专题04圆的相关概念-2026年苏科版数学八升九暑假预习讲义.

专题04圆的相关概念、暑假预习讲义 （苏科版◆新教材） ✺知识框架 1.圆的基础概念体系：涵盖圆的定义与表示、圆的相关线段、相关弧、特殊圆、圆心角五大核心基础内容，掌握各类几何概念的定义、性质及易错辨析，建立完整规范的圆基础认知体系。 2.圆的基础计算：掌握圆的周长、面积核心计算公式，理解并熟记半径变化引发的直径、周长、面积变化规律，熟练完成基础数值运算。 ✅本节分为圆的基础概念体系和圆的基础计算两大模块。系统梳理圆的定义、相关线段、相关弧、特殊圆、圆心角等核心概念，厘清易混淆几何概念的区别与联系，再结合圆的周长、面积公式及变化规律夯实基础运算。整体由浅入深、先认知后应用，知识点完整闭环，贴合暑假零基础预习节奏，为后续圆的深度学习筑牢基础。 ✺学习目标： 知识要求：1.理解圆的描述性定义与集合定义，掌握圆的构成要素及规范表示方法。 2.掌握圆的相关线段（半径、直径、弦）的定义、性质及概念层级关系，能精准辨析易混点。 3.掌握圆的相关弧（半圆、优弧、劣弧、等弧）的定义、表示方法与核心特征，区分各类圆弧差异。 4.认识等圆、同心圆两类特殊圆，掌握其定义与核心性质，规避概念误区。 5.理解圆心角的定义与判定条件，能准确识别圆心角并掌握基础辨析要点。 6.熟记圆的周长、面积计算公式，掌握半径缩放对应的周长、面积变化规律，熟练完成基础计算。 能力要求：1.精准区分圆的线段、圆弧、特殊圆、圆心角等易混淆概念，规避基础认知错误。 2.灵活运用圆的周长、面积公式解题，熟练掌握半径变化带来的数值变化规律。 3.准确识别圆的各类基础几何要素，建立数形结合的基础几何思维。 应试要求：吃透本章课本全部基础考点，熟练掌握概念辨析、基础公式计算两大核心题型。 ✺题型归纳： 题型1.圆的基本概念辨析 题型2.求圆中弦的条数 题型3.求过圆内一点的最长弦 题型4.圆的周长和面积问题 题型5.求小圆绕某图形一圈自转的圈数 题型6.圆心角概念辨析及简单运算 题型7.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、圆的定义及表示方法 1.圆的两种定义 （1）描述性定义：在同一平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动形成的封闭曲线，叫做圆。固定端点为圆心，线段长度为半径。 （2）集合定义：圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。 核心注意：数学定义中的圆特指圆周曲线，不包含圆的内部区域。 2.圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。 3.圆的两大要素 圆心：决定圆的位置；半径：决定圆的大小。圆心和半径唯一确定一个圆。 知识点二、圆的相关线段 圆的基础相关线段包含半径、直径、弦，是构成圆的核心几何要素。 1.基本定义 （1）半径：连接圆心与圆上任意一点的线段。 （2）直径：经过圆心，且两个端点都在圆上的线段。 （3）弦：两个端点都在圆上的线段。 2.核心性质 ① 同圆中，所有半径长度相等，所有直径长度相等； ② 同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即d=2r； ③ 直径是圆中最长的弦，任意弦的长度均不超过直径。 3.概念层级与易错辨析 直径属于特殊的弦，弦不一定是直径；半径只有一端在圆上，半径不属于弦。 ❌ 易错误区：半径是弦、直径不是弦 ✅ 正确结论：弦的两端必须都在圆上，因此半径不是弦，直径是弦。 知识点三、圆的相关弧 1.基本定义与表示 弧：圆上任意两点间的曲线部分，简称弧。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条相等的弧，每一条弧都是半圆。 劣弧：小于半圆的弧，通常用两个字母表示。弧AB 优弧：大于半圆的弧，必须用三个字母表示，弧ACB 2.等弧定义与辨析 等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。 核心易错点：仅长度相等的弧不是等弧，等弧必须同时满足长度相等、弯曲程度相同，只能存在于同圆或等圆中。 3.概念区分：半圆是特殊的弧，但优弧、劣弧都不是半圆。 知识点四、特殊圆（等圆、同心圆） 1.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆。 核心性质:等圆半径相等、周长相等、面积相等，仅圆心位置不同，等圆中存在大量等弧。 2.同心圆:圆心相同、半径不相等的两个圆叫做同心圆。 核心性质:同心圆圆心统一、半径不同，无法重合，不属于等圆； 两圆之间的区域为圆环（仅了解概念，不涉及计算）。 3.易错辨析 ✅ 半径相等的圆一定是等圆，与圆心位置无关； ✅ 同心圆半径不等，一定不是等圆。 知识点五、圆心角概念及辨析 1.定义:顶点在圆心，且两条边均与圆相交的角，叫做圆心角。 2.判定必备条件（缺一不可） ① 角的顶点在圆心；② 角的两条边为圆的半径，与圆相交。 3.核心辨析 ① 顶点在圆上、圆内、圆外的角，均不是圆心角； ② 圆心角的大小仅由两条半径的张开角度决定，与圆的半径长短无关。 知识点六、圆的周长与面积（基础计算） 1. 核心公式 设圆的半径为r，直径为d（d=2r） 圆的周长公式：C=2πr=πd 圆的面积公式：S=π 2.半径变化规律 若圆的半径扩大n倍，则圆的直径、周长同步扩大n倍，面积扩大倍。 ✺题型◆精讲 题型1.圆的基本概念辨析 1．以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 2．平面上到点的距离为的点的轨迹是______________． 3．如图，四边形是矩形．求证：四点在同一个圆上． 题型2.求圆中弦的条数 1．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 3．如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 题型3.求过圆内一点的最长弦 1．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 2．外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________． 3．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 题型4.圆的周长和面积问题 1．一个圆形花坛，周长是，在距花坛边的外面围上一圈栏杆，栏杆的长（取）（    ） A． B． C． D． 2．小明去商店买了两瓶相同的圆柱形饮料，为了携带方便，售货员用绳子将其捆扎在一起，如图所示，她捆了2圈，且打结处用了20厘米，则每瓶饮料的底面积是______平方厘米，所用绳子至少长______分米．（π取3.14） 3．一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 题型5.求小圆绕某图形一圈自转的圈数 1．如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 3．圆的滚动问题探索： (1)如图1，一个半径为的圆沿直线方向从地滚动到地，若的长为，则该圆在滚动过程中自转了___________圈．（用含、的式子表示） 试验： 现有两个半径相等的圆（如图5），将圆固定，圆沿定圆的周围滚动无滑动．当圆沿圆周围滚动一周回到原来的位置时，圆自转了圈，而圆的圆心运动的线路也是一个圆，而这个圆的周长恰好是圆的周长的倍． (2)如图2，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的周围滚动无滑动．当沿的周围滚动一周回到原来的位置时，自转了___________圈； (3)如图3，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的内部边缘滚动无滑动．当沿边缘滚动一圈回到原来的位置时，自转了___________圈． 解决问题： (4)如图4，一个等边三角形的边长与圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了多少圈？请说明理由． 题型6.圆心角概念辨析及简单运算 1．图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的外接圆，，，则的直径为__________． 3．把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． ✺巩固测试 一、单选题 1．已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 2．小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 3．如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 二、填空题 5．经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 6．已知中最长的弦为14厘米，则此圆半径为_______厘米． 7．如图，为的直径，弦与交于点E，已知，，则的度数为________． 8．．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 三、解答题 9．如图，等腰三角形中，．以点B为圆心，长为半径作弧分别交，于点D，E，延长交的延长线于点F． (1)若，求的度数． (2)求证：． (3)若D为的中点．，求的面积． 10．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别是点，，连接． (1)如图1，若点落在边上， ①求证：； ②判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，若，求直线，所夹锐角的度数． (3)若，直接写出点到的最大距离． 11．如图，等边三角形中，点D，E分别在边、上，，连接，交于点P． (1)求证：； (2)若等边三角形的边长为，的最小值是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04圆的相关概念、暑假预习讲义 （苏科版◆新教材） ✺知识框架 1.圆的基础概念体系：涵盖圆的定义与表示、圆的相关线段、相关弧、特殊圆、圆心角五大核心基础内容，掌握各类几何概念的定义、性质及易错辨析，建立完整规范的圆基础认知体系。 2.圆的基础计算：掌握圆的周长、面积核心计算公式，理解并熟记半径变化引发的直径、周长、面积变化规律，熟练完成基础数值运算。 ✅本节分为圆的基础概念体系和圆的基础计算两大模块。系统梳理圆的定义、相关线段、相关弧、特殊圆、圆心角等核心概念，厘清易混淆几何概念的区别与联系，再结合圆的周长、面积公式及变化规律夯实基础运算。整体由浅入深、先认知后应用，知识点完整闭环，贴合暑假零基础预习节奏，为后续圆的深度学习筑牢基础。 ✺学习目标： 知识要求：1.理解圆的描述性定义与集合定义，掌握圆的构成要素及规范表示方法。 2.掌握圆的相关线段（半径、直径、弦）的定义、性质及概念层级关系，能精准辨析易混点。 3.掌握圆的相关弧（半圆、优弧、劣弧、等弧）的定义、表示方法与核心特征，区分各类圆弧差异。 4.认识等圆、同心圆两类特殊圆，掌握其定义与核心性质，规避概念误区。 5.理解圆心角的定义与判定条件，能准确识别圆心角并掌握基础辨析要点。 6.熟记圆的周长、面积计算公式，掌握半径缩放对应的周长、面积变化规律，熟练完成基础计算。 能力要求：1.精准区分圆的线段、圆弧、特殊圆、圆心角等易混淆概念，规避基础认知错误。 2.灵活运用圆的周长、面积公式解题，熟练掌握半径变化带来的数值变化规律。 3.准确识别圆的各类基础几何要素，建立数形结合的基础几何思维。 应试要求：吃透本章课本全部基础考点，熟练掌握概念辨析、基础公式计算两大核心题型。 ✺题型归纳： 题型1.圆的基本概念辨析 题型2.求圆中弦的条数 题型3.求过圆内一点的最长弦 题型4.圆的周长和面积问题 题型5.求小圆绕某图形一圈自转的圈数 题型6.圆心角概念辨析及简单运算 题型7.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、圆的定义及表示方法 1.圆的两种定义 （1）描述性定义：在同一平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动形成的封闭曲线，叫做圆。固定端点为圆心，线段长度为半径。 （2）集合定义：圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。 核心注意：数学定义中的圆特指圆周曲线，不包含圆的内部区域。 2.圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。 3.圆的两大要素 圆心：决定圆的位置；半径：决定圆的大小。圆心和半径唯一确定一个圆。 知识点二、圆的相关线段 圆的基础相关线段包含半径、直径、弦，是构成圆的核心几何要素。 1.基本定义 （1）半径：连接圆心与圆上任意一点的线段。 （2）直径：经过圆心，且两个端点都在圆上的线段。 （3）弦：两个端点都在圆上的线段。 2.核心性质 ① 同圆中，所有半径长度相等，所有直径长度相等； ② 同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即d=2r； ③ 直径是圆中最长的弦，任意弦的长度均不超过直径。 3.概念层级与易错辨析 直径属于特殊的弦，弦不一定是直径；半径只有一端在圆上，半径不属于弦。 ❌ 易错误区：半径是弦、直径不是弦 ✅ 正确结论：弦的两端必须都在圆上，因此半径不是弦，直径是弦。 知识点三、圆的相关弧 1.基本定义与表示 弧：圆上任意两点间的曲线部分，简称弧。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条相等的弧，每一条弧都是半圆。 劣弧：小于半圆的弧，通常用两个字母表示。弧AB 优弧：大于半圆的弧，必须用三个字母表示，弧ACB 2.等弧定义与辨析 等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。 核心易错点：仅长度相等的弧不是等弧，等弧必须同时满足长度相等、弯曲程度相同，只能存在于同圆或等圆中。 3.概念区分：半圆是特殊的弧，但优弧、劣弧都不是半圆。 知识点四、特殊圆（等圆、同心圆） 1.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆。 核心性质:等圆半径相等、周长相等、面积相等，仅圆心位置不同，等圆中存在大量等弧。 2.同心圆:圆心相同、半径不相等的两个圆叫做同心圆。 核心性质:同心圆圆心统一、半径不同，无法重合，不属于等圆； 两圆之间的区域为圆环（仅了解概念，不涉及计算）。 3.易错辨析 ✅ 半径相等的圆一定是等圆，与圆心位置无关； ✅ 同心圆半径不等，一定不是等圆。 知识点五、圆心角概念及辨析 1.定义:顶点在圆心，且两条边均与圆相交的角，叫做圆心角。 2.判定必备条件（缺一不可） ① 角的顶点在圆心；② 角的两条边为圆的半径，与圆相交。 3.核心辨析 ① 顶点在圆上、圆内、圆外的角，均不是圆心角； ② 圆心角的大小仅由两条半径的张开角度决定，与圆的半径长短无关。 知识点六、圆的周长与面积（基础计算） 1. 核心公式 设圆的半径为r，直径为d（d=2r） 圆的周长公式：C=2πr=πd 圆的面积公式：S=π 2.半径变化规律 若圆的半径扩大n倍，则圆的直径、周长同步扩大n倍，面积扩大倍。 ✺题型◆精讲 题型1.圆的基本概念辨析 1．以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查圆的有关性质．根据圆的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项：缺少“同圆或等圆”条件，即相等的圆心角所对的弦相等需在同圆或等圆中成立， 故A错误，不符合题意； B选项：弦不一定是直径，故B错误，不符合题意； C选项：弧有优弧和劣弧之分，优弧长于半圆，故C错误，不符合题意； D选项：同圆中直径是最长的弦，故D正确，符合题意， 故选：D． 2．平面上到点的距离为的点的轨迹是______________． 【答案】以点为圆心，为半径的圆 【分析】本题考查了轨迹，圆的认识，解题的关键是理解圆的定义． 利用圆的定义进行回答． 【详解】解：平面上到点的距离为的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆． 故答案为：以为圆心，为半径的圆． 3．如图，四边形是矩形．求证：四点在同一个圆上． 【答案】证明见解析 【分析】连接矩形的两条对角线，利用矩形对角线相等且互相平分的性质，推导出四个顶点到对角线交点的距离相等，再根据“到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”的圆的定义，即可证明四点共圆． 【详解】证明：如图，连接矩形的对角线、，交于点． ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴． ∴点、、、四点在以为圆心，为半径的同一个圆上． 题型2.求圆中弦的条数 1．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故选B． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线段叫弦． 2．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 3．如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 【答案】3 【分析】过点M作交于点A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案． 【详解】解：过点M作交于点A、B，连接， 则， 在中，， ∴， 则过点M的所有弦， ，且 ， 则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共3条． 题型3.求过圆内一点的最长弦 1．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 2．外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键． 根据直径是圆中最大的弦解答即可． 【详解】解：如图，设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦， ∴过P，O作圆的直径，则，， ∴， ∴圆的直径为， 故答案为：6． 3．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）连接，线段即为所求； （3）连接，线段即为所求（答案不唯一）． 【详解】（1）如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）如图所示，连接，线段即为所求； （3）如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键． 题型4.圆的周长和面积问题 1．一个圆形花坛，周长是，在距花坛边的外面围上一圈栏杆，栏杆的长（取）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的周长公式，先根据花坛周长求出花坛半径，再得到栏杆围成圆的半径，最后计算栏杆周长． 【详解】解：设花坛半径为，栏杆围成圆的半径为， ∵， ∴， ∵栏杆在距花坛边的外侧， ∴， ∴栏杆周长． 2．小明去商店买了两瓶相同的圆柱形饮料，为了携带方便，售货员用绳子将其捆扎在一起，如图所示，她捆了2圈，且打结处用了20厘米，则每瓶饮料的底面积是______平方厘米，所用绳子至少长______分米．（π取3.14） 【答案】 【分析】考查了圆的周长和面积的应用．先求出每个瓶子的底面直径，再根据圆的面积公式和周长公式进行计算即可． 【详解】解：，， ∴每瓶饮料的底面积是 ， 即每瓶饮料的底面积为， 所用绳子至少长， 故答案为：， 3．一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 【答案】(1)71.4分米； (2)142.8平方分米 【分析】（1）首先求出半径，然后列式求解； （2）用半径为6的圆的面积减去半径为4的圆的面积，然后加上2个长为20分米，宽为2分米的长方形的面积，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：半径为（分米）， （分米）； 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长71.4分米； （2）解： （平方分米）； 答：扫地机器人扫过的面积是142.8平方分米． 题型5.求小圆绕某图形一圈自转的圈数 1．如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了轨迹问题，掌握上的点P运动的路径长点运动的路径长是本题的关键． 根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即可解答． 【详解】解：根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即的圆心形成的轨迹与是同心圆；故①正确； ，则的圆心经过的路程是，故②错误； 根据题意可得点P运动的路径长， 的周长， 即在滚动中自身转了2周，故③正确； 故选：B． 2．自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 【答案】144 【分析】由顺时针转动1周，转动的长度是，上的点随之旋转，点转动的长度是，得到，即可求解． 【详解】解：顺时针转动1周，转动的长度是， ∵上的点随之旋转， ∴点转动的长度是， ∵， ∴， ∵顺时针转动1周转动的长度等于上的点旋转转动的长度， ∴， 解得，． 3．圆的滚动问题探索： (1)如图1，一个半径为的圆沿直线方向从地滚动到地，若的长为，则该圆在滚动过程中自转了___________圈．（用含、的式子表示） 试验： 现有两个半径相等的圆（如图5），将圆固定，圆沿定圆的周围滚动无滑动．当圆沿圆周围滚动一周回到原来的位置时，圆自转了圈，而圆的圆心运动的线路也是一个圆，而这个圆的周长恰好是圆的周长的倍． (2)如图2，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的周围滚动无滑动．当沿的周围滚动一周回到原来的位置时，自转了___________圈； (3)如图3，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的内部边缘滚动无滑动．当沿边缘滚动一圈回到原来的位置时，自转了___________圈． 解决问题： (4)如图4，一个等边三角形的边长与圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了多少圈？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)该圆自转了圈； 理由见解析 【分析】（1）利用圆运动的距离除以圆的周长即可得出答案； （2）利用运动的距离除以的周长即可得出答案； （3）利用运动的距离除以的周长即可得出答案； （4）圆自转的圈数绕三边滚动所转的圈数圆心要绕其三角形的顶点所转的圈数． 【详解】（1）解：该圆在滚动过程中自转的圈数为：（圈）； （2）解：当沿沿周围滚动一周回到原来的位置时，滚动的路程为：， 自转了（圈）； （3）解：当沿内部边缘滚动一圈回到原来的位置时，滚动的路程为：， 自转了（圈）； （4）解：该圆自转了圈； 理由如下： 等边三角形的边长与和圆的周长相等， 圆在等边三角形三条边上滚动时，转了圈， 而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数， 圆心要绕其三角形的顶点旋转， 圆绕三个顶点共旋转了，即转了圈， 此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了圈． 题型6.圆心角概念辨析及简单运算 1．图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角，根据圆心角的定义进行判断． 【详解】解：A、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； C、顶点O在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点O在圆心，符合圆心角的概念，符合题意． 故选：D． 2．如图，是的外接圆，，，则的直径为__________． 【答案】 【分析】连接，，依据是等腰直角三角形，即可得到，进而得出的直径为． 【详解】如图，连接 ， ， 是等腰直角三角形， 又， ∴， ∴的直径为， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键． 3．把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 【答案】/144度 【分析】该题考查了圆心角，解一元一次方程，扇形面积比等于圆心角比，设比例系数为，根据圆心角和为列方程求解． 【详解】解：∵各个扇形面积的比为， 设四个扇形的圆心角分别为，，，， 则， 解得：， 最大圆心角为． 故答案为：． ✺巩固测试 一、单选题 1．已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故选B． 2．小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 【答案】C 【详解】解：通过观察图形可知，把这个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形，这个新图形的两条边之和等于半圆的弧，另外两条边之和等于半圆的直径，所以这个新图形的周长等于半圆的周长． 3．如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． 4．如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角得，由平行线的性质得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． 二、填空题 5．经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【答案】 无数 直径 【分析】本题主要考查了弦的概念，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键． 根据连接圆上任意两点间的线段是弦，经过圆内一点可以作无数条直线与圆相交，从而形成无数条弦；根据圆中最长的弦是直径即可解答． 【详解】解：经过圆内一点可作圆的无数条弦，其中最长的弦是直径． 故答案为：无数；直径． 6．已知中最长的弦为14厘米，则此圆半径为_______厘米． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的认识，掌握“直径是圆中最长的弦”是解题的突破口．直径是圆中最长的弦，根据圆的直径是14厘米求解即可． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，中最长的弦为14厘米， ∴的直径是14厘米． ∴的半径是7厘米． 故答案为：7． 7．如图，为的直径，弦与交于点E，已知，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再利用圆的半径相等得到，进而求出的度数，最后利用角的和差关系及邻补角定义求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 8．．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 【答案】 【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r，图2中三角形的底为，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小． 【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r， 图2中三角形的底为，高为r， ∴ ． 三、解答题 9．如图，等腰三角形中，．以点B为圆心，长为半径作弧分别交，于点D，E，延长交的延长线于点F． (1)若，求的度数． (2)求证：． (3)若D为的中点．，求的面积． 【答案】(1) (2)证明：连接，如图 有， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）连接，有，根据三角形的内角和求出，得到，推导出，得到，推导出是等边三角形，得到，即可求出； （2）连接，设，根据三角形的内角和求出，得到∴，推导出，得到，继而推导出，得到，则； （3）先推导出，，得到，证明出，设，求出，过D作于，根据勾股定理，得到， 求出，继而求出，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图 有， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴． ∴． （2）略 （3）解：∵是中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ 化简，得， 解得（负值已舍去）， 由（2）得，即， 过D作于，如图 ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， ． 10．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别是点，，连接． (1)如图1，若点落在边上， ①求证：； ②判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，若，求直线，所夹锐角的度数． (3)若，直接写出点到的最大距离． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2)直线所夹锐角的度数为． (3) 【分析】（1）①根据题意可得到，即可求证；②根据，可得，再由，可得到，即可解答； （2）设直线交于点G，根据等腰三角形的性质可得，即可解答； （3）作于点，根据，可得，由题意，点在以点为圆心，为半径的半圆上，可得当，即三点共线时，点到的距离最大． 【详解】（1）①证明：由旋转的性质得，， ， ． ②解：，理由如下： ， ． ， ， ， ，即． （2）解：设直线交于点G，如图， 根据题意得：． ， ， ， ， 即直线所夹锐角的度数为． （3）解：如图，作于点， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 由题意，点在以点为圆心，为半径的半圆上， 当，即三点共线时，点到的距离最大， 最大距离是． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆的基本性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 11．如图，等边三角形中，点D，E分别在边、上，，连接，交于点P． (1)求证：； (2)若等边三角形的边长为，的最小值是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及轨迹和最值问题，解题的关键是确定点的运动轨迹并利用几何性质求的最小值． （1）利用等边三角形性质得、，通过证明，推出，结合角的和差及对顶角相等，最终证得． （2）由确定点的运动轨迹是一段劣弧，连接，通过全等三角形及角度关系求出和半径，利用“两点之间线段最短”，得的最小值． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 在和中， ． ． ， ． ． ． ． ，，， ． ． （2）∵． 点的运动轨迹是点为圆心，半径为的劣弧，且． 如图所示，连接． ，，， ． ，． ， ． ． ， ． ． ． 的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $