2027年高考第一轮专题第2讲 基本不等式

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”核心考点，依据课标要求梳理了不等式成立条件、等号条件及最值结论，对接高考评价体系分析了直接应用、函数最值、条件型问题等五大考向，归纳出“积定和最小、和定积最大”等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题典例解析+解题技巧提炼”，如典例6用“条件逆代法”求2x+y最小值，典例9通过“凑配技巧”转化目标函数，培养学生数学思维与模型观念。特设易错点警示与方法归纳，助力学生掌握得分技巧，教师可据此高效规划复习，提升备考质量。

第2讲 基本不等式 数 学 目标导航•建网络 教材核心知识 课标要求 基本不等式 基本不等式(a,b≥0) 基本不等式 结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 知能构建•强技能 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 实战演练•明方向 考向1 基本不等式直接应用 典例2设x,y满足x+y=10,且x,y都是正数,则xy的最大值为(　　) A.5 B.10 C.25 D.50 C 解析 因为x,y满足x+y=10,且x,y都是正数,所以xy≤=25,当且仅当x=y=5时等号成立,所以xy的最大值为25.故选C. 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 考向2 基本不等式求函数最值 典例3(2025浙江高二期末)已知a>0,b>0,且=1,则的最小值为(　　) A.2 B.2 C. D.1+ A 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 解析 因为a>0,b>0,且=1,所以=1-,所以a=>0,所以b>2, 所以a-1=-1=>0, 所以>0, 所以=(b-2)+≥2=2, 当且仅当b-2=,即b=3时,等号成立,所以的最小值为2.故选A. 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 AD 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 典例5 如图(俯视图),学校决定投资12 000元在操场建一长方体形体育器材仓库,利用围墙靠墙建,由于要求器材仓库高度恒定,不靠墙的长和宽所在的面的建造材料造价每米100元(不计高度,按长度计算),顶部材料每平方米造价300元.在预算允许的范围内,仓库占地面积最大能达到多少平方米? 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 归纳总结利用基本不等式求函数的最值,关键在于将函数式转化为基本不等式的模型,特别要注意“正”“定”“等”三个条件同时成立:“正”是指各项必须为正值;“定”是指利用基本不等式放缩后最后出现的是不含未知数的定常数;“等”是指不等式在放缩过程中,每一步的等号都能取到. 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 考向3 条件型不等式问题 B 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 ABC 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 归纳总结二元条件型基本不等式问题的解法取决于条件的使用方式,常见方法:一是消元代入,转化成一元函数问题;二是条件式直接变形,如典例7选项A的判断;三是条件“逆代”,如典例6利用+y=1构造(2x+)(+y),典例7选项B的判断,四是如典例7选项D的判断,作变形,(a+1)(2b+1)=(2a+2)(2b+1),创设使用基本不等式的条件. 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 考向4 利用基本不等式比较大小 典例8设b>a>0,且a+b=1,则下列四个数中最大的是(　　) A. B.a2+b2 C.2ab D.a B 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 归纳总结多数比较问题是常见的题型,应用基本不等式作比较的多是二元函数式,基本工具是基本不等式链,设a>0,b>0,则有,其中等号成立的条件是a=b. 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 考向5 基本不等式使用技巧:“凑”与“配” D 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 D 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 归纳总结典例9(1)(2)尽管可以利用条件代入消元,转化为一元函数求最值,但过程较繁.这里采用巧妙的“凑”“配”技巧,典例9(1)抓住条件式中x(x+2y)=1,把要求的式子凑成2x+y=(4x+2y),再依据条件式分拆,典例9(2)对条件式进行因式分解,依据所得结果对目标函数进行“凑”“配”,达到了简化解题的效果. 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 1.基本不等式: (1)成立的条件:a>0,b>0; (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时,等号成立. 简记:一正二定三相等. 2.常用的基本不等式形式 (1)当a>0,b>0时,; (2)当a,b∈R时,a2+b2≥2ab; (3)当x>0,a>0时,x+≥2. 3.利用基本不等式求最值问题 积定和最小,和定积最大. 典例1已知实数x>0,y>0,则的最小值是__________.  2-1 解析 -1≥2-1,当且仅当时,等号成立. 典例4(多选)下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)=x+(x>2)在x=3处取到最小值 B.函数f(x)=的最小值是2 C.函数f(x)=2-x-(x<0)的最小值为2-2 D.对任意x>0,使得≤a恒成立的a的最小值为 解析 对于A,f(x)=x+=x-2++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时,等号成立,故A正确;对于B,f(x)=,又因为≥2,根据对勾函数的性质可得f(x)=≥2+,所以函数f(x)=的最小值是,故B错误;对于C, 由x<0,f(x)=2-x-=2+(-x)+(-)≥2+2=2+2,当且仅当-x=-,即x=-时,等号成立,函数f(x)=2-x-(x<0)的最小值为2+2,故C错误;对于D,因为,当且仅当x=,即x=2时,等号成立,所以a≥,即使得≤a恒成立的a的最小值为,故D正确.故选AD. 解 设仓库不靠墙的长为x米,宽为y米,x>0,y>0, 则100(x+y)+ 300xy≤12 000,整理得(x+y)+3xy≤120. ∵x>0,y>0, ∴由基本不等式可得x+y≥2, ∴3xy+2≤120,∴(-6)(3+20)≤0, 解得0<≤6,故0<xy≤36,当且仅当x=y时,等号成立, ∴仓库占地面积最大能达到36平方米. 典例6已知实数x,y>0,且+y=1,则2x+的最小值是(　　) A.6 B.3+2 C.2+3 D.1+ 解析 (方法1)2x+=(2x+)(+y)=3+2xy+≥3+2,当且仅当2xy=,即x=1+,y=-1时,等号成立,故选B. (方法2)由+y=1,得,且x>1,∴2x+=2x+=2(x-1)++3≥3+2,当且仅当x=1+,y=-1时,等号成立,故选B. 典例7(多选)已知a>0,b>0,且a+b=1,则(　 　) A.ab的最大值为 B.的最小值为3+2 C.a2+b2的最小值为 D.(a+1)(2b+1)的最大值为3 解析 因为a>0,b>0,且a+b=1, 选项A,ab≤()2=,当且仅当a=b=时,等号成立,故A正确;选项B,=()(a+b)=3+≥3+2=3+2,当且仅当,即a=-1,b=2-时,等号成立,故B正确;选项C,a2+b2≥,当且仅当a=b时,等号成立,故C正确;选项D,(a+1)(2b+1)=(2a+2)(2b+1)≤]2=,当且仅当2a+2=2b+1,即a=,b=时,等号成立,故D错误.故选ABC. 解析 因为b>a>0,且a+b=1,由不等式链可知,a<,得<a2+b2. 又因为2ab<a2+b2,所以最大的是a2+b2.故选B. 典例9(1)已知x>0,y>0,满足x2+2xy-1=0,则2x+y的最小值是(　　) A. B. C. D. 解析 (方法1)由x2+2xy-1=0,得x(x+2y)=1, ∴2x+y=(4x+2y)=(3x+x+2y)≥,当且仅当即x=y=时,等号成立.故选D. (方法2)∵正实数x,y满足x2+2xy-1=0,∴y=,∴2x+y=2x+x+(3x+)≥×2,当且仅当x=时,等号成立,∴2x+y的最小值为,故选D. (2)已知实数a>2,b>1,且满足ab-a-2b-2=0,则(a+1)(b+2)的最小值为(　　) A.24 B.3+13 C.9+13 D.25 解析由ab-a-2b-2=0,得(a-2)(b-1)=4,∴(a+1)(b+2)=(a-2+3)(b-1+3)=(a-2)(b-1)+3(a-2)+3(b-1)+9=4+3(a-2)+3(b-1)+9≥13+6=13+12=25,当且仅当a=4,b=3时,等号成立,故选D. $