广东省2025～2026学年第二学期高二期末数学模拟检测

**基本信息** 以高二核心知识为载体，融合文化传承（阳马）与现实情境（疫情专家安排），通过梯度设计考查数学抽象、逻辑推理及数据应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|统计、函数、数列、排列组合|基础概念辨析，如数据平均数方差计算| |多选|3/18|统计图表、复数、立体几何|选项分层，如频率分布直方图分析| |填空|3/15|排列组合（疫情情境）、立体几何（斜二测）|情境化设计，如专家分区安排问题| |解答题|5/77|解三角形、数列、立体几何、椭圆、函数导数|综合应用，如函数导数零点与不等式证明考查逻辑推理|

广东省2025~2026学年第二学期高二期末数学模拟检测 （时长：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据均值与方差的性质，可得答案. 【详解】因为一组数据，，的平均数为，方差为， 则数据，，，的平均数为，方差为． 故选：D． 2.设和分别表示函数的最大值和最小值，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据正弦函数的最值即可求解； 【详解】由可得，， 所以，. 3.已知是等差数列，且，，此数列的首项与公差依次为（    ） A．19， B．21， C．15， D．16， 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，由，， 可得，解得， 所以数列的首项与公差依次为. 4.某中学招聘5位老师，其中安排2位老师去高一，安排2位老师去高二，安排1位老师去高三，则不同的安排方法数有（    ） A．30种 B．60种 C．90种 D．120种 【答案】A 【分析】从5位老师中任取2位去高一，再从余下的3位老师中任取2位去高二即可得解. 【详解】完成安排方法数的这件事需要3步：第一步，从5位老师中任取2位去高一有种， 第二步，从余下的3位老师中任取2位去高二有种，第三步，剩下1个人去高三有1种， 由分步计数乘法原理知：不同的安排方法数有. 故选：A 5.已知是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三边长与椭圆相等，先求，再利用勾股定理求出，即可得离心率. 【详解】 由，可得，所以， 又由椭圆定义可知：， 所以， 则，所以， 故离心率为, 故选：C. 6.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，若，，，且，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合空间向量线性运算，利用基底表示向量即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以 . 故选：A 7.若函数恰好有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，因为有两个极值点， 所以有两个不同的实数根， 于是有，得或. 8.已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得 由且，得， 由，得， 所以． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人.为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在［10，50］的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（   ） A． B．该场观众年龄众数的估计值为35 C．该场观众年龄分位数的估计值为36 D．该场观众年龄平均数的估计值为34 【答案】ABD 【分析】对于A，由各矩形面积之和为1结合题设可判断选项正误；对于BCD，由频率分布直方图计算平均数，中位数，众数方法可判断选项正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，高度最高矩形的底边中点对应横坐标为35，即众数为35，故B正确； 对于C，所求即为中位数，前２个矩形面积之和为， 前3个矩形面积之和为，则中位数在30到40之间. 设中位数为，则，即中位数为35，故C错误； 对于D，平均数为， 故D正确. 故选：ABD 10.如图，每个小方格的边长均为1，复数，在复平面内的对应点分别为A，B，则（     ）    A． B． C．为纯虚数 D．在复平面内的对应点位于第三象限 【答案】ACD 【分析】先根据点 ， 在复平面内的坐标写出 ，，再分别进行复数的加法、数乘和除法运算，判断各选项． 【详解】由图可知，点的坐标为 ，点的坐标为 ， 所以因此A正确，B错误． 对于C， 的实部为0，虚部不为0，所以为纯虚数，C正确． 对于D， 其实部和虚部均为负数，所以其对应点位于第三象限，D正确． 11.如图，正四棱台中，下列说法正确的是（    ）    A．和异面 B．和共面 C．平面平面 D．平面与平面相交 【答案】ABD 【分析】对于A，由异面直线的性质可判断；对于B，由基本事实1的推论可判断；对于CD，由基本事实3判断. 【详解】对于A，在四棱台中，， 所以与确定平面， 因为与相交，且与平面相交，由所以和异面，故A正确；    对于B，在正四棱台中，， 所以与确定平面，所以和共面，故B正确；    对于C，因为面，而面，面， 由基本事实3可知，平面与平面相交，故C错误；    对于D，因为在正四棱台中，， 所以与可以确定一个平面， 又因为，所以与交于一点设为， 所以，而平面，所以平面， 又，而平面，所以平面， 由基本事实3可知，平面与平面相交，故D正确.    故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.勠力同心，共克时艰!近日，某地因出现新冠疫情被划分为“封控区”“管控区”和“防范区”，现有6位专家到这三个“区”进行一天的疫情指导工作，每个“区”半天安排一位专家，每位专家只安排半天的工作，其中专家甲只能安排在上午，专家乙不安排在“防范区”，则不同的安排方案一共有___________种.（用数字作答） 【答案】240 【分析】根据题意分两类：甲安排在“防范区”上午和甲不安排在“防范区”上午，分别求出其方法数，再根据分类加法原理求解即可 【详解】甲安排在“防范区”上午时，则专家乙有4种可能，其余4位专家有种可能，， 甲不安排在“防范区”上午时，甲有2种可能，乙有3种可能，其余4位专家有种可能，， 所以共有种安排方案. 故答案为：240 13.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，将该平面图形绕其直角腰OC边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为______． 【答案】 【分析】先求得圆台的高，然后利用圆台的体积公式求得正确答案. 【详解】，所以原图中， 也即圆台的高为， 所以圆台的体积为. 故答案为： 14.已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，若不等式在上恒成立，则实数的最小值是_________． 【答案】 【分析】根据题意得出，然后令，得到的最小值即可求解. 【详解】已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，解得， 因此， 因为，所以，所以， 令，因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，又， 所以当时，有，所以，即． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 的内角所对的边分别为且满足. （1）求的值; （2）若角,,求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由题设及正弦定理得: 即,结合,即可求得答案; （2）由已知及余弦定理得:,由（1）,即可求得,进而求得的周长. 【详解】（1）由题设及正弦定理得: , 整理得, 即, , , 由正弦定理得. （2）由已知及余弦定理得:① 由（1）,即② 将②代入①可得: , , 的周长为. 16.（本小题满分15分） 已知函数，数列满足，且，设． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)由题意得， ， ， 是首项为，公差为的等差数列． (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）知，即， ， ． 17.（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，根据题意可得，结合线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，结合面面夹角余弦公式求解即可. 【详解】（1）证明：连接交于点，连接， 因为为菱形，则为的中点， 又因为为的中点，在三角形中，， 且平面，平面， 所以平面． （2）建立如图所示坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面法向量， 则，令，则 设平面法向量， 则，令，则 设平面与平面夹角， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18.（本小题满分17分） 已知椭圆过点，其焦距为，直线交椭圆于两点． (1)求的标准方程； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知焦距和所过定点，利用椭圆的定义及两点间距离公式算出长轴长，进而由椭圆基本关系求得标准方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式表示弦长，结合点到直线距离公式得出三角形面积的函数表达式，最后通过导数或函数单调性分析求得面积的最大值. 【详解】（1）依题意焦点坐标为 椭圆方程为 （2）设联立得 由得且 点到直线的距离为 设 令，则（舍去）或， 当，， 故在上单调递增，在上单调递减， 面积的最大值为 19.（本小题满分17分） 已知函数， (1)求不等式的解集； (2)已知实数，求的零点个数； (3)若，且，求证：． 【答案】(1)不等式的解集为 (2)有且仅有一个零点 (3)由，得， 则，要证，可证， 即证，令（）， 即证， 即证，下证（）， 先证，设，， 当，，在上单调递增， 则，即， 令， 则只需证明，又， 则 ， 所以在上单调递减， 则，． 【分析】（1）先对求导分析单调性与极小值，分别求解与，结合函数在单调递增的特性取交集得到不等式解集； （2）构造并求导确定单调区间，算出最小值判断为负，分析内函数恒负无零点，再取特殊点证明存在一处函数值为正，结合单调性得到唯一零点； （3）先利用导数与斜率等式变形得到表达式，将待证不等式取对数，换元简化式子，构造辅助函数求导放缩证明函数恒小于，完成证明． 【详解】（1）由题意得，， 令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 当，，又，， 所以不等式的解集为； （2）由题意的定义域为，且． 当时，；当时，， 故在区间上单调递减，在上单调递增． 因为，所以， 当时，，，则； 当时，， 因为在上单调递增， 所以当时，有且仅有一个零点． （3）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省2025~2026学年第二学期高二期末数学模拟检测 （时长：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（   ） A． B． C． D． 2.设和分别表示函数的最大值和最小值，则（   ） A． B．1 C． D．2 3.已知是等差数列，且，，此数列的首项与公差依次为（    ） A．19， B．21， C．15， D．16， 4.某中学招聘5位老师，其中安排2位老师去高一，安排2位老师去高二，安排1位老师去高三，则不同的安排方法数有（    ） A．30种 B．60种 C．90种 D．120种 5.已知是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，若，，，且，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 7.若函数恰好有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.已知，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人.为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在［10，50］的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（   ） A． B．该场观众年龄众数的估计值为35 C．该场观众年龄分位数的估计值为36 D．该场观众年龄平均数的估计值为34 10.如图，每个小方格的边长均为1，复数，在复平面内的对应点分别为A，B，则（     ）    A． B． C．为纯虚数 D．在复平面内的对应点位于第三象限 11.如图，正四棱台中，下列说法正确的是（    ）    A．和异面 B．和共面 C．平面平面 D．平面与平面相交 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.勠力同心，共克时艰!近日，某地因出现新冠疫情被划分为“封控区”“管控区”和“防范区”，现有6位专家到这三个“区”进行一天的疫情指导工作，每个“区”半天安排一位专家，每位专家只安排半天的工作，其中专家甲只能安排在上午，专家乙不安排在“防范区”，则不同的安排方案一共有___________种.（用数字作答） 13.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，将该平面图形绕其直角腰OC边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为______． 14.已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，若不等式在上恒成立，则实数的最小值是_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 的内角所对的边分别为且满足. （1）求的值; （2）若角,,求的周长. 16.（本小题满分15分） 已知函数，数列满足，且，设． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 17.（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18.（本小题满分17分） 已知椭圆过点，其焦距为，直线交椭圆于两点． (1)求的标准方程； (2)求面积的最大值． 19.（本小题满分17分） 已知函数， (1)求不等式的解集； (2)已知实数，求的零点个数； (3)若，且，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $