四川省宜宾市第一中学校2025-2026学年高二下学期期末模拟试卷二数学试题

宜宾市一中2024级高二下期期末模拟试卷二 数学试题 命题人：杨仁萍 审题人：李丹丹 满分150分 考试时间120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求) 1.已知f(x)=e225+xnx,则f'(0)=() A.1 B.e2025+1 C.e2025-1 D.e202s5 2.某次高二数学调研测试中，考生成绩x服从正态分布N(75,σ).若P(60≤X≤90)=子则从参加这次考试 的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为（ c.9 1 1 D.12 1 的展开式中所有的有理项有()项 A.1 B.2 C.3 D.4 4.设函数f)=x2-9hx在区间a-la+1山上单调递减，则实数a的取值范围是() 2 A.(0,3] B.[4,to∞) 6.(-o,2] D.(1,2] 5.已知某厂甲、乙两车间生产同一批商品，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的70%，30%，甲、乙车间的优品 率分别为90%，85%现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为() A.86.5% B.88.5% C.90% D.93% 6.高二某班为了准备校园文化节活动的展示牌，计划用5种不同颜色的笔书写图中A、B、C、D四个区域的文字， 规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字，相邻区域书写的文字颜色不同，则不同的书写方法数为( A.240 B.180 C.160 D.120 7.已知函数f(x)=x+(x-1)e,则f(3x-2)<fx2)的解集为() (u,+w)B.a小u2+o)c(得2，o) D.(1,2) 8.已知函数f)-(x-b)(c-a)>0),若f)20恒成立，则的最大值为( A.e2 B.e- C.e D.e2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 1 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效可器部 8.下列说法正确的是( A.若事件A与B互相独立，且0<P()<1,0<P(B)<1,则P(AB)=P(A) &.甲、乙两个模型的决定系数R2分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好 C.若随机变量5服从二项分布B4,二 则E(25+3)=5 D.某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每 次投中的概率为分，则游戏者阅关成功的概率为 32 10.暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了180人的 调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图在被调查者中，下列说法正确的是 靈不经常锻炼参考公式及数据：2 n(ad-bc)2 )1.0f (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中n=a十b+c十d. 0.8 0.6 副经常锻炼 04 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 0.2 0 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 男生女生 A男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多 B.男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人 C经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的2倍 D.根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关 1.已知函数f)=血，gx)=xe,则下列结论正确的是（) A.f(x),g(x)有相同的最大值 B.若对任意的名∈(0，+0)，五∈R,都有)=g,)=k<0成立，则xx2的最小值为- C.若≠2，g()=g()时，则x+<2 D.若直线y=m与函数f(x)与g(x)恰有三个交点A(:,m),B(x,m),C(:,m),(:<x。<x),则，本，成等比数列 第I工卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.设(2x-1=a+ax-1+a,k-1ta,-1升a4k-1,则a+%+4+4+a= 13.2026美加墨世界杯期间，有甲，乙，丙，丁，戊5个志愿服务团，前往A,品，C3个比赛场地进行志愿服 务，若每个场地至少分配1个志愿服务团，每个志愿服务团只能在1个场地进行服务，并且甲团只能去A场地， 则不同的分配方法种数为 2 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 14.x,x2,当1<x<为2<e时， ” e码<0，则a的范围为 四、解答题（本题共5小题，共T刀分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知数列{an}中，4=0,2aH-a,=2n+3. (1)令b,=a.-2n+1,求证：数列{色n}是等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn 16.(15分)在如图所示的几何体中，.四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD,EF/AB,其中AD=2, AB=AF=2EF=1,P是棱DF的中点. (1)求证：BF/平面APC; (2)求直线DF与平面APC夹角的正弦值. 17.(15分)下表为某汽车模型公司的产品分类，共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为取到模型有棕色内 饰.求P(B|A): (2)该公司举行了一个回馈客户抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型.为了得到 奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均 为不同色；⑨两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效奇 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖.出现某种结果的概率越小，奖金金额越高 请判断以上三种结果分别对应几等奖.设中奖的奖金数是X,写出X的分布列，并求X的数学期望， 18.(17分)如图，在△ABC中，IBC=2V5,AB+AC1=4,若以BC所在直线为x轴，以线段BC的垂直 平分线为y轴，建立平面直角坐标系.设顶点A(x,y) (1)求顶点A的轨迹方程： (2)记第(1)问中所求轨迹为M,设D1(-2,0),D(2,0),过点(1,0)作动直线与M曲线交于P,0两点（点 P在x轴下方).求证：直线D1P与直线D2Q的交点E在一条定直线上， 19.(17分)已知函数f(x)=ax-2nx. (1)当a=2时，求函数f(x)的最小值； (2)试讨论函数f(x)的单调性： (3)当x>1时，不等式f(x)<(x-2)1山x+2x+a-1恒成立，求整数a的最大值. 4 Q夸克扫描王 ▣▣ 极速扫描，就是高效 宜宾市一中2024级高二下期期末模拟试卷二 数学参考答案 题号 1 23 4 56789 .1011 答案 D BD C B ACD BD ABD 8.B【详解】因为a>0,且函数y=x-b和y=e-a都是R上的增函数 所以要想f(x)之0恒成立，则儒函数y=x-b和y=e-a的零点相同， 令y=x-b=0→x=b,令y=e2-a=0→x=ha,所以b=ha,则色-h aa 设ga)-ga>0,则g回=12， 当a∈(0，e)时，g(a)>0,g(a网在(0，e)上单调递增， 当a∈(e,+o)时，g(a)<0,g(a)在(e,oo单调递减， 故g(am=g(e)=e1,所以最大值为e, 11.【答案】ABD 【详解】对于A,如图@所示，函数f)=血(x>0),导函数为f以=1-血x>0), 令f()>0,解得0<x<e,令f()<0,解得x>e, 所以函数0似在0，可单调递增，在（化，+o)单调递减，所以f)=Q)=。 如图@所示，函数g)=兰，导函数为g倒-， 令g(x)>0,解得x<1,令g(8<0,解得x>1, 所以函数g)在（←-，）单调递增，在化+)单调递减，所以g)m=g(⊙=二，故A正确； 对于B,对任意的x∈(0，∞)，x2∈R，都有f:=g(x)=k<0, 所以0<<1，<0，且血￥=立 所以兴-子，两边取对数得当=（为，即血）-h与=h)名， 令()=血x+x>0),且=上+1>0， 所以h(8)在(0，+o)上单调递增，所以-血为=-x2,即×=e5,则x2=e,<0, 令m(x)=xe,即m'(x)=(x+1)e， ▣▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 令m(x)>0,解得x>-1,则m()在(-1,0)单调递增， 令m(x)<0,解得x<-1,则m()在(-∞，-)单调递减， 所以m国=m-)=。敢B正确： 对于C,因为x￥与，g(x)=g(化)，如图②所示，即0<，<1<x 要证x+3<2,只需证名<2-x, 因为x,>1,所以2-x>1,且函数g(8)在1，+)单调递减， 所以只需证g(x)>g(2-):.且g()=g(x),即证g(:)>g(2-x), 令=g-g0-小xe@,即树=吾2e00, 因为r到-0-，e0,又因为e-d>01-0. 所以t)>0在xE(0,1)恒成立，所以（在(0,1）单调递增，所以0)<0=1_1=0， 即g(x)<g(2-x),x∈(0,1)，故g(:)<g(2-x),x∈(0，)，故C错误； 对于D,如图③所示，直线y=m与函数f(x),g(x)恰有三个交点， 所以f)=8)=m,即血五=。， 珠 xo 受 gx)=ě 即x好=e血x,且g(x)=f(2)=m,0<x<1<x,<e<x2可 e 因为f(x)=g(x)=gnxo)=g(),且0<血<1， 图① 图② 又因为函数g(x)在(0，)单调递增，所以血x,=为， 因为f(x)=g(x)=f(e)=f(x2),且e<e, 2 又因为函数fx)在(e,+o)单调递减，所以e=x2,所以x2=血e=x看， 所以，，为成等比数列，故D正确.故选：ABD. 图⑧ 二填空题12.8113.5014.[e,+∞) 14.【详解】因为1<为<为<e, ()=<0点 <e-m, 两边取对数，得x2血 <a-as分nx-lhx<2a,则血+2<hx+g x, 2 Q夸克扫描王 ▣▣ 极速扫描，就是高效筒芦 令hn(x)=血x+,则h(x)在(，e)上单调递减，所以h(x)s0在(1，e)上恒成立， 而-士是，即是0在e上恒成立，即a在上恒成立 所以a2e、 四、解答题 15.(13分)(1)证明：因为a=0,bn=a-2n+1,所以b=a-2+1=-1, 再由1=01-2(m++121-2m1 b.a.-2n+1a,-2n+1’ 因为20-4=2加+3，所以an+2a2, 代入上式得： b1=1 所以数列伍，}是以-1为首项，号为公比的等比数列：…6分） (2)由(D可得：4=4-2n1=(1[%=2x( 则8，=1-周+3-+s*4e- =i3+s+a周+份 (1+2n-1)n …….(13分) 16.(15.分)【答案】(1)连接BD交AC于点O,因为P,O分别为DF,DB的中点，所以BFPO, 又POC平面APC,BEc平面APC,则BF/平面APC......、(6分) (2)以A为原点，AB,AD,AF所在值线为，艺轴，建立空间直角坐标系， 则400o,D02o,cu20,F00,r4》 所以P-（0,1,ac22,0,D产(0-2) 设平面APC的法向量为元=(x,yz), (1 y+ x+2y=0 3 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效简控 所以cosD72 D有4N5 D际15’ 则直线DE与平面APC夹角的正弦值为4的 ..(15分) 15 17.【详解】(1)由数表知， P(-云P0-岩-P1小=8-号 P(AB)I (4分) (2)设事件C:外观和内饰均为同色，事件D:外观内饰都异色，事件E:仅外观或仅内 饰同色，依题意， P(C)GCG C 3003002 P(@-S.CS+GcaGc1GS0则r()-r(C)>po.D分 C's 因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖；外 观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额X的可能值为：600,300,150，奖金额X的分布列： 600 300 150 4 49 77 25 150 150 奖金额X的期望E(x)）=60x号30×+150x风-271（元）.…05分 25 150 150 18:(1)解由AB+AC=4>|BCl=2V3, 可知点A的轨迹为以B,C为焦点的椭圆.（丢掉（一2,0）；（②；0）两点)，且该椭圆的长轴长 为2a=4,a=2,该椭圆的焦距为2c=2√3，c=3,即b=Va2-c2=1, 故顶点A的轨迹方程为片+了=1y味0. (5分) (2)证明直线1的方程可设为x=m十1， (x=my+1, 联传+2=1 消去x可得(+4)十2m-3=0, 4=4+12(m+4)>0显然成立， 4 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 设Q(x,),P(,,乃0，<0， 则十⅓=朵⅓=子 3 即2m=3+), 设直线20-2， 直线AA厂2+2， 联立上述两方程，消去y可得22x-2)=+2), x2+2 品兴+ [y1(+2)-y2(x1-2)]x=2(x+2)+2(g-2),. 又&2=m⅓十1，x=十1 则[y1(my2+3)-y2(my1-1)]x=2⅓(m%+3)+2y(m-1),(3y+）X=4m+6y-2, 由4m½=6（十）， 则(3乃+)x=6(y十)+6一22=12y+4,3y十不恒为0，解得x=4, 综上所述，交点E在定直线x=4上..(17分) 19.【详解】(1)当a=2时，则f()=2x-2nx, 可知f倒的定义域为(0，+o),且f')=2-2-2- 令f'(x)<0,解得x∈(0，)；令∫'(x)>0,解得x∈(1，+∞)； 可知f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(1，+o); 所以函数∫x)的最小值为f(1)=2.......(4分) (2)由题意可知的定义域为(0，w),且f(y=a-2=-2(x>0), x 当a≤0时，f'(x)<0恒成立， 所以f(x)的单调递减区间是(0，+o∞)，无单调递增区间； 2 当a>0时，令f'(x)=0解得x=二， 令r以水0，解得o》令r0,解得x信小 所以女)的单调递减区间是0，)， 单调递增区间是 a 5 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 综上所述：当a≤0时，f(x)的单调递减区间是(0，+o),无单调递增区间； 当a>0时，f(x)的单调递减区间是0,2 单调地区间是+ .(10分) (3)当x>1时，不等式f(x)<(x-2)nx+2x+a-1恒成立， 即mc-2血x<(c-2)lnx+2x+a-1,整理可得a<r+1 +2, x-1x-1 原题意等价于a<血+1+2对任意x>1恒成立， x-1x-1 令8闪-血+】+26>0， x-1x-1 则gy)=+ax0-少-x血x1=x=inx-2 (x-1)2 (x-12(x-102 令(y)=x-1血x-2x>1,则(x)=1-1=-1>0, xx 所以(x)在区间(1，+∞)上单调递增， 因为h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-ln4>0, 所以h(x)在区间(1，+o)内存在唯一零点x∈(3,4)， 即x-lnx。-2=0,所以lnx=x-2, 当x∈(1，xo)时，h(x)<0,即g(x)<0; 当x∈(xo,+o)时，h(x)>0,即g'(x)>0; 可知g(x)在区间(1，x)上单调递减，在区间(x,+∞)上单调递增 所s-8-221, 0-10-1 因为x∈(3,4)，则+1∈(4,5)，即g(x)∈(4,5)， 且a为整数，则a≤4，所以整数a的最大值是4....(17分) 6 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效