x＋y＋5＝0 B.2x＋y－5＝0 C.x＋2y－5＝0 D.x－2y＋5＝0 （2）已知直线3x－4y＋4＝0与直线ax＋8y＋7＝0平行，则实数a的值为 . ★课堂达标 1.“a＝－3”是“直线x＋ay＋2＝0与直线ax＋（a＋2）y＋1＝0互相垂直”的（ 　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.过点（1，0）且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是（ 　） A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0 C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0 3.（多选）已知直线l：Ax＋By＋C＝0，其中A，B不全为0，则下列说法正确的是（ 　） A.当C＝0时，l过坐标原点 B.当AB＞0时，l的倾斜角为锐角 C.当B＝0，C≠0时，l和x轴平行 D.若直线l过点P（x0，y0），则直线l的方程可化为A（x－x0）＋B（y－y0）＝0 4.若直线（2t－3）x＋y＋6＝0不经过第一象限，则t的取值范围为 . 解析版 ★学习目标　1.结合教材实例了解关于x，y的二元一次方程与直线的关系. 2.掌握直线的一般式方程. 3.了解直线方程的几种形式的关系，能灵活利用直线的几种形式解决问题. 一、直线的一般式方程 探究1　之前学习的直线的四种方程形式分别是什么？观察四个方程式，分析总结共同特点. 提示：点斜式：y－y0＝k（x－x0）. 斜截式：y＝kx＋b. 两点式：＝. 截距式：＋＝1. 都是关于x， y的二元一次方程. 探究2　平面直角坐标系中任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 提示：可以.直线斜率存在时，由点斜式y－y0＝k（x－x0）方程为二元一次方程；斜率不存在时，x－x0＝0也可以认为是y的系数为0的二元一次方程. 探究3　任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？ 提示：对.任意一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0），当B≠0时，方程变形为y＝－x－，表示过点（0，－），斜率为－的直线；当B＝0时，A≠0，方程变形为x＝－，表示过点（－，0），且垂直于x轴的直线. 探究4　直线的一般式方程与其他几种形式的直线方程相比，有什么优点？ 提示：直线的一般式方程与其他的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有不能表示的直线. ★梳理教材 1.定义：关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程　Ax＋By＋C＝0　（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式. 2.系数的几何意义：当B≠0时，－＝k（斜率），－＝b（y轴上的截距）； 当B＝0时，A≠0，－＝a（x轴上的截距），此时斜率不存在. 3.直线与二元一次方程的关系 （1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示. （2）每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线. ★温馨提示　（1）对于直线方程的一般式，有如下约定：①方程中等号的左侧从左向右一般按x，y，常数项的先后顺序排列； ②x的系数为正； ③x，y的系数和常数项一般不出现分数. （2）直线方程Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的系数A，B，C对直线位置的影响： ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）任何一条直线的二元一次方程都能化为其他四种形式.（　✕　） （2）直线的二元一次方程Ax＋By＋C＝0中，若A＝0，则B一定不等于0.（　√　） （3）直线的一般式方程可以表示平面直角坐标系内的任意一条直线.（　√　） （4）对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线.（　✕　） 【典例1】　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： （1）斜率是，且经过点A（5，3）； （2）经过A（－1，5），B（2，－1）两点； （3）在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； （4）经过点B（4，2），且平行于x轴. 解：（1）由点斜式，得直线方程为y－3＝（x－5），即x－y－5＋3＝0. （2）由两点式，得直线方程为＝，即2x＋y－3＝0. （3）由截距式，得直线方程为＋＝1，即x＋3y＋3＝0. （4）由题意，得直线方程为y－2＝0. ★解题感悟 求直线一般式方程的策略 （1）当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；当B≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值.因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程. （2）在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式的方程，然后可以转化为一般式方程. 【练习1】　（1）过点P（－2，3），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（　D　） A.x－y＋1＝0 B.x－y＋1＝0或3x＋2y＝0 C.x－y－5＝0 D.x－y＋5＝0或3x＋2y＝0 （2）过点A（－2，1），且倾斜角的余弦值为－的直线的一般式方程为　2x＋y＋3＝0　. 解析：（1）若直线经过原点，设直线方程为y＝kx（k≠0），因为直线过点P（－2，3），所以3＝－2k，即k＝－，所以直线方程为y＝－x，即3x＋2y＝0；若直线不经过原点，设直线方程为＋＝1（a≠0）.因为直线过点P（－2，3），所以＋＝1，解得a＝－5，所以直线方程为＋＝1，即x－y＋5＝0.故所求直线方程为x－y＋5＝0或3x＋2y＝0. （2）设直线的倾斜角为θ，则θ∈[0，π）， 因为cos θ＝－， 所以sin θ＝＝＝， 所以直线的斜率k＝tan θ＝＝＝－2， 所以直线的方程为y－1＝－2（x＋2）， 所以直线的一般式方程为2x＋y＋3＝0. 二、含参数的一般式方程 【典例2】　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. （1）求证：不论实数a为何值，直线l总经过第一象限； （2）求使直线l不经过第二象限的a的取值范围. 解：（1）证明：直线l的方程可化为5y－3＝5ax－a，即y－＝a（x－），故直线l恒过定点（，）. 又点（，）在第一象限，故直线l总经过第一象限. （2）直线l的方程可化为y＝ax＋，因为直线l不经过第二象限，所以 解得a≥3，即a的取值范围为[3，＋∞）. 【变式探究1】　本典例中若直线不经过第四象限，则a的取值范围是什么？ 解：直线l的方程可化为y＝ax＋，因为直线l不经过第四象限，所以解得0≤a≤3，即a的取值范围为[0，3]. 【变式探究2】　本典例中将直线l的方程改为“x－（a－1）y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？ 解：①当a－1＝0，即a＝1时，直线方程为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求. ②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线不经过第二象限，所以解得 所以a＞1. 综上可知，a的取值范围为[1，＋∞）. ★解题感悟 已知含参数的直线的一般式方程， 求参数的值或取值范围的步骤 【练习2】　设直线l的方程为（a＋1）x＋y－a＋2＝0. （1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的直线方程； （2）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 解：（1）直线l的方程（a＋1）x＋y－a＋2＝0， 可化为y＝（－a－1）x＋a－2. 当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为0， ∴a－2＝0，∴a＝2，此时直线方程为3x＋y＝0； 当直线不过原点时，a≠2，又易知a≠－1，则直线l在x轴和y轴上的截距分别为，a－2，由＝a－2，得a＝0， ∴直线方程为x＋y＋2＝0. 故所求的直线方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. （2）直线l的方程为y＝－（a＋1）x＋a－2，因为直线l不经过第二象限， 则 解得a≤－1. 故所求实数a的取值范围为（－∞，－1]. 三、由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 探究5　已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若B1，B2≠0，则由l1∥l2，l1⊥l2可得什么结论？ 提示：l1∥l2⇒＝且≠， 即A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1. l1⊥l2⇒（－）（－）＝－1， 即A1A2＋B1B2＝0. 探究6　在探究5中，若B1＝0，则由l1∥l2，l1⊥l2可得什么结论？ 提示：l1∥l2⇒B1＝B2＝0且≠， 即B1＝B2＝0且A1C2≠A2C1， l1⊥l2⇒A2＝0，A1≠0. ★梳理教材 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. （1）两直线平行的充要条件是　A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0　（或A1C2－A2C1≠0）； （2）两直线垂直的充要条件是　A1A2＋B1B2＝0　. ★温馨提示　（1）A1B2－A2B1＝0表示斜率相等或都不存在，B1C2－B2C1≠0（或A1C2－A2C1≠0）表示截距不同，排除重合的情况. （2）A1A2＋B1B2＝0既包含斜率之积为－1的垂直，又包含一个斜率为0，一个斜率不存在的垂直. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）两直线l：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2＝A2B1.（　✕　） （2）两直线l1，A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是＝－1.（　✕　） 【典例3】　判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由． (1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0； (2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0； (3)l1：x＝2，l2：x＝4； (4)l1：y＝－3，l2：x＝1. 解：(1)方法一：将两直线方程各化为斜截式：l1：y＝－x＋；l2：y＝－x－， 则k1＝－，b1＝，k2＝－，b2＝－. ∵k1＝k2，且b1≠b2，∴l1∥l2. 方法二：∵3×10－5×6＝0且3×3－6×(－6)≠0，∴l1∥l2. (2)方法一：将两直线方程各化为斜截式： l1：y＝x＋；l2：y＝－2x＋2， 则k1＝，k2＝－2. ∵k1k2＝－1，∴l1⊥l2. 方法二：∵3×2＋(－6)×1＝0，∴l1⊥l2. (3)∵l1：x＝2，l2：x＝4，且两直线在x轴上的截距不相等，∴l1∥l2. (4)l1：y＋3＝0，l2：x－1＝0， ∵0×1＋1×0＝0，∴l1⊥l2. ★解题感悟 　　1.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0. （1）l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0（或A1C2－A2C1≠0）. （2）l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2.与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法 （1）与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0（m≠C）. （2）与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0. 【练习3】　（1）过点P（2，1）且与直线x－2y＋1＝0垂直的直线方程为（　B　） A.2x＋y＋5＝0 B.2x＋y－5＝0 C.x＋2y－5＝0 D.x－2y＋5＝0 （2）已知直线3x－4y＋4＝0与直线ax＋8y＋7＝0平行，则实数a的值为　－6　. ★课堂达标 1.“a＝－3”是“直线x＋ay＋2＝0与直线ax＋（a＋2）y＋1＝0互相垂直”的（　A　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：当直线x＋ay＋2＝0与直线ax＋（a＋2）y＋1＝0互相垂直时， a＋a（a＋2）＝0，得a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－3， 所以当a＝－3时，直线x＋ay＋2＝0与直线ax＋（a＋2）y＋1＝0互相垂直. 而当直线x＋ay＋2＝0与直线ax＋（a＋2）y＋1＝0互相垂直时，a＝0或a＝－3， 所以“a＝－3”是“直线x＋ay＋2＝0与直线ax＋（a＋2）y＋1＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A. 2.过点（1，0）且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是（　A　） A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0 C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0 解析：与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为x－2y＋C＝0（C≠－2），将点（1，0）代入x－2y＋C＝0，解得C＝－1，故所求直线方程为x－2y－1＝0. 3.（多选）已知直线l：Ax＋By＋C＝0，其中A，B不全为0，则下列说法正确的是（　AD　） A.当C＝0时，l过坐标原点 B.当AB＞0时，l的倾斜角为锐角 C.当B＝0，C≠0时，l和x轴平行 D.若直线l过点P（x0，y0），则直线l的方程可化为A（x－x0）＋B（y－y0）＝0 解析：选项A，当C＝0时，是方程Ax＋By＝0的一个解，即直线l过坐标原点，故A正确；选项B，当AB＞0时，直线l：Ax＋By＋C＝0的方程可化为y＝－x－，则直线l的斜率k＝－＜0，倾斜角为钝角，故B错误；选项C，当B＝0，C≠0时，由A，B不全为0，得A≠0，则直线l：Ax＋By＋C＝0的方程可化为x＝－，故直线l和x轴垂直，不平行，故C错误；选项D，直线l过点P（x0，y0），则Ax0＋By0＋C＝0，可得C＝－Ax0－By0，代入直线方程Ax＋By＋C＝0，得Ax＋By－Ax0－By0＝0，即A（x－x0）＋B（y－y0）＝0，故D正确.故选AD. 4.若直线（2t－3）x＋y＋6＝0不经过第一象限，则t的取值范围为　［，＋∞）　. 解析：因为直线方程可化为y＝（3－2t）x－6，由直线不经过第一象限，所以3－2t≤0，解得t≥.故t的取值范围为［，＋∞）. 页 学科网（北京）股份有限公司 $