精品解析：江西省抚州市2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

江西省抚州市2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 说明： 1．本卷共有六大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 以下四幅图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合,这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B，是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； D，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； 故选B． 2. 若，则下列各式中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质逐一分析各选项即可． 根据不等式的基本性质逐一分析各选项，判断是否一定成立． 【详解】解：A． 由，两边减1得，故A错误； B． 由，两边除以正数2得，故B错误； C． 由，两边乘（负数）得，再加1得，故C正确； D． 当和为负数时，例如，，此时，，，故D不一定成立． 故选C． 3. 若关于的分式方程有增根，则的值为（　　） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的增根问题，掌握“已知增根的情况下求解参数的值”是解本题的关键． 分式方程的增根是使最简公分母为零的根．首先确定增根为，再将原方程转化为整式方程，代入增根求解的值． 【详解】解：原方程中，分母为和，最简公分母为．当时，分母为零，故增根为． 将方程两边同乘，得： 展开并整理得： 将增根代入，得：， 解得． 故选A． 4. 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键．利用图象法求解即可． 【详解】解：∵直线与与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴由函数图象可知，当时，直线的函数图象在直线的函数图象下方， ∴关于x的不等式的解集为， 故选：D． 5. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点边在轴上，且，将沿轴正方向平移个单位长度后，面积恰好被直线平分，则的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中心对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题及平移的性质，先求出两点的坐标，得到，进而求出，即可求出C点的坐标，设沿x轴正方向平移m个单位长度后，得到，由平移的性质得到，结合平行四边形的性质，当直线过的中点时，面积恰好被直线平分，即可求解． 【详解】解：根据题意当时，则， 当时，则， 解得：， ∴， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 设沿x轴正方向平移m个单位长度后，得到，连接， 则， ∵四边形是平行四边形，即平行四边形是中心对称图形， ∴当直线过的中点时，面积恰好被直线平分， ∵的中点为，即， ∴， 解得：． 故选B． 6. 如图所示，点是等边内一点，，将绕点逆时针旋转一定角度后得到，下列四个结论中：①为等边三角形；②；③；④；其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转可得，进而证明，，可判断①；由，，可判断②；证明中，可判断③；取中点Q，连接，，证明，可判断④． 【详解】解：是等边三角形， ， ， 将绕点逆时针旋转一定角度后得到， ， ，，，， ， 为等边三角形； 故①正确； ， ， ； 故②正确； ， ， 在中，， ， ，， ； 故③正确； 如图，取中点Q，连接，， 则， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，点Q是中点， ，， ， 故④正确； 综上可知，正确的结论有4个， 故选D． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形中线的性质等，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若分式的值为，则的取值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，根据分式值为零的条件即可得到答案， 掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：， 故答案为：． 8. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用因式分解计算求值，熟记平方差公式是解题的关键． 根据，求出，然后根据整体代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 9. 如图，在中，平分垂直平分，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质得到，则可得到，据此可得． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 将边长相等的正五边形和正六边形如图放置，且顶点A，B，M在同一条直线上，则的度数为___________． 【答案】##168度 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，等腰三角形的性质，根据正多边形内角计算公式可得，，则由平角的定义可得，由，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 规定新运算：▲ ，例如：2▲ ，若关于的不等式▲的解集在数轴上表示如图所示，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，用数轴表示不等式的解集，根据不等式的解集求参数，根据新定义，列出不等式，求出不等式的解集，结合数轴，确定的值即可． 【详解】解：由题意，得：▲， 解得：， 由数轴可知：， ∴， ∴； 故答案为： ． 12. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段沿轴正方向平移至，若为等腰三角形，则平移的距离为___________． 【答案】13或24或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，难度不大，掌握平移性质是解题关键．根据直线解析式求出点，，，再根据为等腰三角形，分三种情况分别求解即可． 【详解】解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 令，解得：， 将代入，则，, ∴点，， ∴， 由平移可知：，， ∵为等腰三角形， 当时，如图1： 设，则， ∵， ∴， 解得：，即； 当时，如图2： 当时，如图3： 则， ∴， 综上所述平移的距离为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，异分母分式的加减运算． （1）先通分，再利用同底数幂的加减法运算即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； 【详解】解：（1） ； （2） ． 14. 已知，如图，与交于点O，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，证明，得出，从而证出,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 15. 先化简，再从中选一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，求值见解析 【解析】 【分析】先利用分式的乘除化简，后结合分式有意义的条件，确定不能选的数，再选择适当数，求值即可． 本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握化简是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， 又且为整数， 或， 当时，原式； 当时，原式． 16. 如图，在中，点为的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）： （1）在图1中，，作出中边上的高； （2）在图2中，过点作的平行线． 【答案】（1） 如图，为所求， （2） 如图，为所求， 【解析】 【分析】本题考查基本作图，考查了平行四边形的性质，掌握等腰三角形底边上的高垂直平分底边和三角形三条中线交于一点、平行四边形对角线相互平分是解答本题的关键． （1）作出中边上的高；即找到的中点即可，连接，交于点，由平行四边形性质可知，，连接并延长交于，容易证明，从而可得，即是中点， （2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，连接并延长交延长线于，可得平行四边形，由此即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 以下是敖丙同学解不等式组的解答过程： 解：由不等式①，得……第一步 由不等式②，得……第二步 原不等式组的解集为……第三步 （1）敖丙同学的解答过程中开始出现错误的步骤是第___________步． （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）一 （2） 【解析】 【分析】（1）系数化为1时，除以负数，应改变不等号的方向，解答即可． （2）按照解不等式组的基本步骤解答即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解题步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：第一步中，系数化为1时，除以负数，应改变不等号的方向， 故答案为：一． 【小问2详解】 解：由不等式①，得， 由不等式②，得 原不等式组的解集为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图、在四边形中，，延长至，使，延长至．使，连接，点为的中点， （1）若，求度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的定义和性质，平行线的性质， 对于（1），先说明四边形是平行四边形，可得，再说明是中位线，即可得，然后根据平行线的性质得出答案； 对于（2），先说明，进而得出四边形是平行四边形，则答案可证． 【小问1详解】 解：∵， 四边形是平行四边形， ． ， 是中位线， ， ； 【小问2详解】 证明：， ． ， ， 四边形是平行四边形， ． 19. 阅读并完成下列问题： （1）分解下列因式，将结果直接写在横线上： ___________；___________；___________． （2）观察以上三个多项式的系数： ； ； 于是小聪猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的数量关系：___________． （3）解决问题：若多项式是一个完全平方式，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查利用完全平方公式分解因式、平方根，熟记完全平方公式，正确得出系数间的关系是解答的关键． （1）根据完全平方公式进行因式分解解答即可； （2）观察前几个多项式系数间的关系解答即可； （3）根据（2）中得出的系数关系得出关于m的方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解： ， ， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解： ；；，… ∴前几个多项式系数间的关系可得：， 故答案为： ； 【小问3详解】 多项式  是一个完全平方式， ， ， ， ， ． 20. 定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段． （1）定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）； （2）定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长； （3）应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________． 【答案】（1）是 （2）5 （3）2或1或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，以及等直三角形的定义，解题关键是读懂题目中给的等直三角形定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质． （1）根据等直分割线的定义判断即可； （2）根据等直三角形可得：，，，，结合等腰三角形的判定和性质即可解答； （3）根据等直三角形的定义，分是直角三角形和等腰三角形时，画出图形，分别求解即可. 【小问1详解】 解：直角三角形一定是等直三角形 证明：如图：是的垂直平分线， ，则是等腰三角形， 是直角三角形 是的一条等直分割线段； ∴直角三角形一定是等直三角形， 故答案为：是； 【小问2详解】 是的等直分割线段 是等腰三角形 设：，则 在中，根据勾股定理得 解得 ； 【小问3详解】 在中，，，是的等直分割线段， ①若，时，如图1， ∴， ∴， ∴， ②若，时，如图2， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ③若，时，如图3， ∴ ④若，时，如图4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长可以为或或. 故答案为：或或. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 抚州文昌里以其丰富的历史文化和独特的建筑风格吸引了大量的游客．“五一”假期间，某商铺出售A，B两种牡丹亭图案文创饰品，若采购种饰品花了1400元，采购种饰品花了630元，则种数量是种数量的2倍，其中种的进价比种的进价每件多1元． （1）A，B两种饰品每件的进价分别为多少元？ （2）现商铺计划购进A，B两种饰品共600件，购进种的件数不超过种件数的2倍，且购买总金额不超过5700元，则共有几种购买方案？ （3）在（2）的条件下如果购进的这两种饰品均以每件15元全部售出，设购进种饰品件，那么为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元 （2）101种 （3）当时，有能使本次销售的利润最大，最大值为元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的实际应用： （1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为元，再根据采购A 种饰品花了1400元，采购B 种饰品花了630元，其中A 种数量是B种数量的2倍，列出方程求解即可； （2）根据购进种的件数不超过种件数的2倍，且购买总金额不超过5700元，确定不等关系，列一元一次不等式组求解，确定变量取值范围； （3）设采购A种饰品m件时的总利润为w元，可得，根据一次函数的增减性求解． 【小问1详解】 解：设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元； 【小问2详解】 解：设购进A种饰品m件，则购进B种饰品件 由题意得：， 解得：， 购进A种饰品件数m的取值范围为：，且m为整数； 购买方案共有：种； 【小问3详解】 解：设采购A种饰品m件时的总利润为w元， ， ， 随m的增大而减小， 当时，w有最大值，最大值为，此时， 即当采购A种饰品件，B种饰品件，商铺获利最大，最大利润为元． 22. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，点恰好落在边上，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，点，分别为线段，上的一个动点，连接，，则的最小值为___________． 【答案】（1）见解析 （2）平行四边形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，等角对等边，勾股定理，平行四边形的判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，由旋转的性质可得，，，则可证明都是等边三角形，得到，再证明，则可证明； （2）由等边三角形的性质可得，则可证明，得到，则四边形是平行四边形； （3）连接，可证明垂直平分，则，则可得到当A、M、N三点共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，可证明，由旋转的性质可得，则，由勾股定理可得，则的最小值为． 【小问1详解】 证明：∵在中，， ∴， 由旋转的性质可得，，， ∴都是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解；如图所示，连接， ∵是等边三角形，，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当A、M、N三点共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵此时都是等边三角形的高， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 问题探究： （1）完成填空并得出结论： 如图1，于点，探究三者之间的数量关系． 证明：过点作交延长线于点 四边形为平行四边形 ___________，___________ ___________ 应用结论： （2）如图3，在中，与相交于点，点为的中点，且．求的长． 拓展应用： （3）如图4，已知为的中线，交于点，交于点，求的长． 【答案】（1），，；（2）12；（3）3 【解析】 【分析】（1）根据解题思路，结合平行四边形的判定和性质，勾股定理证明即可． （2）连接，证明，由结论得解答即可． （3）延长至点，使，连接和，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，利用结论解答即可． 【详解】（1）证明：过点作交延长线于点 四边形为平行四边形 ，， ， 故答案为：，，=． （2）解：连接， 四边形是平行四边形， ，， ， 由（1）结论可得 即： ． （3）解：延长至点，使， 连接和． 四边形为平行四边形 ， 设，则 ． 方法二：取的中点，连接 ， 设，则 由（1）中结论可得 即 解得 ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，解方程，三角形中位线定理的应用，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省抚州市2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 说明： 1．本卷共有六大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 以下四幅图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则下列各式中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 若关于的分式方程有增根，则的值为（　　） A. B. C. 2 D. 3 4. 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点边在轴上，且，将沿轴正方向平移个单位长度后，面积恰好被直线平分，则的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图所示，点是等边内一点，，将绕点逆时针旋转一定角度后得到，下列四个结论中：①为等边三角形；②；③；④；其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若分式的值为，则的取值为_____． 8. 已知，则的值为___________． 9. 如图，在中，平分垂直平分，则的长为___________． 10. 将边长相等的正五边形和正六边形如图放置，且顶点A，B，M在同一条直线上，则的度数为___________． 11. 规定新运算：▲ ，例如：2▲ ，若关于的不等式▲的解集在数轴上表示如图所示，则的值为___________． 12. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段沿轴正方向平移至，若为等腰三角形，则平移的距离为___________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）因式分解： 14. 已知，如图，与交于点O，且．求证：． 15. 先化简，再从中选一个合适的整数作为的值代入求值． 16. 如图，在中，点为的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）： （1）在图1中，，作出中边上的高； （2）在图2中，过点作的平行线． 17. 以下是敖丙同学解不等式组的解答过程： 解：由不等式①，得……第一步 由不等式②，得……第二步 原不等式组的解集为……第三步 （1）敖丙同学的解答过程中开始出现错误的步骤是第___________步． （2）请写出正确的解答过程． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图、在四边形中，，延长至，使，延长至．使，连接，点为的中点， （1）若，求度数； （2）求证：． 19. 阅读并完成下列问题： （1）分解下列因式，将结果直接写在横线上： ___________；___________；___________． （2）观察以上三个多项式的系数： ； ； 于是小聪猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的数量关系：___________． （3）解决问题：若多项式是一个完全平方式，求的值． 20. 定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段． （1）定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）； （2）定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长； （3）应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 抚州文昌里以其丰富的历史文化和独特的建筑风格吸引了大量的游客．“五一”假期间，某商铺出售A，B两种牡丹亭图案文创饰品，若采购种饰品花了1400元，采购种饰品花了630元，则种数量是种数量的2倍，其中种的进价比种的进价每件多1元． （1）A，B两种饰品每件的进价分别为多少元？ （2）现商铺计划购进A，B两种饰品共600件，购进种的件数不超过种件数的2倍，且购买总金额不超过5700元，则共有几种购买方案？ （3）在（2）的条件下如果购进的这两种饰品均以每件15元全部售出，设购进种饰品件，那么为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润． 22. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，点恰好落在边上，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，点，分别为线段，上的一个动点，连接，，则的最小值为___________． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 问题探究： （1）完成填空并得出结论： 如图1，于点，探究三者之间的数量关系． 证明：过点作交延长线于点 四边形为平行四边形 ___________，___________ ___________ 应用结论： （2）如图3，在中，与相交于点，点为的中点，且．求的长． 拓展应用： （3）如图4，已知为的中线，交于点，交于点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $