专题2.1 正数和负数（暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题2.1 正数和负数 【本节预习目标】 1.理解正数、负数的概念，能正确识别正负数并规范读写，明确0既不是正数也不是负数。 2.掌握具有相反意义的量的核心特征，能熟练用正负数表示相反意义的量，解释实际问题中正负数的含义。 3.理解有理数的定义，掌握有理数的两种分类标准，能正确将有理数归入对应数集，体会分类讨论的数学思想。 4.能运用正负数解决生活中的产品偏差、数量变化、达标统计等实际问题，建立数学模型，提升应用意识。 5.了解中国古代正负数的数学文化起源，感受数学的发展历程与实用价值。 【前置旧知回顾】 知识模块 小学已学旧知 本节新知关联 数的认识 自然数、分数、小数的意义，用于表示非负的数量、长度、价格等 在小学数的基础上引入负数，将数的范围扩展到有理数，可表示具有相反意义的量 数量描述 用“多、少、高、低、增、减”等词语描述数量差异 用正负数符号化表示成对的相反意义的量，表达更简洁规范，便于后续运算 生活应用 温度、海拔、收支等生活场景的数量描述 用正负数统一规范表示生活中的相反意义量，建立标准的数学表达模型 知识点1：正数与负数的概念 1.基本定义 数的类型 定义 示例 注意事项 正数 大于0的数叫做正数，可在前面加“+”（正号），也可省略不写 ，1.5%，， 正号可以省略，省略后不改变数的正负性 负数 在正数前面加上“-”（负号）的数叫做负数 ，，， 负号不能省略，去掉负号后是对应的正数 0 正数与负数的分界点 0既不是正数，也不是负数 2. 0的多重意义 基础意义：可以表示“没有”，如0个物品； 基准意义：作为正负数的分界，表示某个基准量，如表示标准大气压下冰水混合物的温度，并非没有温度； 数集意义：是整数、自然数、非负数、非正数的组成部分，是分类问题中的特殊数。 知识点2：具有相反意义的量 1.三大核心特征 成对性：相反意义的量必须成对出现，单独一个量不能称为相反意义的量； 同类性：必须是同一类别的量，如“收入”与“支出”是同类量，“向东走”与“盈利”不是同类量； 不唯一性：相反意义的量数量不一定相等，如与“盈利200元”相反的可以是亏损100元，也可以是亏损300元。 2.表示方法 先确定基准，规定其中一种意义的量为正（用正数表示），则与其意义相反的量为负（用负数表示）； 基准的选择会影响表示结果，如以山脚为基准和以海平面为基准，山高的表示结果不同； 书写时需带上单位，正号可省略，负号不可省略。 知识点3：有理数的概念与分类 1.有理数的定义 整数：正整数、、负整数统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数。有限小数、无限循环小数都可以化为分数，因此都属于分数； 有理数：整数和分数统称为有理数，即所有可以写成分数形式（为整数，）的数都是有理数。 注意：无限不循环小数不能化为分数，不属于有理数，如、（每两个1之间0的个数逐次加1）。 2.有理数的两种分类方式 按“定义”分类： 按“符号”分类： 3.有理数的常用数集 常用数集名称 含义 非负数 正数和 非正数 负整和 非负整数 正整数和 非正整数 负整数和 【基础巩固题型】 【题型1】正负数的概念识别与判断 1.核心知识点 正数、负数、0的定义；正负数的符号特征 2.解题方法技巧 ①根据定义判断：大于0的数是正数，正数前加负号的数是负数，0既不是正数也不是负数； ②注意省略正号的正数，如与均为正数； ③分类题中0单独归类，不可归入正数或负数集合。 【例题1】.（25-26七年级上·浙江衢州·期末）学习有理数后，甲、乙两名同学对负数有了新的认识，甲：负数比0小；乙：0不是负数．这两名同学的说法，正确的是（   ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均错 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的定义，0的意义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据有理数的定义判断甲和乙的说法是否正确． 【详解】解：∵负数是指小于0的数， ∴甲的说法正确； ∵0既不是正数也不是负数， ∴乙的说法正确． ∴甲、乙均对， 故选：C． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）学习正负数后，甲、乙两名同学提出不同看法： 甲：带有“”号的数是负数； 乙：是正数，不是负数 对于这两名同学的看法，正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】D 【分析】此题主要考查了正数和负数的定义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确正数和负数的定义，并且注意这个特殊的数字，既不是正数也不是负数． 【详解】对于甲同学的看法，为正数，所以甲说带有“”号的数是负数是不对的； 对于乙同学的看法，大于的数叫正数，小于的数叫负数，既不是正数也不是负数，所以乙说是正数，不是负数是不对的． 综上，甲、乙两名同学的看法均不对． 故选：D． 【变式题1-2】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在，0，，，，，中，负数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查负数的基本概念，根据负数的定义，逐一判断各数是否为负数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：负数的定义为小于0的数，0既不是正数也不是负数． ∵，是负数； 既不是正数也不是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； ∴负数一共有4个． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·河南周口·期末）下列各数中，既不是正数也不是负数的是（   ） A． B．0 C．1 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查正数与负数的概念，依据正数、负数的定义即可判断出结果． 【详解】解：A、是负数，不符合题意； B、0既不是正数也不是负数，符合题意； C、1是正数，不符合题意； D、2024是正数，不符合题意； 故选：B． 【题型2】相反意义的量的辨析 1.核心知识点 相反意义的量的三大特征：成对性、同类性、意义相反 2.解题方法技巧 ①先判断两个量是否属于同一类别，不同类的一定不是相反意义的量； ②再判断意义是否相反，如“上升”对应“下降”，“运进”对应“运出”； ③单纯的形容词反义词（如黑白、快慢）无数量维度，不属于相反意义的量。 【例题2】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各项中的两个量不具有相反意义的是（   ）． A．身高增长和体重下降 B．仓库运进箱榴莲与售出箱榴莲 C．电梯上升层与下降层 D．聪聪向前走步与向后走步 【答案】A 【分析】具有相反意义的量必须是同一类量，且意义相反，据此分析各选项即可． 【详解】A、身高增长是身高的变化，体重下降是体重的变化，二者不属于同一类量，因此不具有相反意义，故符合题意； B、仓库运进箱榴莲和售出箱榴莲，都是仓库榴莲数量的变化，运进和售出意义相反，具有相反意义，故不符合题意； C、电梯上升层和下降层，都是电梯高度的变化，上升和下降意义相反，具有相反意义，故不符合题意； D、向前走步和向后走步，都是行走位置的变化，向前和向后意义相反，具有相反意义，故不符合题意． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·河南漯河·阶段检测）下列各对量中，是具有相反意义的量的是（   ） A．气温升高与气温 B．身高增加与体重减少 C．向东走与向西走 D．飞机上升与前进 【答案】C 【分析】此题考查了正数和负数，根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：、气温升高与气温，气温升高是变化量，气温是状态量，二者不等同，不具有相反意义的量，该选项不符合题意； 、身高增加与体重减少，“身高”与“体重”是不同属性的量，不具有相反意义的量，该选项不符合题意； 、向东走与向西走，“向东”与“向西”是相反方向，属于同一性质的量，是具有相反意义的量，该选项符合题意； 、飞机上升与前进，“上升”与“前进”是两个不同方向，不具有相反意义的量，该选项不符合题意； 故选：． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·浙江丽水·期末）下列不具有相反意义的量是（    ） A．前进9米和后退9米 B．气温上升5℃和气温下降5℃ C．向东走10米和向西走10米 D．盈利30元和支出30元 【答案】D 【分析】本题考查相反意义的量的概念，判断相反意义的量需要满足同一属性、意义相反两个条件，据此分析各选项即可． 【详解】解：∵选项A中，前进与后退意义相反，均描述行走路程，是具有相反意义的量，不符合要求； 选项B中，上升与下降意义相反，均描述气温变化，是具有相反意义的量，不符合要求； 选项C中，向东与向西意义相反，均描述行走路程，是具有相反意义的量，不符合要求； 选项D中，盈利的相反意义是亏损，收入的相反意义是支出，盈利和支出不属于相反意义的量，符合要求． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）下列具有相反意义的量的是（    ） A．前进米和后退米 B．零上℃和下降℃ C．收入元和亏损元 D．向南走千米和向东走千米 【答案】A 【分析】本题考查了具有相反意义的量，明确什么是相反意义的量是解题的关键； 具有相反意义的量必须满足两个条件：①同一属性的量；②意义相反，据此分析各选项即可． 【详解】解：A、前进和后退是相反方向的移动，且都是距离，符合条件，故此选项正确； B、零上℃是温度值，下降℃是温度变化量，属性不同，不符合条件，故此选项错误； C、收入与亏损不是直接相反的财务概念（收入与支出相反），不符合条件，故此选项错误； D、向南和向东是不同方向，但不相反，不符合条件，故此选项错误； 故选：A． 【题型3】用正负数表示相反意义的量 1.核心知识点 正负数的表示规则；基准的确定 2.解题方法技巧 ①先明确题干规定的正方向与基准量； ②高于基准、增加、收入等用正数表示，低于基准、减少、支出等用负数表示； ③结果必须带上对应单位，不可只写数字。 【例题3】.（2026·山西·中考真题）如果水库的水位升高0.06米时水位变化记作米，那么水位下降0.05米时水位变化记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：∵水位升高米时水位变化记作米，说明升高用正数表示， ∴与升高意义相反的下降应用负数表示， 因此水位下降米时水位变化记作米． 【变式题3-1】.（2026·辽宁抚顺·模拟预测）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把气温零上记作，则表示气温为（     ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【答案】B 【分析】根据题意，零上温度记为正，相反意义的零下温度就记为负，由此可得出结论． 【详解】解：∵将气温零上记作，即零上记为正， ∴与零上意义相反的零下记为负， ∴表示气温为零下． 【变式题3-2】.（2026·江苏泰州·二模）等高线指的是地形图上高度相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若高于海平面的山峰，在等高线上标注为，则某盆地低于海平面，在等高线上标注为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知高于海平面记为正，那么低于海平面应记为负，按规则写出对应标注即可． 【详解】解：∵已知高于海平面标注为，即规定高于海平面用正数表示， ∴低于海平面应用负数表示，标注为． 【变式题3-3】.（2026·内蒙古通辽·二模）冬季来临，我国北方城市气温差异显著．天气预报显示，某日呼和浩特的最高气温为零上，最低气温为零下．若规定零上温度记为正数，则该日呼和浩特的最高气温与最低气温可分别表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目规定的记法，对应写出两个温度即可得到结果． 【详解】解：∵题目规定零上温度记为正数， ∴零上可表示为， ∵零下温度与零上温度是相反意义的量， ∴零下可表示为， 因此该日呼和浩特的最高气温与最低气温分别为． 【培优提升题型】 【题型4】产品允许偏差类应用 1.核心知识点 正负数表示误差范围；合格区间的计算 2.解题方法技巧 ①先计算合格范围：标准值-偏差下限到标准值+偏差上限，如对应合格区间； ②判断产品是否合格，只需看实际数值是否落在合格区间内； ③最大偏差差值等于2倍允许偏差值，即最大合格值减最小合格值。 【例题4】.（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，在生产图纸上通常用（单位：）来表示零件的加工要求，其中表示直径是，和是指直径在到之间的零件都属于合格零件．现加工一批零件，尺寸要求是（单位：），下列零件不合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数的知识，有理数的加减运算的实际应用，设该零件的直径为，根据尺寸要求是（单位：），可知，只有不在规定的范围内，所以不合格． 【详解】解：设该零件的直径为， 根据题意可得：， 整理得：， ， 不合格． 故选：B． 【变式题4-1】.（2025·吉林·一模）某厂加工了一批零件，质检员从中随机抽取10个零件检测了它们的质量（单位：），得到的数据如下：9.97，9.98，9.99，9.99，10.00，10.00，10.00，10.00，10.01，10.02．当一个零件质量的范围满足时，评定该零件为一等品．根据以上数据，这10个零件中一等品的个数是______． 【答案】7 【分析】本题考查了正负数的实际应用，根据题意，写出10个数据中的一等品，即可得出答案． 【详解】解：∵满足时，评定该零件为一等品， ∴抽取10个零件的一等品有9.99，9.99，10.00，10.00，10.00，10.00，10.01，共计7个， 故答案为：7． 【变式题4-2】.（25-26六年级下·全国·单元复习）一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，解题的关键是掌握正负数的实际意义． 根据正负数的意义，误差是相对于标准净重的，比标准重记为正数，比标准轻记为负数． 【详解】解：， 故食品净重记为， 故答案为：． 【变式题4-3】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为_____． 【答案】 【分析】根据具有相反意义的量可知把超过标准质量的记作正数，则比标准质量少的应记作负数． 【详解】解：把食品净重记为， 把超过标准质量的记作正数， 比标准质量少的应记作负数， 比标准质量少， 应记作． 【题型5】有理数的分类与数集填写 1.核心知识点 有理数的定义；整数、分数、常见数集的含义 2.解题方法技巧 ①采用“逐一排查法”，逐个判断每个数所属的集合，注意一个数可属于多个不同集合； ②牢记特殊数0的归属：0是整数、非正数、非负数、非负整数、非正整数，但不是正数也不是负数； ③有限小数、百分数、无限循环小数都属于分数，可化为分数形式，因此都是有理数。 【例题5】.（25-26七年级上·云南保山·期中）下列关于有理数的说法正确的是（    ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数、负整数 C．有理数是可以写成分数形式的数 D．有理数分为正数、零、负数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类等知识，有理数的分类标准要统一，做到不重不漏．根据有理数的知识逐项判断即可求解． 【详解】解：A、有理数分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误，不符合题意； B、整数分为正整数，0、负整数，故本选项错误，不符合题意； C、有理数是可以写成分数形式的数，故本选项正确，符合题意； D、有理数分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【变式题5-1】.（25-26七年级上·山东德州·期末）下列7个数，，，，0，π，，．其中有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的定义．有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，据此逐一判断即可． 【详解】解：和是分数，是有理数； 是有限小数，有理数； 0 和是整数，是有理数； 不是有理数； 是循环小数，是有理数； 所以有理数共有6个． 故选：D． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是（   ） A．，0不是正数 B．，0.41，0，3.14是正数 C．，，0.41，，0，3.14是有理数 D．，是负数 【答案】B 【分析】根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：B选项中 0不是正数． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·河南驻马店·期末）请把下列各数填入相应集合内： ，0.618，，，，2，，0， (1)正整数集合：{                    …} (2)非负数集合：{                    …} (3)负分数集合：{                    …} (4)有理数集合：{                    …} 【答案】(1)，2 (2)0.618，，，2，0， (3)， (4)，0.618，，，，2，，0 【分析】本题考查了有理数的分类． 【详解】（1）解：正整数集合：{，2，} （2）解：非负数集合：{0.618，，，2，0，，} （3）解：负分数集合：{，，} （4）解：有理数集合：{，0.618，，，，2，，0，} 【压轴素养题型】 【题型6】跨学科情境正负数综合应用 1.核心知识点 正负数在地理、历史、体育、物理等学科中的应用；基准的含义 2.解题方法技巧 ①读懂学科背景，提取对应的基准（如海平面、公元元年、标准成绩等）； ②将学科问题转化为正负数的表示与计算问题； ③计算完成后将结果还原为学科实际意义，确保结论符合学科常识。 【例题6】.（25-26七年级上·全国·课后作业）一次数学测验中，某班10名学生的成绩（单位：分）分别为：92，91，89，90.5，88.5，85，96，98，82.5，99.5．设定一个标准，用正负数表示这10名学生的成绩． 【答案】见解析 【分析】本题考查正负数的应用，以90分为基准，大于90分为正，小于90分为负，进行表示即可． 【详解】解：以90分为基准，这10名学生的成绩可表示为：． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）在一次英语单词默写比赛中，七（）班平均每名同学默写正确个．现规定：高于平均成绩的个数记作正数，低于平均成绩的个数记作负数． (1)李丽的成绩被记作，那么她默写对了多少个单词？ (2)罗一尘默写正确个，熊柏睿的成绩被记作，那么这两人谁的成绩更好？为什么？ 【答案】(1)个 (2)罗一尘的成绩更好，理由见解析 【分析】（）根据正负数的意义解答即可求解； （）根据正负数的意义求出熊柏睿默写正确的个数，进而比较即可求解； 本题考查了正数和负数的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解： （个）， 答：李丽默写对了个单词； （2）解：罗一尘的成绩更好，理由如下： 因为熊柏睿默写正确的个数是，所以罗一尘的成绩更好． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·新疆省直辖县级单位·阶段检测）七年级一班第一小组五名同学某次数学测试的平均成绩为80分，以平均成绩为标准，超过平均分记为正，低于平均分记为负，将五名同学的成绩分别记作分，分，0分，8分，分．则这五名同学的实际成绩分别是多少分？ 【答案】这五名同学的实际成绩分别是78、75、80、88、79分． 【分析】本题考查正负数的实际应用，解题的关键是理解以平均成绩为标准，正负数与实际成绩的计算关系．根据正负数的意义，用平均成绩分别加上对应的正负数，即可得到实际成绩． 已知平均成绩为80分，以平均成绩为标准，超过平均分记为正，低于平均分记为负． 【详解】解：（分） （分） （分） （分） （分） 答：这五名同学的实际成绩分别是、、、、分． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·新疆省直辖县级单位·阶段检测）农历新年来临之际，某公益团体购买了5箱苹果赠送给敬老院，苹果每箱以10千克为标准，称重记录如下（超过标准的千克数为正数）（单位：千克）． 这5箱苹果一共多少千克？ 【答案】这5箱苹果一共50千克． 【分析】本题考查正负数的实际应用，解题的关键是理解正负数表示的是与标准质量的差异，通过计算差异的和，再结合标准总质量求出实际总质量． 先计算5箱苹果与标准质量的差值之和，再用标准总质量加上该差值和，得到实际总质量． 【详解】解：， ． 答：这 5 箱苹果一共 50 千克． 【题型7】正负数的数字规律探究 1.核心知识点 正负数的符号周期规律；数字的变化规律 2.解题方法技巧 ①将数列拆分为“符号”和“绝对值”两部分，分别寻找变化规律； ②找到符号的循环周期，用序号除以周期，根据余数判断对应位置的符号； ③结合绝对值的变化规律，写出指定位置的数，或统计前n个数中正负数的个数。 易错点 1、对0的概念理解片面：误将0归为正数或负数；认为0只能表示“没有”，忽略0的基准意义。 2、判断相反意义的量出错：忽略“同类量”的要求，将不同类的反义词当作相反意义的量；误认为数量必须相等才是相反意义的量。 3、逐日变化类计算混淆基准：误将每日变化量当作相对于初始值的偏差，直接与初始值相加，导致后续天数的计算结果错误。 4、有理数分类遗漏或重复：分类时漏掉0，或重复计数；误将无限不循环小数当作有理数；混淆非负、非正等概念的范围。 重点 1、正数、负数和0的概念，能正确识别正负数，理解0的特殊意义。 2、用正负数表示具有相反意义的量，解决生活中的误差、变化、达标等实际问题。 3、有理数的概念与两种分类方式，能正确对有理数进行分类。 难点 1、理解基准的意义，灵活选择基准表示相反意义的量。 2、正负数的规律探究与跨学科综合应用，以及开放性方案设计。 一、单选题 1．下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 【答案】C 【分析】根据既是正数又是有理数的定义即可判断． 【详解】解：A、 是负数，故选项不符合题意； B、 不是有理数，故选项不符合题意； C、54是正有理数，故选项符合题意； D、可能是正数、负数或0，故选项不符合题意； 2．在“2025年河南乡村足球联赛”中，若规定球队净胜球为表示赢3球，那么输2球可表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵题目规定赢球用正数表示，赢球与输球是相反意义的量， ∴输球需要用负数表示， 因此输球可表示为． 3．在中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了负数的定义，根据负数的定义，判断给出的数中小于0的数，统计个数即可得到答案． 【详解】解：，是负数； 不是负数； ，是正数，不是负数； ，是负数. ∴负数共有2个． 二、填空题 4．一种食品包装袋上标着：净重（克），表示这种食品每袋最多不超过___________克． 【答案】280 【详解】解：（克）. 故这种食品每袋最多不超过280克. 5．《夏侯阳算经》说：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张．”意思是，在用算筹计数时，分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．而在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法．如：“”表示，则“”表示______． 【答案】 【分析】根据题干给出的示例，识别出算筹代表的数字及负号标记，结合有理数的概念即可求解． 【详解】 解：根据题意，算筹计数规则为：分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．由“”表示可知：百位为两根竖线，表示数字；十位为三根横线，表示数字；个位为上面一横下面三竖，表示数字． 观察“”，其算筹排列与“”相同，即百位为，十位为，个位为．根据“在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法”，“”中个位算筹上斜放了一支算筹，表示该数为负数．所以“”表示的数是． 6．如图为小明微信账单，其中，收到微信红包元显示“”．则扫码付款元，在阴影处显示的是______． 【答案】 【详解】解：扫码付款元，在阴影处显示的是． 三、解答题 7．把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ 正数集合：{   …}； 分数集合：{   …}； 非负整数集合：{   …}． 【答案】正数集合：{①⑤…} 分数集合：{③④⑤⑦…} 非负整数集合：{①⑥…} 【分析】本题考查有理数的分类，需明确正数、分数、非负整数的定义，逐一判断各数所属类别后完成归类，即可求解． 【详解】解：正数是大于的数和都大于所以正数集合：{①⑤…} 分数包含正分数、负分数，有限小数与百分数也属于分数范畴、、、都满足分数的定义所以分数集合：{③④⑤⑦…} 非负整数是正整数和0，是正整数，属于非负整数所以非负整数集合：{①⑥…} 8．读完下面这段话，回答问题 我们的教室长，宽，讲台长，宽，我们班有人，占全年级人数的，多数同学都是岁． (1)在老师刚才描述中出现了哪些数字？哪些属于计数和测量？哪些属于标号与排序？ (2)你能将这些数字进行分类吗？ (3)在实际生活中仅有整数和分数够用吗？请你举例说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了数字的分类（计数、测量、标号与排序）、整数与分数的概念，以及数在实际生活中的应用，熟练掌握数字的分类方法和整数、分数的定义是解题的关键． （1）先从题干描述中逐一提取出现的所有数字，再根据计数、测量、标号与排序的定义，对每个数字的用途进行判断和归类． （2）依据整数和分数的数学定义，对提取出的所有数字进行整数与分数的划分． （3）结合实际生活中的具体数学问题，举例说明仅用整数和分数无法满足需求，从而论证数系需要扩展． 【详解】（1）解：老师刚才描述中出现了：、、、、、、， 计数的有50，测量的有、、、、13岁、，没有属于标号与排序的数字； （2）解：按整数和分数分类：整数有、、、，分数有、、． （3）解：仅有整数和分数不够用，例如求圆的周长和面积时，发现圆周率但圆周率的值并不能由两个整数相除而得；又如求边长为的正方形对角线长时，求得的也不是整数和分数． 9．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查了正数、负数的意义，掌握“正负数可以用来表示相反意义的量”是解题的关键． （1）从，先向右走格，对应，再向上走格，对应；从开始先向左走格，再向下走格，到达处； （2）从开始先向右走格，向上走格，接着向右走格，向下走格，之后向左走格，向上走格，最后向左走格，向下走格，即可明确的位置． 【详解】（1）解：因为向上、向右走为正，向下、向左走为负， 所以到记为，到记为； （2）解：点位置如图所示： 10．算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，零以空格表示。如3257就表示成． (1)算筹所表示的数是 ． (2)请用算筹表示下列各数： (3)用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】此题考查数字的表示，理解题意是解题的关键． （1）根据图形的表示进行解答即可； （2）结合（1）根据图形的表示进行解答即可； （3）根据图形的表示进行解答即可． 【详解】（1） 解：算筹所表示的数是3875． 故答案为：3875； （2） 解：用算筹表示下列各数： （3）解：用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 正数和负数 【本节预习目标】 1.理解正数、负数的概念，能正确识别正负数并规范读写，明确0既不是正数也不是负数。 2.掌握具有相反意义的量的核心特征，能熟练用正负数表示相反意义的量，解释实际问题中正负数的含义。 3.理解有理数的定义，掌握有理数的两种分类标准，能正确将有理数归入对应数集，体会分类讨论的数学思想。 4.能运用正负数解决生活中的产品偏差、数量变化、达标统计等实际问题，建立数学模型，提升应用意识。 5.了解中国古代正负数的数学文化起源，感受数学的发展历程与实用价值。 【前置旧知回顾】 知识模块 小学已学旧知 本节新知关联 数的认识 自然数、分数、小数的意义，用于表示非负的数量、长度、价格等 在小学数的基础上引入负数，将数的范围扩展到有理数，可表示具有相反意义的量 数量描述 用“多、少、高、低、增、减”等词语描述数量差异 用正负数符号化表示成对的相反意义的量，表达更简洁规范，便于后续运算 生活应用 温度、海拔、收支等生活场景的数量描述 用正负数统一规范表示生活中的相反意义量，建立标准的数学表达模型 知识点1：正数与负数的概念 1.基本定义 数的类型 定义 示例 注意事项 正数 大于0的数叫做正数，可在前面加“+”（正号），也可省略不写 ，1.5%，， 正号可以省略，省略后不改变数的正负性 负数 在正数前面加上“-”（负号）的数叫做负数 ，，， 负号不能省略，去掉负号后是对应的正数 0 正数与负数的分界点 0既不是正数，也不是负数 2. 0的多重意义 基础意义：可以表示“没有”，如0个物品； 基准意义：作为正负数的分界，表示某个基准量，如表示标准大气压下冰水混合物的温度，并非没有温度； 数集意义：是整数、自然数、非负数、非正数的组成部分，是分类问题中的特殊数。 知识点2：具有相反意义的量 1.三大核心特征 成对性：相反意义的量必须成对出现，单独一个量不能称为相反意义的量； 同类性：必须是同一类别的量，如“收入”与“支出”是同类量，“向东走”与“盈利”不是同类量； 不唯一性：相反意义的量数量不一定相等，如与“盈利200元”相反的可以是亏损100元，也可以是亏损300元。 2.表示方法 先确定基准，规定其中一种意义的量为正（用正数表示），则与其意义相反的量为负（用负数表示）； 基准的选择会影响表示结果，如以山脚为基准和以海平面为基准，山高的表示结果不同； 书写时需带上单位，正号可省略，负号不可省略。 知识点3：有理数的概念与分类 1.有理数的定义 整数：正整数、、负整数统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数。有限小数、无限循环小数都可以化为分数，因此都属于分数； 有理数：整数和分数统称为有理数，即所有可以写成分数形式（为整数，）的数都是有理数。 注意：无限不循环小数不能化为分数，不属于有理数，如、（每两个1之间0的个数逐次加1）。 2.有理数的两种分类方式 按“定义”分类： 按“符号”分类： 3.有理数的常用数集 常用数集名称 含义 非负数 正数和 非正数 负整和 非负整数 正整数和 非正整数 负整数和 【基础巩固题型】 【题型1】正负数的概念识别与判断 1.核心知识点 正数、负数、0的定义；正负数的符号特征 2.解题方法技巧 ①根据定义判断：大于0的数是正数，正数前加负号的数是负数，0既不是正数也不是负数； ②注意省略正号的正数，如与均为正数； ③分类题中0单独归类，不可归入正数或负数集合。 【例题1】.（25-26七年级上·浙江衢州·期末）学习有理数后，甲、乙两名同学对负数有了新的认识，甲：负数比0小；乙：0不是负数．这两名同学的说法，正确的是（   ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均错 【变式题1-1】.（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）学习正负数后，甲、乙两名同学提出不同看法： 甲：带有“”号的数是负数； 乙：是正数，不是负数 对于这两名同学的看法，正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【变式题1-2】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在，0，，，，，中，负数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题1-3】.（25-26七年级上·河南周口·期末）下列各数中，既不是正数也不是负数的是（   ） A． B．0 C．1 D．2024 【题型2】相反意义的量的辨析 1.核心知识点 相反意义的量的三大特征：成对性、同类性、意义相反 2.解题方法技巧 ①先判断两个量是否属于同一类别，不同类的一定不是相反意义的量； ②再判断意义是否相反，如“上升”对应“下降”，“运进”对应“运出”； ③单纯的形容词反义词（如黑白、快慢）无数量维度，不属于相反意义的量。 【例题2】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各项中的两个量不具有相反意义的是（   ）． A．身高增长和体重下降 B．仓库运进箱榴莲与售出箱榴莲 C．电梯上升层与下降层 D．聪聪向前走步与向后走步 【变式题2-1】.（25-26七年级上·河南漯河·阶段检测）下列各对量中，是具有相反意义的量的是（   ） A．气温升高与气温 B．身高增加与体重减少 C．向东走与向西走 D．飞机上升与前进 【变式题2-2】.（25-26七年级上·浙江丽水·期末）下列不具有相反意义的量是（    ） A．前进9米和后退9米 B．气温上升5℃和气温下降5℃ C．向东走10米和向西走10米 D．盈利30元和支出30元 【变式题2-3】.（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）下列具有相反意义的量的是（    ） A．前进米和后退米 B．零上℃和下降℃ C．收入元和亏损元 D．向南走千米和向东走千米 【题型3】用正负数表示相反意义的量 1.核心知识点 正负数的表示规则；基准的确定 2.解题方法技巧 ①先明确题干规定的正方向与基准量； ②高于基准、增加、收入等用正数表示，低于基准、减少、支出等用负数表示； ③结果必须带上对应单位，不可只写数字。 【例题3】.（2026·山西·中考真题）如果水库的水位升高0.06米时水位变化记作米，那么水位下降0.05米时水位变化记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式题3-1】.（2026·辽宁抚顺·模拟预测）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把气温零上记作，则表示气温为（     ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【变式题3-2】.（2026·江苏泰州·二模）等高线指的是地形图上高度相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若高于海平面的山峰，在等高线上标注为，则某盆地低于海平面，在等高线上标注为（     ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（2026·内蒙古通辽·二模）冬季来临，我国北方城市气温差异显著．天气预报显示，某日呼和浩特的最高气温为零上，最低气温为零下．若规定零上温度记为正数，则该日呼和浩特的最高气温与最低气温可分别表示为（     ） A． B． C． D． 【培优提升题型】 【题型4】产品允许偏差类应用 1.核心知识点 正负数表示误差范围；合格区间的计算 2.解题方法技巧 ①先计算合格范围：标准值-偏差下限到标准值+偏差上限，如对应合格区间； ②判断产品是否合格，只需看实际数值是否落在合格区间内； ③最大偏差差值等于2倍允许偏差值，即最大合格值减最小合格值。 【例题4】.（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，在生产图纸上通常用（单位：）来表示零件的加工要求，其中表示直径是，和是指直径在到之间的零件都属于合格零件．现加工一批零件，尺寸要求是（单位：），下列零件不合格的是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（2025·吉林·一模）某厂加工了一批零件，质检员从中随机抽取10个零件检测了它们的质量（单位：），得到的数据如下：9.97，9.98，9.99，9.99，10.00，10.00，10.00，10.00，10.01，10.02．当一个零件质量的范围满足时，评定该零件为一等品．根据以上数据，这10个零件中一等品的个数是______． 【变式题4-2】.（25-26六年级下·全国·单元复习）一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为______． 【变式题4-3】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为_____． 【题型5】有理数的分类与数集填写 1.核心知识点 有理数的定义；整数、分数、常见数集的含义 2.解题方法技巧 ①采用“逐一排查法”，逐个判断每个数所属的集合，注意一个数可属于多个不同集合； ②牢记特殊数0的归属：0是整数、非正数、非负数、非负整数、非正整数，但不是正数也不是负数； ③有限小数、百分数、无限循环小数都属于分数，可化为分数形式，因此都是有理数。 【例题5】.（25-26七年级上·云南保山·期中）下列关于有理数的说法正确的是（    ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数、负整数 C．有理数是可以写成分数形式的数 D．有理数分为正数、零、负数 【变式题5-1】.（25-26七年级上·山东德州·期末）下列7个数，，，，0，π，，．其中有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式题5-2】.（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是（   ） A．，0不是正数 B．，0.41，0，3.14是正数 C．，，0.41，，0，3.14是有理数 D．，是负数 【变式题5-3】.（25-26七年级上·河南驻马店·期末）请把下列各数填入相应集合内： ，0.618，，，，2，，0， (1)正整数集合：{                    …} (2)非负数集合：{                    …} (3)负分数集合：{                    …} (4)有理数集合：{                    …} 【压轴素养题型】 【题型6】跨学科情境正负数综合应用 1.核心知识点 正负数在地理、历史、体育、物理等学科中的应用；基准的含义 2.解题方法技巧 ①读懂学科背景，提取对应的基准（如海平面、公元元年、标准成绩等）； ②将学科问题转化为正负数的表示与计算问题； ③计算完成后将结果还原为学科实际意义，确保结论符合学科常识。 【例题6】.（25-26七年级上·全国·课后作业）一次数学测验中，某班10名学生的成绩（单位：分）分别为：92，91，89，90.5，88.5，85，96，98，82.5，99.5．设定一个标准，用正负数表示这10名学生的成绩． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）在一次英语单词默写比赛中，七（）班平均每名同学默写正确个．现规定：高于平均成绩的个数记作正数，低于平均成绩的个数记作负数． (1)李丽的成绩被记作，那么她默写对了多少个单词？ (2)罗一尘默写正确个，熊柏睿的成绩被记作，那么这两人谁的成绩更好？为什么？ 【变式题6-2】.（25-26七年级上·新疆省直辖县级单位·阶段检测）七年级一班第一小组五名同学某次数学测试的平均成绩为80分，以平均成绩为标准，超过平均分记为正，低于平均分记为负，将五名同学的成绩分别记作分，分，0分，8分，分．则这五名同学的实际成绩分别是多少分？ 【变式题6-3】.（25-26七年级上·新疆省直辖县级单位·阶段检测）农历新年来临之际，某公益团体购买了5箱苹果赠送给敬老院，苹果每箱以10千克为标准，称重记录如下（超过标准的千克数为正数）（单位：千克）． 这5箱苹果一共多少千克？ 【题型7】正负数的数字规律探究 1.核心知识点 正负数的符号周期规律；数字的变化规律 2.解题方法技巧 ①将数列拆分为“符号”和“绝对值”两部分，分别寻找变化规律； ②找到符号的循环周期，用序号除以周期，根据余数判断对应位置的符号； ③结合绝对值的变化规律，写出指定位置的数，或统计前n个数中正负数的个数。 易错点 1、对0的概念理解片面：误将0归为正数或负数；认为0只能表示“没有”，忽略0的基准意义。 2、判断相反意义的量出错：忽略“同类量”的要求，将不同类的反义词当作相反意义的量；误认为数量必须相等才是相反意义的量。 3、逐日变化类计算混淆基准：误将每日变化量当作相对于初始值的偏差，直接与初始值相加，导致后续天数的计算结果错误。 4、有理数分类遗漏或重复：分类时漏掉0，或重复计数；误将无限不循环小数当作有理数；混淆非负、非正等概念的范围。 重点 1、正数、负数和0的概念，能正确识别正负数，理解0的特殊意义。 2、用正负数表示具有相反意义的量，解决生活中的误差、变化、达标等实际问题。 3、有理数的概念与两种分类方式，能正确对有理数进行分类。 难点 1、理解基准的意义，灵活选择基准表示相反意义的量。 2、正负数的规律探究与跨学科综合应用，以及开放性方案设计。 一、单选题 1．下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 2．在“2025年河南乡村足球联赛”中，若规定球队净胜球为表示赢3球，那么输2球可表示为（    ）． A． B． C． D． 3．在中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4．一种食品包装袋上标着：净重（克），表示这种食品每袋最多不超过___________克． 5．《夏侯阳算经》说：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张．”意思是，在用算筹计数时，分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．而在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法．如：“”表示，则“”表示______． 6．如图为小明微信账单，其中，收到微信红包元显示“”．则扫码付款元，在阴影处显示的是______． 三、解答题 7．把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ 正数集合：{   …}； 分数集合：{   …}； 非负整数集合：{   …}． 8．读完下面这段话，回答问题 我们的教室长，宽，讲台长，宽，我们班有人，占全年级人数的，多数同学都是岁． (1)在老师刚才描述中出现了哪些数字？哪些属于计数和测量？哪些属于标号与排序？ (2)你能将这些数字进行分类吗？ (3)在实际生活中仅有整数和分数够用吗？请你举例说明． 9．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 10．算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，零以空格表示。如3257就表示成． (1)算筹所表示的数是 ． (2)请用算筹表示下列各数： (3)用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $