精品解析：江西省抚州市2025—2026学年度下学期学生学业质量监测八年级数学试题卷

2025—2026学年度下学期学生学业质量监测. 八年级数学试题卷 说明：1．本卷共有六大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 运用几何知识分析物理实验仪器结构，下列示意图中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 如图，一次函数与的图象交于点，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 6. 如图所示，已知是等边三角形，点是边上一个动点(点不与重合)，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，过点作的平行线交于点，连接，下列四个结论中：①旋转角为；为等边三角形；③四边形为平行四边形；．其中正确的结论有（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若分式有意义，则x的取值范围是________________； 8. 已知，则的值是_____． 9. 汤显祖《牡丹亭》名句：“情不知所起，一往而深．生者可以死，死可以生．”某校开展抚州文化学习活动，抄写该句原文汉字字，小明抄写原文比小华多花分钟，小华抄写速度是小明的倍．设小明抄写速度为每分钟字，可列方程为______． 10. 如图，在中，，，，，分别为，的中点，连接，，若，则底边的长为_______________． 11. 如图，点是内部的一点，点到三边，，，的距离，，则的度数为_______________． 12. 学校美术社制作校园文化海报，玲玲在长为，宽为的长方形彩纸上，剪了一个腰长为的等腰三角形装饰图案（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上），则这个等腰三角形的底边为_______________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解答下列各题： （1）因式分解：； （2）解方程：． 14. 先化简，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 15. 如图，在中，，点是边上的中点，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求周长． 16. 已知四边形是平行四边形，请仅用无刻度直尺完成下列作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）如图1，为上任意一点，请在边上找出一点，使； （2）如图2，为对角线上任意一点，请在对角线上找出另一点，使． 17. 下面是某同学解不等式组的过程，认真阅读并完成相应任务． 解：由不等式①，得， ……第一步 由不等式②，得， ……第二步 ∴原不等式组的解集为 ……第三步 （1）该同学的解答过程中开始出现错误的步骤是第__________步； （2）求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. “运动强健体魄，锻炼润泽人生”，抚州市某学校为推进学生阳光体育活动，计划网购跳绳、乒乓球拍两种体育用品，已知每副乒乓球拍比每根跳绳贵80元，用600元购买跳绳的数量与用1800元购买乒乓球拍的数量相等． （1）跳绳和乒乓球拍的单价各是多少元？ （2）学校计划购买两种器材共100件，要求乒乓球拍数量至少是跳绳数量的1.5倍，且总费用不超过9000元，怎样购买总费用最少？并求出最少费用． 19. 如图所示，在中，点，分别为，的中点，点在线段上，连接，点，分别为，的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求四边形的面积． 20. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像与轴、轴分别交于，两点，与正比例函数的图像交于点，且点的横坐标为4． （1）求的值； （2）观察图像，直接写出当时的取值范围； （3）若点是轴上的一个动点，当取最小值时，求点的坐标． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． （3）若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 22. 如图1，在梯形中，，，，动点从点开始沿边向以的速度运动；动点从点开始沿边向以的速度运动，动点，分别从，同时出发，当其中一点到达终点则另一点也随之停止运动．设运动时间为秒（）， （1）当为何值时，点恰好是的中点； （2）当为何值时，截四边形的两部分中有一个图形是平行四边形； （3）如图2，若梯形变为平行四边形，，动点从点出发以的速度向点运动；动点从点出发以的速度在间往返运动，当点到达点时，动点，同时停止运动．求出当为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 六、（本大题共12分） 23. 某校数学小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究： （1）如图1，已知等边三角形，点在边的延长线上，且，求线段，，的数量关系，马超同学猜想结论为，你是否同意？并说明理由； （2）探究发现，当点不在任意边的延长线上时（如图2），图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：已知为等边三角形，，那么此时（1）中的结论是否仍成立？ 小孙同学的探究思路如下：以线段为边，向外侧作等边三角形，连接，，请沿着小孙同学的思路完成证明； （3）如图3，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，求线段，，的数量关系； （4）如图4，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期学生学业质量监测. 八年级数学试题卷 说明：1．本卷共有六大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 运用几何知识分析物理实验仪器结构，下列示意图中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此即可解答． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意． 2. 下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因式分解是把多项式变形为几个整式乘积的形式，需满足左为多项式，右为几个整式的乘积，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、左边是乘积形式，右边是多项式，变形属于整式乘法，不符合因式分解要求； B、左边是多项式，右边是整式的乘积形式，变形正确，符合因式分解的定义； C、右边是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合定义； D、不是整式，因此右边不是几个整式的乘积，不符合定义． 3. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角，熟记多边形内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键． 利用多边形外角和为的性质以及内角和公式建立方程求解即可． 【详解】设多边形的边数为， ∵ 多边形的外角和为，且内角和是外角和的倍， ∴ 内角和， 又∵ 内角和 ， ∴ ， 解得：， 即这个多边形的边数为． 故选：C． 4. 如图，一次函数与的图象交于点，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可得当时，直线在直线下方，由此即可得出结果． 【详解】解：与的图象交于点， ∴由图象可知：当时，直线在直线下方， 即关于的不等式的解集为． 5. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由等边对等角得出，由三角形内角和定理得出，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，求出，再由直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：连接，如图： ， ， ， 为的垂直平分线， ， ， 在中，， ， ， ∵， ， ． 6. 如图所示，已知是等边三角形，点是边上一个动点(点不与重合)，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，过点作的平行线交于点，连接，下列四个结论中：①旋转角为；为等边三角形；③四边形为平行四边形；．其中正确的结论有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，AD=AF，∠FAB=∠DAC，∠C=∠ABF，再根据等边三角形的性质可得∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°，即可判断①②；然后证明∠FBC+∠C=180°，得到FB∥CE，即可判断③；根据平行四边形的性质得到BF=CE，由E不一定是AC的中点得到AE不一定等于EC即可判断④． 【详解】解：由旋转的性质可知，AD=AF，∠FAB=∠DAC，∠C=∠ABF， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， ∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°， ∴△AFD是等边三角形，旋转的角度为60°，故①和②正确； ∵∠ABF=∠C=60°，∠ABC=60°， ∴∠FBC=120°， ∴∠FBC+∠C=180°， ∴FB∥CE， 又∵EF//BC， ∴四边形BCEF是平行四边形，故③正确； ∴BF=CE， ∵E不一定是AC的中点， ∴AE不一定等于EC，即AE不一定等于BF，故④错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，平行线的判定，平行四边形的性质与判定，旋转的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若分式有意义，则x的取值范围是________________； 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不为0可得，从而可得答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分母不为0是解本题的关键． 8. 已知，则的值是_____． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式及代数式的化简与求值，先利用平方差公式分解，代入后化简，再代入已知条件计算结果． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：25． 9. 汤显祖《牡丹亭》名句：“情不知所起，一往而深．生者可以死，死可以生．”某校开展抚州文化学习活动，抄写该句原文汉字字，小明抄写原文比小华多花分钟，小华抄写速度是小明的倍．设小明抄写速度为每分钟字，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设小明抄写速度为每分钟字，则小华抄写速度为每分钟字，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设小明抄写速度为每分钟字，则小华抄写速度为每分钟字， 根据题意得，． 10. 如图，在中，，，，，分别为，的中点，连接，，若，则底边的长为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再证明，求出，，勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：，， ， 又， 在中，为的中点， ， ， ， ， ， ． 11. 如图，点是内部的一点，点到三边，，，的距离，，则的度数为_______________． 【答案】##130度 【解析】 【分析】由，根据证明全等得到、分别平分、，先利用三角形内角和求出，再求出，最后再次用三角形内角和算出． 【详解】解：点到三边的距离， 在和中， ， ， ， 平分， 同理，平分， ，， 在中，根据三角形内角和定理：， 即， ， ． 12. 学校美术社制作校园文化海报，玲玲在长为，宽为的长方形彩纸上，剪了一个腰长为的等腰三角形装饰图案（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上），则这个等腰三角形的底边为_______________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况，根据矩形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：已知：在长、宽的长方形彩纸上，剪一个腰长为的等腰三角形，顶点与长方形顶点重合，另两顶点在边上．需分三种情况讨论： 情况1：顶角顶点在长方形顶点，两腰在相邻两边上，，，底边为等腰直角三角形的斜边， 由勾股定理：； 情况2：底角顶点在长方形顶点，腰在宽边上，等腰三角形的一个底角顶点与重合， 一条腰在上，另一腰，顶点在上， ， 在中，， 在中，； 情况3：底角顶点在长方形顶点，腰在长边上，等腰三角形的一个底角顶点与重合， 一条腰在上，另一腰，顶点在上， ， 在中，， 在中，， 综上所述，这个等腰三角形的底边为或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解答下列各题： （1）因式分解：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式3，再利用完全平方公式分解即可； （2）先把分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：． 方程两边乘得：， 解得：， 经检验，是原方程的根． 14. 先化简，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】先利用分式的混合运算法则化简，然后再从1，2，3中选择一个分式有意义的的值代入求值即可． 【详解】解： ； ∵分母不能为0， ， ∴当时，原式． 15. 如图，在中，，点是边上的中点，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求周长． 【答案】（1）证明：，点是边上的中点， 平分， 又，， ； （2） 【解析】 【分析】利用等腰三角形“三线合一”的性质可得平分，再根据角平分线的性质即可求证； 先证明为等边三角形，再利用等边三角形的性质解答即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 为等边三角形， ∵点是边上的中点，， ， ， 的周长为． 16. 已知四边形是平行四边形，请仅用无刻度直尺完成下列作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）如图1，为上任意一点，请在边上找出一点，使； （2）如图2，为对角线上任意一点，请在对角线上找出另一点，使． 【答案】（1） 如图，点为所求， （2） 如图，点为所求， 【解析】 【分析】（1）连接、，相交于点，过点作射线交于点，则； （2）连接交于点，连接并延长交于点，连接并延长，交于点，连接交于点,则，可得． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17. 下面是某同学解不等式组的过程，认真阅读并完成相应任务． 解：由不等式①，得， ……第一步 由不等式②，得， ……第二步 ∴原不等式组的解集为 ……第三步 （1）该同学的解答过程中开始出现错误的步骤是第__________步； （2）求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）一： （2）． 【解析】 【分析】（1）根据解不等式的步骤进行解答即可； （2）分别求出两个不等式的解集，找到解集的公共部分得到不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． 【小问1详解】 解：该同学的解答过程中开始出现错误的步骤是第一步，去分母时漏乘了没有分母的项； 【小问2详解】 解：由不等式①，得， ， 由不等式②，得， ， ∴原不等式组的解集为． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. “运动强健体魄，锻炼润泽人生”，抚州市某学校为推进学生阳光体育活动，计划网购跳绳、乒乓球拍两种体育用品，已知每副乒乓球拍比每根跳绳贵80元，用600元购买跳绳的数量与用1800元购买乒乓球拍的数量相等． （1）跳绳和乒乓球拍的单价各是多少元？ （2）学校计划购买两种器材共100件，要求乒乓球拍数量至少是跳绳数量的1.5倍，且总费用不超过9000元，怎样购买总费用最少？并求出最少费用． 【答案】（1）跳绳单价为元，乒乓球拍单价为元； （2）当购买跳绳40件，乒乓球拍60件时，总费用最少，最少费用为8800元． 【解析】 【分析】（1）设跳绳单价为元，则乒乓球拍单价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）设购买跳绳件，则乒乓球拍件，总费用为元，求出关于的关系式，列关于的不等式组求出，最后结合一次函数的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：设跳绳单价为元，则乒乓球拍单价为元； 由题意：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）， ∴跳绳单价为元，乒乓球拍单价为元； 【小问2详解】 解：设购买跳绳件，则乒乓球拍件，总费用为元， 则， 由题意：， 解得， ， ∴随着的增大而减小， 故当时，取最小值，最小值为元， 故当购买跳绳40件，乒乓球拍60件时，总费用最少，最少费用为8800元． 19. 如图所示，在中，点，分别为，的中点，点在线段上，连接，点，分别为，的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵点，分别为，的中点，点，分别为，的中点， 是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ，， ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明是的中位线，是的中位线，由三角形中位线定理得出，，即可得证； （2）由平行四边形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ，， ， ， ， 为中点， ， ，， ， ． 20. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像与轴、轴分别交于，两点，与正比例函数的图像交于点，且点的横坐标为4． （1）求的值； （2）观察图像，直接写出当时的取值范围； （3）若点是轴上的一个动点，当取最小值时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得点，再代入一次函数解析式求b即可； （2）根据函数图像确定不等式的解集即可； （3）如图：作关于轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，则；易得当点在线段上时，最小，即最小；再求出直线为，最后求点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：在中，令，得， ， 把代入得：，解得． 【小问2详解】 解：由（1）可得：一次函数的图像与正比例函数的图像交于点， 由图像可得，当时，的取值范围是． 【小问3详解】 解：如图：作关于轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， ，关于轴对称， ，， ， 在线段上时，最小，即最小， 由（1）知，即点， 设直线为， 将代入得：，解得， ∴直线为， ∵点在轴上，令得， 的坐标． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． （3）若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】（1） （2）当时，最大值为7． （3）、、． 【解析】 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． 【小问3详解】 解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 22. 如图1，在梯形中，，，，动点从点开始沿边向以的速度运动；动点从点开始沿边向以的速度运动，动点，分别从，同时出发，当其中一点到达终点则另一点也随之停止运动．设运动时间为秒（）， （1）当为何值时，点恰好是的中点； （2）当为何值时，截四边形的两部分中有一个图形是平行四边形； （3）如图2，若梯形变为平行四边形，，动点从点出发以的速度向点运动；动点从点出发以的速度在间往返运动，当点到达点时，动点，同时停止运动．求出当为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2）当或时，截四边形的两部分有一个平行四边形． （3）的值为时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）求出，又由可列方程并解方程即可； （2）由题意得到，，再根据平行四边形的判定分两种情况进行解答即可； （3）以，，，四点组成的四边形是平行四边形，则，分和两种情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：，是的中点， ， ， ， 解得． 【小问2详解】 解：由题意得：，， 则，， ①， 时，四边形为平行四边形， 此时，， 解得：． ②， 时，四边形为平行四边形， 此时，，解得：， 综上所述，当或时，截四边形的两部分有一个平行四边形． 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形， ，即， 若以，，，四点组成的四边形是平行四边形，则， ①当时，，， ， 解得（不合题意，舍去）； ②当时，，， ， 解得； 综上可得：的值为时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形． 六、（本大题共12分） 23. 某校数学小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究： （1）如图1，已知等边三角形，点在边的延长线上，且，求线段，，的数量关系，马超同学猜想结论为，你是否同意？并说明理由； （2）探究发现，当点不在任意边的延长线上时（如图2），图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：已知为等边三角形，，那么此时（1）中的结论是否仍成立？ 小孙同学的探究思路如下：以线段为边，向外侧作等边三角形，连接，，请沿着小孙同学的思路完成证明； （3）如图3，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，求线段，，的数量关系； （4）如图4，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）解：同意，理由如下： ∵在等边三角形中， ，， ， ， ， ，即； （2）（1）的结论成立， 证明：如图，以线段为边朝外作等边三角形，连接， 在等边，等边中，，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由三角形外角的性质可得，，由等边对等角可得，由勾股定理可得，等量代换可得； （2）以线段为边朝外作等边三角形，先证，得出，，由勾股定理可得，等量代换可得； （3）以线段为边朝外作等腰直角三角形，先证，得出，再证，利用勾股定理可得，等量代换可得； （4）过点A作，交延长线于点D，仿照（3）证明，推出，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，以线段为边朝外作等腰直角三角形，连接， 在等腰直角，等腰直角中，，， ， ， ， ， ， ， ， ，即； 【小问4详解】 解：过点作，交延长线于点， ， ， ， ， ， 即， 又， ， ， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $