2.5.2　圆与圆的位置关系 同步练习 2026-2027学年高二上学期人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 高中数学“圆与圆的位置关系”同步练，通过基础巩固、综合运算、拓展应用三层设计，实现从概念理解到实际应用的知识进阶，培养数学推理能力与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|位置关系判断、圆心距与半径关系|选择题（1-3题）直接考查概念，培养推理意识| |中档|公共弦、参数范围、圆方程求解|填空题（7-9题）强化运算能力，结合几何直观| |拔高|轨迹方程、实际测量、最值问题|解答题（15-16题）融入实际情境，发展应用意识与创新意识|

2.5.2　圆与圆的位置关系 1. (2025高二上·成都期末) 圆和圆的位置关系是（　　） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 相离 2.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（　　） A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0 C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝0 3.已知圆A，圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的半径为（　　） A.6 cm或14 cm B.10 cm C.14 cm D.无解 4. (2025高二上·浙江期中) 若圆：与圆：相交，则的取值范围（　　） A.  B.  C.  D.  5.我们把圆心在一条直线上，且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”.在如图所示的“串圆”中，圆C1和圆C3的方程分别为x2＋y2＝1和（x－4）2＋（y－2）2＝1，若直线ax＋2by－2＝0（a，b＞0）始终平分圆C2的周长，则a＋b＝（　　） A. B.1 C. D.2 6.（多选）（2024·开封月考）下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是（　　） A.（x＋2）2＋（y＋2）2＝9 B.（x－2）2＋（y＋2）2＝9 C.（x－2）2＋（y－2）2＝25 D.（x－2）2＋（y＋2）2＝49 7.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则a＝　　　　. 8.已知点P（2，－2）和圆C：（x＋1）2＋（y－2）2＝16，则P在圆C　　　　（填“内”“外”或“上”）；以P为圆心且和圆C内切的圆的标准方程为　　　　　　. 9.圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为　　　　. 10.（2025高二上·东坡期末) 已知圆C：. (1) 若直线l经过点A( - 1, 3)，且与圆C相切，求直线l的方程； (2) 若圆C₁：与圆C相切，求实数m的值. 11.已知圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－1＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－4＝0恰有三条公共切线，则的最小值为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 12.（多选）已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，则下列说法正确的是（　　） A.两圆有两条公切线 B.直线AB的方程为y＝2x＋2 C.线段AB的长为 D.若圆O上有一动点E，圆M上有一动点F，则｜EF｜的最大值为＋3 13.若☉O：x2＋y2＝5与☉O1：（x－m）2＋y2＝20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为　　　　. 14.（2024·商丘月考）已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0. （1）若直线l1过定点A（1，1），且与圆C相切，求l1的方程； （2）若圆D的半径为3，圆心在直线l：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程. 15.为测量一工件的内圆弧AB对应的半径R，工人将三个半径均为10 mm的圆柱形量棒O1，O2，O3放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h＝6 mm（如图所示），则R＝　　　　 mm. 16.已知圆A：x2＋（y＋1）2＝1，圆B：（x－4）2＋（y－3）2＝1. （1）过圆心A的直线l截圆B所得的弦长为，求直线l的斜率； （2）若动圆P同时平分圆A与圆B的周长. ①求动圆圆心P的轨迹方程； ②问动圆P是否过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由. 2.5.2　圆与圆的位置关系 1.C　圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，圆心距，，，所以，即，故两圆相交. 2.C　AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心（2，－3）代入，即可排除A、B、D. 3.A　当两圆外切时，d＝rA＋rB，即10＝4＋rB，所以rB＝6 cm；当两圆内切时，rB－rA＝10.则rB＝10＋4＝14（cm）. 4.B　已知圆的圆心为，半径为，圆：的圆心为，半径为，则圆心距为，由与相交得，，解得.. 5.B　若直线ax＋2by－2＝0（a，b＞0）始终平分圆C2的周长，则该直线经过圆C2的圆心，由圆外切的关系知C2为线段C1C3的中点，圆C1的圆心的坐标为（0，0），圆C3的圆心的坐标为（4，2），所以圆C2的圆心的坐标为（2，1），可得a＋b＝1. 6.BCD　由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，可知圆心C的坐标为（－1，2），半径r＝2.A项，圆心C1（－2，－2），半径r1＝3.∵｜C1C｜＝∈（r1－r，r1＋r），∴两圆相交；B项，圆心C2（2，－2），半径r2＝3，∵｜C2C｜＝5＝r＋r2，∴两圆外切，满足条件；C项，圆心C3（2，2），半径r3＝5，∵｜C3C｜＝3＝r3－r，∴两圆内切；D项，圆心C4（2，－2），半径r4＝7，∵｜C4C｜＝5＝r4－r，∴两圆内切. 7.1　解析：将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心（0，0）到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1. 8.外　（x－2）2＋（y＋2）2＝81 解析：由题知C（－1，2），圆C的半径为4，所以｜PC｜＝＝5＞4，所以点P在圆C外.设以P为圆心且和圆C内切的圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋2）2＝r2，r＞0，则｜PC｜＋4＝r，即r＝9，所以以P为圆心且和圆C内切的圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋2）2＝81. 9.（x－3）2＋（y＋1）2＝16 解析：设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ（x2＋y2－4y－6）＝0（λ≠－1）.易求得所求圆的圆心坐标为（，），将其代入方程x－y－4＝0，得λ＝－.故所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0，即（x－3）2＋（y＋1）2＝16. 10.解：（1）解：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x = - 1，与圆C相切，符合题意. 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y - 3 = k(x + 1)，即kx - y + k + 3 = 0， 则，解得，所以直线l的方程为5x + 12y - 31 = 0. 综上，直线l的方程为x = - 1或5x + 12y - 31 = 0. （2）解：圆C₁的方程可化为. 若圆C₁与圆C外切，则，解得. 若圆C₁与圆C内切，则，解得m = 1. 综上，或m = 1. 11.B　圆C1的圆心为C1（a，0），半径为r1＝1，圆C2的圆心为C2（0，b），半径为r2＝2.∵两圆有三条公共切线，∴两圆外切.∴＝3，∴点（a，b）在圆x2＋y2＝9上.而表示点（a，b）到点（3，4）的距离.故的最小值为－3＝2. 12.AD　因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确；又圆O：x2＋y2＝4　①，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0　②，所以由②－①得4x－2y＋4＝－4，即y＝2x＋4，所以直线AB的方程为y＝2x＋4，故B错误；又圆O的圆心为O（0，0），半径为2，则圆心O到直线AB的距离d＝＝，所以｜AB｜＝2×＝，故C错误；圆M的圆心为M（－2，1），半径为1，所以｜EF｜max＝｜OM｜＋2＋1＝＋3，故D正确. 13.4　解析：如图所示，在Rt△OO1A中，｜OA｜＝，｜O1A｜＝2，∴｜OO1｜＝5，∴｜AC｜＝＝2，∴｜AB｜＝4. 14.解：（1）圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为（x－3）2＋（y－4）2＝4， 所以圆C的圆心为（3，4），半径为2. ①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意. ②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k（x－1），即kx－y－k＋1＝0. 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2， 所以＝2，即＝2，解得k＝，所以直线方程为5x－12y＋7＝0. 综上，所求l1的方程为x＝1或5x－12y＋7＝0. （2）依题意，设D（a，a＋2）. 又已知圆C的圆心为（3，4），半径为2， 由两圆外切，可知｜CD｜＝5， 所以＝5， 解得a＝－1或a＝6. 所以D（－1，1）或D（6，8）， 所以所求圆D的方程为（x＋1）2＋（y－1）2＝9或（x－6）2＋（y－8）2＝9. 15.　解析：如图，设两圆O1，O2外切于点M，连接OM，作O1N⊥OO2交OO2于点N，点D为线段OO2与圆O2的交点，令｜DE｜＝h＝6，所以｜NE｜＝10，｜O2M｜＝10，｜O2N｜＝10－｜DN｜＝h＝6，因为∠O1NO2＝∠OMO2＝90°，∠O1O2N＝∠OO2M，所以△O1NO2∽△OMO2，所以＝，所以＝，解得R＝. 16.解：（1）由题意知，直线l的斜率存在，且圆心A（0，－1），设直线l的方程为y＝kx－1，由弦长可得圆心B（4，3）到直线l的距离为， 即＝，化简得12k2－25k＋12＝0， 解得k＝或k＝. （2）①由已知可得｜PA｜＝｜PB｜，故圆心P在线段AB的中垂线上. ∵直线AB的斜率为1，∴圆心P所在直线的斜率为－1，且该直线过点（2，1），∴圆心P在直线x＋y－3＝0上.即动圆圆心P的轨迹方程为x＋y－3＝0. ②设P（m，3－m），则动圆P的半径为＝， ∴动圆P的方程为（x－m）2＋（y＋m－3）2＝m2＋（3－m＋1）2＋1， 即x2＋y2－6y－8－2m（x－y－1）＝0. 由 得或故动圆P过定点（2＋，1＋），（2－，1－）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $