2.2.1　用配方法解较简单的一元二次方程 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“用配方法解较简单的一元二次方程”，以梯子滑动问题（x²+12x-15=0）导入，通过回顾x²=5、(x+1)²=5等特殊方程的解法，引导学生将一般方程转化为(x+m)²=n的形式，搭建从特殊到一般的学习支架。 其亮点在于通过问题驱动和操作探究（如填数发现“常数项是一次项系数一半的平方”），培养学生数学思维（推理意识、运算能力）和模型意识。采用“四步法”总结配方法步骤，结合例题（含需整理的方程）与延伸拓展，帮助学生掌握转化思想，教师可借助系统结构提升教学效率。

第1课时　 用配方法解较简单的一元二次方程 第二章　一元二次方程 2 探究与应用 在上一节的梯子滑动问题中,梯子底端滑动的距离x(单位:m)满足方程x2+12x-15=0.我们已经求出了x的近似值,你能设法求出它的精确值吗? 探究　用配方法解一元二次方程 问题导入 略 (1)你能解哪些特殊的一元二次方程? (2)你会解下列一元二次方程吗?你是怎么做的?你总结出怎样的经验? x2=5,2x2+3=5,x2+2x+1=5. 思考交流 解:(1)如x2=4,(x+1)2=9等. (2)会.解方程x2=5,得x1=,x2=-. 解方程2x2+3=5,方程化为2x2=2,x2=1,x=±1.故x1=1,x2=-1. 解方程x2+2x+1=5,方程化为(x+1)2=5,x+1=±,x=-1±. 故x1=-1+,x2=-1-.经验略. (3)你能解方程x2+12x-15=0吗?你遇到的困难是什么?联想(2)中解方程的过程,能设法将这个方程变成一个你熟悉的形式吗?与同伴进行交流. 解:(3)略. 解一元二次方程的思路:将一元二次方程ax2+bx+c=0转化为 　　　　的形式,它的一边是一个　　　　式,另一边是一个常数.当n≥0时,两边同时开　　方,转化为　　　　方程,便可求出原一元二次方程的根.  概括新知 (x+m)2=n 完全平方 平 一元一次 (1)填上适当的数,使下列等式成立: x2+12x+　　=(x+6)2;  x2-4x+　　=(x-　　)2;  x2+8x+　　=(x+ 　)2.  (2)观察(1)中三个等式的左右两边,你觉得常数项和一次项系数有什么关系呢? 操作思考 36 4 2 16 4 解:(2)常数项等于一次项系数一半的平方. 将关于x的方程x2+px+q=0化成(x+m)2=n的方法 将常数项q移到方程的右边后,在方程两边同时加上一次项系数p的一半的平方. 知 关键 解:可以把常数项移到方程的右边,得　　　　, 两边都加一次项系数8的一半的平方,得x2+8x+（）2=9+（）2,即(x+4)2=　　.  两边开平方,得x+4=　　,  即x+4=　　,或x+4=　　,  所以x1=　 ,x2=　　.  例题展示 x2+8x=9 25 ±5 5 -5 1 -9 配方法:通过配成　　　 　的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法.  概括新知 完全平方式 解方程: (1)x2-4x-3=0;　　　　 应用　用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 例 解:(1)移项,得x2-4x=3, 配方,得x2-4x+4=3+4, 即(x-2)2=7, 两边开平方,得x-2=±, ∴x1=2+,x2=2-. (2)4(1-x)-x(x+4)=0. 解: (2)方程化为x2+8x-4=0, 移项,得x2+8x=4, 配方,得x2+8x+16=20,即(x+4)2=20, 两边开平方,得x+4=±2, ∴x1=-4+2,x2=-4-2. 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的“四步法” (1)移——移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项; (2)配——配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方,使原方程可整理成(x+m)2=n的形式; (3)开——如果n≥0,那么就可左右两边同时开平方得x+m=±;如果n<0,那么方程无实数根; (4)解——在n≥0的前提下,方程的解为x=-m±. 懂 步骤 【延伸拓展】 利用配方法求字母的值(范围) (1)如果关于x的一元二次方程x2-4x+k=0经配方后,得(x-2)2=1,那么k=　　;  (2)若关于x的一元二次方程x2-6x+k=0通过配方可以化成(x+m)2= n(n≥0)的形式,则k的取值范围是　　　.  3 k≤9 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.用配方法解方程x2+4x-6=0,配方结果正确的是 (　　) A.(x+2)2=-10 B.(x+2)2=10 C.(x+4)2=-10 D.(x+4)2=10 | 课堂检测 | B 2.解下列方程: (1)x2+10x+25=8; (2)x2-6x+9=0; 解:(1)原方程整理,得(x+5)2=8. 两边开平方,得x+5=±, 即x+5=2,或x+5=-2. ∴x1=-5+2,x2=-5-2. (2)x2-6x+9=0, 配方,得(x-3)2=0,∴x1=x2=3. (3)x2+4x-2=2x+3; 解: (3)方程整理,得x2+2x=5. 配方,得x2+2x+1=5+1, 即(x+1)2=6. 两边开平方,得x+1=±, 即x+1=,或x+1=-. ∴x1=-1+,x2=-1-. (4)x(x-8)=6. 解: (4)原方程变形为x2-8x=6. 配方,得x2-8x+16=6+16, 即(x-4)2=22. 两边开平方,得x-4=±, 即x-4=,或x-4=-. ∴x1=4+,x2=4-. $