重难点专训02 指对幂函数大小比较与图像辨析五大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以指对幂函数性质为核心，构建“性质对比-题型通法-分层突破”体系，提炼“图像三步识别”“0/1分段比较”等实用技巧，适配高考一轮系统复习 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法提炼|性质对比表+9技巧|核心性质对比、图像识别口诀、大小比较三法|从定义到性质，通过对比表建立三类函数内在联系| |5类题型|5题型含26例题|纯图像辨析四技巧、三数比较三方法、分类讨论策略|题型与方法一一对应，基础到综合逐步提升| |分层过关练|2层次30题|巩固题重基础应用、创新题强综合迁移|性质→技巧→题型→应用，形成完整能力链|

重难点专训02 指对幂函数大小比较与图像辨析 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 纯图像辨析选择题（基础送分） 2 题型2 三数混合大小比较（高考单选必考） 5 题型3 含参数大小比较（分类讨论题型） 7 题型4 复合函数单调性与值域 8 题型5 恒过定点综合问题（上海模考高频） 8 重难专题分层过关练 9 巩固过关 9 创新提升 11 解题方法及技巧提炼 1. 三类函数标准解析式与核心性质 （1）指数函数 解析式： 定义域：，值域： 定点：恒过 单调性： 在R上单调递增； 在R上单调递减 （2）对数函数 解析式： 定义域：，值域： 定点：恒过 单调性： 在定义域内单调递增； 在定义域内单调递减 （3）幂函数 解析式： 定点：恒过 ； 额外过原点 ， 不过原点 第一象限单调性： 单调递增； 单调递减 定义域、值域随指数 变化，解题重点仅需关注第一象限图像 2. 三类函数核心性质对比表 函数类型 定义域 值域 恒过定点 单调性分界 指数函数 增， 减 对数函数 增， 减 幂函数 随变化 随变化 一象限：增，减 题型通法及变式提升 题型1 纯图像辨析选择题（基础送分） 技巧1：指数函数图像底数大小判定 核心口诀：竖线定底，交点越高，底数越大 在坐标系中作直线 ，直线与指数函数图像交点的纵坐标即为底数，交点越高，底数越大。 增减分布规律： ：递增图像， 函数值>1， 函数值<1 ：递减图像， 函数值<1， 函数值>1 技巧2：对数函数图像底数大小判定 核心规律： 区间：底大图高（底数越大，函数值越大） 区间：底大图低（底数越大，函数值越小） 正负区分： ： 值为正， 值为负 ： 值为负， 值为正 技巧3：幂函数第一象限图像终极判定 所有幂函数解题只需看第一象限，其余象限可辅助排除错误选项： ：上凸递增（例：） ：下凸递增（例：） ：双曲线型递减（例：） 底数比较技巧：作直线，交点函数值越大，指数越大。 技巧4：三类函数混合图像识别三步法 定点定类型：过为指数函数；过为对数函数；仅过为幂函数 特殊值验证：取快速计算函数值 趋势定参数：根据图像增减趋势，锁定底数、指数的取值范围 1．（25-26高三上·上海·阶段检测）幂函数的图像是（   ）. A．B．C． D． 2．已知函数，则其图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　） A． B． C． D． 4．图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 5．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A． B． C． D． 6．函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 7．函数的大致图象为（   ） A．  B．  C．  D．   8．设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（   ） A．   B．   C．   D．   9．已知函数的图象如图所示，则下列关系不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 题型2 三数混合大小比较（高考单选必考） 1. 同结构简单比较（基础必考） （1）同底不同指（指数函数） 依据指数函数单调性：，指数越大值越大；，指数越大值越小。 示例：， （2）同真不同底（对数函数） 底大图高，值更大； 底大图低，值更小。 （3）同指不同底（幂函数） 依据幂函数一象限单调性：，底数越大值越大；，底数越大值越小。 示例：， 2. 不同底、不同指、不同类型（难点万能解法） 核心方法一：0、1分段法（首选秒杀） 所有跨函数比较，优先以0、1为分界，分三档：负数、0~1、大于1 判定规则： 指数：，可快速判断与1的大小 对数：，可快速判断正负、与1大小 幂函数：，辅助分界 解题步骤：先分正负，再分1两侧，同区间内再精细比较。 经典示例：比较 解析：，，，故 核心方法二：中间量搭桥法（无明显分界专用） 当数值均在0~1或均大于1时，选取等中间量过渡比较。 核心方法三：构造函数法（压轴专用） 式子结构相似时，构造单调函数，利用单调性整体比较大小，适配复杂压轴题 10．（25-26高三·上海·二轮复习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 11．（24-25高三下·上海·阶段检测）关于下列两个命题的正确的判断是（  ） 甲：； 乙：， A．甲乙都不成立 B．仅甲成立； C．仅乙成立； D．甲乙都成立. 12．（25-26高三·上海·二轮复习）已知奇函数是定义在上的增函数，若，，．则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 13．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知实数满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高三下·上海·阶段检测）若正数、、均不为1，则下列不等式中与“”等价的是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高三上·上海宝山·期中）若且a、b均不为1，，则（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·上海·期中）已知，则下列三个命题中正确的个数为（    ）个. ①若，则； ②若，则； ③若，则. A．3 B．2 C．1 D．0 题型3 含参数大小比较（分类讨论题型） 17．（2026高三·上海·专题练习）当，且时， 与的大小为：______. 18．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 19．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中常数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，试比较与的大小. 题型4 复合函数单调性与值域 20．（23-24高三上·上海静安·开学考试）若函数在区间上严格增，则实数的取值范围为___________. 21．（24-25高三上·上海·阶段检测）已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围_______． 22．（25-26高三上·上海·阶段检测）设函数对任意有成立，则实数a的取值范围是________． 23．（25-26高三上·上海·期中）设函数，则使得成立的的取值范围是______． 24．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的值域是，则实数的取值范围是__________. 25．（24-25高三下·上海·阶段检测）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在上为“局部奇函数”，则实数的最小值为________. 26．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，其中，存在实数使得成立.若正整数的最大值为8，则实数的取值范围是___________． 题型6 恒过定点综合问题（上海模考高频） 27．（2024·上海普陀·模拟预测）函数（，且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为______. 28．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）已知集合，任取，则函数的图像过点的概率为____________. 29．（24-25高三上·上海·阶段检测）对于，，，如果存在非零实数，，使得，那么称函数为，的生成函数. (1)当，时，由，生成函数．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． (2)设，生成的函数为，若直线是函数图象的一条对称轴，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标． 30．（24-25高三下·上海浦东新·阶段检测）已知． (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)存在使得成等差数列，求a的取值范围. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海青浦·模拟预测）若正数均不为1，则下列不等式中与“”等价的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海奉贤·一模）设、为实数，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C．时， D． 4．（2025·上海嘉定·一模）若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 6．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 7．（2025·上海嘉定·一模）已知，且，则实数的取值范围是_____. 8．（2026·上海黄浦·三模）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 9．（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 创新提升 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·期中）已知函数若存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·上海闵行·期中）定义在上的函数同时满足以下三个条件：①；②对任意，成立；③当，，时，总有成立.有下列两个命题： 命题①：函数在定义域内是增函数； 命题②：对任意，都有成立. 则下列说法正确的是（    ） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 3．（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）对于函数，，若存在区间，使得对任意，都有，则称为函数的关联区间，区间长度为，已知，给出以下两个命题： 命题①：当时，函数的关联区间长度不可能为2； 命题②：当时，函数存在无穷多个关联区间； 则下列选项中正确的是（    ）． A．①、②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①、②均为假命题 二、填空题 4．（25-26高三上·上海·期中）已知，，则的解集为____________. 5．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知实数，，满足，，则的最小值为______ 6．（25-26高三下·上海黄浦·开学考试）若函数的定义域内存在区间，且  ，则称函数具有“性质F ”．正确的是____________．① 具有“性质F ”的一次函数存在且有无数个；② 具有“性质F ”的二次函数存在且有无数个；③存在，使函数具有“性质F”；④对任意，函数都具有“性质F ”． 三、解答题 7．（2023·上海·模拟预测）已知.记，其中常数m，. (1)证明：对任意m，，曲线过定点； (2)证明：对任意s，，； (3)若对一切和一切使得的函数，恒成立，求实数的取值范围. 8．（25-26高三上·上海·期中）设a、b为不等于1的正数.记，其中且. (1)若，求实数a、b需满足的等量关系； (2)设.记，讨论函数取得最小值时的取值（无需写出函数的最小值）； (3)若且，证明：所有满足题意的实数组成的集合为. 9．（25-26高三上·上海·期中）对于函数，若存在实数，使得为上的奇函数，则称是位差值为的＂位差奇函数＂. (1)判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由； (2)若是位差值为的位差奇函数，求的值； (3)若对于任意都不是位差值为的位差奇函数，求实数的取值范围． 10．（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）给出函数 . (1)若 ，求不等式 的解集； (2)若 ，判断 的奇偶性，说明理由，并求不等式 的解集； (3)若 ，非零实数 、 满足 ，求证: . 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 指对幂函数大小比较与图像辨析 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 纯图像辨析选择题（基础送分） 2 题型2 三数混合大小比较（高考单选必考） 9 题型3 含参数大小比较（分类讨论题型） 11 题型4 复合函数单调性与值域 13 题型5 恒过定点综合问题（上海模考高频） 16 重难专题分层过关练 18 巩固过关 18 创新提升 22 解题方法及技巧提炼 1. 三类函数标准解析式与核心性质 （1）指数函数 解析式： 定义域：，值域： 定点：恒过 单调性： 在R上单调递增； 在R上单调递减 （2）对数函数 解析式： 定义域：，值域： 定点：恒过 单调性： 在定义域内单调递增； 在定义域内单调递减 （3）幂函数 解析式： 定点：恒过 ； 额外过原点 ， 不过原点 第一象限单调性： 单调递增； 单调递减 定义域、值域随指数 变化，解题重点仅需关注第一象限图像 2. 三类函数核心性质对比表 函数类型 定义域 值域 恒过定点 单调性分界 指数函数 增， 减 对数函数 增， 减 幂函数 随变化 随变化 一象限：增，减 题型通法及变式提升 题型1 纯图像辨析选择题（基础送分） 技巧1：指数函数图像底数大小判定 核心口诀：竖线定底，交点越高，底数越大 在坐标系中作直线 ，直线与指数函数图像交点的纵坐标即为底数，交点越高，底数越大。 增减分布规律： ：递增图像， 函数值>1， 函数值<1 ：递减图像， 函数值<1， 函数值>1 技巧2：对数函数图像底数大小判定 核心规律： 区间：底大图高（底数越大，函数值越大） 区间：底大图低（底数越大，函数值越小） 正负区分： ： 值为正， 值为负 ： 值为负， 值为正 技巧3：幂函数第一象限图像终极判定 所有幂函数解题只需看第一象限，其余象限可辅助排除错误选项： ：上凸递增（例：） ：下凸递增（例：） ：双曲线型递减（例：） 底数比较技巧：作直线，交点函数值越大，指数越大。 技巧4：三类函数混合图像识别三步法 定点定类型：过为指数函数；过为对数函数；仅过为幂函数 特殊值验证：取快速计算函数值 趋势定参数：根据图像增减趋势，锁定底数、指数的取值范围 1．（25-26高三上·上海·阶段检测）幂函数的图像是（   ）. A．B．C． D． 【答案】A 【详解】因为幂函数的定义域为， 而选项B中的图象取不到，所以B错误； 因为幂函数为偶函数，而D选项的图象关于原点对称，所以D错误； 因为，根据幂函数的单调性和变化幅度可知选项A符合，C错误. 故选：A. 2．已知函数，则其图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以函数的定义域为，所以选项A和D不符合题意，，当时，，所以，即，所以C不符合题意， 利用排除法，选项B符合题意. 故选：B 3．函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，为增函数， 且，与图象不符， 若，为减函数， 且，与图象相符，所以， 当时，， 结合图象可知，此时，所，则，所以， 故选:C. 4．图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令图象为的幂函数分别为， 观察图象知，曲线在第一象限内从左到右下降，对应函数在上单调递减，则； 曲线在第一象限内从左到右都上升，对应函数在上都单调递增， 而在时，曲线在直线上方，曲线在直线下方，则， 因此. 故选：D 5．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数和， 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越快， 函数在定义域为单调递增函数，可排除A和B项； 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越慢， 函数在定义域为单调递减函数，可排除C项. 故选：D. 6．函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】对于B、D，因为在其定义域上为单调增函数， 由复合函数的单调性可得在和上单调递减，故B、D错误； 对于C，由对数函数的性质，当时，，故C错误； 故选：A. 7．函数的大致图象为（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】A 【详解】，当时，，，排除D． 则， 单调递减，单调递增，排除BC， 故选：A. 8．设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】对A，函数单调递增，且图象与y轴相交于x轴下方， 所以且， 所以函数单调递增且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故A错误； 对B，函数单调递增，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递增，且图象为向上平移个单位得到，故B正确； 对C，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故C错误； 对D，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，故D错误. 故选：B 9．已知函数的图象如图所示，则下列关系不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可得，，， 则，故A正确； 则，故B正确； 因为，，所以，故C错误； 当时，，满足，故D可能成立； 故选：C． 题型2 三数混合大小比较（高考单选必考） 1. 同结构简单比较（基础必考） （1）同底不同指（指数函数） 依据指数函数单调性：，指数越大值越大；，指数越大值越小。 示例：， （2）同真不同底（对数函数） 底大图高，值更大； 底大图低，值更小。 （3）同指不同底（幂函数） 依据幂函数一象限单调性：，底数越大值越大；，底数越大值越小。 示例：， 2. 不同底、不同指、不同类型（难点万能解法） 核心方法一：0、1分段法（首选秒杀） 所有跨函数比较，优先以0、1为分界，分三档：负数、0~1、大于1 判定规则： 指数：，可快速判断与1的大小 对数：，可快速判断正负、与1大小 幂函数：，辅助分界 解题步骤：先分正负，再分1两侧，同区间内再精细比较。 经典示例：比较 解析：，，，故 核心方法二：中间量搭桥法（无明显分界专用） 当数值均在0~1或均大于1时，选取等中间量过渡比较。 核心方法三：构造函数法（压轴专用） 式子结构相似时，构造单调函数，利用单调性整体比较大小，适配复杂压轴题 10．（25-26高三·上海·二轮复习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据函数在R上单调递减可知， 根据函数在上单调递增可知， 故， 故选：A 11．（24-25高三下·上海·阶段检测）关于下列两个命题的正确的判断是（  ） 甲：； 乙：， A．甲乙都不成立 B．仅甲成立； C．仅乙成立； D．甲乙都成立. 【答案】A 【详解】构造函数， 则，在上单调递减， 所以，即， 即； 构造函数，则， 令，可得， 当时，，在上单调递减， 所以，即， 所以，所以， 又为增函数， 所以. 故选：. 12．（25-26高三·上海·二轮复习）已知奇函数是定义在上的增函数，若，，．则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是奇函数，所以. 因为函数是增函数，所以， 因为函数是增函数，所以，所以. 因为函数是定义在上的增函数，所以，即. 故选：D. 13．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知实数满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，可知，无法判断正负，所以选项A错误； 对于选项B，可知时，所以，所以选项B错误； 对于选项C，因为，所以， 可知，当且仅当，即时取等号，所以等号取不到， 所以，选项C正确； 对于选项D，当时，无法判断不等式是否成立，所以选项D错误； 14．（23-24高三下·上海·阶段检测）若正数、、均不为1，则下列不等式中与“”等价的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A：当时，由可得，故A错误； 对B：由，则可能有或，故B错误； 对C：由为正数且不为，故函数在时单调递增， 故当时，有，故C正确； 对D：当时，由可得，故D错误. 故选：C. 15．（23-24高三上·上海宝山·期中）若且a、b均不为1，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则在上递增，而，故，A错； 在上递减，而，故，B对； 在上递减，而，故，C错； 当时，，D错； 故选：B 16．（25-26高三上·上海·期中）已知，则下列三个命题中正确的个数为（    ）个. ①若，则； ②若，则； ③若，则. A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】对于①，由指数函数，它在定义域上是减函数， 因为，所以，故命题①错误. 对于②，由对数函数，它在定义域上是减函数， 因为，所以，故命题②正确. 对于③，由幂函数，其定义域为，且在上单调递增， 因为，所以，故命题③正确. 综上可得，命题②③正确，正确的命题有2个. 故选：B. 题型3 含参数大小比较（分类讨论题型） 17．（2026高三·上海·专题练习）当，且时， 与的大小为：______. 【答案】 【详解】， ①当时，即，时，，所以； ②当时，即，时，，所以； 综上所述，当，且时，. 故答案为： 18．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】的图象如下图所示 由图象可知，当时，单调递减，所以，此时， 当时，，， ，即，化简可得，解得， 综上所述，因为，所以的取值范围为. 19．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中常数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，试比较与的大小. 【详解】（1）时，，易知， 所以， 则不等式等价于， 即，解之得或， 结合定义域知不等式解集为； （2）易知当时，， 若，则，所以， 则，即； 若，则， 所以， 则，即； 综上所述：. 题型4 复合函数单调性与值域 20．（23-24高三上·上海静安·开学考试）若函数在区间上严格增，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【详解】因为在定义域内单调递增，且在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为在上单调递减，在上单调递增， 若函数在区间上严格增，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 21．（24-25高三上·上海·阶段检测）已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围_______． 【答案】 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 则取值的范围为. 故答案为：. 22．（25-26高三上·上海·阶段检测）设函数对任意有成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【详解】对任意有，则函数为R上的增函数， 又易知在上单调递增， 则，解得，即实数a的取值范围是. 故答案为： 23．（25-26高三上·上海·期中）设函数，则使得成立的的取值范围是______． 【答案】 【详解】函数的定义域为， ∵， ∴函数为偶函数， 当时，， 又，均在上单调递增，所以在上单调递增， 根据偶函数性质可知不等式，等价于， 即，解得， ∴的取值范围为. 故答案为：. 24．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的值域是，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】令，则， 要使得的值域为R，则函数的值域满足， 当时，即函数开口向上，且最小值小于等于0， ， 当时，满足题意， 综上所述：. 故答案为：. 25．（24-25高三下·上海·阶段检测）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在上为“局部奇函数”，则实数的最小值为________. 【答案】 【详解】函数的定义域为， 由题意可知，存在，使得，即， 可得，所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，实数的最小值为. 故答案为：. 26．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，其中，存在实数使得成立.若正整数的最大值为8，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】设， 因为，则，所以， 则， 当时，， 则，显然存在任意正整数使得成立； 当时，，， 要使得正整数的最大值为8，则，解得； 当时，，，则， 显然存在任意正整数使得成立； 当时，，则， 要使得正整数的最大值为8，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型6 恒过定点综合问题（上海模考高频） 27．（2024·上海普陀·模拟预测）函数（，且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为______. 【答案】 【详解】因为，令，解得，此时， 所以函数（且）的图象恒过定点，即， 又点在直线上，故， 又，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 28．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）已知集合，任取，则函数的图像过点的概率为____________. 【答案】 【详解】验证当取不同值时函数是否满足， 当时，，满足条件； 当时，，不满足； 当时，的定义域为，不在定义域内，不满足； 当时，，满足条件； 当时，，不满足。 计算概率：符合条件的共2个，由古典概型公式得所求概率. 29．（24-25高三上·上海·阶段检测）对于，，，如果存在非零实数，，使得，那么称函数为，的生成函数. (1)当，时，由，生成函数．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． (2)设，生成的函数为，若直线是函数图象的一条对称轴，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【详解】（1）当，时，为增函数， 所以当时，， 因为在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 因为， 所以当时，有最大值， 所以； （2）由题知，其中， 因为直线是函数图象的一条对称轴， 所以，，则，， 所以，即， 所以直线， 所以直线过定点. 30．（24-25高三下·上海浦东新·阶段检测）已知． (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)存在使得成等差数列，求a的取值范围. 【详解】（1）由过，可得，则，解得（负值舍去）， 因为在上单调递增，， 则，解得，故所求解集为． （2）因为成等差数列，所以， 即有解，化简可得， 则，且， 故在上有解， 令，则 所以，又因为，所以． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误， 对于选项C，由，得到，即，所以推不出， 但可以得出，故选项C正确， 对于选项D，由，得到， 又，当且仅当时取等号，显然不满足题意， 则，即， 又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误， 故选：C. 2．（2025·上海青浦·模拟预测）若正数均不为1，则下列不等式中与“”等价的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，当时，函数单调递减，由可得，故A错误； 对于B，当时，函数在单调递减，由可得，故B错误； 对于C，因，，函数在上单调递增，由，可得，由，也可得，故C正确； 对于D，若取，显然满足正数均不为1，且， 但，即与不等价，故D错误. 故选：C. 3．（2025·上海奉贤·一模）设、为实数，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C．时， D． 【答案】D 【详解】因为、为实数，且， 当，，A选项错误； 当，，B选项错误； 当时，，C选项错误； 当，所以，D选项正确； 故选：D. 4．（2025·上海嘉定·一模）若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，得， 在同一直角坐标系内作出函数的图象， 则分别是函数，的图象与直线交点的纵坐标， 设点的横坐标为，点的横坐标为，观察图象得当时，， 当时，，当时，， 所以ABD是可能的，C不可能. 5．（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【答案】 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. 6．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】当时，，所以函数的图象过定点， 所以，，代入得. 所以， 当且仅当时等号成立，即，时等号成立. 7．（2025·上海嘉定·一模）已知，且，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】令，等价于，可得，解得， 可知函数的定义域为， 因为，即， 可知函数为奇函数， 且， 因为在内单调递增，则在内单调递减， 且在定义域内单调递增，可知函数在内单调递减， 若，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（2026·上海黄浦·三模）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 【详解】（1），所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，，所以既不是奇函数也不是偶函数. （2）当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， 故实数的取值范围为函数的值域， ，因为，所以， 即实数的取值范围为. 9．（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以； （2）， 令，问题等价于求的值域， 函数图象开口向上，对称轴为直线， ， 函数的值域为． 创新提升 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·期中）已知函数若存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 所以，即，所以， 则， 因为在上递增， 所以； 当，，所以， 所以，不存在，使得； 当时，， 因为，所以， 所以， 则， 令，则， 因为，所以，， 所以，所以，即， 所以在上单调递增， 所以，即， 综上所述，的取值范围是， 故选：D. 2．（23-24高三上·上海闵行·期中）定义在上的函数同时满足以下三个条件：①；②对任意，成立；③当，，时，总有成立.有下列两个命题： 命题①：函数在定义域内是增函数； 命题②：对任意，都有成立. 则下列说法正确的是（    ） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【答案】A 【详解】令，则， 所以， 又对任意成立， 则，即， 所以， 即对任意，都有， 所以在是增函数，故①为真命题； 令，则， 而任意成立，所以， 又，故， 反证法：若存在，使成立， 对于，，而，此时不存在使成立； 对于，若存在使成立，则， 而，则，即， 由，依次类推，必有，且趋向于无穷大， 此时，而必然会出现大于1的情况，与矛盾， 所以在上也不存在使成立， 综上，对任意，都有成立，故命题②为真命题. 故选：A. 3．（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）对于函数，，若存在区间，使得对任意，都有，则称为函数的关联区间，区间长度为，已知，给出以下两个命题： 命题①：当时，函数的关联区间长度不可能为2； 命题②：当时，函数存在无穷多个关联区间； 则下列选项中正确的是（    ）． A．①、②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①、②均为假命题 【答案】C 【详解】当时，，，因此函数在处不连续，， 当时，单调递减，单调递增，若， 则需要，，考虑直线与，当适当取值时，结合图象，会与相交，并且有两个交点和，会随着的减小而从0增大，因此存在使得，取，可符合题意，①错误． 当时，对于，单调递减且值域为，任取，，则当时，，而，也即，当时，，因此存在无穷多个关联区间，②正确． 故选：C． 二、填空题 4．（25-26高三上·上海·期中）已知，，则的解集为____________. 【答案】. 【详解】由已知，，，所以， 当时，，因为，即，即， 令，因为函数和在上单调递增， 所以在上单调递增，且， 所以的解集为； 当时，，因为，即，即， 令，因为函数和在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，恒成立， 所以的解集为； 综上所述，的解集为. 5．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知实数，，满足，，则的最小值为______ 【答案】 【详解】设，则， 由得 ， 其中. ，，当时取等号. ，，， 设， 其图象为开口向下的抛物线，对称轴为，在上单调递增， 当时， 因为,所以，所以， 当且仅当，即取到最小值. 故答案为：. 6．（25-26高三下·上海黄浦·开学考试）若函数的定义域内存在区间，且  ，则称函数具有“性质F ”．正确的是____________．① 具有“性质F ”的一次函数存在且有无数个；② 具有“性质F ”的二次函数存在且有无数个；③存在，使函数具有“性质F”；④对任意，函数都具有“性质F ”． 【答案】①②③ 【详解】对于①选项，若函数为一次函数，设，不妨取， 则函数在上单调递增， 所以，解得，此时， 故任取时，必有函数在区间满足题意，①对； 对于②选项，不妨取，其中，，取，， 则函数在上单调递增， 由可得， 所以当且时，必有函数在区间上满足题意，②对； 对于③选项，若，则函数在上为增函数， 由题意可得，可知关于的方程在上至少有两个不等的实数解， 即，可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，则；当时，，则. 且， 要使得方程至少有两个不等的实根，则，解得， 因为，故存在，使函数具有“性质F ”，③对； 对于④选项，若，则函数具有“性质F ”， 且函数在上为增函数，则， 故关于的方程至少有两个实数解， 当时，由可得，即，则， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以， 当时，，则；当时，，则. 若方程有两个实数解，则，解得， 当时，即当时，方程在时有且只有一个实数解， 当时，方程在时无实数解， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为，， 所以，存在，使得， 故当时，方程在时有且只有一个实数解， 方程在时无实数解， 即当时，函数不具有“性质F ”，④错． 故正确的是：①②③． 三、解答题 7．（2023·上海·模拟预测）已知.记，其中常数m，. (1)证明：对任意m，，曲线过定点； (2)证明：对任意s，，； (3)若对一切和一切使得的函数，恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1），故曲线过原点. （2）当时，，故等价于. 考虑.则. 令 当时，所以在单调递增，， 所以，即， 所以， 而，且时，， 故，函数在上严格增. 因此当时，.特别地，.证毕. （3）首先证明对数平均不等式：当时，. 考虑函数，则，等号成立当且仅当. 故当时，. 因为，所以由得. 下证当时，对任意和一切使得的函数成立. 由题意，，故. 令，考虑函数. 则. 当且时，.由对数平均不等式，. 故， 从而函数在上严格增，得，即证. 综上，所求范围为. 8．（25-26高三上·上海·期中）设a、b为不等于1的正数.记，其中且. (1)若，求实数a、b需满足的等量关系； (2)设.记，讨论函数取得最小值时的取值（无需写出函数的最小值）； (3)若且，证明：所有满足题意的实数组成的集合为. 【详解】（1），， 若,则， 由换底公式得，则， 所以或， 所以或. （2）， ， ， 设，设，则， ①当时，对于需要，即，， 此时，单调递增，没有最小值，所以也没有最小值； ②当时，，，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时，取得最小值，则取得最小值， 此时，； 综上：当时，没有最小值；当时，当时取得最小值. （3）即， 同时取以e为底的对数可得，即. 设，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减 最大值，当趋于正无穷时，由和的增长速度可知趋于0. 由于，则当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 所以. 当时，， 当时，，此时不符合题意； 当时，，符合题意. 综上：所有满足题意的实数组成的集合为. 9．（25-26高三上·上海·期中）对于函数，若存在实数，使得为上的奇函数，则称是位差值为的＂位差奇函数＂. (1)判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由； (2)若是位差值为的位差奇函数，求的值； (3)若对于任意都不是位差值为的位差奇函数，求实数的取值范围． 【详解】(1)是，不是 ，理由如下： 由， 所以为奇函数． 故对于任意有为位差奇函数． 又，设. 此时， 假设存在，为奇函数，则恒成立，即恒成立，矛盾， 故不存在有为位差奇函数. （2）由是位差值为的位差奇函数， 可得为上的奇函数． 为奇函数． 即，化简得， 因为对于任意恒成立，所以， 所以. （3）． 由题意对任意的均不恒成立． 此时， 即对任意的均不恒成立，故在无解． 又，故．故. 10．（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）给出函数 . (1)若 ，求不等式 的解集； (2)若 ，判断 的奇偶性，说明理由，并求不等式 的解集； (3)若 ，非零实数 、 满足 ，求证: . 【详解】（1）若，则不等式为， 即，所以， 不等式的解集为. （2）设 ，定义域是， 则，所以是偶函数. 设，则，， 故 ，所以 又，所以， 即，故在上是减函数. 又，则是偶函数， 当时，，又，在上单调递减， 所以在上是减函数. 所以不等式等价于， 由单调性可得，解得且 的取值范围是. （3）若，则2， 由 得， 即，即，所以. 设 ，则， ，解得， 所以. 要证，即证，只需证， 设，则， 所以在上是增函数，故 ， . 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $