专题2.2 数轴（暑假预习讲义） 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题2.2 数轴 【本节预习目标】 1.理解数轴的概念，掌握数轴的三要素，能规范画出数轴，初步建立数形结合的数学思想。 2.实现有理数与数轴上点的互相转化，能准确读出数轴上点表示的数，也能将有理数对应到数轴上的点。 3.掌握数轴上点的平移规律，会计算数轴上两点间的距离，能解决原点位置确定等基础问题。 4.能利用数轴比较有理数的大小，理解数轴上数的排列顺序与大小的对应关系。 5.能运用数轴建立数学模型，解决生活中的位置、路程等实际问题，探究数轴上的规律类问题，提升几何直观与逻辑推理核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 小学已学旧知 本节新知关联 直线与测量 直线的特征（可向两端无限延伸）；长度的测量与单位 在直线上赋予原点、正方向、单位长度，升级为数轴，用直线上的点表示数 正负数认识 正数、负数、0的意义；相反意义的量 用数轴直观呈现正负数的分布：正数在原点右侧，负数在左侧，0对应原点 数的大小比较 正数之间、正数与0的大小比较方法 扩展到正数、0、负数的全面大小比较，借助数轴将“数的大小”转化为“点的位置” 知识点1：数轴的概念与画法 1.数轴的定义与三要素 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。 三要素 具体含义 补充说明 原点 表示0的点 是正负数的分界点，位置可根据实际需求灵活选取 正方向 规定的正向（通常取向右为正方向） 用箭头标注，箭头反方向为负方向 单位长度 选取的标准长度单位 同一条数轴上，单位长度的大小必须统一 2.数轴的规范画法与常见错误 画法四步：①画水平直线；②取原点并标注0；③标向右的箭头表示正方向；④选取单位长度，依次标出正负半轴的整数。 常见错误：缺少原点/正方向/单位长度；单位长度不统一；负半轴数字顺序颠倒；画成射线或线段。 知识点2：数轴上的点与有理数的关系及大小比较 1.点与数的对应关系 所有有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示，但数轴上的点不都表示有理数。 正数对应原点右侧的点，负数对应原点左侧的点，0对应原点。 点到原点的距离：表示数的点到原点的距离，等于该数去掉符号后的数值大小。 2.有理数的大小比较 比较方法 具体规则 适用场景 数轴比较法 数轴上从左到右的顺序，就是数从小到大的顺序，左边的数总小于右边的数 多个数同时比较，直观清晰，不易出错 法则比较法 正数大于，大于负数，正数大于负数 快速判断异号数、正负数与的大小关系 【基础巩固题型】 【题型1】数轴三要素的辨析判断 1.核心知识点 数轴的定义；数轴三要素的规范要求 2.解题方法技巧 ①判断数轴是否正确，依次检查原点、正方向、单位长度三个要素，三者缺一不可； ②重点关注负半轴的数字顺序，从原点向左应依次为-1，-2，-3，不可颠倒； ③数轴是可无限延伸的直线，不能画成有端点的射线或线段。 【例题1】.（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 【答案】C 【分析】数轴的三要素为原点、正方向、统一的单位长度，只有同时满足三要素才是规范的数轴，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．缺少原点，不符合要求，故A错误； B．缺少正方向，不符合要求，故B错误； C．具备原点、正方向，且单位长度一致，符合数轴定义，故C正确； D．正负方向标错，不符合要求，故D错误． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列数轴画法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项：数轴负半轴数的顺序错误，故A选项画法错误； B选项：数轴的单位长度不统一，故B选项画法错误； C选项：数轴的原点、正方向、单位长度表示正确，故C选项画法正确； D选项：数轴的正方向错误，故D选项画法错误． 【变式题1-2】.（25-26七年级·全国·暑假作业）下列选项中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数轴的定义要求必须同时具备三个要素：原点、正方向、统一的单位长度； 【详解】解：选项A：没有画出正方向，不符合要求，错误； 选项B：没有标出原点，不符合要求，错误； 选项C：到0的单位长度和0到1、1到2的单位长度不一致，单位长度不统一，错误； 选项D：同时满足原点、正方向、统一单位长度三个要求，是正确的数轴． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）下列数轴画法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴，根据数轴的定义，规定了原点，单位长度和正方向的一条直线，叫做数轴，进行判断即可． 【详解】解：A、单位长度不统一，不符合题意； B、负半轴部分从左到右没有从小到大排列，不符合题意； C、没有规定正方向，不符合题意； D、画法正确，符合题意； 故选D． 【题型2】数轴上点与数的互相转化 1.核心知识点 有理数与数轴上点的一一对应关系；点的位置与数的符号、大小的关联 2.解题方法技巧 ①知点读数：先看点在原点左侧还是右侧确定符号，再看点到原点的距离确定数值； ②知数画点：先根据符号确定半轴，再根据数值大小确定到原点的距离，标注实心点并写出对应数字； ③分数、小数要准确对应单位长度的等分位置，不可随意标注。 【例题2】.（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，数轴上点M表示的数可能是（    ） A． B．0.5 C．1.5 D．2 【答案】C 【详解】解：数轴上点M表示的数可能是1.5． 【变式题2-1】.（2026·河南平顶山·三模）如图，数轴上点P表示的数可能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，根据点P在数轴上的位置可得答案． 【详解】解：由图可知，数轴上点表示的数可能是． 【变式题2-2】.（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）如图，数轴上表示的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：， ∴表示的点在和之间， 观察数轴可知，点在左侧，点在和之间，点在和之间，点在和之间， ∴表示 的点可能是点． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·河南驻马店·期末）在数轴上表示下列各数：，，，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了用数轴表示出有理数，画出数轴在数轴上表示出各数即可． 【详解】解：画出数轴并在数轴上表示出各数如图所示： 【题型3】利用数轴比较有理数的大小 1.核心知识点 数轴上数的大小顺序；有理数大小比较的基本法则 2.解题方法技巧 ①多个数比较大小时，先在数轴上逐一标出对应点，再严格按从左到右的顺序排列； ②异号数比较可直接用“正数负数”快速判断； ③最终排序必须使用题目原数，不能使用化简后的数。 【例题3】.（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：并将每个数用“”连接起来： 4，，，，0． 【答案】，． 【详解】略． 【变式题3-1】.（2026·河南平顶山·三模）如图，下列各数中比数轴上的 小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：根据数轴可得 故比数轴上的 小的数是 【变式题3-2】.（2026·广东佛山·三模）如图，下列数轴上的点表示的数最小的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【详解】解：由数轴可知，数轴上的点表示的数最小的是点． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·广东东莞·期中）在数轴上表示下列各题：并用“＜”号连接．3.5，，0，2，4， 【答案】解：在数轴上表示各数如图， 用“＜”号连接：， 【详解】略 【题型4】数轴上点的平移计算 1.核心知识点 点的平移方向与数的增减的对应关系 2.解题方法技巧 ①遵循“右加左减”规律：点向右移动，数增加；点向左移动，数减少； ②多次平移可分步计算，也可先计算总平移方向与单位数，再一步算出最终位置； ③计算时注意符号运算，避免加减方向混淆。 【例题4】.（2026·河南焦作·二模）如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：∵数轴上的点P表示的数是，将点P向右移动3个单位长度， ∴移动后的点对应的数为． 【变式题4-1】.（2026·四川广元·二模）如图，将2在数轴上对应的点向左平移3个单位，则此时该点对应的数是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得， 故此时该点对应的数是． 【变式题4-2】.（2026·湖北十堰·一模）如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动2个单位长度得到点，则点表示的数为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是1，向左移动2个单位对应的数是，只有B正确． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 【培优提升题型】 【题型5】数轴上两点间的距离计算 1.核心知识点 两点间距离的几何意义；距离与两数差值的关系 2.解题方法技巧 ①已知两点表示的数，距离=右侧的数-左侧的数，结果为正数； ②已知距离和其中一个点的数，求另一个点时，要分“点在已知点左侧”和“点在已知点右侧”两种情况讨论，谨防漏解； ③点到原点的距离，就是该数去掉符号后的数值大小。 【例题5】.（2026·陕西西安·模拟预测）如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴知，点在点的左边， ∴点表示的数是． 【变式题5-1】.（2026·河南平顶山·二模）在数轴上，表示的点到原点的距离为（    ） A． B． C．4 D．-4 【答案】A 【详解】解：∵数轴上，表示数的点到原点的距离等于， ∴表示的点到原点的距离为． 【变式题5-2】.（2026·浙江杭州·一模）若在数轴上点表示的数为，点在点的正方向上，距离点3个单位，则点表示的数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点在点正方向个单位处， ∴点表示的数为． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）点A、B在同一数轴上，其中点A表示的数是，若，则B点表示的数为（   ） A． B．或 C．或1 D．1 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点间距离的计算，需考虑点B在点A左右两侧两种情况． 【详解】解：设点B表示的数为 ∵点A表示的数是，， ∴根据数轴上两点间距离公式，得，即， 当时，解得， 当时，解得， ∴点B表示的数为或， 故选：C． 【题型6】数轴上原点位置的确定 1.核心知识点 数轴的刻度规律；原点的定义与对称性质 2.解题方法技巧 ①已知某点表示的数，根据单位长度刻度，向对应方向数出对应单位长度即可找到原点； ②若两点表示的数互为相反数，原点是两点连线的中点，到两点的距离相等； ③结合直尺刻度等实物情境时，先算出两点间的刻度差，再根据数值关系确定原点对应的刻度。 【例题6】.（2026·河北邢台·二模）如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【答案】A 【详解】解：∵B点表示的数为正数， ∴原点在B点的左边， ∴可以是原点的为点A． 【变式题6-1】.（25-26九年级下·山东日照·开学考试）如图，数轴上有A，B，C三点，若点A，C到原点的距离相等，数轴的单位长度为1，则点B表示的数是（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意：A、C之间的距离为6个单位长度，点A、C到原点的距离相等，得出点A表示的数为，点C表示的数为3，再结合数轴，即可得出点B表示的数． 【详解】解：∵A、C之间的距离为6个单位长度，点A、C到原点的距离相等， ∴点A表示的数为，点C表示的数为3， ∵点在点右侧2个单位， ∴点B表示的数为． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·新疆·期末）如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6 【分析】本题考查数轴的有关知识以及相反数的性质，关键是先求出、两点在直尺上的距离，再结合“互为相反数的两点到原点距离相等”确定原点对应的刻度． 【详解】解：∵直尺上点对应刻度2，点对应刻度， ∴、在直尺上的距离为， ∵点、表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为； 故答案为：6． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·安徽·期中）根据所给数轴（如图，原点未标出），完成下列各题： (1)已知点C 在表示数1，2的两个点的正中间，那么点C 表示的数是： (2)已知点A表示，点B表示，在图中标出原点O，点A，点 B 的位置． 【答案】(1)1.5 (2)见详解 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数． （1）根据点在数轴上的位置，即可写出点表示的数； （2）由题意在数轴上标出原点O，点、点的位置即可． 【详解】（1）解：点在表示数1、2的两个点的正中间， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求的原点O，点、点的位置． 【题型7】数轴上的整数点覆盖问题 1.核心知识点 整数点（整点）的概念；线段长度与覆盖整点个数的关系 2.解题方法技巧 ①分两种情况讨论：线段端点与整点重合，以及端点不与整点重合； ②通用规律：长度为n个单位长度的线段，覆盖的整点个数为n个或n+1个； ③可通过短长度线段类比推导长线段的情况，体现“以退为进”的归纳思想。 【例题7】.（25-26六年级上·上海松江·期末）在数轴上表示的点与表示1.5的点之间的整数共有______个． 【答案】3 【分析】本题考查数轴上两点之间的整数个数，通过找出所有大于且小于1.5的整数求解即可． 【详解】解：数轴上表示与1.5的点之间的整数有，0，1，共3个． 故答案为：3 【变式题7-1】.（25-26七年级上·四川达州·期中）如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键；根据数轴可进行求解． 【详解】解：由数轴可知：被墨水盖住的部分整数有，共7个； 故选D． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的概念以及整数的范围确定．确定遮挡的整数范围是解题的关键． 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 遮挡的区间是到，数出该区间的整数即可解答． 【详解】解：到之间的整数有个， 故选B． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为．有一辆玩具火车放置在数轴上，将玩具火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点与点重合；当点移动到点时，点与点重合．若将此玩具火车沿数轴左右水平移动，玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为______． 【答案】 【分析】此题考查了数轴上的点表示数和整数的个数问题，熟练掌握数轴的特征是解题的关键．由题意可得到的长度是玩具火车的倍，则玩具火车长度为，要使玩具火车能更多的覆盖住整数，应使玩具火车的左端尽可能靠近整数点的左侧，玩具火车的右端尽可能靠近整数点的右侧，据此即可得到答案． 【详解】解：∵已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为． ∴, 由题意可知，的长度是玩具火车的倍， ∴玩具火车长度为， 要使玩具火车能更多的覆盖住整数，应使玩具火车的左端尽可能靠近整数点的左侧，玩具火车的右端尽可能靠近整数点的右侧，此时玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为， 故答案为： 【压轴素养题型】 【题型8】数轴折叠与对称问题 1.核心知识点 数轴折叠的对称性质；中点公式的应用 2.解题方法技巧 ①折叠问题中，折点是所有对称点的中点，中点表示的数； ②已知折点和一个点，求其对称点：对称点的数； ③多组对称点问题，先确定折点位置，再逐个计算对应点的数值。 【例题8】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是和6，点C为A、B之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，若A的对应点落在点C的右侧，且，则C点表示的数是（　　） A．1 B． C．1或-7 D．1或 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离. 设点C表示的数为x，根据点A表示的数为，点B表示的数为6，得到，，根据，或，分类讨论即可． 【详解】解：设点C表示的数为x，由条件可知，， ∵， ∴，即，解得； 或，即，解得． 故选：D． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）在纸条上画一数轴，是数轴上的三个点，点表示数，且点，点之间的距离为3，将纸条上的数轴折叠，使得重合，则折痕表示的数是___________． 【答案】或 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，绝对值，整式的加减，解题的关键是掌握整式加减的运算法则． 先求得点B表示的数，再求折痕点C表示的数即可解答． 【详解】解：点表示数，且点，点之间的距离为3， 点表示数为或， 则折痕表示的数是或， 故答案为：或． 【变式题8-2】.（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是__________ 【答案】或或 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】解：三条线段的长度之比为， 设三条线段的长分别是，，， 到的距离是， ， 解得， 三条线段的长分别为，，， 当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能或或． 故答案为：或或． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·江苏淮安·期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．例如，图1中，点表示的数分别为1，2，4，此时点为线段的“理想点”．如图2，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为80． (1)则点之间的距离为___________； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图3放置在数轴上，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【答案】(1)90 (2)所对应的数是20或50； (3)折痕处对应的点在数轴上所表示的数是17或35或53． 【分析】本题考查数轴两点之间的距离和翻折问题，理解题意，分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可． （2）根据“理想点”定义及到、距离的比例关系，分情况讨论对应数轴上的数即可． （3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为80， ∴， ∴点之间的距离是90； 故答案为：90； （2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为， 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为20； 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为50； ∴线段的“理想点”所对应的数是20或50； （3）解：∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为18，18，54， ①当从到三条纸条的长度为18，18，54，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ②当从到三条纸条的长度为18，54，18，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ③当从到三条纸条的长度为54，18，18，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； 综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是17或35或53． 【题型9】数轴上的动点与规律探究 1.核心知识点 图形滚动、往复运动的规律；周期循环与归纳推理 2.解题方法技巧 ①图形滚动类问题，先找出滚动的周期长度，计算总次数包含多少个完整周期，再根据余数判断对应位置； ②往复运动类动点，先算出一个完整周期的运动路程和最终位置，再推算总运动后的位置； ③有规律的逐次运动，可先用含的代数式表示第次运动后的位置，再代入计算。 【例题9】.（25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】分别求出能与点重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可． 【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 【变式题9-1】.（25-26六年级上·山东泰安·期末）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【答案】A 【分析】本题考查数轴和规律探究．根据图形总结出规律是解答本题的关键．由图可知规律，滚动一圈，4个单位为一个循环．由，即可知结果． 【详解】解：根据题意得，正方形的顶点每4次滚动为一个循环组依次落在数轴上． ， 正方形在数轴上经过了次循环后，再进行1次滚动停止运动， 此时与重合的点是C． 故选：A． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法以及正六边形翻滚时所对应数的变化规律是正确解答的关键． 根据翻滚规律以及各个顶点所对应的数即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， ， 数轴上所对应的顶点是． 故选：C． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律及绝对值的应用，关键是分奇偶次移动总结点表示的数的通项公式，再结合距离条件求解． 【详解】解：点初始表示的数为2，根据移动规则分析： 第1次点向左移动2个单位长度至点，表示的数是， 第2次从点向右移动4个单位长度至点，表示的数是， 第3次从点向左移动6个单位长度至点，表示的数是， 第4次从点向右移动8个单位长度至点，表示的数是， …… 可以归纳出，当为偶数时，第次移动后，点表示的数为；当为奇数时，第次移动后，点表示的数为． 已知点与原点的距离为，即， ①若为偶数，则，解得(舍去负值)； ②若为奇数，则，即，解得(舍去负值)． 故答案为：或． 【题型10】跨学科与开放性数轴探究 1.核心知识点 数轴的综合应用；方案设计与探究推理 2.解题方法技巧 ①从地理、体育、生活等跨学科素材中，提取位置、距离、顺序等信息，建立数轴模型解决问题； ②开放性方案设计可选择不同的原点和正方向，只要表述清晰、计算正确即为合理方案； ③探究类问题先从简单、特殊情况入手，归纳普遍规律，再推广到一般情况。 【例题10】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标轴上两点间的距离，根据新定义推出，点表示的数是，分别当点在点右侧和左侧，两种情况分别求出点表示的数为或，直接代值计算，再比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 又因为点A表示的数是2，点O表示的数是0， 所以点是的中点， 所以点表示的数是， 如图，当点在点右侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 如图，当点在点左侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 因为， 所以最长为； 故选：C． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·北京通州·期末）对于数轴上不同的三点，给出如下定义：若其中一个点到其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“赋能点”．例如数轴上点所表示的数分别为，此时点B是点的“赋能点”．若点D表示数为，点E表示数为3，下列各数所对应的点分别为，其中与点能组成的“赋能点”的有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离，新定义运算，解题的关键是理解题意．根据“赋能点”定义，分别检查点与点D、E组成的三点中是否存在一点到其他两点距离相等． 【详解】解：∵点D表示，点E表示3， 对于， ∵，，， ∴不存在其中一个点到另外两个点的距离相等， ∴点与点不能组成“赋能点”； 对于， ∵，， ∴到D、E的距离相等， ∴点与点能组成“赋能点”； 对于， ∵，， ∴到D、的距离相等， ∴点与点能组成“赋能点”； 综上，和符合． 故选：D． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．O为原点，线段a，b的长度分别为2和4，表示的点在线段a上． （1）若表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，则 _______ ． （2）若原点O在线段a上，点A也在线段a上，点A表示的数为x．点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）．当，时，对应的 ______________ ． 【答案】 22 或或2或4 【分析】（1）先根据线段a、b长度和已知点，确定两条线段的端点表示的数，再计算和，最后代入计算即可； （2）如图，先确定线段a的端点表示的数，再由及分情况得线段b的端点表示的数，得出x、y的值，最后计算即可． 【详解】解：（1）∵表示的点在线段a上，表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，线段a，b的长度分别为2和4， 又∵，， ∴线段a两个端点表示的数分别为、，线段b两个端点表示的数分别为6、10， ∴，， ∴； （2）如图， ∵线段a的长度为2，表示的点在线段a上，原点在线段a上， ∴线段，其中点C、O表示的数分别为、0， ∵，，点在线段a上，点A表示的数为x，点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）， 分两种情况：①线段，其中点E、F表示的数分别为1、5， 当时，，则； 当时，，则； ②线段，其中点G、H表示的数分别为、， 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，对应的或或2或4． 【点睛】题目给出线段长度和经过的点，必须先算出两条线段准确端点，理解新定义概念及算法：：两线段上点的最小距离（通常是右线段左端点左线段右端点），：两线段上点的最大距离（通常是右线段右端点左线段左端点），第二问中线段b位置不确定，必须分左右两种情况讨论，算出线段b的准确端点，对每种情况，用两点距离为6，找出符合条件的整数x、y，注意不漏解、不重解． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）对于数轴上A，B，M，N四点，给出如下定义：当点M在线段上（不与点A，B重合），称为点M关于线段的“内差距”；当点N在线段AB外，称为点N关于线段的“外差距”． 如图，点A表示的数为，点B表示的数为4．若点M表示的数为，则“内差距”；若点N表示的数为5，则“外差距”． (1)已知点A表示的数为，点B表示的数为3． ①若点M关于线段的“内差距”，求证：点M是线段AB的中点； ②若点M表示的数为m，点M关于线段的“内差距”为，点N关于线段的“外差距”为，且，求m的值； (2)点A表示的数为x，，点Q关于线段的“外差距”，原点O关于线段的“内差距”，若，求点Q表示的数． 【答案】(1)①见解析；②或 (2)或 【分析】本题考查线段的和差关系，绝对值，掌握“内差距”“外差距”的定义是解题的关键． （1）①由可得，进而可得；②先根据“外差距”的定义求出，进而可得，再根据，求出，分和两种情况，分别计算即可； （2）根据，可得，根据，可得，进而可得或4，或，分点Q在点A右侧与左侧两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：①∵点M关于线段的“内差距”， ∴， ∴， ∴点M是线段的中点； ②∵点N关于线段的“外差距”为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点M关于线段的“内差距”为， ∴， 当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 综上所述，m的值为或； （2）解：∵点Q关于线段的“外差距”， ∴， ∵原点O关于线段的“内差距”为，， ∴， ∴或， ∴或4， ∴或， 当点Q在点A右侧时，点A表示的数为x，点Q表示的数为，点B表示的数为， ∴或4， ∴点Q表示的数为9或17， 当点Q在点A左侧时，点A表示的数为x，点Q表示的数为，点B表示的数为， ∴或 ∴点Q表示的数为或， 综上所述，点Q表示的数为或. 易错点 1、画数轴不规范：缺少三要素之一，如漏画正方向箭头、未标注原点；单位长度前后不统一；负半轴数字顺序颠倒；将数轴画成射线或线段。 2、距离问题漏解：已知距离求点表示的数时，只考虑点在已知点的一侧，忽略另一侧的情况，导致答案不完整。 3、平移规律混淆：记错“右加左减”的规则，将左右移动对应的加减运算搞反，导致计算结果符号错误。 4、大小比较失误：多个负数排序时顺序颠倒；最终排序时误用化简后的数，未使用题目原数。 重点 1、数轴的三要素，数轴的规范画法。 2、有理数与数轴上点的对应关系，利用数轴比较有理数的大小。 3、数轴上点的平移规律，两点间距离的计算方法。 难点 1、数轴折叠、动点规律等综合问题，数形结合思想的灵活运用。 2、分类讨论思想在距离求解、整点覆盖等问题中的规范应用。 一、单选题 1．以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的特点，根据数轴包括原点，正方向，单位长度，结合图形分析即可． 【详解】解：A、正方向不对，不符合题意； B、原点，正方向，单位长度均符合数轴特点，符合题意； C、没有正方向，单位长度也不对，不符合题意； D、单位长度不一致，不符合题意； 故选：B ． 2．如图，数轴上点位于原点右侧一个单位距离，小蘑菇所在点表示的数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】小蘑菇所在的点在和之间，并且偏左一点，根据它在数轴上的位置估计即可． 【详解】数轴上点位于原点右侧一个单位距离， 点表示的数是， 由图可知：小蘑菇所在的点在和之间，并且偏左一点， 小蘑菇所在点表示的数可能为． 3．实数，在数轴上的对应点如图所示，则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上点的分布特征，原点右侧表示正数，左侧表示负数，且数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，据此判断即可． 【详解】解：由数轴图示可知： ． ． 对比各选项，只有 C 选项成立． 二、填空题 4．在数轴上，位于原点左侧，且到原点的距离为2的数是________． 【答案】 【详解】解：在数轴上，位于原点左侧，且到原点的距离为2的数是． 5．如下图所示，数轴上A点表示，那么表示的点在A点的______边（填入左或者右）． 【答案】左 【详解】解：∵， ∴表示的点在A点的左边． 6．如图，点O，A，B，C在同一条数轴上，其中点O，A，C表示的数分别为0，，5且，则________．    【答案】3 【分析】先由数轴上两点间距离公式可得，即，易得点 B 表示的数为 2，最后再运用数轴上两点间距离公式求解即可． 【详解】解：∵ 点O，A，C表示的数分别为0，，5， ∴， ∵， ∴， 由图可知点 B 在原点 O 的右侧 ， ∴ 点 B 表示的数为 2， ∵ 点 C 表示的数为 5， ∴． 三、解答题 7．完成以下问题 (1)画出数轴，并在数轴上表示下列各数： (2)用 “” 号把这些数连接起来． 【答案】(1)数轴表示如图： (2) 【详解】（1）略 （2）解：由数轴可得，． 8．已知：为原点，是数轴上的点，表示的数字互为相反数，． (1)若是数轴上如图所示，点表示的数字为，求点表示的数字； (2)若，求点表示的数字． 【答案】(1) (2)1或或5或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，熟练掌握数轴上的点表示数的位置是解决问题的关键． （1）首先根据得到点A表示的数字为，然后根据表示的数字互为相反数求解即可； （2）首先得到点A表示的数字为或2，然后根据分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数字为， ∴点A表示的数字为 ∵表示的数字互为相反数 ∴点表示的数字为； （2）解：∵表示的数字互为相反数， ∴点A表示的数字为或2 ∵ ∴点表示的数字或或或． 9．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 【答案】(1)见解析 (2)向左爬了4个单位长度 (3) 【分析】本题主要考查了数轴的表示及数轴上的点与数的对应关系、有理数的加减运算，熟练掌握数轴上点的移动规律（右移加、左移减）是解题的关键． （1）根据蚂蚁的移动方向和单位长度，确定、、三点对应的数，再在数轴上标出位置． （2）先计算点对应的数，再根据数的正负判断移动方向和单位长度． （3）逆向分析蚂蚁的移动过程，通过运算求出点表示的数． 【详解】（1）解：点三点在数轴上的位置如图所示， （2）解：点可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了个单位长度到达的； （3）解：由题意可知蚂蚁先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，即可以看作向右爬了个单位长度， 故点表示的数为． 10．（1）如图，把一根长度为的木棒放置在一条数轴上（数轴的个单位长度为）．木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒在数轴上水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为，由此可得到木棒的长为 ． （2）借助上述方法请你运用“数轴”这个工具帮助小明解决下列问题：一天，小明去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经115岁，是老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？请求出爷爷和小明现在的年龄． 【答案】（1）（2）小明的年龄为岁，爷爷的年龄为岁 【分析】本题考查数轴的应用，灵活运用数轴的几何意义是解题关键． （1）将木棒两次移动的距离转化为数轴上从到的总跨度，再根据该跨度等于倍木棒长度，从而计算出木棒长； （2）将年龄变化转化为数轴上从到的总跨度，该跨度等于倍年龄差，先求出年龄差，再据此算出小明和爷爷的年龄． 【详解】（1）解：根据题意可知，数轴上到，到，到距离相等，且都等于木棒长度， 故． 答：木棒的长为． （2）解：设点表示小明的年龄，点表示爷爷年龄，两人的年龄差为岁， 根据题意可得，当向左移动，点对应的数为， 当向右移动，点对应的数为， 故两人的年龄差为（岁）， 则点对应数即小明的年龄为（岁）， 点对应数即爷爷的年龄为（岁）． 答：小明的年龄为岁，爷爷的年龄为岁． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 数轴 【本节预习目标】 1.理解数轴的概念，掌握数轴的三要素，能规范画出数轴，初步建立数形结合的数学思想。 2.实现有理数与数轴上点的互相转化，能准确读出数轴上点表示的数，也能将有理数对应到数轴上的点。 3.掌握数轴上点的平移规律，会计算数轴上两点间的距离，能解决原点位置确定等基础问题。 4.能利用数轴比较有理数的大小，理解数轴上数的排列顺序与大小的对应关系。 5.能运用数轴建立数学模型，解决生活中的位置、路程等实际问题，探究数轴上的规律类问题，提升几何直观与逻辑推理核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 小学已学旧知 本节新知关联 直线与测量 直线的特征（可向两端无限延伸）；长度的测量与单位 在直线上赋予原点、正方向、单位长度，升级为数轴，用直线上的点表示数 正负数认识 正数、负数、0的意义；相反意义的量 用数轴直观呈现正负数的分布：正数在原点右侧，负数在左侧，0对应原点 数的大小比较 正数之间、正数与0的大小比较方法 扩展到正数、0、负数的全面大小比较，借助数轴将“数的大小”转化为“点的位置” 知识点1：数轴的概念与画法 1.数轴的定义与三要素 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。 三要素 具体含义 补充说明 原点 表示0的点 是正负数的分界点，位置可根据实际需求灵活选取 正方向 规定的正向（通常取向右为正方向） 用箭头标注，箭头反方向为负方向 单位长度 选取的标准长度单位 同一条数轴上，单位长度的大小必须统一 2.数轴的规范画法与常见错误 画法四步：①画水平直线；②取原点并标注0；③标向右的箭头表示正方向；④选取单位长度，依次标出正负半轴的整数。 常见错误：缺少原点/正方向/单位长度；单位长度不统一；负半轴数字顺序颠倒；画成射线或线段。 知识点2：数轴上的点与有理数的关系及大小比较 1.点与数的对应关系 所有有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示，但数轴上的点不都表示有理数。 正数对应原点右侧的点，负数对应原点左侧的点，0对应原点。 点到原点的距离：表示数的点到原点的距离，等于该数去掉符号后的数值大小。 2.有理数的大小比较 比较方法 具体规则 适用场景 数轴比较法 数轴上从左到右的顺序，就是数从小到大的顺序，左边的数总小于右边的数 多个数同时比较，直观清晰，不易出错 法则比较法 正数大于，大于负数，正数大于负数 快速判断异号数、正负数与的大小关系 【基础巩固题型】 【题型1】数轴三要素的辨析判断 1.核心知识点 数轴的定义；数轴三要素的规范要求 2.解题方法技巧 ①判断数轴是否正确，依次检查原点、正方向、单位长度三个要素，三者缺一不可； ②重点关注负半轴的数字顺序，从原点向左应依次为-1，-2，-3，不可颠倒； ③数轴是可无限延伸的直线，不能画成有端点的射线或线段。 【例题1】.（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 【变式题1-1】.（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列数轴画法正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26七年级·全国·暑假作业）下列选项中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）下列数轴画法正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型2】数轴上点与数的互相转化 1.核心知识点 有理数与数轴上点的一一对应关系；点的位置与数的符号、大小的关联 2.解题方法技巧 ①知点读数：先看点在原点左侧还是右侧确定符号，再看点到原点的距离确定数值； ②知数画点：先根据符号确定半轴，再根据数值大小确定到原点的距离，标注实心点并写出对应数字； ③分数、小数要准确对应单位长度的等分位置，不可随意标注。 【例题2】.（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，数轴上点M表示的数可能是（    ） A． B．0.5 C．1.5 D．2 【变式题2-1】.（2026·河南平顶山·三模）如图，数轴上点P表示的数可能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【变式题2-2】.（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）如图，数轴上表示的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式题2-3】.（25-26七年级上·河南驻马店·期末）在数轴上表示下列各数：，，，，，，． 【题型3】利用数轴比较有理数的大小 1.核心知识点 数轴上数的大小顺序；有理数大小比较的基本法则 2.解题方法技巧 ①多个数比较大小时，先在数轴上逐一标出对应点，再严格按从左到右的顺序排列； ②异号数比较可直接用“正数负数”快速判断； ③最终排序必须使用题目原数，不能使用化简后的数。 【例题3】.（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：并将每个数用“”连接起来： 4，，，，0． 【变式题3-1】.（2026·河南平顶山·三模）如图，下列各数中比数轴上的 小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【变式题3-2】.（2026·广东佛山·三模）如图，下列数轴上的点表示的数最小的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式题3-3】.（25-26七年级上·广东东莞·期中）在数轴上表示下列各题：并用“＜”号连接．3.5，，0，2，4， 【题型4】数轴上点的平移计算 1.核心知识点 点的平移方向与数的增减的对应关系 2.解题方法技巧 ①遵循“右加左减”规律：点向右移动，数增加；点向左移动，数减少； ②多次平移可分步计算，也可先计算总平移方向与单位数，再一步算出最终位置； ③计算时注意符号运算，避免加减方向混淆。 【例题4】.（2026·河南焦作·二模）如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式题4-1】.（2026·四川广元·二模）如图，将2在数轴上对应的点向左平移3个单位，则此时该点对应的数是（    ） A．1 B． C．5 D． 【变式题4-2】.（2026·湖北十堰·一模）如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动2个单位长度得到点，则点表示的数为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式题4-3】.（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【培优提升题型】 【题型5】数轴上两点间的距离计算 1.核心知识点 两点间距离的几何意义；距离与两数差值的关系 2.解题方法技巧 ①已知两点表示的数，距离=右侧的数-左侧的数，结果为正数； ②已知距离和其中一个点的数，求另一个点时，要分“点在已知点左侧”和“点在已知点右侧”两种情况讨论，谨防漏解； ③点到原点的距离，就是该数去掉符号后的数值大小。 【例题5】.（2026·陕西西安·模拟预测）如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（2026·河南平顶山·二模）在数轴上，表示的点到原点的距离为（    ） A． B． C．4 D．-4 【变式题5-2】.（2026·浙江杭州·一模）若在数轴上点表示的数为，点在点的正方向上，距离点3个单位，则点表示的数为（   ）． A． B． C． D． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）点A、B在同一数轴上，其中点A表示的数是，若，则B点表示的数为（   ） A． B．或 C．或1 D．1 【题型6】数轴上原点位置的确定 1.核心知识点 数轴的刻度规律；原点的定义与对称性质 2.解题方法技巧 ①已知某点表示的数，根据单位长度刻度，向对应方向数出对应单位长度即可找到原点； ②若两点表示的数互为相反数，原点是两点连线的中点，到两点的距离相等； ③结合直尺刻度等实物情境时，先算出两点间的刻度差，再根据数值关系确定原点对应的刻度。 【例题6】.（2026·河北邢台·二模）如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【变式题6-1】.（25-26九年级下·山东日照·开学考试）如图，数轴上有A，B，C三点，若点A，C到原点的距离相等，数轴的单位长度为1，则点B表示的数是（　　） A．1 B．0 C． D． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·新疆·期末）如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·安徽·期中）根据所给数轴（如图，原点未标出），完成下列各题： (1)已知点C 在表示数1，2的两个点的正中间，那么点C 表示的数是： (2)已知点A表示，点B表示，在图中标出原点O，点A，点 B 的位置． 【题型7】数轴上的整数点覆盖问题 1.核心知识点 整数点（整点）的概念；线段长度与覆盖整点个数的关系 2.解题方法技巧 ①分两种情况讨论：线段端点与整点重合，以及端点不与整点重合； ②通用规律：长度为n个单位长度的线段，覆盖的整点个数为n个或n+1个； ③可通过短长度线段类比推导长线段的情况，体现“以退为进”的归纳思想。 【例题7】.（25-26六年级上·上海松江·期末）在数轴上表示的点与表示1.5的点之间的整数共有______个． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·四川达州·期中）如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【变式题7-2】.（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 【变式题7-3】.（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为．有一辆玩具火车放置在数轴上，将玩具火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点与点重合；当点移动到点时，点与点重合．若将此玩具火车沿数轴左右水平移动，玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为______． 【压轴素养题型】 【题型8】数轴折叠与对称问题 1.核心知识点 数轴折叠的对称性质；中点公式的应用 2.解题方法技巧 ①折叠问题中，折点是所有对称点的中点，中点表示的数； ②已知折点和一个点，求其对称点：对称点的数； ③多组对称点问题，先确定折点位置，再逐个计算对应点的数值。 【例题8】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是和6，点C为A、B之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，若A的对应点落在点C的右侧，且，则C点表示的数是（　　） A．1 B． C．1或-7 D．1或 【变式题8-1】.（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）在纸条上画一数轴，是数轴上的三个点，点表示数，且点，点之间的距离为3，将纸条上的数轴折叠，使得重合，则折痕表示的数是___________． 【变式题8-2】.（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是__________ 【变式题8-3】.（25-26七年级上·江苏淮安·期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．例如，图1中，点表示的数分别为1，2，4，此时点为线段的“理想点”．如图2，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为80． (1)则点之间的距离为___________； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图3放置在数轴上，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【题型9】数轴上的动点与规律探究 1.核心知识点 图形滚动、往复运动的规律；周期循环与归纳推理 2.解题方法技巧 ①图形滚动类问题，先找出滚动的周期长度，计算总次数包含多少个完整周期，再根据余数判断对应位置； ②往复运动类动点，先算出一个完整周期的运动路程和最终位置，再推算总运动后的位置； ③有规律的逐次运动，可先用含的代数式表示第次运动后的位置，再代入计算。 【例题9】.（25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【变式题9-1】.（25-26六年级上·山东泰安·期末）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【变式题9-2】.（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【变式题9-3】.（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【题型10】跨学科与开放性数轴探究 1.核心知识点 数轴的综合应用；方案设计与探究推理 2.解题方法技巧 ①从地理、体育、生活等跨学科素材中，提取位置、距离、顺序等信息，建立数轴模型解决问题； ②开放性方案设计可选择不同的原点和正方向，只要表述清晰、计算正确即为合理方案； ③探究类问题先从简单、特殊情况入手，归纳普遍规律，再推广到一般情况。 【例题10】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·北京通州·期末）对于数轴上不同的三点，给出如下定义：若其中一个点到其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“赋能点”．例如数轴上点所表示的数分别为，此时点B是点的“赋能点”．若点D表示数为，点E表示数为3，下列各数所对应的点分别为，其中与点能组成的“赋能点”的有（   ） A． B． C． D． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．O为原点，线段a，b的长度分别为2和4，表示的点在线段a上． （1）若表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，则 _______ ． （2）若原点O在线段a上，点A也在线段a上，点A表示的数为x．点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）．当，时，对应的 ______________ ． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）对于数轴上A，B，M，N四点，给出如下定义：当点M在线段上（不与点A，B重合），称为点M关于线段的“内差距”；当点N在线段AB外，称为点N关于线段的“外差距”． 如图，点A表示的数为，点B表示的数为4．若点M表示的数为，则“内差距”；若点N表示的数为5，则“外差距”． (1)已知点A表示的数为，点B表示的数为3． ①若点M关于线段的“内差距”，求证：点M是线段AB的中点； ②若点M表示的数为m，点M关于线段的“内差距”为，点N关于线段的“外差距”为，且，求m的值； (2)点A表示的数为x，，点Q关于线段的“外差距”，原点O关于线段的“内差距”，若，求点Q表示的数． 易错点 1、画数轴不规范：缺少三要素之一，如漏画正方向箭头、未标注原点；单位长度前后不统一；负半轴数字顺序颠倒；将数轴画成射线或线段。 2、距离问题漏解：已知距离求点表示的数时，只考虑点在已知点的一侧，忽略另一侧的情况，导致答案不完整。 3、平移规律混淆：记错“右加左减”的规则，将左右移动对应的加减运算搞反，导致计算结果符号错误。 4、大小比较失误：多个负数排序时顺序颠倒；最终排序时误用化简后的数，未使用题目原数。 重点 1、数轴的三要素，数轴的规范画法。 2、有理数与数轴上点的对应关系，利用数轴比较有理数的大小。 3、数轴上点的平移规律，两点间距离的计算方法。 难点 1、数轴折叠、动点规律等综合问题，数形结合思想的灵活运用。 2、分类讨论思想在距离求解、整点覆盖等问题中的规范应用。 一、单选题 1．以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上点位于原点右侧一个单位距离，小蘑菇所在点表示的数可能为（     ） A． B． C． D． 3．实数，在数轴上的对应点如图所示，则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．在数轴上，位于原点左侧，且到原点的距离为2的数是________． 5．如下图所示，数轴上A点表示，那么表示的点在A点的______边（填入左或者右）． 6．如图，点O，A，B，C在同一条数轴上，其中点O，A，C表示的数分别为0，，5且，则________．    三、解答题 7．完成以下问题 (1)画出数轴，并在数轴上表示下列各数： (2)用 “” 号把这些数连接起来． 8．已知：为原点，是数轴上的点，表示的数字互为相反数，． (1)若是数轴上如图所示，点表示的数字为，求点表示的数字； (2)若，求点表示的数字． 9．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 10．（1）如图，把一根长度为的木棒放置在一条数轴上（数轴的个单位长度为）．木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒在数轴上水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为，由此可得到木棒的长为 ． （2）借助上述方法请你运用“数轴”这个工具帮助小明解决下列问题：一天，小明去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经115岁，是老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？请求出爷爷和小明现在的年龄． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $