四川省叙永第一中学校2025-2026学年高二下学期数学期末模拟试题（六）

**基本信息** 高2024级春期期末数学模拟卷，覆盖解析几何、概率统计、函数导数等模块，以AI工具用户调查、椭圆综合应用等情境设计，考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直线位置关系、正态分布、排列组合等|基础概念辨析，如双曲线方程参数范围| |多选|3/18|函数极值、数列性质、抛物线几何性质|多维度能力考查，如函数零点与切线判断| |填空|3/15|圆相交、椭圆焦点、三棱锥外接球|空间想象与运算，如外接球表面积计算| |解答|5/77|等比数列求和、统计直方图、立体几何证明、椭圆综合、导数应用|综合情境与创新，如AI用户年龄分布列（数据意识）、椭圆定值与最值（几何直观）|

高2024级2026年春期期末模拟（六） 数学试题 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线与直线的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．重合 D．由决定 2．已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．，， 3．高三年级共有男生20000人，他们的身高（单位：近似服从正态分布，，则身高落在区间，内的男生人数约为（　　） （参考数据：若，则 A．3413 B．5120 C．6827 D．10328 4．某药企研发的一种新药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙3名患有该疾病的患者服用了这种药物，则恰有2名患者被治愈的概率为（　　） A． B． C． D． 5．已知是等比数列的前项和，若，，则（　　） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 6．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（　　） A． B． C． D． 7．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（　　） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 8．的展开式中的系数为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9．已知函数，则　　 A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 10．记为数列的前项和，且，，则（　　） A． B．为等比数列 C．数列单调递减 D． 11．抛物线的焦点为，准线为，与轴交于点，过的动直线与交于，两点在轴上方），过，分别作准线的垂线，，垂足为，，的最小值为4，则下列说法正确的是（　　） A．的方程为 B． C．若，则直线的斜率为 D．若，则△的面积与△的面积的比值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.已知两圆和相交于，两点，则直线的方程是　 　． 13．已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为 ． 14．三棱锥的四个顶点在球的表面上，若，，，则球的表面积为 ． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知等比数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16．近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称开启了我国新纪元．某地区随机调查了经常使用某工具的360名用户，统计他们的年龄都位于，，得到如下直方图： （1）利用直方图中的数据，求的值，并估计该工具用户的平均年龄； （2）已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为，第二组的人数为．设，求的分布列及其期望； 17．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． （1）证明：； （2）若△是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 18．如图，已知椭圆，矩形的顶点，在轴上，，在椭圆上，点在第一象限．的延长线交椭圆于点，直线与椭圆、轴分别交于点、，直线交椭圆于点，的延长线交于点． （1）设直线、的斜率分别为、，求证：为定值； （2）求直线的斜率的最小值； （3）证明：动点在一个定曲线上运动． 19．已知函数． （1）求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）判断函数的零点个数； （3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $高2024级2026年春期期末模拟（六） 数学试题 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.每个小题给出的选项中，有多项符合 题目要求的全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分 题号 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12. 13.2. 14. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1)因为 所以 两式相减可得： ，即 所以等比数列 的公比 又因为 所以 (2)因为 所以 所以 的前项和 16.解：(1) ，解得 (2)年龄在第一组， 内的有 (人， 年龄在第二组，内有 人， 年龄在第三组 ,内有 人， 年龄在第四组，内有 人， 年龄在第五组 内有 人， 离散型随机变量 的取值为0,1,2,3,4， 的分布列为： 0 1 2 3 x 17.解：(1)证明：因为 为 的中点，所以 又平面 平面 ,平面 平面 平面 所以 平面 ,又 平面 所以 (2)方法一： 取 的中点，因为△ 为正三角形，所以 过作 与 交于点，则 所以， 两两垂直， 以点为坐标原点，分别以， 所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐 标系如图所示， 则 ,1, 设，0， ,则 因为 平面，故平面 的一个法向量为 设平面 的法向量为 又 所以由 ,得 令 ,则 ，故 因为二面角 的大小为 所以 解得 ,所以 又 所以 故 方法二： 过作 ,交于点，过作 于点，连结， 由题意可知， ,又 平面 所以 平面 ,又 平面 所以 ,又 所以 平面 ，又 平面 所以 则 为二面角 的平面角，即 又 所以 ,则 故 所以 因为 则 所以 ,则 所以 ,则 所以 4 -------- B 2 B 18.证明：(1)设， 则直线 的方程为： ,解得 ,则 故 ,即为定值： 解：(2)由(1)知，直线 的方程为 将直线 与椭圆方程联立，可得 由 ，得 同理，将 的方程与椭圆方程联立，可得 中 ,得 则 ,当且仅当 时取等号. 证明：(3) 所在直线方程为 令，得 可知动点 在一个定曲线 上运动. 19.解：(1)由题 因此曲线 在点， (1)处的切线的斜率为 (1) 又因为 (1) 因此曲线 在点， (1)处的切线方程为 (2)因为 ,因此 当 时， ,当 时， 因此 在 上单调递减，在 上单调递增， 因此 在 处取得极小值，也是最小值， (1) 因为当 时， (4) 因此由函数零点存在定理，得 在 内和 内各存在一个零点， 因此函数 有两个零点： (3)因为对任意的 ,都有 ,因此 设 则 由(2)知， 在 上单调递增， 因为 (3) ,(4) 因此 在 内存在唯一的零点，即 因此当 时， ，因此 在 上单调递减， 当 时， ，因此 在 上单调递增， 因此 在 处取得极小值，也是最小值， 因为 ,因此 因此 ，因此整数的最大值为3.