1.2.1有理数的概念 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“有理数的概念”，通过回顾小学整数、分数、小数及上一节正数、负数，搭建新旧知识支架，引导学生从已有认知过渡到有理数的学习，系统讲解概念及分类。 其亮点在于通过具体数分类探究培养数学眼光（抽象能力、数感），分类讨论思想发展数学思维（推理意识），用p/q形式定义有理数强化数学语言表达（模型意识）。如小数化分数实例、分类例题练习，帮助学生理解分类标准，教师可借助结构化小结提升教学效率。

第一章 有理数 1.2.1 有理数的概念 教学目标 学 习 目 标 1 2 使学生使学生理解整数、分数、有理数的概念,并会判断一个给定的数是整数、分数或有理数 经历对有理数进行分类的过程,明确有理数分为整数和分数,同时也可以分为正数、0和负数,培养学生观察、比较和概括的能力.体会分类讨论的思想,能理解不同的分类标准有不同的分类方法, 做到不重不漏. 3 经历对有理数进行分类探索的过程，初步感受分类讨论的数学思想；发现有理数在生活中的广泛应用，感受数学与现实世界的联系，增强学习数学的内驱力。 整 数 分 数 情境引入 在上一节的学习之中，我们又认识了两种新的数——正数和负数，再结合小学阶段学过的数，请位同学总结一下，到目前为止，我们认识了哪些数？ 小 数 到目前为止，我们认识了哪些数？请给下面的数分一分 下列各数: －15，+6，50%，－0.9，0，3 其中正的整数有 ； 其中负的整数有 ； 其中整数有 ； +6 15 正整 数 +6 15 0 负整 数 零 新知讲授 探究点1 有理数的概念 整数包含几类？ 思考1 到目前为止，我们认识了哪些数？请给下面的数分一分 下列各数: －15，+6，50%，－0.9，0，3 其中正的分数有 ； 其中负的分数有 ； 50% 3 － －0.9 负分 数 分 数 新知讲授 探究点1 有理数的概念 50%= －0.9=－ 正分 数 50%，－0.9可以化为分数吗？ 思考2 新知讲授 探究点1 有理数的概念 （1）正整数可以写成正分数的形式吗?负整数可以写成分数的形式吗?如何写? 正整数：1，2，3，…； 负整数：-1，-2，-3，…； 任何整数可以写成分母为1的分数的形式 思考3 （2）0如何写成分数的形式? 整数：0，1， 2，3，… 加上正负数 概念 正整数：1，2，3，… 0 负整数： 新知探究 分数： 加上正负数 概念 正分数： 负分数： 新知探究 新知探究：整数可以写成分数形式吗？ 正整数的表达 例如整数 2，我们可以将其视为“把2平均分成1份，取全部的1份”，因此可写成： 负整数的表达 同理，负整数 -3 可以理解为“负的把3平均分成1份，取全部的1份”，即： 零的特殊表达 零作为整数的特例，同样遵循此规则，表示“0个1分之一”，即： 核心结论： 整数集合中的所有元素，都可以统一表示为分母为 1 的分数形式。这揭示了整数与分数之间的内在联系。 思考延伸：那么，分数都可以写成整数形式吗？ 2 = -3 = - 0 = 1.7.2013 大家思考一个问题，我们熟悉的整数，能不能也写成分数的形式呢？比如整数2，可以看作是一分之二。负整数-3，可以看作是负的一分之三。零呢，可以写成一分之零。看来，所有整数都可以写成分数的形式。 ‹#› 新知探究：有理数的定义 核心概念：数的家族新成员 定义本质：整数和分数统称为有理数。从数学本质上讲，有理数是可以表示为两个整数之比（即分数形式p/q，且q≠0）的数。 为什么整数也是有理数？ 因为所有整数都可以看作分母为 1 的分数。例如：5 可以写成 5/1，0 可以写成 0/1，-3 可以写成 -3/1。所以整数符合有理数的本质特征。 分数与小数的关系 有限小数和无限循环小数都可以化成分数形式，因此它们也属于有理数。这是我们后续判断一个数是否为有理数的重要依据。 1.7.2013 既然整数和分数都可以写成分数形式，为了方便研究，我们给它们一个统一的名字。我们把所有可以写成分数形式的数，统称为“有理数”。这就是我们今天要学习的核心概念。 ‹#› 新知讲授 探究点1 有理数的概念 （1）下列小数能写成分数形式吗? （2）你能得到什么结论? 小知识 如何将化为小数？ 解：设转化为的分数为x，则： x=0.3+ x 解得：x= 思考4 = 有限小数和无限循环小数都可以化为分数， 所以它们都可以看成分数. 注意：无限不循环小数不能写成分数形式 新知讲授 探究点1 有理数的概念 可以写成分数形式的数称为有理数. 归纳 有理数的概念 *可以写成正分数形式的数为正有理数 1，2，3，1.5，2.5，3.5， ， ，…； -1，-2，-3，-1.5，-2.5，-3.5 ， ， ， …； *可以写成负分数形式的数为负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 能不能把正整数写成正分数形式？负整数写成负分数形式？ 0 能写成分数形式吗？ 整数可以写成分数的形式 知识精讲 有限小数和无限循环小数能写成分数形式吗？ 有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式. 知识精讲 无限不循环小数能写成分数形式吗？ 不能 新知探究：有理数的分类 分类一：按定义划分 整数 由正整数、零和负整数组成。整数是分母为1的特殊分数。 分数 包括正分数和负分数。有限小数和无限循环小数都可以化为分数。 核心逻辑：有理数本质上是可以表示为两个整数之比（分母不为0）的数。 分类二：按符号划分 正有理数 大于0的有理数。包含所有的正整数和正分数，在数轴原点右侧。 负有理数 小于0的有理数。包含所有的负整数和负分数，在数轴原点左侧。 核心逻辑：以“0”为分界点，将有理数划分为正数、零和负数三大阵营。 特别注意：“0”是有理数中唯一的中性数，它既不是正数也不是负数，是划分正、负数的基准，也是整数的重要组成部分。 1.7.2013 那么有理数这个大家庭都有哪些成员呢？我们可以用两种方法来分类。第一种是按定义分，分为整数和分数。第二种是按符号分，分为正有理数、零和负有理数。大家看，无论哪种分法，零都非常特殊，它既不是正数，也不是负数。 ‹#› 典型例题解析：教材例1 任务要求：观察下列数集，依据有理数的定义，将其分为正有理数和负有理数两类，并进一步区分出其中的整数与分数。 13，4.3，-，8.5%， -30，-12%，，-7.5，20，-60，1.2 第一步：筛选正有理数 核心定义：所有大于 0 的数统称为正有理数，包含正整数、正分数（含百分数）。 结果：13, 4.3, 8.5%, , 20, 1.2 1.7.2013 我们来看课本上的例题1。这里有一串数，请大家根据我们刚刚学的分类方法，找出其中的正有理数和负有理数，并且进一步找出正整数和负整数。 大家可以看到，左侧我们已经列出了具体的数集。我们先看正有理数部分，像13和20，它们是正整数；而4.3、8.5%、五分之一和1.2，虽然形式不同，但都属于正分数。 再看负有理数，负整数有-30和-60；负分数则包括负八分之三、负12%和-7.5。特别要注意的是，像8.5%这样的百分数，本质上也是分数的一种形式。 右边是教材的原文页面，大家可以对照着自己的课本，检查一下自己的分类是否正确。 ‹#› 新知讲授 探究点1 有理数的概念 　　　　既不是正数,也不是负数，是 　　　　数.  正整数、零和负整数统称　　　　数，可以化成 　 数,   正分数和负分数都是　　　　数.  有限小数和循环小数都可以化成　　　　　数, 有限小数和循环小数属于　　　　数一类.  可以写成　　　　形式的数称为有理数.  归纳 有理数的组成 零 整数 分 有理数 分数 分 分 分 新知讲授 探究点2 有理数的分类 统一了有理数表示形式及引入了负数之后,有理数可以分成正有理数和负有理数两类吗?为什么? 思考5 0既不是正数也不是负数，0是有理数，是整数. 有理数 有理数中的正数部分叫作正有理数，负数部分叫作 注意：还存在一些正数和负数是我们没有学习的, 但它们不是有理数.(如圆周率π) 例1 指出下列各数中的正有理数、负有理数、并分别指出其中的正整数、负整数：： 13，4.3，，8.5%，－30，－12%， ，－7.5，20，－60， 解：正有理数有：13，4.3，，8.5%， ，20，. 其中正整数有：13，20 . 负有理数有，－30，－12%， －7.5，－60 . 其中负整数有： －30 ，－60 典例解析 2. 常用的数学名词 （1）正整数： （2）负整数： （3）正分数： （4）负分数： 既是正数，又是整数 . 如1，2，3…… 既是负数，又是整数 . 如…… 既是正数，又是分数 . 如…… 既是负数，又是分数 . 如…… 知识精讲 典型例题解析：教材例题 任务要求：观察下列数集，依据有理数的定义，将其分为正有理数和负有理数两类，并进一步区分出其中的整数与分数。 13，4.3，-，8.5%， -30，-12%，，-7.5，20，-60，1.2 正有理数集合 正整数：13, 20 正分数：4.3, 8.5%, , 1.2 负有理数集合 负整数：-30, -60 负分数：-3/8, -12%, -7.5 思路点睛：有理数可分为整数和分数，也可按正负性分为正有理数、0和负有理数。判断时需注意有限小数和百分数均可化为分数。 1.7.2013 我们来看课本上的例题1。这里有一串数，请大家根据我们刚刚学的分类方法，找出其中的正有理数和负有理数，并且进一步找出正整数和负整数。 大家可以看到，左侧我们已经列出了具体的数集。我们先看正有理数部分，像13和20，它们是正整数；而4.3、8.5%、五分之一和1.2，虽然形式不同，但都属于正分数。 再看负有理数，负整数有-30和-60；负分数则包括负八分之三、负12%和-7.5。特别要注意的是，像8.5%这样的百分数，本质上也是分数的一种形式。 右边是教材的原文页面，大家可以对照着自己的课本，检查一下自己的分类是否正确。 ‹#› 课堂练习：基础判断题 01. 零是最小的整数。 判断：错误 (×) 解析：整数包含正整数、0和负整数。由于负整数可以无限减小，所以不存在最小的整数。 02. 正整数和负整数统称为整数。 解析：整数的完整分类必须包含“0”。该说法遗漏了0，因此是不全面的。 判断：错误 (×) 03. 正有理数和负有理数组成全体有理数。 判断：错误 (×) 解析：有理数由正有理数、0和负有理数三部分组成，0是有理数的重要组成部分。 1.7.2013 好了，学完知识点，我们来做几道判断题巩固一下。请大家仔细审题，判断这些说法的对错。 第一题，零是最小的整数吗？显然不是，因为还有负整数，所以是错的。 第二题，正整数和负整数统称整数？不对，整数还包括0。 第三题和第二题类似，有理数除了正有理数和负有理数，也包含0。 第四题，所有的分数都是有理数，这是有理数的定义，是对的。 第五题，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，这也是课本上的重要结论，是正确的。 ‹#› 小提示： ①分类的标准不同,结果也不同; ②分类的结果应无遗漏、无重复; ③.零是整数,但零既不是正数,也不是负数 新知讲授 探究点2 有理数的分类 思考6 如何对有理数进行分类?以什么标准分？ 方法1：按定义分类： 有理数 整数 正整数 0 负整数 正分数 负分数 分数 含有限小数和无限不循环小数 新知讲授 探究点2 有理数的分类 有理数 正有理数 0 负有理数 正整数 负整数 正分数 负分数 方法2：按性质符号分类： 思考6 如何对有理数进行分类?以什么标准分？ 零既不是正有理数数,也不是负有理数 分类时注意： （1）不能重复； （2）不能遗漏； （3）0 的归属. 例2:把下列各数填在相应的集合中： 正数集合：{ }； 负数集合：{ }； 分数集合：{ }； 整数集合：{ }； 非负有理数集合：{ }； 有理数集合：{ }. 典例解析 1 . 把下列数据填在相应的大括号里 6 正整数：{ …}， 负分数：{ …}. 非正有理数：{ …}. 非负有理数：{ …}. 6 6 针对训练 课堂练习：基础判断题 04. 所有的分数都是有理数。 判断：正确 (√) 解析：有理数的本质定义就是可以表示为两个整数之比（p/q，q≠0）的数，分数完全符合这一特征。 05. 有限小数和无限循环小数都可以化为分数。 判断：正确 (√) 解析：有限小数可化为十进分数；无限循环小数虽然无限，但循环节固定，可通过代数方程法转化为分数，因此它们都属于有理数。 小结：做题时要时刻牢记“0”的特殊性，以及有理数的完整分类标准。 需注意 π 与无限不循环小数不属于有理数集合。 1.7.2013 好了，学完知识点，我们来做几道判断题巩固一下。请大家仔细审题，判断这些说法的对错。 第一题，零是最小的整数吗？显然不是，因为还有负整数，所以是错的。 第二题，正整数和负整数统称整数？不对，整数还包括0。 第三题和第二题类似，有理数除了正有理数和负有理数，也包含0。 第四题，所有的分数都是有理数，这是有理数的定义，是对的。 第五题，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，这也是课本上的重要结论，是正确的。 ‹#› 课堂小结 有理数：能用分数形式表示的数，即分数与整数的统称， 整数：包含正整数、零、负整数， 分数：包含正分数、负分数，有限小数和无限循环小数都可以化成分数。 两种分类方法： 一是按定义分（整数和分数）， 二是按性质分（正有理数、零、负有理数）。 分类时要注意标准统一，不重不漏。 一个关键判断： 判断有理数的标准：能否化成分数形式（，p、q为整数且q≠0）， 知识点总结 3. 有理数的分类 注意 ：分类时要注意0 的特殊性，不要遗漏 0 ． 有理数 整数 分数 负整数 负分数 正分数 正整数 0 正有理数 负有理数 正分数 负分数 负整数 正整数 0 有理数 课堂小结 $