精品解析：重庆市合川区2025—2026学年度第二学期期末质量检测试题八年级数学

2025—2026学年度第二学期期末质量检测试题 八年级数学 注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．所有答案必须写在答题卡的指定位置，答在本卷或其他位置均不能得分． 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号所对应的方框涂黑． 1. 下列函数是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：正比例函数的定义为：形如（为常数，且）的函数叫做正比例函数； 对各选项逐一分析： 选项A：展开得，是常数项不为的一次函数，不是正比例函数； 选项B：，符合的形式，其中，是正比例函数； 选项C：中的次数为，不是正比例函数； 选项D：不是正比例函数． 2. 化简的结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 3. 用某组数据的相关统计数据画出了如图所示的箱线图，则该组数据的第三四分位数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图的定义，箱体的右边界表示第三四分位数，直接读图即可． 【详解】解：由箱线图的性质可知：箱体左侧边界表示第一四分位数，中间竖线表示中位数，右侧边界表示第三四分位数． 观察图形可知，箱体右侧边界对应的数值为． 该组数据的第三四分位数为． 4. 园林队在公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积与工作时间之间的函数关系如图所示．休息后，园林队每小时完成的绿化面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从图象中获取休息后的工作时间和对应的绿化面积增量，进而求解即可． 【详解】解：由图象可知， 园林队在第结束休息，此时绿化面积为， 在第结束工作，此时绿化面积为， 休息后工作时间为，休息后新增的绿化面积为， 休息后园林队每小时绿化的面积为． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题思路是先根据二次根式的乘法法则计算乘法部分，再化简二次根式，最后合并同类二次根式得到结果． 【详解】解：． 6. 一个等边三角形的边长为6，则该三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等边三角形三线合一的性质，结合勾股定理求出三角形的高，再代入三角形面积公式即可计算出结果． 【详解】解：过等边三角形的一个顶点作对边的高，记高为， ∵等边三角形边长为，等边三角形三线合一， ∴高将底边平分，分割后每条线段长为， 由勾股定理得： ， ∴该三角形的面积． 7. 已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用一次函数的性质，先判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到与的大小关系． 【详解】解：∵一次函数解析式为，其中一次项系数， ∴随的增大而增大， ∵点，在该函数图象上，且， ∴． 8. 如图，平行四边形中，，分别是，的中点，，为，上的动点，且．则下列为定值的是（ ） A. 四边形的面积 B. 四边形的周长 C. 的度数 D. 线段的长度 【答案】A 【解析】 【分析】连接，利用平行四边形的判定与性质证明，将四边形分割为和，根据同底等高判断面积是否为定值． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， 且，， ，分别为，的中点， ，， 且， 四边形是平行四边形， ， ， 点到的距离等于平行线与间的距离，为定值，点到的距离等于平行线与间的距离，为定值， ， 四边形的面积为定值， 当点，移动时，线段，，的长度及的度数均发生变化， 故选项B，C，D不符合题意，选项A符合题意． 9. 如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于，两点，若过原点的直线将分割为面积相等的两个三角形，则直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线与坐标轴交点的坐标，再求出中点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：一次函数， 令，得，； 令，得，； 直线过原点且将分割为面积相等的两个三角形， 直线必经过线段的中点． 设的中点为，则点的坐标为，即． 设直线的解析式为． 将代入，得，解得． 直线的解析式为． 10. 如图，正方形的边长为4，为边的中点，连接，以为边构造等腰，且．连接，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，利用“一线三垂直”模型证明，求出和的长，最后利用勾股定理计算的长度 ． 【详解】解：过点作交的延长线于点 四边形是正方形 为边的中点 又在中， 在和中 在中，由勾股定理得：．  二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 某城市春、夏、秋、冬四季的平均气温（单位）分别为：，，，，则该城市四季的平均气温为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平均数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得：平均气温为． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 13. 如图，在中，，，，，则的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先在中利用勾股定理求出的长，再根据线段的和差关系求出的长，最后在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵， ∴和均为直角三角形， 在中，，， 由勾股定理得：， 由图可知点在线段上， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：． 14. 若关于的函数（）的图象经过第二、三、四象限，则______0．（用“<”“>”“=”填空） 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，确定和的符号，即可判断与的大小关系． 【详解】解：一次函数（）的图象经过第二、三、四象限， ，， ． 15. 如图，菱形的边长为3，，为边上一点，连接，将沿直线翻折至菱形所在平面内．若点的对应点落在的延长线上，则的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】 首先根据菱形的性质和平行线的性质求出的度数，再根据折叠的性质得到，，从而判定为等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，最后根据线段的和差关系求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∵点落在的延长线上， ∴点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得： ， ∴． 16. 已知两位数，，其中，，，互不相等，且．则的最大值为_________；若，且，则满足条件的所有的值之和为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先将两位数表示为代数式，结合已知条件将转化为关于的一次式，根据一次函数的性质，要使最大，需最大，结合数字范围和互不相等的条件确定最大，计算得最大值；第二问设，根据已知条件列一元二次方程，求出正根得到和的值，再根据和数位的范围确定的取值，最后结合互不相等条件找出所有符合的，求和得到结果． 【详解】解：由题意可知，，，则， ∵， ∴， 代入得， 要使最大，需使最大，为十位数字，故，，且互不相等， 若，则，重复，不符合条件， 若，则，存在不重复且与不重合的，符合条件， 因此的最大值为． 设，由得，结合， 得，整理得， 解得或， ∵，故，即，， ∵，为正整数，，满足的解只有，，，为非负整数，，且四个数互不相等， 因此所有符合条件的为， 对应的分别为，所有的和为． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 为了解某地的空气质量情况，现从该地今年4、5月份中各随机抽取了10天的空气质量指数（AQI）进行整理、描述和分析（设空气质量指数为，均为整数，将其分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息及绘制的统计图表． 抽取4月份空气质量指数在C组的数据是：66，68，71，71． 抽取5月份10天的空气质量指数是：36，56，60，61，66，68，77，77，78，81． 抽取4、5月份的空气质量指数统计表 抽取4月份的空气质量指数统计图 月份 4月份 5月份 平均数 66 66 中位数 67 众数 71 根据以上信息，解答下列问题： （1）图表中_________，_________，_________； （2）请你利用已学知识估计该地4、5月份（均以30天计算）的空气质量指数在A组的天数一共是多少？ 【答案】（1）69.5；77；30 （2）9天 【解析】 【分析】（1）按照中位数、众数的方法可求得a、b的值；1减去A、B、C三组所占的百分比，求得D组的百分比，即可求得m的值； （2）根据样本估计总体的思想计算即可． 【小问1详解】 解：四月份A组的数据有（个），B组数据有（个），抽取4月份空气质量指数在C组的数据是：66，68，71，71，中位数为C组68、71两个数据的平均数，则； 抽取5月份10天的空气质量指数中，77出现了两次，出现的次数最多，故； ，则； 【小问2详解】 解：（天）， 答：估计该地4、5月份（均以30天计算）的空气质量指数在A组的天数一共是9天． 19. 如图，在四边形中，为对角线，，，，且． （1）求的长度； （2）求的长度． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴由勾股定理得； 【小问2详解】 解：设， ∵ ， ， （负值舍去）， ∴． 20. 一个一次函数的图象经过点，． （1）求这个一次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中画出该函数的图象； （2）判断点是否在这个一次函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）一次函数的解析式为， （2）点不在这个一次函数的图象上． 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法，设出一次函数一般式，代入两个已知点坐标得到二元一次方程组，解方程组得到系数即可求出解析式，再通过两点法画出函数图象； （2）利用一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将点的横坐标代入解析式计算，比较计算得到的纵坐标和点的纵坐标，即可判断点是否在函数图象上． 【小问1详解】 解：设这个一次函数的解析式为． 将，代入解析式， 得，解得． 因此一次函数的解析式为， 图象略； 【小问2详解】 解：将代入 得． ． 点的坐标不满足该函数解析式． 点不在这个一次函数的图象上． 21. 书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，如纸，其长与宽分别为和，再如纸，其长与宽分别为和． （1）分别计算纸、纸的长与宽的比值，并说明它们的比值有什么关系；（结果保留小数点后位） （2）矩形纸片的长与宽的比值为，，分别为，的中点，将纸片沿直线对折，如图1，得到矩形的长与宽的比值仍为．若将矩形按如图2所示的方式折叠，请通过计算说明矩形的长与宽之比为． 【答案】（1）纸、纸的长与宽的比值均为；比值相等 （2）证明：如图，设折痕与的交点为，设，则， 由折叠知，四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，， 由折叠知四边形是正方形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即矩形的长与宽之比为． 【解析】 【分析】（1）求出比值，根据比值即可判断； （2）设，则，利用折叠的性质可得的长，再求比值即可． 【小问1详解】 解：纸的长与宽的比值为， 纸的长与宽的比值， 表明它们的比值相等； 【小问2详解】 略 22. 某商场购进甲、乙两种型号的护眼台灯进行销售，其进价与售价如下表所示． 型号 进价/元 售价/元 甲 乙 为了满足市场需求，第三季度该商场计划用不超过6400元的资金采购这两种型号的台灯共100台．若所采购的台灯能全部售出，请给出利润最大的进货方案，并求出最大利润是多少． 【答案】购进甲种型号护眼台灯30台，乙种型号护眼台灯70台时利润最大，最大利润为1280元． 【解析】 【分析】设购进甲种台灯的数量，结合总数量表示出乙种台灯的数量，根据总资金不超过6400元列不等式得到自变量的取值范围，再根据单件利润得到总利润的一次函数表达式，利用一次函数的增减性求出最大利润和对应进货方案． 【详解】解：设购进甲种型号护眼台灯台，则购进乙种型号护眼台灯台，总利润为元． 根据题意可得不等式： 展开整理得： 解得： 结合题意可知，且为正整数， 因此． 甲每台利润为元，乙每台利润为元， 因此总利润： 因为，所以随的增大而减小，因此当取最小值时，取得最大值． 将代入得最大利润：（元） 此时乙种台灯数量为（台） 答：购进甲种型号护眼台灯30台，乙种型号护眼台灯70台时利润最大，最大利润为1280元． 23. 如图，矩形中，为对角线．为延长线上一点，连接，为的中点，连接，，． （1）若，，求的长度； （2）若，求证：． 【答案】（1）5 （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴垂直平分线段， ∴． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质、勾股定理及直角三角形斜边上的中线的性质即可求解； （2）证明得，利用得，利用线段垂直平分线的判定定理即可证明． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得， ∵为的中点，， ∴． 【小问2详解】 证明：略． 24. 如图，已知一次函数（）的图象分别与轴，轴交于点，． （1）如图1，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，，求直线的表达式； （2）如图2，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，求的面积； （3）若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）50 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）过点D作轴于点E，证明，求得点D的坐标，再用待定系数法即可求解； （2）过点C作轴于点F，证明，即可求得面积的值； （3）过点D作轴于点G，证明三角形全等易求得点D的坐标，求得直线的解析式，与直线的交点即为点P，延长交直线于点H，连接，则点H也满足题意． 【小问1详解】 解：如图，过点D作轴于点E， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 当时，， 令，则；令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把B、D两点坐标分别代入得， 解得， 即直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点C作轴于点F， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 对于，令，则； 即， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点D作轴于点G， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 当时，， 令，则；令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把B、D两点坐标分别代入得， 解得， 即直线的解析式为； 令，解得， ∴， ∴，此时； 延长交直线于点H，连接， 设直线的解析式为， 把A、D两点坐标分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点H满足条件， 综上，点P的坐标为或． 25. 如图，中，，过点作，垂足为，的延长线与交于点．过点作，交于点，过点作交的延长线于点． （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，求证：． 【答案】（1） （2）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴，， 设交于点P， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质及勾股定理求得，再利用含30度角直角三角形及勾股定理求得的长度； （2）连接，易得，进而得，证明即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末质量检测试题 八年级数学 注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．所有答案必须写在答题卡的指定位置，答在本卷或其他位置均不能得分． 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号所对应的方框涂黑． 1. 下列函数是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 化简的结果正确的是( ) A. B. C. D. 3. 用某组数据的相关统计数据画出了如图所示的箱线图，则该组数据的第三四分位数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 4. 园林队在公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积与工作时间之间的函数关系如图所示．休息后，园林队每小时完成的绿化面积为（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 一个等边三角形的边长为6，则该三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 8. 如图，平行四边形中，，分别是，的中点，，为，上的动点，且．则下列为定值的是（ ） A. 四边形的面积 B. 四边形的周长 C. 的度数 D. 线段的长度 9. 如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于，两点，若过原点的直线将分割为面积相等的两个三角形，则直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为4，为边的中点，连接，以为边构造等腰，且．连接，则的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 某城市春、夏、秋、冬四季的平均气温（单位）分别为：，，，，则该城市四季的平均气温为_________． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 13. 如图，在中，，，，，则的长度为_________． 14. 若关于的函数（）的图象经过第二、三、四象限，则______0．（用“<”“>”“=”填空） 15. 如图，菱形的边长为3，，为边上一点，连接，将沿直线翻折至菱形所在平面内．若点的对应点落在的延长线上，则的长度为_________． 16. 已知两位数，，其中，，，互不相等，且．则的最大值为_________；若，且，则满足条件的所有的值之和为_________． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 为了解某地的空气质量情况，现从该地今年4、5月份中各随机抽取了10天的空气质量指数（AQI）进行整理、描述和分析（设空气质量指数为，均为整数，将其分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息及绘制的统计图表． 抽取4月份空气质量指数在C组的数据是：66，68，71，71． 抽取5月份10天的空气质量指数是：36，56，60，61，66，68，77，77，78，81． 抽取4、5月份的空气质量指数统计表 抽取4月份的空气质量指数统计图 月份 4月份 5月份 平均数 66 66 中位数 67 众数 71 根据以上信息，解答下列问题： （1）图表中_________，_________，_________； （2）请你利用已学知识估计该地4、5月份（均以30天计算）的空气质量指数在A组的天数一共是多少？ 19. 如图，在四边形中，为对角线，，，，且． （1）求的长度； （2）求的长度． 20. 一个一次函数的图象经过点，． （1）求这个一次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中画出该函数的图象； （2）判断点是否在这个一次函数的图象上，并说明理由． 21. 书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，如纸，其长与宽分别为和，再如纸，其长与宽分别为和． （1）分别计算纸、纸的长与宽的比值，并说明它们的比值有什么关系；（结果保留小数点后位） （2）矩形纸片的长与宽的比值为，，分别为，的中点，将纸片沿直线对折，如图1，得到矩形的长与宽的比值仍为．若将矩形按如图2所示的方式折叠，请通过计算说明矩形的长与宽之比为． 22. 某商场购进甲、乙两种型号的护眼台灯进行销售，其进价与售价如下表所示． 型号 进价/元 售价/元 甲 乙 为了满足市场需求，第三季度该商场计划用不超过6400元的资金采购这两种型号的台灯共100台．若所采购的台灯能全部售出，请给出利润最大的进货方案，并求出最大利润是多少． 23. 如图，矩形中，为对角线．为延长线上一点，连接，为的中点，连接，，． （1）若，，求的长度； （2）若，求证：． 24. 如图，已知一次函数（）的图象分别与轴，轴交于点，． （1）如图1，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，，求直线的表达式； （2）如图2，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，求的面积； （3）若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标． 25. 如图，中，，过点作，垂足为，的延长线与交于点．过点作，交于点，过点作交的延长线于点． （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $