精品解析：重庆市合川区2024-2025学年下学期八年级数学期末试题

2024-2025学年重庆市合川区八年级下册数学期末试题 2024-2025学年度第二学期期末质量检测试题 八年级数学 注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．所有答案必须写在答题卡的指定位置，答在本卷或其他位置均不能得分． 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号所对应的方框涂黑． 1. 我区今年四月份某五天的空气质量指数为：28，31，35，36，37．这组数据的中位数为（ ） A. 31 B. 35 C. 36 D. 37 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数，若数据个数为奇数，则中位数为中间的那个数；若为偶数，则为中间两个数的平均数． 【详解】解：题目中给出的数据为28，31，35，36，37，共5个数据，已按从小到大排列， 因为数据个数为奇数，中位数为第3个数，即35． 故选：B． 2. 化简为最简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式化简，首先计算根号内的分数，然后化简二次根式为最简形式． 【详解】解：， 故选：C． 3. 甲、乙、丙三人分别进行相同次数的射击训练，他们的平均分均为9．6，且方差，，，则本次训练发挥较稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定，比较甲、乙、丙三人的方差即可得出结论． 【详解】解：∵甲、乙、丙三人的平均分均为9．6，且方差，，， ∴方差最小的是甲， ∴成绩最稳定的是甲． 故选：A． 4. 若平行四边形中两个内角的度数比为1：3，则其中较小的内角为（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】根据平行四边形对角相等，邻角互补性质，可设：这两个角的度数分别为xo和3xo，则x+3x=180,解方程可得答案. 【详解】由已知可设这两个角的度数分别为xo和3xo， 依题意得：x+3x=180, 解得x=45. 所以，较小的角是45o. 故选A 【点睛】本题考核知识点：平行四边形性质.解题关键点：由平行四边形邻角互补得到x+3x=180，此题比较简单. 5. 下列命题中，其逆命题不成立是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查逆命题的真假判断，平行线性质定理，垂直平分线判定定理，等腰三角形性质等，需先写出各命题的逆命题，再判断其是否成立． 【详解】解：A. 原命题：“同位角相等，两直线平行”；逆命题：“两直线平行，同位角相等” ．根据平行线性质定理，逆命题成立，故不符合题意； B. 原命题：“两个实数都是正数，则它们的积是正数”；逆命题：“若两实数的积是正数，则它们都是正数” ．反例：两负数相乘积也为正数（如和），逆命题不成立，符合题意； C. 原命题：“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”；逆命题：“到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上” ．根据垂直平分线判定定理，逆命题成立，故不符合题意； D. 原命题：“三角形中有两角相等，则它是等腰三角形”；逆命题：“等腰三角形有两角相等” ．根据等腰三角形性质，逆命题成立，故不符合题意． 故选：B． 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先将各二次根式化简，再合并同类二次根式． 【详解】解：， ， ∴ ． 故选：D． 7. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 5，6，7 B. ，2， C. 1，， D. 6，8，9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足最长边的平方等于另两边的平方和，则该三角形为直角三角形，需逐一验证各选项是否符合条件． 【详解】A 、5，6，7中最长边为7，计算得：，而，，故不构成直角三角形； B 、，2，中最长边为，计算得：，而，，故不构成直角三角形； C 、1，，中最长边为，计算得：，而，，故能构成直角三角形； D 、6，8，9中最长边为9，计算得：，而，，故不构成直角三角形． 故选：C． 8. 如图，直线和相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，先利用直线确定点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线都在直线y=kx+4的下方，于是可得到不等式的解集． 【详解】解：把代入得， 解得， 则点坐标为， 根据图象可知，当时，， 即不等式的解集为． 故选：C． 9. 如图，在菱形中，E，F分别为边，的中点，交于点G，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，延长、相交于点H，先证明得，然后根据菱形的性质及推出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质得，则，再由，根据菱形的性质和等腰三角形的性质求出，则，进而可得答案． 【详解】解：如图，延长、相交于点H， ∵E是边的中点， ∴， ∵为菱形， ∴，即， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴，即E是的中点， ∵，， ∴， ∴， ∴为直角斜边上的中线， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴，， ∵E，F分别为边，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10. 在平面直角坐标系中，过点的直线经过第一、二、四象限．若点，，都在该直线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．根据题意可得y随x的增大而减小，直线与y轴交于正半轴，再逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵过点的直线经过第一、二、四象限， ∴y随x的增大而减小，直线与y轴交于正半轴， ∴当时，，故B选项不符合题意； ∵点，都在该直线上，且， ∴，故A选项不符合题意； ∵在该直线上，且， ∴，故D选项符合题意； 设该函数解析式为，且， 把点代入得：， ∴， ∴，即， ∴该函数解析式为， ∵点，都在该直线上， ∴，， ∴，故C选项不符合题意； 故选：D 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可； 【详解】解：由题可知， 解得： 故答案为： ． 12. 如图，在中，D，E分别为边，的中点，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．根据三角形的中位线定理，可得，再根据平行线的性质，即得答案． 【详解】解：D，E分别为边，的中点， ， ． 13. 如图，在矩形中，O为对角线的中点，连接．若，则的长度为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵矩形中，O为对角线的中点， ， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：或． 14. 如图，在矩形中，O为对角线的中点，P为矩形所在平面内一点，且，连接，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，证明是直角三角形是关键．连接，设相相交于点M，证明是直角三角形，根据矩形的性质、勾股定理、直角三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：如图，连接，设相相交于点M， ∵四边形是矩形，O为对角线的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴ 故答案为： 15. 在平面直角坐标系中，对于函数与，当时，对任意的x，函数的值均大于函数的值且，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质，通过直线的交点确定参数的取值等知识点，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质． 先确定临界交点的坐标，再结合图象，根据题目要求列出不等式，求不等式的公共解集即可． 【详解】解：当时，， 当时，代入得， ， 解得， 结合图象分析如下： 当时，对任意的x，函数的值均大于函数的值，可得， 解得； 当时，，可得，解得， 综上，m的值为， 故答案为：． 16. 一个各位数字均不为零的四位数，若，则称M为“麒麟数”．最小的“麒麟数”______；将“麒麟数”M的千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，，若与均为整数，则满足条件的“麒麟数”M的最大值为______． 【答案】 ①. 1177 ②. 6622 【解析】 【分析】（1）根据“麒麟数”的定义，若一个四位数最小，则千位数必须为1，再根据这一条件，由此确定其他位数的数字即可． （2）先由“麒麟数”的定义，将和表示出来，再计算和，根据，转化a与c，b与d之间的关系，再根据和化简和，再根据倍数的运算由3的倍数和7的倍数代入验证即可． 【详解】（1）根据“麒麟数”的定义， 各位数字均不为零的四位数，且， 要使M最小，需千位数最小为1，即， 此时，可得， 百位数最小为1，即， 此时，可得， 所以最小的“麒麟数”． （2）已知， ， 所以， 因为， 所以，， 则 ， 所以， ， 将，代入上式， 则有 ， 所以 ， 因为与均为整数， 所以是3的倍数，是7的倍数， 因为a，b，c，d的取值为1到9之间的数字，且， 所以要使“麒麟数”M最大，则千位数a应尽量最大， 则当时，， 又因为是3的倍数， 所以令时，可得， 所以， 此时不是7的倍数， 令时，可得， 所以， 此时不是7的倍数， 令时，可得， 所以， 此时不是7的倍数， 所以a的取值不可以是7； 当时，， 又因为是3的倍数， 所以令时，可得， 所以， 此时不是7的倍数， 令时，可得，不满足题意， 令时，可得， 所以， 此时是7的倍数， 此时满足题意的，，，， 所以满足条件的“麒麟数”M的最大值为6622． 故答案为：1177；6622． 【点睛】本题考查了根据“麒麟数”的条件构造和分析数字，代数式的运算，整除性质的分析，以及最值的求解．需正确表示出和的表达式，且分析出a与b满足整除的条件，正确理解根据数的大小比较原则，即高位数越大，数越大，高位数越小，数越小的原则是解决本题的关键． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题均为8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 某合作社利用网络平台销售当地的一种农副产品．为了了解该农副产品在一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了20天的销售额（单位：千元）作为样本，并根据样本数据绘制了如下的条形统计图： （1）该组样本数据的众数是______，中位数是______； （2）根据该样本数据数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额． 【答案】（1）24， （2）千元 【解析】 【分析】本题主要考查了数据的众数，中位数，加权平均数等知识点，解题的关键是熟练掌握以上定义及计算公式． （1）利用众数和中位数的定义进行求解即可； （2）利用加权平均数的计算公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵该组数据中出现的次数最多， ∴该组样本数据的众数为24； 该组数据中的中位数为排序后的第10位和第11位的平均数， ∴该组数据中的中位数为； 故答案为：24，； 【小问2详解】 解：该组数据的加权平均数为（千元）， 所以，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额为千元． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）先根据二次根式的性质将每个二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可； （2）先利用完全平方公式、平方差公式将原式展开并化简，再进行加减运算即可； 掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，一次函数的图象经过，两点，与x轴交于点C． （1）求该一次函数的表达式及点C的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，求直线与坐标轴交点坐标，求函数图象中三角形的面积等内容，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可，利用函数图象与坐标轴的交点特征求交点坐标即可； （2）根据给出点的坐标，确定三角形的高和底，利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：将，，代入得， ， 解得， ∴该一次函数的表达式为， 当时，即， 解得， ∴点坐标为； 【小问2详解】 解： ∴的面积为1． 20. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）20 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）对原式根据完全平方公式进行因式分解，然后代入求值即可； （2）对原式根据平方差公式进行因式分解，然后代入求值即可． 【小问1详解】 解： 将，代入上式得， 原式； 【小问2详解】 解： 将，代入上式得， 原式． 21. 如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． （1）求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ （2）若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）由题意得，米，米，，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由题意得，米，米，据此利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，米，米，， ∴米， 答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为米； 【小问2详解】 解：由题意得，米，米， ∴米， ∴米， 答：底端A在水平方向滑动了米． 22. 已知点，点为第一象限的动点，且．设的面积为S． （1）请直接写出S关于x的函数表达式并写出x的取值范围； （2）当时，求点P的坐标； （3）在平面直角坐标系中画出函数S的图象． 【答案】（1），x的取值范围是：． （2） （3）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象、三角形的面积，解答此题的关键是理解直角坐标系中点的坐标的意义，难点是画函数的图象时，注意变量的取值范围是，这也是解答此题的易错点之一． （1）首先根据点的坐标确定，点P到x的距离为，再根据三角形的面积公式即可求出S关于x的函数解析式，然后根据点P在第一象限可得，，，据此可求出x的取值范围； （2）利用（1）中所求的函数解析式，令从而求出x，进而再求出y即可求出点P的坐标； （3）根据（1）中所求的函数表达式和自变量x的取值范围即可画出函数的图象． 小问1详解】 解：∵点A的坐标为， ∴， ∵点P的坐标为， 则点P到x轴的距离为y，即：点P到的距离为y， 又∵，则， ∴点P到OA的距离为：， ∴， 整理得：， ∵点P在第一象限， ∴，， ∴，解得：， ∴自变量x的取值范围是：， 故得：S关于x的函数解析式为：，x的取值范围是：． 【小问2详解】 对于，当时，得：， 解得：， 当时，， ∴点P的坐标为． 【小问3详解】 对于，当时，，当时，， 过点，作线段即为S关于x的函数图象（端点为空心点）． 23. 如图，在正方形中，E是边上任意一点，于点F，于点G． （1）如图1，求证：； （2）如图2，E为的中点时，连接，若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）证明即可． （2）利用直角三角形面积公式，勾股定理，正方形的性质解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的面积公式，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵正方形，, ∴， ∵E为的中点 ∴， ∴， ∴， 根据（1）得， ∴， 根据， 得， ∴． 24. 学校计划购进甲、乙两种规格的花架用于放置绿植．调查发现，乙种花架的单价是甲种花架单价的倍，用1140元购买甲种花架的数量比用1140元购买乙种花架的数量多5个． （1）求甲、乙两种花架的单价分别是多少元？ （2）学校计划购进这两种花架数量共30个，要求乙种花架的数量不少于甲种花架的数量，且甲种花架的数量不少于10个．设购买这批花架所需的费用为y元，甲种花架购买了x个，求y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，费用y最小，最小费用是多少？ 【答案】（1）甲种花架的价格为76元，则乙种花架的价格为114元 （2）当时，y取得最小值，且最小费用为元 【解析】 【分析】（1）设甲种花架的价格为x元，则乙种花架的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲种花架购买了x个，则购买乙种花架数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 小问1详解】 解：设甲种花架的价格为x元，则乙种花架的价格为元，根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， 答：甲种花架的价格为76元，则乙种花架的价格为114元． 【小问2详解】 解：根据题意，甲种花架购买了x个，则购买乙种花架数量为个，且， 解得， 根据题意，得， 由，得随x的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为， 故当时，取得最小值，且最小费用为元． 25. 如图，在平行四边形中，，交BC于点E，且，F为的中点，连接交于点G． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接并延长交于点H，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，垂直的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据等腰三角形的判定和性质以及垂直的定义，得出相等的角，进而得出，最后可得结论； （2）根据（1）得出的结论，得出为等腰直角三角形和为等腰直角三角形，假设，利用勾股定理表示出相关的边长，最后进行比较可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴为等腰三角形， ∵F为的中点， ∴垂直平分线段， ， ∵， ， ， ， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 由（1）得， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， 假设， 由勾股定理得， 由（1）得垂直平分线段， ， ， ∴， ， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年重庆市合川区八年级下册数学期末试题 2024-2025学年度第二学期期末质量检测试题 八年级数学 注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．所有答案必须写在答题卡的指定位置，答在本卷或其他位置均不能得分． 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号所对应的方框涂黑． 1. 我区今年四月份某五天空气质量指数为：28，31，35，36，37．这组数据的中位数为（ ） A. 31 B. 35 C. 36 D. 37 2. 化简为最简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙三人分别进行相同次数的射击训练，他们的平均分均为9．6，且方差，，，则本次训练发挥较稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 不确定 4. 若平行四边形中两个内角的度数比为1：3，则其中较小的内角为（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 5. 下列命题中，其逆命题不成立的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 6. 计算的结果是（ ） A B. C. D. 7. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 5，6，7 B. ，2， C. 1，， D. 6，8，9 8. 如图，直线和相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，E，F分别为边，中点，交于点G，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，过点直线经过第一、二、四象限．若点，，都在该直线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是________． 12. 如图，在中，D，E分别为边，的中点，若，则的度数为______． 13. 如图，在矩形中，O为对角线的中点，连接．若，则的长度为______． 14. 如图，在矩形中，O为对角线的中点，P为矩形所在平面内一点，且，连接，若，则的长为______． 15. 在平面直角坐标系中，对于函数与，当时，对任意的x，函数的值均大于函数的值且，则m的值为______． 16. 一个各位数字均不为零的四位数，若，则称M为“麒麟数”．最小的“麒麟数”______；将“麒麟数”M的千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，，若与均为整数，则满足条件的“麒麟数”M的最大值为______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题均为8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 某合作社利用网络平台销售当地的一种农副产品．为了了解该农副产品在一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了20天的销售额（单位：千元）作为样本，并根据样本数据绘制了如下的条形统计图： （1）该组样本数据的众数是______，中位数是______； （2）根据该样本数据数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额． 18. 计算： （1）； （2）． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，一次函数的图象经过，两点，与x轴交于点C． （1）求该一次函数的表达式及点C的坐标； （2）求的面积． 20. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 21. 如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． （1）求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ （2）若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 22. 已知点，点为第一象限的动点，且．设的面积为S． （1）请直接写出S关于x的函数表达式并写出x的取值范围； （2）当时，求点P的坐标； （3）在平面直角坐标系中画出函数S的图象． 23. 如图，在正方形中，E是边上任意一点，于点F，于点G． （1）如图1，求证：； （2）如图2，E为的中点时，连接，若，求的长度． 24. 学校计划购进甲、乙两种规格的花架用于放置绿植．调查发现，乙种花架的单价是甲种花架单价的倍，用1140元购买甲种花架的数量比用1140元购买乙种花架的数量多5个． （1）求甲、乙两种花架的单价分别是多少元？ （2）学校计划购进这两种花架数量共30个，要求乙种花架的数量不少于甲种花架的数量，且甲种花架的数量不少于10个．设购买这批花架所需的费用为y元，甲种花架购买了x个，求y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，费用y最小，最小费用是多少？ 25. 如图，在平行四边形中，，交BC于点E，且，F为的中点，连接交于点G． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接并延长交于点H，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$