专题07直线与圆的位置关系-2026年苏科版数学八升九暑假预习讲义.

专题07直线与圆的位置关系 暑假预习讲义 ✺知识框架 位置关系基础分类：明确相离、相切、相交三种位置关系的定义与基本特征 位置关系判定方法 （解题核心） 几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判定，考点、解题首选。 各类位置关系核心性质与应用 （1）相离：掌握圆上点到直线的距离最值问题 （2）相切：切线判定、切线核心性质、切线长定理、切线长计算 （3）相交：掌握垂径定理、弦中点核心几何性质。 圆核心图形应用 （1）切线综合应用：切线判定与性质的几何解题应用 （2）三角形内切圆：内切圆定义、内心性质、内切圆半径公式与应用 ✺学习目标 知识要求：（1）掌握直线与圆相离、相切、相交三种位置关系的定义与特征； （2）掌握直线与圆位置关系的几何判定方法（d与r大小比较）； （3）熟记三种位置关系的核心性质，掌握距离最值、切线相关基础计算； （4）掌握切线判定、性质、切线长定理，理解三角形内切圆与内心的性质，熟记半径计算公式。 能力要求：（1）能利用几何法准确判定直线与圆的位置关系； （2）能运用垂径定理、切线相关定理完成线段、角度的计算与证明； （3）会求解圆上点到直线的距离最值、三角形内切圆半径，解决基础几何题型。 素养要求：建立数形结合思维，提升圆的几何推理与运算能力，夯实几何综合题解题基础。 ✺题型归纳 题型1.判断直线和圆的位置关系 题型2.已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型3.已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型4.求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型5.求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型6.切线的应用 题型7.有关切线的概念辨析 题型8.判断或补全使直线为切线的条件 题型9.证明某条直线是圆的切线 题型10.切线的性质定理 题型11.切线的性质和判定的综合应用 题型12.应用切线长定理求解 题型13.应用切线长定理求证 题型14.直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型15.圆外切四边形模型 题型16.三角形内心有关应用 题型17.一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型18.三角形内切圆与外接圆综合 题型19.过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 题型20.圆内知识综合（圆的综合问题） 题型21.圆与三角形的综合（圆的综合问题） 题型22.圆与四边形的综合（圆的综合问题） 题型23.圆与函数的综合（圆的综合问题） 题型24.其他问题（圆的综合问题） ✺知识◆清单 知识点一、直线与圆的三种位置关系 ▶设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，根据直线与圆的公共点个数，分为三种位置关系： 1.相离：直线与圆没有公共点，直线在圆外，无交点； 2.相切：直线与圆有且只有一个公共点，直线为圆的切线，公共点为切点； 3.相交：直线与圆有两个不同的公共点，直线为圆的割线，两点间线段为圆的弦。 知识点二、三种位置关系的核心性质与公式 1.直线与圆相离 核心性质：圆上任意一点到直线的距离存在最值； 最值公式：圆上点到直线的最小距离=d-r，最大距离=d+r。 2.直线与圆相切 核心性质：圆心与切点的连线垂直于切线，且连线长度等于圆的半径； 3.直线与圆相交 核心性质：圆心与弦中点的连线垂直于弦（垂径定理核心性质，），可结合勾股定理求解弦的相关线段长度。 知识点三、圆的切线 1.切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线，是圆的切线。 ★经过圆心且垂直于切线的直线一定经过切点；垂直于切线且经过切点的直线必过圆心. 2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 如下图，∵直线L是⊙o的切线，A为切点∴L⊥OA. 知识点四、切线长定理 1.切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切线之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 2.切线长与切线的区别： （1）切线是直线，不能度量.(2)切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 3.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 如上图，PA，PB是⊙o的两条切线，切点分别为A,B,则PA=PB,∠OPA=∠OPB. 知识点五、切线的判定和性质的应用 1.辅助线的作法：运用切线的性质来进行计算或论证的常见辅助线的作法是连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题。 2.证明直线与圆相切的三种途径 ▶证直线和圆有唯一公共点（即运用定义）。 ▶证直线过半径外端且垂直于这条半径（即运用判定定理）。 ▶证圆心到直线的距离等于圆的半径（即证d=r）。 知识点六、三角形的内切圆 1.三角形的内切圆的有关概念 三角形内切圆：与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。 内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。 2.三角形内切圆的作法 ◆确定圆心：三角形两条角平分线的交点即为圆心； ◆确定半径：交点到三角形任意一边的距离即为内切圆的半径。 3. 如果三角形三边长分别为a,b,c，内切圆半径为r，则三角形的面积 S=(a+b+c)r. ✺题型◆精讲 题型1.判断直线和圆的位置关系 1．已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离． 2．在中，的半径为3，则边所在直线与的位置关系是_____． 【答案】相离 【分析】在中，，因此点A到直线的距离等于，比较点A到直线的距离与的半径3，即可判断位置关系． 本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判定法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故点A到直线的距离等于， 由的半径为3，且， ∴边所在直线与相离。 故答案为：相离． 3．如图，在中，．以点C为圆心，分别以下面给出的r为半径作圆，试问所作的圆与斜边所在的直线分别有怎样的位置关系？请说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)解：当时，直线与圆相离；理由如下： ∵， ∴， 作，则，即， ∴，即点到直线的距离为； ∵，即， ∴直线与圆相离； (2)解：当时，直线与圆相切；理由如下： 由（1）可知，点到直线的距离为； ∴， ∴直线与圆相切； (3)解：当时，直线与圆相交；理由如下： 由（1）可知，点到直线的距离为， ∵，即， ∴直线与圆相交. 【分析】勾股定理求出的长，等积法求出的长，根据与的大小关系，判断位置即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型2.已知直线和圆的位置关系求半径的取值 1．如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离，即可得到问题的选项． 【详解】解：∵直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离为6， ∴， 故选：A． 2．在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，理解题意是解题的关键．以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为，则两个交点在到直线l的距离是的直线m上，圆与直线l的位置关系是相交，据此即可判断． 【详解】解：以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为，则两个交点在到直线l的距离是的直线l上． 则直线l到圆心O的距离是：或． 圆O与直线l相交，因而该圆的半径r的取值范围是． 故答案为：． 3．已知直线与圆相离，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解答的关键是熟知直线与圆的三种位置关系的判定方法：计算圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系，若，相离；若，相切；若，相交． 本题先利用直线与圆心的距离公式求出d，再与半径r比较列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意，圆心坐标为，半径，直线为， ∵直线与圆相离需满足， ∴， 两边平方得，即， ∴， 解得：． 故k的取值范围为． 题型3.已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 1．已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断直线和圆的位置关系，已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离． 直线与圆有两个公共点，说明直线与圆相交，因此圆心到直线的距离小于半径． 【详解】解：∵直径为， ∴半径 ∵与直线有个公共点， ∴直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， ∴选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 2．如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．如图，连接，作于，于．由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接，作于，于． ， ， ， ，， ， 欲求的最大值，只要求出的最小值即可， ， 点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆， 在中，，， ， ， ， 当，，共线，且与重合时，的值最小， 的最小值为， 的最大值， 故答案为． 3．如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为　　　　； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　． 【答案】（1）7；（2）． 【分析】（1）当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大，由此即可得； （2）先确定线段是的直径，画出图形，再在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：（1）如图1，， 当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大， 此时最大值为， 故答案为：7； （2）如图2，是直线与的公共点，当线段的长度最大时，线段是的直径， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 题型4.求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 1．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 2．如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 【答案】2或6 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与圆有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质．分类讨论：当点在 点左侧，与相切时，过作于，根据切线的性质得到，再利用得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在 点右侧，与相切，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【详解】解：当点在 点左侧，与相切时，过作于，如图， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）； 当点在 点右侧，与相切，如图， 同理，得的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）． 故答案为：2或6． 3．在平面直角坐标系中，的半径为1． 给出如下定义：记线段的中点为，当点不在上时，平移线段，使点落在上，得到线段（分别为点的对应点）线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”． （1）已知点的坐标为，点在轴上． ①若点与原点重合，则线段到的“平移距离”为________； ②若线段到的“平移距离”为2，则点的坐标为________； （2）若点都在直线上，且，记线段到的“平移距离”为，求的最小值； （3）若点的坐标为，且，记线段到的“平移距离”为，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②或；（2） ；（3） 【分析】（1）根据平移的性质以及线段AB到的“平移距离”的定义判断即可求出． （2）过点O作 于E，联立方程组求出OE即可得出的最小值． （3）以A为圆心，1为半径作，连接OA 交于E、F；由图可知：当M在点时，最小；在点E时，最大．由此得出的取值范围． 【详解】（1）①当B与原点O重合时，AB中点为，移动最小距离为向左平移到上． 故答案为： ②当“平移距离”为2时，如图： 有两种情况，当为时， ，AB=4， 为． 当为时，，AB=8，B为． 故答案为： 或． （2）如图： 直线如图L，当L平移到m位置时，最小.即平移到直线m与相切时，最小． 过点O作于E， 则 设直线OE为y=kx， ， ∴ 即， ∴． 联立方程组， 解得： ， ∴E为 ， ∴， ∴． （3）∵， ∴AM=1， 即M点在以A为圆心，半径为1的圆上，如图所示： 连接OA 交于E、F，可知：当M在点F时，最小；在点E时，最大． 当M在F时，， 当M在E时，， ∴． 【点睛】本题属于综合题，考查了平面直角坐标系平移变换，一次函数的性质，圆相切的相关概念，解直角三角形，线段AB到的“平移距离”的定义等知识；此题解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 题型5.求直线平移到与圆相切时运动的距离 1．已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质，是基础知识要熟练掌握． 根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为，可向上或向下平移，使l与相切，即可得出答案． 【详解】解：如图，当直线l经过点B时，， 当直线l平移至直线，且切点为点A时，此时； 当l移动到，且切点为点C时，则； 综上所述，与相切时，平移的距离是或． 故选D． 2．已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移______，才能使与相切? 【答案】或/或 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 3．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 【答案】1或5． 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 题型6.切线的应用 1．如图，⊙O与直线l1相离，圆心O到直线l1的距离OB＝2，OA＝4，将直线l1绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l2刚好与⊙O相切于点C，则OC＝(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先利用三角函数计算出∠OAB＝60°，再根据旋转的性质得∠CAB＝30°，根据切线的性质得OC⊥AC，从而得到∠OAC＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可得到OC的长． 【详解】解：在Rt△ABO中，sin∠OAB＝＝＝， ∴∠OAB＝60°， ∵直线l1绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l2刚好与⊙O相切于点C， ∴∠CAB＝30°，OC⊥AC， ∴∠OAC＝60°﹣30°＝30°， 在Rt△OAC中，OC＝OA＝2． 故选B． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了旋转的性质． 2．如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为________． 【答案】或/或 【分析】分点在点的左侧、点在点的右侧两种情况，根据切线的性质计算即可． 【详解】解：∵直线，为直线上一动点， ∴与直线相切时，切点为， ∴， 当点在点的左侧，与直线相切时，如图1所示： （）； 当点在点的右侧，与直线相切时，如图2所示： （）； ∴与直线相切，OP的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是切线的性质，熟练掌握切线的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 3．如图，的直径，弦于点H，．    (1)求的长； (2)延长到P，过P作的切线，切点为C，若，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据垂径定理和相交弦定理求解； （2）根据切割线定理进行计算． 【详解】（1）解：∵直径，弦于点H， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵切于点C， ∴， ∵， ∴，或（舍去）， ∴． 【点睛】此题主要考查相交弦定理和切割线定理的运用．掌握这两个定理的内容是解题的关键． 题型7.有关切线的概念辨析 1．如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的定义，根据与圆有唯一公共点的直线是圆的切线进行判断即可． 【详解】解：∵与有唯一公共点的直线是， ∴与相切的直线是， 故选：A． 2．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_____． 【答案】切线． 【分析】根据圆的切线判定定理内容即可判断. 【详解】经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 故答案为：切线． 【点睛】本题直接考查圆的切线判定定理内容，理解定理满足的条件是解答此题的关键. 3．如图，在中，，，用尺规作图法在找一点，以为半径作，使得与相切．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示为所求． 【分析】本题考查了角平分线与圆的作图，正确理解题意，结合角平分线与圆的性质确定圆心是解题的关键．作的角平分线交于点即可．再以D为圆心，为半径画圆即可． 【详解】略 题型8.判断或补全使直线为切线的条件 1．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 2．张老师在讲解复习《圆》的内容时，用投影仪屏幕展示出如下内容： 如图，内接于，直径的长为2，过点的切线交的延长线于点． 张老师让同学们添加条件后，编制一道题目，并按要求完成下列填空． （1）在屏幕内容中添加条件，则的长为______． （2）以下是小明、小聪的对话： 小明：我加的条件是，就可以求出的长 小聪：你这样太简单了，我加的是，连结，就可以证明与全等． 参考上面对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（此题目不解答，可以添线、添字母）．______． 【答案】 3 ，求的长 【分析】(1)连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCD=90°，再根据含30°的直角三角形三边的关系得到OD=2，然后计算OA+OD即可； (2)添加∠DCB=30°，求ACAC的长，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再证明∠A=∠DCB=30°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系求AC的长． 【详解】解：(1)连接OC，如图， ∵CD为切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD=90°， ∵∠D=30°， ∴OD=2OC=2， ∴AD=AO+OD=1+2=3； (2)添加∠DCB=30°，求AC的长， 解：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠ACO+∠OCB=90°，∠OCB+∠DCB=90°， ∴∠ACO=∠DCB， ∵∠ACO=∠A， ∴∠A=∠DCB=30°， 在Rt△ACB中，BC= AB=1， ∴AC= = ． 故答案为3；，求的长. 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系． 3．如图，在中，，点在边上，经过点和点且与边相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径．    【答案】 (1)证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； (2) 【分析】(1)连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的内角和得到，于是得到是的切线； (2)连接，推出是等边三角形，得到，求得，得到，于是得到结论． 【详解】(1)略 (2)解：连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径．    【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型9.证明某条直线是圆的切线 1．如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点，且，连接，则直线与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题主要考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系，及圆的切线的判定，解题的关键是掌握上述知识点． 先利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出，再求，可得结论． 【详解】解：， ． ， ， ． 是的半径， 是的切线，即直线与的位置关系为相切． 故选：B． 2．如图，直线经过上的点C，并且，则直线和的位置关系是________． 【答案】相切 【分析】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质．连接，根据等腰三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵直线经过上的点C， ∴直线和的位置关系是相切． 故答案为：相切 3．如图，是的直径，．求证：是的切线． 【答案】证明： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又是的半径， ∴是的切线． 【分析】先证明，可得，结合，进一步证明即可． 【详解】略 题型10.切线的性质定理 1．如图，是的切线，A为切点，的延长线交于点B，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据切线的性质可得，根据等边对等角及三角形外角的性质求出的度数，最后在中利用直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，是的直径，直线切于点C，连结，若，则的度数为______． 【答案】/50度 【分析】连接，根据切线的定理，得到，根据，即可求解． 【详解】解：连接， ∵直线切于点， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，点A，B在上，，点C在的延长线上，过C作的切线，切点为D，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，如图所示． ， ． 是的切线，是的半径， ， ， ． 在中，，即， ． 又， ． ， ． (2) 【分析】(1)连接，利用半径相等得到，结合切线性质得到，再通过直角三角形两锐角互余和对顶角相等，证得，从而得到． (2)设半径为，用表示、、，在中利用勾股定理列方程求出半径，再在中利用勾股定理求． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为，则． ． ， ． ， ． 由(1)的结论得， ． 在中，， 由勾股定理得， 解得，（不合题意，舍去）． ． 在中，，，， 由勾股定理得 答：的长为． 题型11.切线的性质和判定的综合应用 1．如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键；根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，①正确； ②由图可知不一定； ∵为的切线， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴，③正确． 故选：B． 2．如图，是的弦，是的切线．若，则______． 【答案】 【分析】此题重点考查圆的切线的性质、圆周角定理、多边形的内角和等知识，接、，由切线的性质得，再由圆周角定理求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， 与相切于点，与相切于点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，已知为的外接圆，且为的直径，连接，过点B作，交的延长线于点D，过点D作，交的延长线于点F．若，求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了圆的基本性质和切线的判定定理，解决问题的关键是熟练掌握切线的判定方法. 过点O作于点G，证明是的半径. 【详解】证明：如图，过点O作于点G． ． ． ， ， 即是的平分线． 又 ， 为的半径， 是的切线. 题型12.应用切线长定理求解 1．如图，的内切圆分别与相切于点D、E、F，且，则的周长为（   ） A．32 B．30 C．28 D．26 【答案】C 【分析】根据切线长定理得到，，，因此将的周长转化为即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于点， ∴，，， ∴ ． 2．如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【答案】 【分析】根据切线长定理，，，，根据即可得出，进而得出，即可得答案． 【详解】解：∵四边形与分别相切于点，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 3．如图，和是的两条切线，与相切于点E，并与，分别交于D，C两点．当，时，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质． 利用切线长定理求出的长，过点D作于点F，再在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵和是的两条切线， ∴，， ∴， ∴， ∵、是的切线， ∴， ∵、是的切线， ∴， ∴， 如图，过点D作于点F， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 题型13.应用切线长定理求证 1．如图PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，点C在AB上，过C作圆O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P=50°，则∠DOE的度数为（　　　） A．130° B．50° C．60° D．65° 【答案】D 【分析】连接OA、OB、OC，由切线性质得OB⊥PB、OA⊥PA，从而求得∠AOB的度数，再由切线长定理得到DB=DC，从而证得OD平分∠BOC，同理得OE平分∠AOC，最后由∠DOE=∠AOB得到∠DOE的度数． 【详解】解：如下图 连OA、OB、OC ∵PB切⊙O于B，PA切⊙O于A ∴OB⊥PB，OA⊥PA 又∠P=50° ∴∠AOB=130° ∵DB切⊙O于B，DE切⊙O于C ∴DB=DC且OC⊥DC ∴OD平分∠BOC，即∠DOC=∠BOC 同理得∠EOC=∠AOC ∴∠DOE=∠DOC+∠EOC =∠BOC+∠AOC =(∠BOC+∠AOC) =∠AOB=×130° =65°． 故选：D． 【点睛】此题考查切线的性质、切线长定理，发现∠DOE=∠AOB是关键． 2．如图，是的切线，为切点，连接．若，则=__________． 【答案】65° 【分析】根据切线长定理即可得出AB=AC，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出结论． 【详解】解：∵是的切线， ∴AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠A）=65° 故答案为：65°． 【点睛】此题考查的是切线长定理和等腰三角形的性质，掌握切线长定理和等边对等角是解决此题的关键． 3．如图，中，为边上一点，为内切圆，、、为切点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理； （1）根据切线长定理可得，，根据，由线段的差相等，即可求解； （2）设，则，根据，即可求解． 【详解】（1）∵为内切圆，、、为切点， ∴， ∵， ∴即 ∴ （2）设， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴，解得， ∴ 题型14.直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（  ） A．1 B． C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】连接圆心与三角形三个顶点，将大三角形分割为三个小三角形，利用三角形面积公式（其中为周长，为内切圆半径）建立等量关系求解． 【详解】解：设的半径为， 连接， ∵是的内切圆， ∴点到的距离都等于， ∴ ， ∵的周长为8，面积为4， ∴， 解得． 2．如图，是的内切圆，，，为切点，，，，的半径为________． 【答案】 【分析】本题主要考查内切圆的性质、三角形的面积等，熟练掌握内切圆的性质是解题的关键． 先连接，设圆的半径为，根据题目条件推出，，最后根据三角形的面积公式，运用等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接，设圆的半径为， ∵是的内切圆，，，为切点， ∴，， ∵，，， ∴， ∵ ， 即， 解得：． 故答案为：． 3．如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 【答案】30 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 设，由切线长定理得，根据题意可得四边形为正方形，则，，在直角三角形中，利用勾股定理求出x，然后求其周长． 【详解】解：连接，，设． 由切线长定理，得． 与的三边分别切于点D，E，F， ，， ∵ ∴四边形为正方形． 的半径为2，， ，． 在中，， 即， 解得， ，， 的周长为． 题型15.圆外切四边形模型 1．如图，在四边形中，边均与相切，且，则四边形的周长为（   ） A．44 B．42 C．46 D．47 【答案】A 【分析】根据圆的切线的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形的外切四边形， ∴ ∴四边形的周长 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的切线，四边形的周长问题，掌握圆的切线的性质是解题的关键． 2．如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 【答案】48 【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：48． 3．如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 【答案】见解析. 【分析】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB，根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF，进而可得EF=AB. 【详解】∵等腰梯形ABCD是的外切等腰梯形， ∴AD+BC=AB+CD=2AB， ∵梯形中位线为EF， ∴AD+BC=2EF， ∴EF=AB. 【点睛】本题考查切线长定理及梯形的中位线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟知圆外切四边形对边和相等是解题关键. 题型16.三角形内心有关应用 1．如图，在中，，点I是的内心，连接，则的度数是（    ） 　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形内心的定义，先由三角形内角和定理求出的度数，再由内心的定义得到分别平分，根据角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点I是的内心， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，已知的周长是20，点为三角形内心，连接、，于点，且，则的面积是______． 【答案】30 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．连接，过点作于点，于点，可得，根据，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， 点为三角形内心，， ， ． 故答案为：30． 3．以6、8、10为三边的，O是它的外心，I是它的内心，r是它内切圆半径，求r及的长度． 【答案】r为2，长 【分析】本题考查了三角形的外心与内心，勾股定理，勾股定理逆定理，正方形的判定与性质，由勾股定理逆定理可得为直角三角形，从而可得外心O在斜边的中点处，即，作和的平分线交于I，即I就是内心，作于D，于E，于F，则，证明四边形为正方形，得出，求出，，，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵， ∴为直角三角形， ∴外心O在斜边的中点处， ∴， 作和的平分线交于I，即I就是内心， 作于D，于E，于F， ∴， ∴四边形为正方形， ∴ ∴，， ∴， ∴，， ∵， 在中，， 综上：r为2，长． 题型17.一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．如图，在中，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（   ） A．10 B． C． D．13 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，由切线的性质得，由求解即可． 【详解】解：过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、， 是的内切圆，且半径为， ， ∵的面积为， ， ， 解得， 故选：D． 2．如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____． 【答案】2 【分析】本题主要考查切线长定理和直角三角形内切圆半径的求法，求解直角三角形内切圆半径是解题的关键． 首先利用切线长定理求出三角形各边的长度，然后验证出三角形为直角三角形，进而根据等面积法计算半径即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴ ∴是直角三角形， 设内切圆的半径为 ∴ 即 解得， 故答案为：． 3．的面积为，周长为．求该三角形的内切圆的半径． 【答案】 【分析】通过面积法推导得到三角形面积、周长与内切圆半径的关系，代入已知条件即可计算出内切圆半径． 【详解】解：如图：设内切圆的半径为， 连接，将分为三个小三角形，三个小三角形的高都等于内切圆半径r， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即． 答：该三角形的内切圆半径为． 题型18.三角形内切圆与外接圆综合 1．等腰直角三角形的内切圆半径与外接圆半径的比值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形内切圆与外接圆，熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半；直角三角形外接圆的半径是斜边的一半． 设等腰直角三角形的直角边是1，则其斜边是．根据直角三角形的内切圆半径是两条直角边的和与斜边的差的一半，得其内切圆半径；其外接圆半径是斜边的一半，得其外接圆半径，即可求解． 【详解】解：设等腰直角三角形的直角边是1，则其斜边是， ∵等腰直角三角形的内切圆半径是，外接圆半径是， ∴所以它们的比为． 故选：A． 2．已知分别是的外心和内心，，则的大小是___________． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的内心和外心的性质，熟练掌握三角形内心和外心的性质是解题的关键，利用外心性质确定的两种可能值，再根据内心性质计算． 【详解】解：∵O是的外心，， ∴当点A在优弧上时， ， 当点A在劣弧上时， . ∵I是的内心， ∴. 当时，； 当时，. 故答案为：或. 3．如图，在等边三角形中． (1)请用尺规作图画出三角形的外接圆（保留作图痕迹）； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）分别作和的垂直平分线相交于点O，再以O为圆心，为半径作圆即可； （2）连接，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求作 （2）连接， ∵等边三角形，， ∴， ， ∵垂直平分， ∴， ∵O为等边三角形的外接圆的圆心， ∴， ∴中，， ∴（负值舍去） 【点睛】本题考查三角形外接圆作图，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的外接圆的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 题型19.过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 1．如图，点A在外，连接，作线段的中点B，以B为圆心，为半径作，与交于两点C，D，连接，则，均为直角，直线，是的两条切线．得到，均为直角的依据是（    ） A．同弧或等弧所对的圆周角相等 B．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．直径所对的圆周角是直角 D．圆的切线垂直于过切点的半径 【答案】C 【分析】本题考查了作圆的切线，直径所对的圆周角是直角．根据“直径所对的圆周角是直角”解答即可． 【详解】解：由作图知，是的直径， ∴，， ∴得到，均为直角的依据是直径所对的圆周角是直角， 故选：C． 2．已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，  交于点D，E； ④作直线，，则直线， 即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 【答案】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】首先根据作图过程已知垂直平分，，进而得到两个等腰三角形和，利用等边对等角，以及三角形内角和定理，得到，即可证明与相切，从而可得理论依据. 【详解】证明：如图，连接，， 根据题意，得垂直平分，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴与相切； 同理：与相切； ∴，为切线的理论依据为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3．如图，已知及点，利用直尺和圆规过点作的切线． (1)如图①，点在外． (2)如图②，点在外． （要求：不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）过点作直线，则直线为的切线； （2）连接，作的垂直平分线得到的中点，再以为圆心，为半径作圆交于、两点，则直线、为的切线； 【详解】（1）如图，直线为所作． （2）如图，、为所作． 题型20.圆内知识综合（圆的综合问题） 1．如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答案. 【详解】∵， ∴∠APO=70°， ∵， ∴∠AOP=90°，∴∠A=20°， 又∵OA=OB， ∴∠ABO=20°， 又∵点C在过点B的切线上， ∴∠OBC=90°， ∴∠ABC=∠OBC−∠ABO=90°−20°=70°， 故答案为：B. 【点睛】本题考查的是圆切线的运用，熟练掌握运算方法是关键. 2．如图,内接于⊙O,,则⊙O的直径等于__________．    【答案】12 【分析】过B作直径BD，连CD，则可得到包含直径的直角三角形，解直角三角形即可得到直径长度． 【详解】解：如图，过B作直径BD，连CD，∴∠BCD=90°    ∵∠BAC=30°，∴∠D=∠BAC=30°，而BC=6，∴BD=2BC=12． ∴⊙O的直径为12； 故答案为12． 【点睛】本题考查圆的综合问题，灵活运用圆周角和直角三角形的有关性质求解是解题关键 ． 3．如图1，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，BD和过点C的切线互相垂直，垂足为E． (1)求证：BC平分∠DBA； (2)如图2，连接AC，当BD＝3，AC＝时，求⊙O的半径． 【答案】(1) 证明：如图1，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， 平分． (2) 【分析】（1）连接，证明，得，由，得，则，即平分； （2）连接交于点，由得，则垂直平分，是的中位线，则，而，根据勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】（1）略 （2）如图2，连接交于点， ， ， ，， ， ，，， ， 设的半径为，则， ， ，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 的半径为． 【点睛】此题考查圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 题型21.圆与三角形的综合（圆的综合问题） 1．如图，在的内接四边形中，，C为上一动点，且，的半径为2，有如下说法：①平分；②三角形是等边三角形；③；④；⑤四边形最大面积是．其中正确说法的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质和圆周角定理可证；根据圆内接四边形对角互补可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可知是等边三角形；连接、，过点作，根据等边三角形的性质可知，利用勾股定理即可求出，可得的长；在上截取，连接，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可证；根据等边三角形的性质可以求出的面积为，根据点在上运动，可知当点在的中点时的面积最大，可知的最大面积是，所以可得四边形的最大面积是． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即平分，故①正确； ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴三角形是等边三角形，故②正确； 如图，连接、，过点作， 则， ∵的半径为2， ， ∴， ∴，故正确； 如图，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ，故正确； 如图，连接，并延长交于点M， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，， ， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 当点在的中点时，的面积最大， 的半径为， 点到线段的最大距离是， 的最大面积是， 四边形的最大面积是，故⑤正确； 综上所述，正确的是①②③④⑤，共5个． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据圆内接四边形找角之间的关系，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找边之间的关系． 2．如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点． （1）______（填“，或”）： （2）若，，则______． 【答案】 【分析】（1）延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形两锐角互余可得，，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得，根据等角的余角相等可得，根据等边对等角可得，即可推得； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，结合（1）中结论和根据等角的余角相等可得，结合对顶角相等可得，根据等角对等边可得，设，则，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列方程，解方程求出的值，即可求出、的值，根据即可求解． 【详解】解：（1）延长交于点，连接，如图：    ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等角对等边，等边对等角，勾股定理，直角三角形的性质等；熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 3．如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若A，，则的半径是__________． 【答案】(1) 证明：过O点作于点E， ∵与相切于点A， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴是的切线； (2) 【分析】本题考查切线的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定和性质． （1）过O点作于点E，推导出，然后根据角平分线的性质即可得到，证明结论； （2）先利用勾股定理求出长，然后利用全等三角形得到，然后再在中利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：． 故答案为：。 题型22.圆与四边形的综合（圆的综合问题） 1．已知的半径是，直线与相交于，两点，点，分别在直线的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（   ） A．25 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，几何图形面积最值的计算，掌握圆内接四边形的性质，得到当点与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为是解题的关键． 如图所示，作直线，连接，过点作于点，过点作于点，由内接四边形可得，由圆周角定理可得，则，，所以有，由题意可得当的值最大时，四边形面积有最大值，即与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作直线，连接，过点作于点，过点作于点， ∵的半径是5， ∴，， ∵点都在圆上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴当的值最大时，四边形面积有最大值， ∴当点与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为， ∴四边形面积的最大值是， 故选：D ． 2．如图，在中，是的弦．C为上一点，，连接并延长至点D，过点D作交于点E，连接，．当时，四边形面积的最大值为______  ． 【答案】/ 【分析】延长至点，使得，连接，令点到边上的高为，证得四边形是平行四边形，进而得到，证得四边形的面积等于三角形的面积，由于、、始终都在同一个大小不变的圆上，得到当点刚好在的垂直平分线上，其垂直平分线与交于点，且过圆心，即位于点时，的面积最大，即四边形的面积最大，连接、，根据圆周角定理和垂径定理，结合线段垂直平分线的性质，得到的长，根据三角形的面积公式得到的面积，从而得到四边形的最大面积． 【详解】解：延长至点，使得，连接，设点到边上的高为，如图： 、， 四边形是平行四边形， ， 四边形的面积， 四边形的面积， 、， 、、始终都在同一个大小不变的圆上， 如图：当点刚好在的垂直平分线上，其垂直平分线与交于点，且过圆心，即位于点时，的面积最大，即四边形的面积最大，连接、， ，， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 四边形最大面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用，是解题的关键． 3．已知：如图，与相交于点、，且，过点的直线分别交、于点、，且．点是线段的中点．联结并延长交于点，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1) 证明：作，垂足为． ∵过圆心，， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴，即点是中点． ∵过圆心，， ∴． ∴， ∴． ∴， ∵， ∴四边形是梯形． ∵点是线段的中点，点是中点， ∴， ∴， ∴． (2) 证明：联结交于． ∵与相交于点、， ∴垂直平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）作，垂足为，根据垂径定理可得，，，从而得到，可得到四边形是梯形，即可求证； （2）联结交于，根据题意可得垂直平分，从而得到，，再有，可得，从而得到，可得到四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 题型23.圆与函数的综合（圆的综合问题） 1．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知点P在直线上，再结合题意，画出图形．设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H．根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得B、C两点的坐标，即得出OB、OC、BC的长．再根据面积法即可求出OH的长．根据切线的性质可知，即由勾股定理可推出．由OA为圆O半径，是定值，故可知当OP最小时，PA最小，此时OP最小值即为OH的长，由此即可求出PA的最小值． 【详解】解：根据题意可知点P在直线上，设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H，如图．    令，则， 解得：； 令，则． 故B点坐标为(0，)，C点坐标为(-2，0)． ∴，，． ∵， ∴，即． ∵为圆O的切线， ∴， ∴在中，． ∵OA为圆O半径，是定值， ∴当OP最小时，PA最小． ∵OP最小时即为OH的长， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，切线的性质，勾股定理．根据题意作出图形，并理解当OP最小时，PA最小，且OP最小值为OH的长是解答本题的关键． 2．如图，⊙O与抛物线交于两点，且，则⊙O的半径等于_______． 【答案】 【分析】连接OA，AB与y轴交于点C，根据AB＝2，可得出点A，B的横坐标分别为−1，1．再代入抛物线即可得出点A，B的坐标，再根据勾股定理得出⊙O的半径． 【详解】连接OA，设AB与y轴交于点C， ∵AB＝2， ∴点A，B的横坐标分别为−1，1． ∵⊙O与抛物线交于A，B两点， ∴点A，B的坐标分别为（−1，），（1，）， 在Rt△OAC中，由勾股定理得OA＝＝＝， ∴⊙O的半径为． 故答案为：. 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及二次函数图象上点的特征，求得点A的纵坐标是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，已知线段和点，给出如下定义：若且点不在线段上，则称点是线段的等腰顶点．特别地，当时，则称点是线段的非锐角等腰顶点． （1）已知点，． ①在点，，，中，是线段的等腰顶点的是 ； ②若点在直线上，且点是线段的非锐角等腰顶点，求的取值范围； （2）直线与轴交于点，与轴交于点．⊙P的圆心为，半径为，若⊙P上存在线段的等腰顶点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，，②且；（2） 【分析】（1）①根据勾股定理求出线段的长度，利用等腰顶点的定义即可求解；②找出临界情况当点在直线上时、当点在直线上时求出对应的k值，除去当点在直线上时的情况即可； （2）作出线段MN的垂直平分线，以为半径且与线段MN的垂直平分线相切的圆，解直角三角形即可求解． 【详解】解：（1）①根据勾股定理可得，，则，即点C是线段AB的等腰顶点；同理可得点D不是线段AB的等腰顶点，点E是线段AB的等腰顶点，点F不是线段AB的等腰顶点， 故答案为：， ②（Ⅰ）当点在直线上时，， （Ⅱ）当点在直线上时，， （Ⅲ）当点在直线上时，， 结合图象可得且； （2）直线与x轴的交点M坐标为，与y轴交点N的坐标为， ∴， ∴， 如图，作出线段MN的垂直平分线，如图为两个临界情况： 利用待定系数法求得MN垂直平分线解析式为， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合，掌握数形结合的思想是解题的关键． 题型24.其他问题（圆的综合问题） 1．如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．135° 【答案】B 【分析】如图，延长CD交⊙O 于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．根据垂径定理以及三角形的中位线定理，可得DE＝PT，当PT是直径时，DE的长最大，再证明∠AOB＝90°，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长CD交⊙O 于P，延长CE交⊙O于T，连接PT． ∵OA⊥PC，OB⊥CT， ∴CD＝DP，CE＝TE， ∴DE＝PT， ∴当PT是直径时，DE的长最大， 连接OC， ∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT， ∴∠COA＝∠POA，∠COB＝∠BOT， ∴∠AOB＝∠COA+∠COB＝∠POT＝90°， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握垂径定理及三角形中位线定理是解题关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为____________ 【答案】100 【分析】设点P（x，y），表示出PA2＋PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可． 【详解】解：设P（x，y）， ∵PA2＝（x＋1）2＋y2，PB2＝（x−1）2＋y2， ∴PA2＋PB2＝2x2＋2y2＋2＝2（x2＋y2）＋2， ∵OP2＝x2＋y2， ∴PA2＋PB2＝2OP2＋2， 当点P处于OM与圆的交点P处时，OP取得最大值，如图， ∴OP的最大值为OP＝OM＋PM＝＋2＝7， ∴PA2＋PB2最大值为2×72＋2＝100． 故答案为：100． 【点睛】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最大值，难度较大． 3．在平面直角坐标系：xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的限距点的定义如下：若P′为直线PC与⊙C的一个交点，满足r≤PP'≤2r，则称P'为点P关于⊙C的限距点，如图为点P及其关于⊙C的限距点P'的示意图． （1）当⊙O的半径为1时． ①分别判断点M（3，4），N（，0），T（1，）关于⊙O的限距点是否存在？若存在，求其坐标； ②点D的坐标为（2，0），DE，DF分别切⊙O于点E，点F，点P在△DEF的边上．若点P关于⊙O的限距点P′存在，求点P'的横坐标的取值范围； （2）保持（1）中D，E，F三点不变，点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向运动，⊙C的圆心C的坐标为（1，0），半径为r，若点P关于⊙C的限距点P'存在，且P'随点P的运动所形成的路径长为πr，请直接写出r的最小值． 【答案】（1）①存在，（1，0）；②﹣1≤x≤﹣或x＝1；（2）． 【分析】（1）点P关于半径为1的圆存在限距点P'的条件是1≤PP'≤2． ①连接圆心O和点M、T、N，分别求出点M、T、N与圆心O的距离，再减去半径，这个差就是PP'，以可判断出只有点N符合要求； ②按点P在EF边、DE与DF边及与点D重合三种情况分类讨论，在EF边上时，需作出点P'并求出点P'运动的范围，求出其横坐标的最大值和最小值； （2）先证明△DEF是等边三角形，再说明点C是等边三角形DEF的中心，即点C到△DEF三边的距离相等，只需考虑点P存在限距点时r最小的情况，根据（1）中得出的规律，列出相应的不等式，即可求解． 【详解】解：（1）∵⊙O的半径为1， ∴点P关于⊙O的限距点P'存在的条件是1≤PP'≤2． ①存在． 如图1，连接OM、OT、ON，分别交⊙O于点Q、R、L． ∵OM＝＝5，OT＝＝，OL＝1， ∴QM＝5﹣1＝4＞2，RT＝﹣1＜1，LN＝2.5﹣1＝1.5，1＜1.5＜2， ∴点M、T不存在关于⊙O的限距点，点N存在关于⊙O的限距点，该点的坐标为（1，0）． ②如图2，OD交⊙O于点G，交EF于点H，连接并延长EO交⊙O于点E'，连接并延长FO交⊙O于点F'，连接E'F'交x轴于点Q． ∵DE、DF分别切⊙O于点E、F， ∴DE⊥OE，DF⊥OF， ∴∠OED＝∠OFD＝90°， ∵OD＝2，OG＝1，OE＝OF＝OD，   ∴∠DOE＝∠DOF＝60°， ∵OE＝OF＝1，DE＝DF， ∴OD垂直平分EF， ∴∠OHE＝∠OHF＝90°， ∴∠OEH＝∠OFH＝30°， ∴OH＝OE＝，EH＝OE＝，FH＝OF＝， ∴E（，），F（，﹣）， ∵∠QOF'＝∠HOF＝60°，∠QOE'＝∠HOE＝60°，OE'＝OF'， ∴OQ垂直平分E'F'， ∴∠OQF'＝∠OQE'＝90°， ∴OQ＝，QF'＝QE'＝， ∴F'（﹣，），E'（﹣，﹣）， 当点P在EF上，PO的延长线交⊙O于点P'，则1＜PP'≤2， 存在限距点P'，且点P'在弧E'F'上运动， ∴﹣1≤x≤﹣； 如图3，当点P在DE或DF边上，且不与点D、E、F重合时，射线PO交⊙O于两点P'、P''，则PP'＜1，PP''＞2， ∴此时不存在点P的限距点；   如图4，当点P与点D重合时，则PP'＝1，点P'是点P关于⊙O的限距点，此时，x＝1． 综上所述，点P关于⊙O的限距点P'的横坐标x的取值范围是﹣1≤x≤﹣或x＝1． （2）如图5，连接OE，OC． 由（1）得，∠DEF＝∠DFE＝60°， ∴△DEF是等边三角形， ∵△DEF是等边三角形，点C是△DEF的外接圆的圆心， ∵若点P关于⊙C的限距点P′存在，且P′随点P的运动所形成的路径长为πr， 故点P在三个阴影部分运动时，有限距点， ∴图中△PP1C是等边三角形， ∵PC∥ED， ∴＝＝， ∴PC＝， 由题意：r≤﹣r≤2r， ∴， ∴r的最小值为． 【点睛】此题考查圆的切线的性质、切线长定理、直角三角形的性质勾股定理、一元一次不等式等知识的综合应用，解题的关键是准确把握新定义的内涵，正确地作出必要的辅助线，还要特别注意分类讨论思想的应用． ✺巩固测试 一、单选题 1．如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】先确定圆的半径和圆心到直线的距离，再比较与的大小，根据直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论． 【详解】解：由题意得，圆的半径，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离． 2．若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一个圆的圆心到直线的距离为d，圆的半径为，则当时，直线与圆的位置关系为相离；当时，直线与圆的位置关系为相切，当时，直线与圆的位置关系为相交，由题意可得圆心O到直线l的距离大于，据此可得答案． 【详解】解：∵半径为的与直线l相离， ∴圆心O到直线l的距离大于， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 3．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 分圆心在轴的左侧和轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当位于轴的左侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为； 当位于轴的右侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为． 故选：B． 4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，作于点，取上的球心，连接，设，在中利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图，取的中点，作于点， ∵是的中点，于点， ∴经过球心， ∴取上的球心，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴在直角三角形中，，即， 解得：， ∴球的半径为． 5．如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G．利用切线长定理得出，结合三角形周长及等量代换求解即可 【详解】解：设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G． ∴． ∴． ∵的周长是， ∴． ∴． ∴的周长为 二、填空题 6．设方程的两根为的两条直角边的长，则内切圆的半径是______． 【答案】2 【分析】先解一元二次方程得到直角三角形两条直角边的长，再由勾股定理求出斜边长，最后根据直角三角形内切圆半径公式计算结果． 【详解】解：解方程． 因式分解得． 解得，． 即的两条直角边的长分别为和． 由勾股定理得，的斜边长为． 设内切圆的半径为，直角三角形内切圆半径公式为，其中a，b为直角边长，为斜边长． 代入得． 7．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：，再根据三角形内角和定理求出，最后再根据圆周角定理可求． 【详解】解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 8．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝__． 【答案】62° 【分析】先根据切线长定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四边形内角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可． 【详解】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆， ∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD， ∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°， ∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°， ∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°， ∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°， ∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°． 故答案为：62°． 【点睛】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切圆性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键． 9．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线． 【答案】60 【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数． 【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°， ∴， ∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线， ∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键． 10．如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形内切圆、切线长定理．由切线长定理可得，，，从而得出的值，再由三角形周长得出的值，设，列出关于x的方程求解x的值，即可得出的值． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵的周长为36， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 即的长为8， 故答案为：8． 三、解答题 11．在中，，，点为线段上一动点，当点运动到某一位置时，它到点，的距离都等于，到点的距离等于的所有点组成的图形为，点为线段延长线上一点，且点到点的距离也等于． (1)依题意补全图形； (2)求直线与图形的公共点的个数． 【答案】(1)见解析； (2)直线与图形的公共点的个数为个，理由见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，垂直平分线的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）连接，证明为的切线，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点到点，的距离都等于， ∴点为的中垂线与的交点， ∵到点的距离等于的所有点组成图形W， ∴图形是以点为圆心，为半径的圆， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在上，即点在图形， 根据题意补全图形如图所示， （2）解：直线与图形的公共点的个数为个； 连接，如图： ∵， ∵点到点的距离也等于， ∴为的切线， ∴直线与图形的公共点的个数为个． 12．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：经过点且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点的“特征线”．例如：点的特征线是和．    （1）若点的其中一条特征线是，则在、、三个点中，可能是点的点有_______； （2）已知点的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与轴相交于点，直线经过点，且与轴交于点．使的面积不小于6，求的取值范围； （3）已知点，，且的半径为1．当与点的特征线存在交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）且（或者：且）；（3）． 【分析】（1）画出图形，根据点的特征线的定义解决问题即可． （2）过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y=-x+b，求出△PAB的面积为6时点B的坐标，再利用待定系数法求直线PB的解析式，结合图形即可解决问题． （3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为y=x-2或y=-x+2，设当⊙T与直线y=-x+2相切于点M时，当⊙T′与直线y=x-2相切于点N时，分别求出OT，OT′结合图象即可解决问题． 【详解】（1）如图1中，观察图象可知，点D2的特征线是y=x+1．    故答案为D2． （2）如图2中，    设过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y=-x+b， ∴1+b=2， ∴b=1， ∴过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y=-x+1， ∴A（1，0）， 当△BPA的面积=6时，•AB×2=6， ∴AB=6， ∴B（-5，0）或（7，0）， 当y=kx+b′经过P（-1，2），B（-5，0）时， 解得k=， 当直线y=kx+b′经过P（-1，2），B（7，0）时， ，解得k=-， 观察图形可知满足条件的k的值为-≤k≤且k≠0． （3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为y=x-2或y=-x+2，    当⊙T与直线y=-x+2相切于点M时，连接TM， 在Rt△TCM中，∵∠TMC=90°，∠MCT=45°， ∴MT=MC=1， ∴TC=TM=， ∴OT=2-，此时t=2-． 当⊙T′与直线y=x-2相切于点N时，推出法可得OT′=2+，此时t=2+， 结合图象可知满足条件的t的值为：2-≤≤2+． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，三角形的面积，点P的“特征线”的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题． 13．如图，在中，为直径，为的弦，的角平分线与相交于点，过点作． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求与的距离． 【答案】(1)证明：连接，如图， ∵的角平分线与相交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为圆的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接，证明，可得，根据得到，进而证得结论； （2）设，则，分别在直角三角形、直角三角形中，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图，设交于点E， ∵圆的直径， ∴， 设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， 即与的距离是． 14．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 15．如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证； （2）连接，证出即可得证； （3）连接，，，证出即可得证． 【详解】（1）证明：点I是的内心， 平分， ， ， ， ． （2）证明：如图，连接， 点I是的内心， 平分，平分， ， 又， ， ，， ， ． （3）证明：如图，连接，，， ， ． ， ∴点D是的外心． 【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键. 16．在平面直角坐标系中，对于线段和直线（点，均不在直线上且直线不与直线平行），给出如下定义：过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长． (1)如图，已知点，点，线段关于直线的纵影长为______； (2)已知点，点，线段关于直线的纵影长为4，则的值为______； (3)已知，的半径为．若上存在点，使线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数的图像与性质等知识点，能够掌握数形结合和极限思维是解题的关键． （1）根据题意可设为，为，根据待定系数法即可求得为，为，将分别代入上式，可得和，进而求出答案； （2）直线一条过点旋转的直线，可以先确定一条直线，根据定义画出图像，结合平行的性质，可以将进行平移，且，所以可以得到点坐标，从而利用待定系数法求解； （3）根据线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，确定点的运动轨迹，然后可以确定与该轨迹有交点的圆的位置，从而可以求出半径的范围． 【详解】（1）解：∵过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长， ∴，， 设为，为， 将点，点分别代入上面两个式子，即，， ∴，， ∴为，为， 将分别代入上面两个式子，即，， ∴点和 ∴， ∴线段关于直线的纵影长为． （2）解： 是一条过点旋转的直线，如图，根据定义可知，当线段关于直线的纵影长为4时，，则或， 将，代入得， ，解得， 根据纵影长的定义可知， ， 将，代入得， ，解得， 根据纵影长的定义可知， ， 综上所述，或． （3）过点分别作直线和直线的平行线，分别交轴于点，， 当线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为时，， 如图，当，位于点两侧时，，过点作，与轴交于，与轴交于， 设， 与平行； ， ， 与平行， ， ， ， 则， ，即点的横坐标为， 当点的横坐标为2时，令与重合，的纵坐标为2，令与重合，的纵坐标为4， 当点的横坐标为2时，令与重合，的纵坐标为2，令与重合，的纵坐标为4， 此时点的运动轨迹如图所示， 如图，当，位于点同侧时，设， 当在第一象限， 设过点分别与直线和直线平行的直线为，， 代入得，则， 故，， 令得，，， ，即在直线上运动， ， ， 同理可以找到在第二象限，第三象限和第四象限的运动轨迹，如下图， 整理可得完整的运动轨迹，以为圆心，为半径的圆需与此轨迹有交点， 当刚好与轨迹相切时，， 当过点时，， 综上，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07直线与圆的位置关系 暑假预习讲义 ✺知识框架 位置关系基础分类：明确相离、相切、相交三种位置关系的定义与基本特征 位置关系判定方法 （解题核心） 几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判定，考点、解题首选。 各类位置关系核心性质与应用 （1）相离：掌握圆上点到直线的距离最值问题 （2）相切：切线判定、切线核心性质、切线长定理、切线长计算 （3）相交：掌握垂径定理、弦中点核心几何性质。 圆核心图形应用 （1）切线综合应用：切线判定与性质的几何解题应用 （2）三角形内切圆：内切圆定义、内心性质、内切圆半径公式与应用 ✺学习目标 知识要求：（1）掌握直线与圆相离、相切、相交三种位置关系的定义与特征； （2）掌握直线与圆位置关系的几何判定方法（d与r大小比较）； （3）熟记三种位置关系的核心性质，掌握距离最值、切线相关基础计算； （4）掌握切线判定、性质、切线长定理，理解三角形内切圆与内心的性质，熟记半径计算公式。 能力要求：（1）能利用几何法准确判定直线与圆的位置关系； （2）能运用垂径定理、切线相关定理完成线段、角度的计算与证明； （3）会求解圆上点到直线的距离最值、三角形内切圆半径，解决基础几何题型。 素养要求：建立数形结合思维，提升圆的几何推理与运算能力，夯实几何综合题解题基础。 ✺题型归纳 题型1.判断直线和圆的位置关系 题型2.已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型3.已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型4.求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型5.求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型6.切线的应用 题型7.有关切线的概念辨析 题型8.判断或补全使直线为切线的条件 题型9.证明某条直线是圆的切线 题型10.切线的性质定理 题型11.切线的性质和判定的综合应用 题型12.应用切线长定理求解 题型13.应用切线长定理求证 题型14.直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型15.圆外切四边形模型 题型16.三角形内心有关应用 题型17.一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型18.三角形内切圆与外接圆综合 题型19.过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 题型20.圆内知识综合（圆的综合问题） 题型21.圆与三角形的综合（圆的综合问题） 题型22.圆与四边形的综合（圆的综合问题） 题型23.圆与函数的综合（圆的综合问题） 题型24.其他问题（圆的综合问题） ✺知识◆清单 知识点一、直线与圆的三种位置关系 ▶设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，根据直线与圆的公共点个数，分为三种位置关系： 1.相离：直线与圆没有公共点，直线在圆外，无交点； 2.相切：直线与圆有且只有一个公共点，直线为圆的切线，公共点为切点； 3.相交：直线与圆有两个不同的公共点，直线为圆的割线，两点间线段为圆的弦。 知识点二、三种位置关系的核心性质与公式 1.直线与圆相离 核心性质：圆上任意一点到直线的距离存在最值； 最值公式：圆上点到直线的最小距离=d-r，最大距离=d+r。 2.直线与圆相切 核心性质：圆心与切点的连线垂直于切线，且连线长度等于圆的半径； 3.直线与圆相交 核心性质：圆心与弦中点的连线垂直于弦（垂径定理核心性质，），可结合勾股定理求解弦的相关线段长度。 知识点三、圆的切线 1.切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线，是圆的切线。 ★经过圆心且垂直于切线的直线一定经过切点；垂直于切线且经过切点的直线必过圆心. 2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 如下图，∵直线L是⊙o的切线，A为切点∴L⊥OA. 知识点四、切线长定理 1.切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切线之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 2.切线长与切线的区别： （1）切线是直线，不能度量.(2)切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 3.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 如上图，PA，PB是⊙o的两条切线，切点分别为A,B,则PA=PB,∠OPA=∠OPB. 知识点五、切线的判定和性质的应用 1.辅助线的作法：运用切线的性质来进行计算或论证的常见辅助线的作法是连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题。 2.证明直线与圆相切的三种途径 ▶证直线和圆有唯一公共点（即运用定义）。 ▶证直线过半径外端且垂直于这条半径（即运用判定定理）。 ▶证圆心到直线的距离等于圆的半径（即证d=r）。 知识点六、三角形的内切圆 1.三角形的内切圆的有关概念 三角形内切圆：与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。 内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。 2.三角形内切圆的作法 ◆确定圆心：三角形两条角平分线的交点即为圆心； ◆确定半径：交点到三角形任意一边的距离即为内切圆的半径。 3. 如果三角形三边长分别为a,b,c，内切圆半径为r，则三角形的面积 S=(a+b+c)r. ✺题型◆精讲 题型1.判断直线和圆的位置关系 1．已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 2．在中，的半径为3，则边所在直线与的位置关系是_____． 3．如图，在中，．以点C为圆心，分别以下面给出的r为半径作圆，试问所作的圆与斜边所在的直线分别有怎样的位置关系？请说明理由． (1)； (2)； (3)． 题型2.已知直线和圆的位置关系求半径的取值 1．如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是_____． 3．已知直线与圆相离，求k的取值范围． 题型3.已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 1．已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为______． 3．如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为　　　　； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　． 题型4.求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 1．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 2．如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 3．在平面直角坐标系中，的半径为1． 给出如下定义：记线段的中点为，当点不在上时，平移线段，使点落在上，得到线段（分别为点的对应点）线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”． （1）已知点的坐标为，点在轴上． ①若点与原点重合，则线段到的“平移距离”为________； ②若线段到的“平移距离”为2，则点的坐标为________； （2）若点都在直线上，且，记线段到的“平移距离”为，求的最小值； （3）若点的坐标为，且，记线段到的“平移距离”为，直接写出的取值范围． 题型5.求直线平移到与圆相切时运动的距离 1．已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 2．已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移______，才能使与相切? 3．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 题型6.切线的应用 1．如图，⊙O与直线l1相离，圆心O到直线l1的距离OB＝2，OA＝4，将直线l1绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l2刚好与⊙O相切于点C，则OC＝(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为________． 3．如图，的直径，弦于点H，．    (1)求的长； (2)延长到P，过P作的切线，切点为C，若，求的长． 题型7.有关切线的概念辨析 1．如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 2．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_____． 3．如图，在中，，，用尺规作图法在找一点，以为半径作，使得与相切．（保留作图痕迹，不写作法） 题型8.判断或补全使直线为切线的条件 1．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 2．张老师在讲解复习《圆》的内容时，用投影仪屏幕展示出如下内容： 如图，内接于，直径的长为2，过点的切线交的延长线于点． 张老师让同学们添加条件后，编制一道题目，并按要求完成下列填空． （1）在屏幕内容中添加条件，则的长为______． （2）以下是小明、小聪的对话： 小明：我加的条件是，就可以求出的长 小聪：你这样太简单了，我加的是，连结，就可以证明与全等． 参考上面对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（此题目不解答，可以添线、添字母）．______． 3．如图，在中，，点在边上，经过点和点且与边相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径．    题型9.证明某条直线是圆的切线 1．如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点，且，连接，则直线与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 2．如图，直线经过上的点C，并且，则直线和的位置关系是________． 3．如图，是的直径，．求证：是的切线． 题型10.切线的性质定理 1．如图，是的切线，A为切点，的延长线交于点B，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，直线切于点C，连结，若，则的度数为______． 3．如图，点A，B在上，，点C在的延长线上，过C作的切线，切点为D，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型11.切线的性质和判定的综合应用 1．如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．如图，是的弦，是的切线．若，则______． 3．如图，已知为的外接圆，且为的直径，连接，过点B作，交的延长线于点D，过点D作，交的延长线于点F．若，求证：是的切线． 题型12.应用切线长定理求解 1．如图，的内切圆分别与相切于点D、E、F，且，则的周长为（   ） A．32 B．30 C．28 D．26 2．如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 3．如图，和是的两条切线，与相切于点E，并与，分别交于D，C两点．当，时，求的长． 题型13.应用切线长定理求证 1．如图PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，点C在AB上，过C作圆O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P=50°，则∠DOE的度数为（　　　） A．130° B．50° C．60° D．65° 2．如图，是的切线，为切点，连接．若，则=__________． 3．如图，中，为边上一点，为内切圆，、、为切点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型14.直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（  ） A．1 B． C．1.5 D．2 2．如图，是的内切圆，，，为切点，，，，的半径为________． 3．如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 题型15.圆外切四边形模型 1．如图，在四边形中，边均与相切，且，则四边形的周长为（   ） A．44 B．42 C．46 D．47 2．如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 3．如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 题型16.三角形内心有关应用 1．如图，在中，，点I是的内心，连接，则的度数是（    ） 　 A． B． C． D． 2．如图，已知的周长是20，点为三角形内心，连接、，于点，且，则的面积是______． 3．以6、8、10为三边的，O是它的外心，I是它的内心，r是它内切圆半径，求r及的长度． 题型17.一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．如图，在中，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（   ） A．10 B． C． D．13 2．如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____． 3．的面积为，周长为．求该三角形的内切圆的半径． 题型18.三角形内切圆与外接圆综合 1．等腰直角三角形的内切圆半径与外接圆半径的比值为（    ）． A． B． C． D． 2．已知分别是的外心和内心，，则的大小是___________． 3．如图，在等边三角形中． (1)请用尺规作图画出三角形的外接圆（保留作图痕迹）； (2)若，求的半径． 题型19.过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 1．如图，点A在外，连接，作线段的中点B，以B为圆心，为半径作，与交于两点C，D，连接，则，均为直角，直线，是的两条切线．得到，均为直角的依据是（    ） A．同弧或等弧所对的圆周角相等 B．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．直径所对的圆周角是直角 D．圆的切线垂直于过切点的半径 2．已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，  交于点D，E； ④作直线，，则直线， 即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 3．如图，已知及点，利用直尺和圆规过点作的切线． (1)如图①，点在外． (2)如图②，点在外． （要求：不写作法，保留作图痕迹） 题型20.圆内知识综合（圆的综合问题） 1．如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 2．如图,内接于⊙O,,则⊙O的直径等于__________．    3．如图1，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，BD和过点C的切线互相垂直，垂足为E． (1)求证：BC平分∠DBA； (2)如图2，连接AC，当BD＝3，AC＝时，求⊙O的半径． 题型21.圆与三角形的综合（圆的综合问题） 1．如图，在的内接四边形中，，C为上一动点，且，的半径为2，有如下说法：①平分；②三角形是等边三角形；③；④；⑤四边形最大面积是．其中正确说法的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点． （1）______（填“，或”）： （2）若，，则______． 3．如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若A，，则的半径是__________． 题型22.圆与四边形的综合（圆的综合问题） 1．已知的半径是，直线与相交于，两点，点，分别在直线的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（   ） A．25 B． C． D． 2．如图，在中，是的弦．C为上一点，，连接并延长至点D，过点D作交于点E，连接，．当时，四边形面积的最大值为______  ． 3．已知：如图，与相交于点、，且，过点的直线分别交、于点、，且．点是线段的中点．联结并延长交于点，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 题型23.圆与函数的综合（圆的综合问题） 1．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 2．如图，⊙O与抛物线交于两点，且，则⊙O的半径等于_______． 3．在平面直角坐标系中，已知线段和点，给出如下定义：若且点不在线段上，则称点是线段的等腰顶点．特别地，当时，则称点是线段的非锐角等腰顶点． （1）已知点，． ①在点，，，中，是线段的等腰顶点的是 ； ②若点在直线上，且点是线段的非锐角等腰顶点，求的取值范围； （2）直线与轴交于点，与轴交于点．⊙P的圆心为，半径为，若⊙P上存在线段的等腰顶点，请直接写出的取值范围． 题型24.其他问题（圆的综合问题） 1．如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．135° 2．如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为____________ 3．在平面直角坐标系：xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的限距点的定义如下：若P′为直线PC与⊙C的一个交点，满足r≤PP'≤2r，则称P'为点P关于⊙C的限距点，如图为点P及其关于⊙C的限距点P'的示意图． （1）当⊙O的半径为1时． ①分别判断点M（3，4），N（，0），T（1，）关于⊙O的限距点是否存在？若存在，求其坐标； ②点D的坐标为（2，0），DE，DF分别切⊙O于点E，点F，点P在△DEF的边上．若点P关于⊙O的限距点P′存在，求点P'的横坐标的取值范围； （2）保持（1）中D，E，F三点不变，点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向运动，⊙C的圆心C的坐标为（1，0），半径为r，若点P关于⊙C的限距点P'存在，且P'随点P的运动所形成的路径长为πr，请直接写出r的最小值． ✺巩固测试 一、单选题 1．如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 2．若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 5．如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．设方程的两根为的两条直角边的长，则内切圆的半径是______． 7．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 8．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝__． 9．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线． 10．如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 三、解答题 11．在中，，，点为线段上一动点，当点运动到某一位置时，它到点，的距离都等于，到点的距离等于的所有点组成的图形为，点为线段延长线上一点，且点到点的距离也等于． (1)依题意补全图形； (2)求直线与图形的公共点的个数． 12．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：经过点且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点的“特征线”．例如：点的特征线是和．    （1）若点的其中一条特征线是，则在、、三个点中，可能是点的点有_______； （2）已知点的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与轴相交于点，直线经过点，且与轴交于点．使的面积不小于6，求的取值范围； （3）已知点，，且的半径为1．当与点的特征线存在交点时，直接写出的取值范围． 13．如图，在中，为直径，为的弦，的角平分线与相交于点，过点作． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求与的距离． 14．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 15．如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 16．在平面直角坐标系中，对于线段和直线（点，均不在直线上且直线不与直线平行），给出如下定义：过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长． (1)如图，已知点，点，线段关于直线的纵影长为______； (2)已知点，点，线段关于直线的纵影长为4，则的值为______； (3)已知，的半径为．若上存在点，使线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $