2027年高二下学期广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷13

**基本信息** 聚焦高考核心素养，覆盖复数、集合、函数等高中数学主干知识，通过实际应用情境（如汽车刹车距离模型）与梯度化问题设计，适配高考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/72|复数、集合、三角函数、概率统计|基础概念辨析，如第5题奇偶性判断考查数学抽象| |填空题|6/36|向量、不等式、立体几何|计算能力考查，如第15题向量垂直求参数体现数学运算| |解答题|4/42|数学建模（19题）、概率（20题）、解三角形（21题）、立体几何（22题）|综合应用，如22题几何证明与体积计算考查逻辑推理与空间观念|

2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷13 本试卷共22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数在复平面上所对应的点为，复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数，的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题：“，”，则为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数为既是奇函数又是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　) A. B. C. D. 7. 为了得到的图像，只需将的图像（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 8. 已知样本数据，，，的平均数，则样本数据，，，的平均数为( ) A. 5 B. 10 C. 11 D. 15 9. 若正实数满足，则的最小值为( ) A、 B、2 C、 D、4 10. 某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(　　) A．45 B．50 C．55 D．60 11. 若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ） A．至少与，中的一条相交 B．与，都相交 C．至多与，中的一条相交 D．与，都不相交 12. 设,若,则 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分） 13. 计算：______ 14.已知，求的值是_________ 15.已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________ 16. 不等式的解集是_______________ 17.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则 18. 已知，，的值是 三、解答题（共 4 小题，19、20、21 每题 10 分，22 题 12 分，共 42 分；需完整书写证明、演算步骤） 19.若用模型来描述汽车紧急刹车后滑行的距离与刹车时的速度的关系，而某种型号的汽车的速度为时，紧急刹车后滑行的距离为.在限速的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为，问这辆车是否超速行驶？ 20.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，求下列事件的概率： （1）没有出现6点； （2）至少出现一次6点； 21.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，． （1）求c； （2）设为边上一点，且，求的面积． 22. 如图，直三棱柱中，，分别是，的中点， （1）证明：平面； （2）设，，求三棱锥的体积。 2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷13解析 本试卷共22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数在复平面上所对应的点为，复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】复数在复平面上所对应的点为，则复数，则复数的共轭复数是 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】，又，． 3. 函数，的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 4. 已知命题：“，”，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】改量词，否定结论，则为 5. 下列函数为既是奇函数又是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】A：，定义域关于原点对称，且有，故为奇函数； B：，定义域关于原点对称，且有，故为偶函数； C：，定义域关于原点对称，但是，，故非奇非偶函数； D选项，，定义域定义域关于原点对称， 故为既是奇函数又是偶函数． 6. 已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】,,所以与向量同方向的单位向量为 7. 为了得到的图像，只需将的图像（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【详解】因为 所以，为了得到的图像，只需将 的图像向右平移个单位长度． 8. 已知样本数据，，，的平均数，则样本数据，，，的平均数为( ) A. 5 B. 10 C. 11 D. 15 【答案】C 9. 若正实数满足，则的最小值为( ) A、 B、2 C、 D、4 【答案】C 【详解】，，即，，当且仅当时取等号，所以的最小值为. 10. 某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(　　) A．45 B．50 C．55 D．60 【答案】B 【详解】由频率分布直方图，低于60分的频率为 (0.01＋0.005)×20＝0.3. ∴该班学生人数n＝＝50. 11. 若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ） A．至少与，中的一条相交 B．与，都相交 C．至多与，中的一条相交 D．与，都不相交 【答案】A 12. 设,若,则 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【详解】,则，得， 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分） 13. 计算：______ 【答案】 【详解】 14.已知，求的值是_________ 【答案】3 【详解】,∴ 15.已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________. 【答案】 【详解】由题意可得：，与垂直，则 ，即：，解得. 16.不等式的解集是_______________ 【答案】. 17.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则 . 【答案】4 【详解】依题意，，解得. 18. 已知，，的值是 . 【答案】 【详解】由，且，可得.又由， 得，所以. 三、解答题（共 4 小题，19、20、21 每题 10 分，22 题 12 分，共 42 分；需完整书写证明、演算步骤） 19.若用模型来描述汽车紧急刹车后滑行的距离与刹车时的速度的关系，而某种型号的汽车的速度为时，紧急刹车后滑行的距离为.在限速的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为，问这辆车是否超速行驶？ 【详解】由题意知点在函数的图象上， ∴，解得得，∴， 当时，则有，整理得，∴． ∵，∴这辆车没有超速行驶． 20.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，求下列事件的概率： （1）没有出现6点； （2）至少出现一次6点； 【详解】该试验的样本空间表示为，共有（个）样本点. （1） 设A=事件“没有出现6点”包含的样本点满足，共有125个， 所以其概率为，所以事件“没有出现6点”的概率是； （2）事件“至少出现一次6点”与事件“没有出现6点”互为对立事件，故其概率为， 所以事件“至少出现一次6点”的概率是 21.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，． （1）求c； （2）设为边上一点，且，求的面积． 【详解】（1）由得，即，又， ∴，得. 由余弦定理.又∵代入并整理得，故. （2）∵，由余弦定理. ∵，即为直角三角形，则，得. 由勾股定理. 又，则， 所以的面积是． 22.如图，直三棱柱中，，分别是，的中点， （1）证明：平面； （2）设，，求三棱锥的体积。 (1)证明　连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点，连结DF. 又D是AB中点，则BC1∥DF. 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD. (2)解　因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD. 又因为AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB. 又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1. 由AA1＝AC＝CB＝2，得∠ACB＝90°，，，，A1E＝3， 故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D. 所以， 所以三棱锥的体积是1. 学科网（北京）股份有限公司 $