精品解析：广东深圳市盐田高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

2025-2026学年第二学期期末考试 盐田高级中学高二数学试题卷 命题人：郑胜芳 审题人：苗春玉 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内，每小题5分，共40分） 1. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数的计算公式即可求解. 【详解】样本数据的平均数为. 故选：C. 2. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 3. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由幂函数的性质可知，当时，函数在上单调递增； 若函数在上单调递增，则，不能推出. 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 4. 若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数在上单调递增的要求：各分段分别单调递增、分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解. 【详解】若为上的单调递增函数，需同时满足以下条件： 当时，指数函数单调递增，因此； 当时，一次函数单调递增， 因此斜率，解得； 在分段点处，左端函数值不大于右端函数值， 即，整理得，解得； 取三个不等式解集的交集，可得，即的取值范围为. 5. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断. 【详解】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 6. 在等差数列中， ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列下标和性质，代入条件化简求出，再将用通项展开化简得，代入即可算出结果． 【详解】设数列的公差为， 因为是等差数列，所以， 由 ，可得 ，解得， 所以． 7. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件，把复杂不等式转化为简单函数，求导，利用导数分析单调性和极值，进而求出的取值范围． 【详解】已知函数对恒成立， 则， 令，求导得， 单调递增， ，由单调性得，即， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得极大值：， 要使恒成立，只需满足， 的取值范围是． 8. 设分别是椭圆C：的左、右焦点，圆与椭圆C在第一象限内的交点为，延长与椭圆C交于点，若，则椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆过点知，设，根据椭圆定义得，；在直角三角形中应用勾股定理可解得与的关系，再在直角三角形中利用勾股定理建立与的方程，从而求出离心率. 【详解】如图，连接， 线段是圆O的直径，所以， 设，所以， 在直角三角形中，，整理得， 在直角三角形中，， ，得，即． 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分） 9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极值点 B. 是 的极大值点 C. 的单调递减区间是 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由导函数图象可得单调性，据此可判断各选项正误. 【详解】观察导函数的图象，当或时，，当且仅当时取等号， 当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减. 对于AB，是的极大值点，不是的极值点，故A错误，B正确； 对于C，如图可得的单调递减区间是 ，故C正确； 对于D，因函数在上单调递增，则，故D错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在单调递减 C. 的图像关于直线对称 D. 有最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域判断A，应用对数及二次函数复合的单调性及最值判断B,D，根据二次函数的对称性判断复合函数的对称性判断C. 【详解】，解得， 即的定义域为，A选项正确． ，令，则． 二次函数的图象的对称轴为直线， 又的定义域为的图象关于直线对称．C选项正确． 由复合函数单调性法则知，在上单调递增，在上单调递减，B选项错误． 当时，有最大值，，D选项正确． 11. 在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为2的“刍童”，其中，则（ ） A. 该“刍童”的表面积为 B. 该“刍童”中平面 C. 该“刍童”外接球的球心到平面的距离为 D. 该“刍童”侧棱与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】如图，由题设建立空间直角坐标系，对于A，由棱台表面积计算公式结合题设可得答案；对于B，由与不垂直可判断选项正误；对于C，设外接球球心为，然后由可判断选项正误；对于D，由题设结合空间向量知识可判断选项正误. 【详解】设上下两底面的中心分别为，的中点为，的中点为， 由题意面，设分别为的中点，则， 而面，所以，所以两两垂直， 所以以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示： 对于A，因为， 过点作于点，则， ，所以， 同理过点作于点，则， ，所以， 所以侧面面积之和为， 而上下底面之和为， 所以该“刍童”的表面积为，故A正确； 对于B，由题意知四边形为矩形，， ，但，这表明了与不垂直， 所以不垂直平面（否则由线面垂直的性质得，导出矛盾），故B错误； 对于C，由对称性可知该“刍童”外接球的球心在直线上，不妨设它为， 而，所以， 由，即得，， 解得，所以该“刍童”外接球的球心到平面的距离为，故C正确； 对于D，因为， 所以， 又平面，故取平面的法向量为， 不妨设该“刍童”侧棱与平面所成角为， 则该“刍童”侧棱与平面所成角的正弦值为，故D正确． 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知命题 “”，则的否定为______． 【答案】 【解析】 【详解】由命题否定的性质得. 13. 已知 ，则函数的解析式为_________. 【答案】， 【解析】 【分析】使用换元法求解即可，设，那么，再代入即可求得函数的解析式. 【详解】设，那么，则 ， 所以，. 14. 设是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足. （1）函数的对称中心为______________； （2）现已知当直线和的图象交于、、三点时，的图象在点、点处的切线总平行，则过点可作的___________条切线. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）解方程求得，求出的值，即可得出函数的对称中心坐标； （2）分析出函数的对称中心为，可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出函数的解析式，设出切点坐标，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出关于的方程，解方程即可得出结论. 【详解】（1），则，， 由，可得，且， 故函数的对称中心为； （2）的图象在点、点处的切线总平行， 所以，点、关于的对称中心对称，故点为函数的对称中心， 又因为直线恒过定点， 所以，函数的对称中心为，即点， 因为，则，， 所以，，解得，即，则. 所以，函数在处的切线方程为， 即， 将点代入切线方程得，整理得， 即，解得或. 故过点的函数的图象的切线有条. 故答案为：（1）；（2）. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表： 性别 足球 合计 喜欢 不喜欢 男生 30 20 50 女生 10 20 30 合计 40 40 80 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？ （2）现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为，求随机变量的分布列和期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）喜欢足球与性别之间有关联 （2）分布列： 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据题意，由的公式代入计算，即可求解； （2）根据题意，由超几何的概率计算公式，代入计算，即可得到分布列，从而得到期望. 【小问1详解】 零假设为：喜欢足球与性别之间无关联. 根据列联表，由得， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为喜欢足球与性别之间有关联. 【小问2详解】 在分层抽样中，喜欢足球的男生有6人，女生有2人，则的可能取值为 且， 则的分布列为 1 2 3 则 16. 如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，． （1）求证：平面ABC； （2）若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）由题可知，，． 在中，， 所以， 在三棱柱中，所以， 因为平面平面 且平面平面， 所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得，进而利用面面垂直的性质可证结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和直线的一个方向向量，利用向量法可求得与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为，所以 ，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意，得，， ， ，且D为的中点，即 ， 则 ， ， ， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以 ， 设与平面所成角为 ，则， 所以与平面所成角的正弦值. 17. 记数列的前项和为，已知，． （1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和； （3）求的最大值． 【答案】（1）当且时，由已知 ，得 . 两式相减得   ， 整理得 ， 因为时，两边同除以得 ， 又，故是首项为2、公差为2的等差数列；其通项公式为. （2） （3）最大值为 【解析】 【分析】(1)利用与的递推关系证明为等差数列并求通项； (2)再用裂项相消法求的前项和； (3)借助于基本不等式求目标分式的最大值. 【小问1详解】 证明略；因为是首项为2、公差为2的等差数列，则其通项公式为 ， 【小问2详解】 由（1）得 ， 其前项和为 ，其中 【小问3详解】 由等差数列的前项和公式得 ， 代入目标式，得  ，因为，分子分母同除以得， 由基本不等式， ，当且仅当即时取等号， 因此 ，故， 即的最大值为，时取得最大值. 18. 已知函数. （1）若曲线在处的切线方程为，求实数和的值； （2）讨论函数的单调性； （3）若，且对任意，,都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导得，利用曲线在处的切线方程为，求实数和的值； （2）求导数，根据导函数的正负讨论函数的单调性； （3）由（2）可将不等式变形为，构造函数，只需在（0，+∞）为减函数，根据即可求解. 【小问1详解】 求导得 因为在处的切线方程为， 所以，，得 因为 ，故,得. 【小问2详解】 当时，在恒成立，所以在上是减函数. 当时，或（舍去），令， 令， 故在上是增函数，在上是减函数； 【小问3详解】 由（2）知，若，在上是减函数，不妨设，则 即即， 只要满足在为减函数， ， 即在恒成立， ，，所以. 19. 在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为. （1）求抛物线的标准方程； （2）过焦点的直线与抛物线交于、两点， （i）当直线的倾斜角为时，求的面积； （ii）直线分别与直线，交于点，，以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，请说明理由. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）过定点坐标为或. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可得； （2）（i）根据已知得出直线的方程，与抛物线联立，求面积； （ii）设，联立方程根据韦达定理得出，的关系，进而表示出的方程，求出的坐标，得出圆的方程，进而可得出定点坐标. 【小问1详解】 由已知可得，抛物线的焦点坐标为， 根据抛物线的定义，得，解得， 所以抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 （i）由题意，直线的方程为：， 联立方程组，得， 设，，则，， . （ii）以为直径的圆过定点，定点坐标为或， 依题意可设直线， 联立，消得，恒成立， 则，， 又，， 令，则，即，同理可得， 设圆上任意一点为，因为为直径，所以， 所以，即， 整理可得，， 令，可得或， 所以以为直径的圆过定点，定点坐标为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末考试 盐田高级中学高二数学试题卷 命题人：郑胜芳 审题人：苗春玉 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内，每小题5分，共40分） 1. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 2. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 3. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 5. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 在等差数列中， ，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设分别是椭圆C：的左、右焦点，圆与椭圆C在第一象限内的交点为，延长与椭圆C交于点，若，则椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分） 9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极值点 B. 是 的极大值点 C. 的单调递减区间是 D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在单调递减 C. 的图像关于直线对称 D. 有最大值 11. 在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为2的“刍童”，其中，则（ ） A. 该“刍童”的表面积为 B. 该“刍童”中平面 C. 该“刍童”外接球的球心到平面的距离为 D. 该“刍童”侧棱与平面所成角的正弦值为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知命题 “”，则的否定为______． 13. 已知 ，则函数的解析式为_________. 14. 设是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足. （1）函数的对称中心为______________； （2）现已知当直线和的图象交于、、三点时，的图象在点、点处的切线总平行，则过点可作的___________条切线. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表： 性别 足球 合计 喜欢 不喜欢 男生 30 20 50 女生 10 20 30 合计 40 40 80 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？ （2）现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为，求随机变量的分布列和期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，． （1）求证：平面ABC； （2）若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值． 17. 记数列的前项和为，已知，． （1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和； （3）求的最大值． 18. 已知函数. （1）若曲线在处的切线方程为，求实数和的值； （2）讨论函数的单调性； （3）若，且对任意，,都有，求的取值范围． 19. 在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为. （1）求抛物线的标准方程； （2）过焦点的直线与抛物线交于、两点， （i）当直线的倾斜角为时，求的面积； （ii）直线分别与直线，交于点，，以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $