专题 向量的基本定理与线性运算的坐标表示 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学向量基本定理与线性运算坐标表示同步练，分层设计清晰，从基础概念到综合创新梯度合理，巩固路径完整，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|基底概念、向量坐标运算、共线判定|选择为主，巩固单一知识点，如基底性质判断，培养抽象能力| |B级|向量线性表示、坐标运算综合、三点共线|填空形式，综合基础知识点，如平行四边形中向量表示，发展推理意识| |C级|三点共线参数求解、平行四边形坐标应用|解答题，创新应用，如四点构成平行四边形求坐标，提升创新意识与模型观念|

专题　向量的基本定理与线性运算的坐标表示 A级 必备知识基础练 1.设{e1,e2}是平面内一个基底,则(　　) A.零向量不能用e1,e2表示 B.对实数λ1,λ2,e1与λ1e1+λ2e2也可以作为一组基底 C.对平面内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对 D.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0 2.已知向量a=(-2,1),b=(m,3),且a∥b,那么 a-b等于(　　) A.(-8,-2) B. C.(4,-2) D. 3.如图,在平行四边形ABCD中,=a,=b,M是DC的中点,以{a,b}为基底表示向量=(　　) A.b+a B.a+b C. D.b-a 4.已知M(-2,7),N(10,-2),点P是线段MN上的点,且=-2,则点P的坐标为(　　) A.(-14,16) B.(22,-11) C.(6,1) D.(2,4) 5.(多选题)下列各组向量中,不能组成基底的是(　　) A.e1=(0,0),e2=(1,1) B.e1=(1,2),e2=(-2,1) C.e1=(-3,4),e2= D.e1=(2,6),e2=(-1,-3) 6.已知A(1,1),B(2,-4),C(x,-9),且,则x=(　　) A.3 B.2 C.1 D.-1 B级 关键能力提升练 7.如图,在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=　　　　　. 8.已知a=(3,4),点A(1,-3),若=2a,则点B的坐标为　　　　　　　　.  9.已知=(6,1),=(4,k),=(2,1),若A,C,D三点共线,则k=　　　　.  C级 学科素养创新练 10.已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,=2e1+e2,=-e1+λe2,=-2e1+e2,且A,E,C三点共线. (1)求实数λ的值; (2)已知e1=(2,1),e2=(2,-2),点D(3,5),若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标. 参考答案 1.D　由平面向量基本定理可知D项正确,这是由于0=0e1+0e2,而λ1,λ2是唯一的,所以λ1=λ2=0.故选D. 2.C　因为a=(-2,1),b=(m,3),且a∥b, 所以-2×3-m=0,解得m=-6,所以b=(-6,3), 所以a-b=(-2,1)-(-6,3)=(4,-2).故选C. 3.A　=b+a.故选A. 4.D　设P(x,y),则=(10-x,-2-y),=(-2-x,7-y), ∵=-2,∴ ∴点P的坐标为(2,4).故选D. 5.ACD　A,C,D中向量e1与e2共线,不能组成基底;B中e1,e2不共线,所以可组成一个基底.故选ACD. 6.A　=(1,-5),=(x-1,-10), 因为,所以1×(-10)=-5(x-1),解得x=3, 故选A. 7.　因为E和F分别是边CD和BC的中点,可得),), 即2=2+2,又, 所以3=2+2,所以. 因为=λ+μ,所以λ=μ=,所以λ+μ=. 8.(7,5)　设点B的坐标为(x,y), 则=(x-1,y+3),2a=(6,8), 若=2a,则 9.4　由已知得=(10,k+1).∵A,C,D三点共线,∴向量共线,∴10-2(k+1)=0,∴k=4. 10.解 (1)=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2. ∵A,E,C三点共线,∴存在实数k,使得=k,即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2. ∵e1,e2是平面内两个不共线的非零向量, ∴解得k=-,λ=-. (2)=-3e1-e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2). ∵A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形, ∴.设A(x,y),则=(3-x,5-y), ∵=(-7,-2),∴解得 即点A的坐标为(10,7). 学科网（北京）股份有限公司 $